小升初數(shù)學(xué)必備專題之計(jì)數(shù)模塊

1、計(jì)數(shù)部分加法原理與枚舉法如果完成一件事情有n 類方法，而每一類方法中分別有m1，m2， mn種方法，而不論采用這些方法中的任何一種，都能單獨(dú)地完成這件事情，那么要完成這件事情共有N=m1+m2+mn種方法。這就是加法原理，也是利用分類法計(jì)數(shù)的依據(jù)。而在分類計(jì)數(shù)的過程中，往往要把各類方法中的總的數(shù)量加以枚舉，因此，加法原理常和枚舉法結(jié)合運(yùn)用。所謂枚舉法，就是把所要求計(jì)數(shù)的所有對(duì)象一一列舉出來，最后計(jì)算總數(shù)的方法。運(yùn)用枚舉法進(jìn)行列舉時(shí)，必須注意無一重復(fù)，也無一遺漏。乘法原理如果完成一件事必須分n 個(gè)步驟，而每一個(gè)步驟分別有m1，m2， mn種方法，那么完成這件事共有N m1 m2 mn種方法。這就

2、是乘法原理， 它是分步法的依據(jù) 。乘法原理和加法原理被稱為是計(jì)數(shù)的基本原理。我們應(yīng)注意它們的區(qū)別，也要注意二者的聯(lián)合使用。利用乘法原理解決一些較難問題時(shí)，一定要注意各個(gè)步驟的先后次序的選擇。排 列在實(shí)際生活中常遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法。這就是排列問題。在排的過程中，不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)一般地，從 n 個(gè)不同的元素中任取出m個(gè)（m n）元素，按照一定的順序排成一列叫做從 n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。從 n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)（ mn）元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從1組合日常生活中有很多“分組”問題. 如在

3、體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項(xiàng)活動(dòng)等等. 這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題.一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)（ m n）元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合 .由組合的定義可以看出，兩個(gè)組合是否相同，只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān)，而與取到這些元素的先后順序無關(guān). 只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，它們才是不同的組合 .從 n 個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（ m n）的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)不同元素的組合數(shù). 記作 cnm .綜合應(yīng)用前

4、面我們已討論了加法原理、乘法原理、排列、組合等問題. 事實(shí)上，這些問題是相互聯(lián)系、不可分割的. 例如有時(shí)候，做某件事情有幾類方法，而每一類方法又要分幾個(gè)步驟完成 . 在計(jì)算做這件事的方法時(shí)，既要用到乘法原理，又要用到加法原理. 又如，在照相時(shí)，如果對(duì)坐的位置有些規(guī)定，那么就不再是簡(jiǎn)單的排列問題了. 類似的問題有很多，要正確地解決這些問題，就一定要熟練地掌握兩個(gè)原理和排列、組合的內(nèi)容，并熟悉它們所解決問題的類型特點(diǎn).1、運(yùn)用兩個(gè)加法原理和乘法原理時(shí)要注意：抓住兩個(gè)基本原理的區(qū)別，千萬不能混.2不同類的方法（其中每一個(gè)方法都能各自獨(dú)立地把事情從頭到尾做完）數(shù)之間做加法，可求得完成事情的不同方法總數(shù)

5、.不同步的方法（全程分成幾個(gè)階段（步），其中每一個(gè)方法都只能完成這件事的一個(gè)階段 ）數(shù)之間做乘法，可求得完成整個(gè)事情的不同方法總數(shù).在研究完成一件工作的不同方法數(shù)時(shí)，要遵循“不重不漏”的原則.在運(yùn)用乘法原理時(shí)，要注意當(dāng)每個(gè)步驟都做完時(shí)，這件事也必須完成，而且前面一個(gè)步驟中的每一種方法，對(duì)于下個(gè)步驟不同的方法來說是一樣的.2、運(yùn)用排列與組合時(shí)要注意：排列與組合都是從若干個(gè)元素中選出一些元素，共有多少種選法的問題，其中排列要求選出的這些元素有順序要求，而組合沒有順序要求。包含與排除集合通常用大寫的英文字母A、B、 C、表示。構(gòu)成這個(gè)集合的事物稱為這個(gè)集合的元素。如上面例子中五（1）班的每一位同學(xué)均

6、是集合A 的一個(gè)元素。又如任何一個(gè)自然數(shù)都是集合B 的元素。像集合B 這種含有無限多個(gè)元素的集合稱為無限集合。像集合C這樣含有有限多個(gè)元素的集合稱為有限集合。有限集合所含元素的個(gè)數(shù)常用符號(hào)|A| 、|B| 、 |C| 、表示。記號(hào) A B 表示所有屬于集合A 或?qū)儆诩螧 的元素所組成的集合。就是右邊示意圖中兩個(gè)圓所覆蓋的部分。集合A B 叫做集合A 與集合 B的并集?！啊弊x作“并”，“A B”讀作“ A 并 B”。設(shè)集合 A= 1，2，3，4，集合 B= 2，4，6， 8，則 A B= 1，2，3，4，6，8。元素 2、4 在集合 A、 B中都有，在并集中只寫一個(gè)。記號(hào)AB 表示所有既屬于集

