二階非齊次方程的解法

1、02 qprr),(0為常數(shù)為常數(shù)qpqyypy 復習復習 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復根復根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 0)()( yxqyxpy2211yCyCy 通通解解為為：)()()(xfyxqyxpy *2211yyCyCy 通通解解為為：)(xfqyypy 對應齊次方程對應齊次方程, 0 qyypy通解結構通解結構*,*2211yyCyCyyYy 即即f(x)常見類型常見類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(x

2、exPxm 難點難點：如何求特解如何求特解y*？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法02 qprr(P,q為常數(shù)為常數(shù))設非齊方程特解為設非齊方程特解為xexQy )(* 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設設是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可設可設;)(*xmexQy ;)(*xmexxQy )()(xPexfmx 一、一、 型型是特征方程

3、的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可設設綜上討論：非齊次方程綜上討論：非齊次方程,)(*xQexymxk 是是特特征征重重根根是是特特征征單單根根不不是是特特征征根根 2,10k.)(*2xmexQxy qyypy)(xPemx 的通解的通解y*可以設為：可以設為：特別地特別地xAeqyypy xkeBxy *B是待定常數(shù)是待定常數(shù)特別地特別地)(xPqyypym )(*xQxymk 0020, 0,01000qppqqk即即是重根是重根即即是單根是單根即即不是根不是根（A是常數(shù)）是常數(shù)） 是是特特征征重重根根是是特特征征單單根根不

4、不是是特特征征根根 2,10k02 qprr.22的一個特解的一個特解求方程求方程xyyy 解解特征方程特征方程, 0122 rr，121 rr是特征根，是特征根，不不這里這里0,)(02 xexxf,*2CBxAxy 設設代入方程代入方程, 得得22)22()4(xCBAxBAAx 022041CBABAA. 64*2 xxy于是于是例例1 1 641CBA.32的的一一個個特特解解求求方方程程xeyyy 解解特征方程特征方程, 0322 rr，3, 121 rr是是特特征征單單根根，而而這這里里1, 1,)( xexf,*xBxey 設設將將y*代入原方程代入原方程, 得得xxxxxxeB

5、xeBxeBeBxeBe 3222xxeBe 4.41*xxey 于是于是例例2 2.41 B,*xxBxeBey ,2*xxBxeBey 0 xe型型二二、sincos)(xBxAexfx ,sincos*xDxCexyxk 設設,10 是特征根是特征根不是特征根不是特征根 iikC,D是待定常數(shù)是待定常數(shù).A,B,是常數(shù)是常數(shù)以上的推導過程省略以上的推導過程省略,只要求我們會用它只要求我們會用它.)(xfqyypy 的特解的特解y*可設為：可設為：.2cos3的一個特解的一個特解求方程求方程xeyyyx 解解特征方程為特征方程為, 0132 rr.有實根有實根,21不不是是特特征征根根ii

6、 ),2sin2cos(*xDxCeyx 故故設設xexCDxCDexx2cos2sin)10(2cos)10( 010110CDCD所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為)2sin101102cos1011(*xxeyx 例例3 3這里這里)2sin02(cos)(xxexfx 2, 1 代代入入原原方方程程，得得將將*,*, yyy10110,1011 DC.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解特征方程特征方程, 012 r,是是特特征征單單根根ii ),sincos(*xDxCxy 故故代入原方程代入原方程,sincos2sin2xxDxC 0,21 DC所求非齊方程特解為所求非齊

7、方程特解為,cos21*xxy 原方程通解為原方程通解為.cos21sincos21xxxCxCy 例例4 4,02, 1ir 對應齊次方程的通解對應齊次方程的通解,sincos21xCxCY 1, 0),sin4cos0()(0 xxexfx這里這里.sin6424的通解的通解求方程求方程xxyy 解解xxfxxfxfxfxfsin6)(, 42)(),()()(2121 特征方程特征方程,042 r,*)(411BAxyxfyy 的特解可設為的特解可設為*21yyy .*yYy 原原方方程程的的通通解解為為：例例5 5,202 , 1ir ,2sin2cos21xCxCY ,sincos*

8、)(422xDxCyxfyy 的特解可設為的特解可設為請設出下列方程的一個特解：請設出下列方程的一個特解：3445. 12 xyyy23. 2 xyyxexyy29. 4 xeyyy 2. 3xeyyyx2sin52. 5 )sin4(cos32. 64xxeyyyx CBxAxy 2*. 1)(*. 2BAxxy xeBxy2*. 3 xeCBxAxy)(*. 42 )2sin2cos(*. 5xDxCxeyx )sincos(*. 64xDxCeyx 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程型型)(

9、)()1(xPexfmx 解法解法待定系數(shù)法待定系數(shù)法., )(*xQexymxk 設設 是特征重根是特征重根是特征單根是特征單根不是特征根不是特征根 2,10k三、小結三、小結型型sincos)()2(xBxAexfx ,sincos*xDxCexyxk 設設 .1;0是是特特征征方方程程的的單單根根時時不不是是特特征征方方程程的的根根時時 iik例例6?:.5.,00:5 ,:,.1 .21,4 .316 .32,20:8,30:7 他他被被排排除除在在嫌嫌疑疑犯犯之之外外不不在在現(xiàn)現(xiàn)場場的的證證言言能能否否使使張張某某問問分分鐘鐘案案現(xiàn)現(xiàn)場場步步行行需需”從從張張某某的的辦辦公公室室到到

10、兇兇公公室室打打完完電電話話就就離離開開了了辦辦時時打打了了一一個個電電話話辦辦公公室室上上班班“下下午午張張某某一一直直在在并并有有證證人人說說張張某某聲聲稱稱自自己己是是無無罪罪的的但但某某此此案案的的最最大大嫌嫌疑疑犯犯是是張張小小時時內內始始終終保保持持在在室室溫溫在在幾幾得得尸尸體體溫溫度度為為尸尸體體即即將將被被抬抬走走時時，測測；一一小小時時后后，當當測測得得尸尸體體溫溫度度為為趕趕到到兇兇案案現(xiàn)現(xiàn)場場法法醫(yī)醫(yī)與與晚晚上上被被發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)受受害害者者的的尸尸體體于于晚晚上上CCC0t8:209:201解解人死后體溫調節(jié)功能消失，尸體溫度人死后體溫調節(jié)功能消失，尸體溫度T(t)受外界受

11、外界環(huán)境的影響，服從牛頓冷卻定理環(huán)境的影響，服從牛頓冷卻定理.)1 .21( TkdtdTktaetT 1 .21)(通解為通解為4 .31)1(, 6 .32)0( TTteT11,05 .111 .21 CT37 若若死死者者的的體體溫溫正正常常，為為分分時時小時小時57295. 25 .111 .213711,0 tet 故故死死者者死死亡亡的的時時間間是是.235 572208 分分時時分分時時分分時時 t故張某不能被排除在嫌疑犯之外故張某不能被排除在嫌疑犯之外.基本概念基本概念一階方程一階方程 類類 型型1.1.直接積分法直接積分法2.2.可分離變量可分離變量3.3.齊次方程齊次方程4.4.線性方程線性方程可降階方程可降階方程線性方程線性方程解的結構解的結構定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性方程解的結構方程解的結構二階常系數(shù)線性齊次方程的解f(x)f(x)的形式及的形式及二階常系數(shù)非齊次二階常系數(shù)非齊次線