7、合A 也屬于集合B 中的元素的全體。就是上圖中陰影部分所表示的集合。即是由集合A、B 的公共元素所組成的集合。它稱為集合A、 B 的交集 . 符號(hào)“”讀作“交”，“A B”讀作“A 交 B”。如上例中的集合A、 B，則 A B=2， 4。關(guān)于兩個(gè)集合的容斥原理：集合A與 B 的并集的元素個(gè)數(shù)，等于集合A 的元素個(gè)數(shù)與集合 B 的元素個(gè)數(shù)的和，減去集合A與 B 的交的元素個(gè)數(shù)。即： |A B|=|A|+|B|-|A B|關(guān)于三個(gè)集合的容斥原理：右圖中三個(gè)圓A、 B、 C分別表示具有三種不同性質(zhì)的集合，并如圖用 M1、 M2、 M3、 M7表示由三個(gè)圓形成的內(nèi)部互不重疊的部分所含元素的個(gè)數(shù)，可見：

8、 A BC M1M2+ M7（ M1M4 M6 M7）+（ M2 M4 M5 M7）+（ M3M5 M6M7） - （M4+M7）+（ M5+M7） +（ M6M7） M73 A B C - AB - BC - AC + A B C，事實(shí)上這個(gè)規(guī)律還可推廣到按多種性質(zhì)來分類的情形。設(shè)集合M中的每個(gè)元素至少具有 t 種性質(zhì)中的一種，用n1 表示各個(gè)具有1 種性質(zhì)的集合中的元素個(gè)數(shù)的和，n2 表示各個(gè)具有2 種性質(zhì)的集合中元素個(gè)數(shù)的和，nt 表示具有t 種性質(zhì)的集合中元素的個(gè)數(shù)，則集合 M中元素的個(gè)數(shù)m為：m=n1-n 2 n3-n 4+ nt最后一項(xiàng)當(dāng)t 為偶數(shù)時(shí)取“”號(hào)，否則取“”號(hào)。枚舉法一

9、內(nèi)容概述 :掌握枚舉的一般方法，學(xué)會(huì)按照一定順序，有規(guī)律地進(jìn)行枚舉，做到“不重不漏” ；應(yīng)用字典排列法解決整數(shù)分拆的問題，學(xué)會(huì)分辨“計(jì)次序”與“不計(jì)次序”的情形。教學(xué)一對(duì)一：1. 冬冬在一張紙上畫了一些圖形，如圖 4-1 所示，每個(gè)圖形都是由若干條線段連接組成的。請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，紙上一共有多少條線段？（最外面的大長(zhǎng)方形是紙的邊框，不算在內(nèi)）2. 要沿著如圖 2-4 所示的道路從 A 點(diǎn)走到 B 點(diǎn)，并且每段路最多只能經(jīng)過一次，一共有多少種不同的走法？3. 小明決定去香山、頤和園、圓明園這三個(gè)景點(diǎn)旅游，要走遍這三個(gè)景點(diǎn)，他一共有多少種不同的游覽順序？4. 小王準(zhǔn)備從青島、三亞、桂林、杭州這 4 個(gè)地

10、方中選 2 個(gè)去旅游，小王有多少種不同的選擇方式？如果小王想去其中的 3 個(gè)地方，又有多少種選擇方式？45. 小燒餅每個(gè) 5 角錢，大燒餅每個(gè) 2 元錢，冬冬一共有 6 元錢，如果把這些錢全部用來買燒餅，一共有多少種不同的買法？6. 在一次知識(shí)搶答比賽中，小悅和冬冬兩個(gè)人一共答對(duì)了10 道題，并且每人都有答對(duì)的題目。如果每道題 1 分，那么小悅和冬冬分別可能得多少分？請(qǐng)把所有的可能填寫到下面的表格里：小悅的總分冬冬的總分7. 兩個(gè)海盜分 20 枚金幣。請(qǐng)問：（ 1）如果每個(gè)海盜最少分 5 枚金幣，一共有多少種不同的分法？（ 2）如果每個(gè)海盜最多分到 16 枚金幣，一共有多少種不同的分法？8.

11、有 15 個(gè)玻璃球，要把它們分成兩堆，一共有幾種不同的分法？這兩堆球的個(gè)數(shù)可能相差幾個(gè)？9. 張奶奶去超市買了12 盒光明牛奶，發(fā)現(xiàn)這些牛奶需要裝在2 個(gè)相同的袋子里，并且每個(gè)袋子最多只能裝 10 盒。張奶奶一共有幾種不同的裝法？10. 小悅、冬冬、阿奇三個(gè)人一共有 7 本課外書，每個(gè)人至少有一本。小悅、冬冬、阿奇分別有幾本課外書？請(qǐng)寫出全部可能的情況。11. 如圖 4-3，小悅畫了一個(gè)小房子，如果每畫一筆都不能拐彎，那么她最少畫了幾筆？12. 小悅把 8 塊綠豆糕擺成如圖 4-4 所示的圖形，讓冬冬挑兩塊挨在一起的綠豆糕。請(qǐng)問：冬冬一共有多少種不同的挑法？13. 小悅、冬冬、阿奇三個(gè)人去看電

12、影，他們買了三張座位相鄰的票。他們?nèi)说淖豁樞蛞还灿卸嗌俜N不同的安排方法？14. 小李擺攤賣貨，小木偶每個(gè)賣 1 元，大木偶每個(gè)賣 2 元。他今天一共賣出了 5 個(gè)木偶。小李今天一共可能賣了多少錢？515. （ 1）老師給小悅 14 個(gè)相同的練習(xí)本。如果小悅把這些本子全都分給冬冬和阿奇，有多少種不同的分法？（ 2）老師給小悅14 個(gè)相同的練習(xí)本，如果小悅只需要把這些本子分成2 堆，又有多少種不同的分法？16. 盤子里一共有20 顆花生，小悅和冬冬一起吃，每人一口吃2 顆，兩個(gè)人一起把花生吃完（每人至少吃一口），他們分別可能吃了多少顆花生？17. 如圖 4-5，有 7 個(gè)按鍵，上面分別寫著：

13、1、 2、3、 4、 5、6、 7 這七個(gè)數(shù)字。請(qǐng)問：（ 1）從中選出2 個(gè)按鍵，使它們上面數(shù)字的差等于2，一共有多少種選法？（ 2）從中選出2 個(gè)按鍵，使它們上面數(shù)字的和大于9，一共有多少種選法？18. 小王有 5 個(gè)相同的飛機(jī)模型，他要把它們放在一個(gè)3 層的貨架上，每層至少要放1 個(gè)。小王一共有多少種不同的放法？過了幾天，他又要把18 個(gè)相同的汽車模型放到另一個(gè)3 層貨架上，每層最少要放5 個(gè)，這時(shí)有多少種不同的放法？19. （ 1）小明買回了一袋糖豆，他數(shù)了一下，一共有10 個(gè)。現(xiàn)在他要把這些糖豆分成3 堆，一共有多少種不同的分法？（ 2）如果小明有兩袋糖豆，每袋10 個(gè)。要把這兩袋糖豆

14、分成3 堆，每堆最少要有5 個(gè)，一共有多少種不同的分法？20. A 、 B 、C、 D、 E 這五個(gè)人一起回答一道題目，結(jié)果只有兩個(gè)人答對(duì)了。所有可能的回答情況一共有多少種？21.(1) 有 2 個(gè)相同的白球和1 個(gè)紅球。如果把這3 個(gè)小球排成一排，有多少種不同的排法？（ 2）有 2 個(gè)相同的白球和3 個(gè)相同的紅球，把這5 個(gè)小球排成一排，有多少種不同的排法？22. 班主任要從甲、乙、丙、丁、戊這五個(gè)小朋友里面選出四個(gè)人參加乒乓球賽，有多少種不同的選法？如果已尼選出甲、乙、丙、丁，現(xiàn)在要把他們分成兩組，進(jìn)行雙打比賽，有多少種不同的分法？6枚舉法二內(nèi)容概述 :鞏固字典排列的方法；使用樹形圖的方法

15、解決更復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題；熟練掌握分類枚舉的方法。教學(xué)一對(duì)一：1. 有一些三位數(shù)的各位數(shù)字都不是0，且各位數(shù)字之和為 6，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？2. 湯姆、杰瑞和得魯比都有蛀牙，他們一起去牙醫(yī)診所看病，醫(yī)生發(fā)現(xiàn)他們一共有 8 顆蛀牙，他們?nèi)丝赡芊謩e有幾顆蛀牙？3. 老師讓小明寫出 3 個(gè)非零的自然數(shù)， 且 3 個(gè)數(shù)的和是 9，如果數(shù)相同、 順序不算同一種寫法， 例如 1+2+6 、2+1+6 還有 6+1+2 都算是同一種寫法。請(qǐng)問：小明共有多少種不同的寫法？4. 生物老師讓大家觀察螞蟻的習(xí)性。第二天小悅在小區(qū)的廣場(chǎng)上發(fā)現(xiàn)了12 只黑螞蟻， 這 12 只螞蟻恰好湊成了 3 堆，每堆至少有2 只

16、。請(qǐng)問：這3 堆螞蟻可能各有幾只？5. 一個(gè)三位數(shù)，每一位上的數(shù)字都是 1、2、3 中的某一個(gè)，并且相鄰的兩個(gè)數(shù)字相同，一共有多少個(gè)滿足條件的三位數(shù)？6. 如圖 12-1，一只小螞蟻要從一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)A 出發(fā)，沿著這個(gè)正四面體的棱依次走遍4 個(gè)頂點(diǎn)再回到頂點(diǎn) A 。請(qǐng)問：這只小螞蟻一共有多少種不同的走法？7. 5 塊六邊形的地毯拼成了圖12-2 中的形狀，每塊地毯上都有一個(gè)編號(hào)?，F(xiàn)在阿奇站在1 號(hào)地毯上，他想要走到 5 號(hào)地毯上，如果阿奇每次都只能走到和他相鄰的地毯上（兩個(gè)六邊形如果有公共邊就稱為相鄰），并且只能向右邊走，例如12 3 5 就是一種可能的走法。請(qǐng)問：阿奇一共有多少種不同的走

17、法？78. 在圖 12-3 中，一共能找出多少個(gè)長(zhǎng)方形（包括正方形）？9. 如果只能用 1 元、2 元、5 元的紙幣付款， 那么要買價(jià)格是 13 元的東西，一共有多少種不同的付款辦法？（不考慮找錢的情況）10. 有一類小于 1000 的自然數(shù)，每個(gè)數(shù)由若干個(gè) 1 和若干個(gè) 2 組成，并且在每個(gè)數(shù)中， 1 的個(gè)數(shù)比 2 的個(gè)數(shù)多，這樣的數(shù)一共有多少個(gè)？11. 小悅、冬冬、阿奇三個(gè)人去游樂園玩，三人在藏寶屋中發(fā)現(xiàn)了5 件寶物，這三個(gè)人可能分別找到了幾件寶物？12. 小悅、冬冬和阿奇三個(gè)人一起吃完了一盤薯?xiàng)l，這盤薯?xiàng)l總共有20 根，并且每個(gè)人吃的薯?xiàng)l都比5 根多。請(qǐng)問：每個(gè)人可能吃了幾根薯?xiàng)l？13.

18、 老師要求每個(gè)同學(xué)寫出 3 個(gè)自然數(shù)，并且要求這 3 個(gè)數(shù)的和是 8。如果兩個(gè)同學(xué)寫出的的 3 個(gè)自然數(shù)相同，只是順序不一樣，就算是同一種寫法。試問：同學(xué)們最多能給出多少種不同的寫法？14. 費(fèi)叔叔準(zhǔn)備去打羽毛球，他拿了 3 個(gè)一模一樣的球桶，每個(gè)球桶最多能裝 8 個(gè)羽毛球，他數(shù)了一下，發(fā)現(xiàn) 3 個(gè)球桶里面一共有 16 個(gè)羽毛球。請(qǐng)問： 3 個(gè)球桶里面有可能分別有幾個(gè)羽毛球？15. 商店里有12 種不同的簽字筆，價(jià)格分別是1， 2， 3， 4， 11， 12 元。小悅準(zhǔn)備買3 支不同價(jià)格的簽字筆，并且希望恰好花掉15 元。請(qǐng)問：小悅一共有多少種不同的買法？16. 費(fèi)叔叔提著一個(gè)帶密碼鎖的公文包

19、，但是他忘記了密碼，只記得密碼是一個(gè)三位數(shù)。這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)比十位數(shù)字大，十位數(shù)字比百位數(shù)字大，并且沒有比5 大的數(shù)字。請(qǐng)問：費(fèi)叔叔最多只需要試多少次8就肯定能打開這個(gè)公文包？17. 常昊與古力兩人進(jìn)行圍棋賽，誰先勝三局誰就會(huì)取得比賽的勝利。如果最后常昊獲勝了，那么比賽的進(jìn)程有多少種可能？18. 從圖 12-4 的左下角的 A 點(diǎn)走到右上角的 B 點(diǎn)，如果要求只能向上或者向右走，一共有多少種不同的走法？如果要求只要不走重復(fù)的路線就可以，那么從A 點(diǎn)走到 B 點(diǎn)一共有多少種不同的走法？19. 媽媽買來了 7 個(gè)雞蛋，每天至少吃 2 個(gè)，吃完為止，如果天數(shù)不限，可能的吃法一共有多少種？20. 老

20、師拿來三塊木板，上面分別寫著數(shù)字1、 2、 3。小悅可以用這些木板拼出多少個(gè)不販數(shù)？21. 午餐的時(shí)候，食堂給同學(xué)們準(zhǔn)備了蘋果、香蕉和桔子這三種水果，每種都有很多個(gè)，冬冬想要挑3 個(gè)水果吃。請(qǐng)問：冬冬一共有多少種選擇？22. (1) 如圖 12-5（ a），方格紙的黑點(diǎn)位置上有一只小螞蟻，它沿著方格紙上的橫線和豎線爬行，方格紙上每一小段的長(zhǎng)度都是1 厘米。試問：小螞蟻爬了2 厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在圖上標(biāo)出來。（ 2）如圖12-5（ b），方格紙上每一小段的長(zhǎng)度也是1 厘米，黑點(diǎn)的位置上有一只小螞蟻，如果它爬了3厘米之后，恰好在黑線上。請(qǐng)問：這只小螞蟻爬行的路線一共有多少種不同

21、的可能？加法原理與乘法原理內(nèi)容概述 :9理解加法原理和乘法原理， 體會(huì)分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)的區(qū)別； 能夠根據(jù)題目條件， 對(duì)問題進(jìn)行合理的分類與分步；學(xué)習(xí)用標(biāo)數(shù)法解決各類路徑問題教學(xué)一對(duì)一：1阿奇去吃午飯，發(fā)現(xiàn)附近的中餐廳有9 個(gè)，西餐廳有3 個(gè)，日式餐廳有2 個(gè)他準(zhǔn)備找一家餐廳吃飯，一共有多少種不同的選擇?2阿奇進(jìn)人一家中餐廳后，發(fā)現(xiàn)主食有3 種，熱菜有20 種他打算主食和熱菜各買1 種，一共有多少種不同的買法 ?3老師要求冬冬在黑板上寫出一個(gè)減法算式，而且被減數(shù)必須是兩位數(shù)，減數(shù)必須是一位數(shù)，冬冬共有多少種不同的寫法 ?4傳說地球上有7 顆不同的龍珠， 如果找齊這7 顆龍珠， 并且按照特定順序

22、排成一行就會(huì)有神龍出現(xiàn)邪惡的沙魯找到了這 7 顆龍珠，但是他不知道排列的特定順序請(qǐng)問：運(yùn)氣不好的沙魯最壞要試幾次才能遇見神龍 ?5用紅、黃、藍(lán)三種顏色給圖15-1 的三個(gè)圓圈染色，一個(gè)圓圈只能染一種顏色，并且相連的兩個(gè)圓圈不能同色，一共有多少種不同的染色方法?6在圖 15 2 中，從“北”字開始，每次向下移動(dòng)到一個(gè)相鄰的字可以讀出“北京奧運(yùn)會(huì)”那么一共有多少種不同的讀法？7運(yùn)動(dòng)會(huì)中有四個(gè)跑步比賽項(xiàng)目，分別為 50 米、 100 米、 200 米、 400 米，規(guī)定每個(gè)參賽者只能參加其中的一項(xiàng)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加這四個(gè)項(xiàng)目，請(qǐng)問：(1)如果每名同學(xué)都可以任意報(bào)這四個(gè)項(xiàng)目，一共有多少種報(bào)

23、名方法?(2)如果這四名同學(xué)所報(bào)的項(xiàng)目各不相同，一共有多少種報(bào)名方法?8冬冬的書包里有5 本不同的語(yǔ)文書、6 本不同的數(shù)學(xué)書、3 本不同的英語(yǔ)書請(qǐng)問：(1)如果從中任取1 本書，共有多少種不同的取法?(2)如果從中取出語(yǔ)文書、數(shù)學(xué)書、英語(yǔ)書各1 本，共有多少種不同的取法?9如圖 15-3，甲、乙兩地之間有4 條路，乙、丙兩地之間有2 條路，甲、丙兩地之間有3 條路，那么從甲地去丙地一共有多少條不同的路線?1010圖 15-4 中有一個(gè)從 A 到 B 的公路網(wǎng)絡(luò)，一輛汽車從A 行駛到 B，可以選擇的最短路線一共有多少條?11阿奇一家人外出旅游，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以坐飛機(jī)經(jīng)過網(wǎng)上查詢，

24、出發(fā)的那一天中火車有 4 班，汽車有3 班，飛機(jī)有2 班他們乘坐這些交通工具，一共可以有多少種不同的選擇?12“ IMO ”是“國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克”的縮寫，要求把這三個(gè)字母涂上三種不同的顏色，且每個(gè)字母只能涂一種顏色現(xiàn)有五種不同顏色的筆，按上述要求能有多少種不同顏色搭配的“IMO ”?13書架上有三層書，第一層放了15 本小說，第二層放了10 本漫畫，第三層放了5 本科普書，并且這些書各不相同請(qǐng)問：(1)如果從所有的書中任取1 本，共有多少種不同的取法?(2)如果從每一層中各取l 本，共有多少種不同的取法?(3)如果從中取出2 本不同類別的書，共有多少種不同的取法?14如圖 15-5 ，從甲地到

25、乙地有3 條路，從乙地到丙地有3 條路，從甲地到丁地有2 條路，從丁地到丙地有 4 條路如果要求所走路線不能重復(fù)，那么從甲地到丙地共有多少條不同的路線?15如圖 15-6，四張卡片上寫有數(shù)字2、4、7、8從中任取三張卡片，排成一行， 就可以組成一個(gè)三位數(shù)請(qǐng)問：一共可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?其中有多少個(gè)不同的三位奇數(shù)?16奧運(yùn)場(chǎng)館實(shí)行垃圾分類處理每個(gè)地方放置五個(gè)垃圾桶，從左向右依次標(biāo)明：電池、塑料、廢紙、易拉罐、不可再造，如圖 15-7. 現(xiàn)在準(zhǔn)備把五個(gè)垃圾桶染成紅、綠、藍(lán)這 3 種顏色之一，要求相鄰兩個(gè)垃圾筒顏色不同，且回收廢紙的垃圾桶不能染成紅色，一共有多少種染色方法？17如圖 15-8

26、，把 A 、B 、C、D、E 這五部分用4 種不同的顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色請(qǐng)問：這幅圖共有多少種不同的染色方法?1118如圖 15-9，用紅、藍(lán)兩種顏色來給圖中的小圓圈染色，每個(gè)小圓圈只能染一種顏色請(qǐng)問：(1)如果每個(gè)小圓圈可以隨意染色，一共有多少種不同的染法?(2)如果要求關(guān)于中間那條豎線左右對(duì)稱，一共有多少種不同的染法?19甲、乙、丙、丁、戊五人要駕駛A 、 B、 C、D 、E 這五輛不同型號(hào)的汽車會(huì)駕駛汽車A 的只有甲和乙，汽車 E 必須由甲、乙、丙三人中的某一人駕駛，則一共有多少種不同的安排方案?20如圖 15-10， 4 枚相同的棋子

27、放人4 4 的方格內(nèi)，每個(gè)方格只能放1 枚，且要求每行每列最多只能放1 枚，一共有多少種不同的放法?21圖 15-11 是一個(gè)階梯形方格表，在方格中放入5 枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1 枚棋子，這樣的放法共有多少種?22如圖 15-12 和圖 15-13，螞蟻在線段上爬行，只能按照箭頭的方向行走，請(qǐng)問：(1)按圖 15-12 所示，從A 點(diǎn)走到 B 點(diǎn)的不同路線有多少條?(2)按圖 15-13 所示，從A 點(diǎn)走到 B 點(diǎn)的不同路線有多少條?排列組合12內(nèi)容概述 :了解排列、組合公式的來由及含義，掌握具體的計(jì)算方法；辨析排列、組合之間酌區(qū)別與聯(lián)系，并能夠合理應(yīng)用教學(xué)一對(duì)一：1. 計(jì)算：

28、(1)P 2(2)P 4(3)3 P 3P 3410362費(fèi)叔叔、小悅、冬冬和阿奇四個(gè)人站成一排照相，一共有多少種不同的排列方法?3體育課上，老師從10 名男生中挑出4 人站成一排，共有多少種不同的排列方法?4費(fèi)叔叔、小悅、冬冬、阿奇四個(gè)人一塊乘公共汽車去公園，上車后發(fā)現(xiàn)有 8 個(gè)空座位，他們一共有多少種不同的坐法 ?5用 1 至 7 這 7 個(gè)數(shù)字一共能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?如果把這些三位數(shù)從小到大排起來，312是其中第幾個(gè)?6.計(jì)算： (1)C52(2) C74(2) P63C637圖 21-1 中有六個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上請(qǐng)問：(1)以這些點(diǎn)為端點(diǎn)，一共可以連出多少條

29、線段?(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，一共可以連出多少個(gè)三角形?8費(fèi)叔叔把 10 張不同的游戲卡片分給冬冬和阿奇，并且決定給冬冬 8 張，給阿奇 2 張一共有多少種不同的分法 ?9小悅要從八門課程中選學(xué)三門，一共有多少種選法?如果數(shù)學(xué)課與鋼琴課時(shí)間沖突，不能同時(shí)學(xué)，她一共有多少種選法?1310象棋興趣小組一共有 9 名同學(xué)，請(qǐng)問：(1)如果從中選3名同學(xué)在第二天的早上、中午、晚上分別做值日，共有多少種選法?(2)如果從中選3名同學(xué)去參加一次全市比賽，共有多少種選法?11. 計(jì)算： (1)P52(2) P73(3) P64P6212如圖 21-2 所示，有 5 面不同顏色的小旗， 任取 3 面排成一行表示

30、一種信號(hào)，用這 5 面小旗一共可以表示出多少種不同的信號(hào) ?13 3 名同學(xué)一塊去圖書館借科幻小說，發(fā)現(xiàn)書架上只剩下9 本，且各不相同如果每人只借1 本，那么共有多少種不同的借法?14用1、 2、 3、 4、 5 這五個(gè)數(shù)碼可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?將這些四位數(shù)從小到大排列起來， 4125 是第幾個(gè) ?15. 計(jì)算： (1)C93(2) C1032 C102(3)C54， C51(4) C107， C10316如圖 21-3 所示，從端點(diǎn) O 出發(fā)的射線共有7 條，圖中一共有多少個(gè)銳角 ?17如圖 21-4 所示，在一個(gè)圓周上有8 個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)或端點(diǎn)，一共可以畫出多少條線段?

31、多少個(gè)三角形 ?多少個(gè)四邊形 ?18 9 支球隊(duì)進(jìn)行足球比賽，實(shí)行單循環(huán)制，即每?jī)申?duì)之間只比賽一場(chǎng)每場(chǎng)比賽后勝方得3 分，平局雙方各得 1 分，負(fù)方不得分請(qǐng)問：一共要舉行多少場(chǎng)比賽?9 支隊(duì)伍的得分總和最多為多少?1419學(xué)校十佳歌手大賽的10 名獲獎(jiǎng)選手中，每3 人都要照一張合影問：需要拍多少?gòu)堈掌?20在新學(xué)期的班會(huì)上，大家要從11 名候選人中選出班干部請(qǐng)問：(1)選出三人組成班委會(huì)，那一共有多少種選法?(2)從剩下的候選人中，選出三人分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的課代表，一共有多少種選法?21費(fèi)叔叔帶著小悅、冬冬、阿奇去參加一次聚會(huì)，主持人要求每個(gè)人從12 個(gè)顏色不同的彩球中領(lǐng)取一個(gè)請(qǐng)問：(

32、1)小悅是第一個(gè)取球的人，她一共選出了4 個(gè)球，準(zhǔn)備回頭分給大家，那一共有多少種選法?(2)小悅回到座位后，把這4 個(gè)球分給大家，一共有多少種分法?(3)最后他們四人手中拿到的球一共有多少種可能?22周末大掃除，老師要從第一組的10 名男生和10 名女生中選出5 人留下打掃衛(wèi)生請(qǐng)問：(1)如果老師隨意選擇，一共有多少種選擇方法?(2)如果老師決定選出2 名男生和 3 名女生，一共有多少種選擇方法?計(jì)數(shù)綜合一內(nèi)容概述 :鞏固以前學(xué)過的各種方法， 綜合運(yùn)用分類與分步思想、 排列與組合公式及枚舉法來解決較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題；學(xué)會(huì)使用排陣法、捆綁法、插空法解決排隊(duì)問題教學(xué)一對(duì)一：1現(xiàn)有面值 1 元的鈔票

33、3 張，面值 5 元的鈔票 1 張，面值 10 元的鈔票 2 張如果從中取出一些鈔票 (至少取 1 張 )，可能湊出多少種不同的總錢數(shù) ?2一本書從第1 頁(yè)開始編排頁(yè)碼，到最后一頁(yè)結(jié)束時(shí)共用了1983 個(gè)數(shù)碼這本書共有多少頁(yè)?3費(fèi)叔叔帶著小悅、冬冬、阿奇一起到圓明園游玩他們四人站成一排照相，其中費(fèi)叔叔要站在最左邊或者最右邊，一共有多少種不同的站法?4有 13 個(gè)球隊(duì)參加籃球比賽比賽分兩個(gè)組，第一組7 個(gè)隊(duì)，第二組6 個(gè)隊(duì)各組內(nèi)先進(jìn)行單循環(huán)賽(即15每隊(duì)都要與本組中其他各隊(duì)比賽一場(chǎng) )，然后由兩組的第 1 名再比賽一場(chǎng)決定冠亞軍 請(qǐng)問：一共需要比賽多少場(chǎng) ?5從 5 瓶不同的純凈水， 2 瓶不同

34、的可樂和 6 瓶不同的果汁中，拿出 2 瓶不同類型的飲料，共有多少種不同的選法 ?6從 4 臺(tái)不同型號(hào)的等離子電視和5 臺(tái)不同型號(hào)的液晶電視中任意取出3 臺(tái)，其中等離子電視與液晶電視至少要各有1 臺(tái)，共有多少種不同的取法?7從 1 至 9 中取出 7 個(gè)不同的數(shù)，要求它們的和是36，共有多少種不同的取法?8用 0、 1、 2、 3、4 這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?9用兩個(gè)1、一個(gè) 2、一個(gè) 3、一個(gè) 4 可以組成多少個(gè)不同的五位數(shù)?10在所有不超過1000 的自然數(shù)中，數(shù)字9 一共出現(xiàn)了多少次?11把自然數(shù)1 至 2008 依次寫成一排，得到一個(gè)多位數(shù)0620072008 請(qǐng)

35、問：(1)這個(gè)多位數(shù)一共有多少位?(2)從左向右數(shù)，這個(gè)多位數(shù)的第2008 個(gè)數(shù)字是多少 ?12商場(chǎng)里舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)大箱子里放著9 個(gè)球其中紅色的、黃色的和綠色的球各有3 個(gè)，而且每種顏色的球都分別標(biāo)有 1、2、3 號(hào)顧客從箱子里摸出 3 個(gè)球，如果 3 個(gè)球的顏色全相同或者各不相同，就可以中獎(jiǎng)已知這兩種中獎(jiǎng)方式分別被設(shè)定為一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，并且一等獎(jiǎng)比二等獎(jiǎng)少問：到底哪種中獎(jiǎng)方式是一等獎(jiǎng)，哪種是二等獎(jiǎng)呢?13工廠某日生產(chǎn)的10 件產(chǎn)品中有2 件次品，從這10 件產(chǎn)品中任意抽出3 件進(jìn)行檢查，問：(1)一共有多少種不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少種?(3)抽出

36、的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少種?14如圖 22-1，在半圓弧及其直徑上共有9 個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可畫出多少個(gè)三角形?1615 6 名學(xué)生和 4 名老師分成紅、藍(lán)兩隊(duì)拔河，要求每個(gè)隊(duì)都是 3 名學(xué)生和 2 名老師，一共有多少種分隊(duì)的方法 ?16 10 個(gè)人圍成一圈，從中選出3 個(gè)人要求這3 個(gè)人中恰有2 人相鄰，一共有多少種不同選法?17用 0、1、 2、 3、 4、 5 這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?其中偶數(shù)有多少個(gè)?18用 l 、 2、 3、 4 這四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?這些三位數(shù)的和是多少?19用兩個(gè)1、兩個(gè) 2、兩個(gè) 3 可以組成多少個(gè)

37、不同的六位數(shù)?20 5 名同學(xué)站成一排，在下列不同的要求下，請(qǐng)分別求出有多少種站法：(1)5 個(gè)人站成一排；(2)5 個(gè)人站成一排，小強(qiáng)必須站在中間；(3)5 個(gè)人站成一排，小強(qiáng)、大強(qiáng)必須有一人站在中間；(4)5 個(gè)人站成一排，小強(qiáng)、大強(qiáng)必須站在兩邊；(5)5 個(gè)人站成一排，小強(qiáng)、大強(qiáng)都沒有站在邊上21 6 名小朋友A、 B、 C、 D、 E、 F 站成一排若A ， B 兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法?若 A 、B 兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法?22學(xué)校乒乓球隊(duì)一共有4 名男生和3 名女生某次比賽后他們站成一排照相，請(qǐng)問：(1)如果要求男生不能相鄰，一共有多少種不同的站法?(2)

38、如果要求女生都站在一起，一共有多少種不同的站法?包含與排除內(nèi)容概述 :有重疊部分的若干對(duì)象的計(jì)數(shù)問題能利用文氏圖進(jìn)行輔助分析，弄清文氏圖中每部分的含義；結(jié)合文氏圖理解兩個(gè)對(duì)象和三個(gè)對(duì)象的容斥原理； 靈活處理具有一些不確定性的計(jì)數(shù)問題， 以及其他形式的重復(fù)計(jì)數(shù)問題教學(xué)一對(duì)一：171暑假里， 小悅和冬冬一起討論“金陵十八景 ”他們發(fā)現(xiàn)十八景中的每一處都有人去過，而且有五處是兩人都去過的如果小悅?cè)ミ^其中的卜二景，那么冬冬去過其中的幾景？2在一群小朋友中，有 12 人看過動(dòng)畫片黑貓警長(zhǎng) ，有 21 人看過動(dòng)畫片大鬧天宮 ，并且有 8 人兩部動(dòng)畫片都看過請(qǐng)問：至少看過其中一部的小朋友有多少人？3五年級(jí)一

39、班45 個(gè)學(xué)生參加期末考試，成績(jī)公布后，數(shù)學(xué)得滿分的有10 人，數(shù)學(xué)及語(yǔ)文均得滿分的有3人，這兩科都沒有得滿分的有29 人請(qǐng)問：語(yǔ)文成績(jī)得滿分的有多少人？4某餐館有 27 道招牌菜 小悅吃過其中的 13 道，冬冬吃過其中的 7 道，而且有 2 道菜是兩人都吃過的 請(qǐng)問：有多少道招牌菜是兩人都沒有吃過的？5如圖 4-I，已知甲、乙、丙三個(gè)圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6、8、 5，同時(shí)被這三個(gè)圓覆蓋的部分的面積為2請(qǐng)問：(1) 只被甲或乙覆蓋，卻不被丙覆蓋的部分的面積是多少？(2) 只被這 3 個(gè)圓中某一個(gè)圓覆蓋的部分的面積是多少？6在一個(gè)由 30 人組成的合唱隊(duì)中

40、，每個(gè)人都愛喝紅茶、綠茶、花茶中的一種或者幾種，其中有10 個(gè)人愛喝紅茶， 12 個(gè)人不愛喝紅茶卻愛喝綠茶，請(qǐng)問：只愛喝花茶的有多少人？7光明小學(xué)五年級(jí)課外活動(dòng)有體育、音樂、書法三個(gè)小組，參加的人數(shù)分別是54 人、 46 人、 36 人同時(shí)參加體育小組和音樂小組的有4 人，同時(shí)參加體育小組和書法小組的有7 人，同時(shí)參加音樂小組和書法小組的有10 人，三組都參加的有2 人光明小學(xué)五年級(jí)參加課外活動(dòng)的一共有多少人？8衛(wèi)生部對(duì)120 種食物是否含有維生素A 、C、 E 進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：含維生素A 的有 62 種，含維生素 C 的有 90 種，含維生素 E 的有 68 種，同時(shí)含維生素 A 和 C

41、 的有 48 種，同時(shí)含維生素 A 和 E 的有 36 種，同時(shí)含維生素 C 和 E 的有 50 種，同時(shí)含這三種維生素的有 25 種請(qǐng)問：(1) 這三種維生素都不含的食物有多少種？(2) 僅含維生素 A 的食物有多少種？9操場(chǎng)上有50 名同學(xué)在跑步或跳繩，其中女生有18 名，跳繩的同學(xué)有31 名，跑步的男生有14 名跳繩的女生有多少名？10學(xué)校舉行棋類比賽，分為象棋、圍棋和軍棋三項(xiàng)，每人最多參加其中兩項(xiàng)根據(jù)報(bào)名的人數(shù)，學(xué)校決定對(duì)象棋的前 9 名、圍棋的前 10 名和軍棋的前 11 名發(fā)放獎(jiǎng)品請(qǐng)問：最少有幾人獲得獎(jiǎng)品？1811在一個(gè)辦公室中，有 7 個(gè)人愛喝茶， 10 個(gè)人愛喝咖啡， 3 個(gè)人

42、既愛喝茶又愛喝咖啡，如果每個(gè)人都至少愛喝茶或咖啡中的一種，那么這個(gè)辦公室里共有多少人？12五年級(jí)二班有 40 名同學(xué)，其中有 25:人沒參加數(shù)學(xué)小組，有 18 人參加航模小組，有 10 人兩個(gè)小組都參加那么只參加了這兩個(gè)小組之一的學(xué)生共有多少人？13在 1 至 100 這 100 個(gè)自然數(shù)中，既不能被2 整除也不能被3 整除的數(shù)有多少個(gè)？14漁鄉(xiāng)小學(xué)舉行長(zhǎng)跑和游泳比賽，共305 人參加參加長(zhǎng)跑比賽的有150 名男生和90 名女生，參加游泳比賽的有 120 名男生和 70 名女生，有 110 名男生兩項(xiàng)比賽都參加了，請(qǐng)問：只參加游泳比賽而沒有參加長(zhǎng)跑比賽的女生有多少人？15森林里住著一群小白兔，

43、每只小白兔都愛吃蘿卜、白菜和青草中的一種或者幾種愛吃蘿卜的小白兔中有 12 只不愛吃白菜；愛吃白菜的小白兔中有23 只不愛吃青草；愛吃青草的小白兔中有34 只不愛吃蘿卜如果三種食物都愛吃的小白兔有5 只，那么這群小白兔一共有多少只？16三位基金經(jīng)理投資若干只股票張經(jīng)理買過其中66 只，王經(jīng)理買過其中40 只，李經(jīng)理買過其中23只張經(jīng)理和王經(jīng)理都買過的有17 只，王經(jīng)理和李經(jīng)理都買過的有13 只，李經(jīng)理和張經(jīng)理都買過的有9只，三個(gè)人都買過的有6 只請(qǐng)問：這三位經(jīng)理一共買過多少只股票？17唐僧西天取經(jīng)共經(jīng)歷了81 難，其中單獨(dú)渡過了3 難，與孫悟空一起渡過了77 難，與豬八戒一起渡過了 65 難，

44、與沙和尚一起渡過了62 難，同時(shí)與孫悟空和豬八戒一起渡過了64 難，同時(shí)與孫悟空和沙和尚一起渡過了61 難，同時(shí)與豬八戒和沙和尚一起渡過了60 難請(qǐng)問：師徒四人共同渡過的有多少難？18培英學(xué)校有學(xué)生 1000 人，其中有 500 人訂閱了中國(guó)少年報(bào) ，有 350 人訂閱了少年文藝 ，有 250 人訂閱了數(shù)學(xué)報(bào) ，至少訂閱兩種報(bào)刊的有 400 人，訂閱了三種報(bào)刊的有 100 人請(qǐng)問：培英學(xué)校有多少人沒有訂報(bào)？19五年級(jí)一班有 46 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、文藝三項(xiàng)課外小組其中有24 人參加了數(shù)學(xué)小組， 20人參加了語(yǔ)文小組，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有10人參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組又參加文藝小組人數(shù)的 3.5 倍，還是三項(xiàng)小組都參加的人數(shù)的7 倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)等于三項(xiàng)小組都參加的人數(shù)的2 倍求參加文藝小組的人數(shù)20圖書室有100 本書，借閱圖書者需在圖書上簽名已知這100 本書中有甲、乙、丙三人簽名的分別有33 本、 44 本和 55 本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書為29 本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25 本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36 本，問：這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過