怎樣建立數(shù)學模型課件

1、怎樣建立數(shù)學模型課件現(xiàn)代數(shù)學：現(xiàn)代數(shù)學： 在理論上更抽象；在理論上更抽象； 在方法上更加綜合；在方法上更加綜合； 在應用上更為廣泛。在應用上更為廣泛。一、一、 現(xiàn)代科技人員應具有的數(shù)學能力現(xiàn)代科技人員應具有的數(shù)學能力* 數(shù)學很重要的一方面在于數(shù)學知識與數(shù)數(shù)學很重要的一方面在于數(shù)學知識與數(shù)學方法的應用學方法的應用. . * *更重要的方面是數(shù)學的思維方式的確立更重要的方面是數(shù)學的思維方式的確立. .21世紀科技人才應具備的數(shù)學素質與能力世紀科技人才應具備的數(shù)學素質與能力 數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力 邏輯推理能力邏輯推理能力數(shù)學建模能力數(shù)學建模能力數(shù)據(jù)處理能力數(shù)據(jù)處理能力空間想象能力空間想象能力抽象

2、思維能力抽象思維能力更新數(shù)學知識能力更新數(shù)學知識能力使用數(shù)學軟件能力使用數(shù)學軟件能力二、建模范例二、建模范例森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小。隊員少，森林損失大，救援費用小。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題問題分析分析問題問題記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函

3、數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小。隊員少，森林損失大，救援費用小。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題問題分析分析問題問題記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始

4、救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 關鍵是對關鍵是對B(t)作出合理的簡化假設作出合理的簡化假設.問題問題分析分析失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t2

5、0tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉而討論森林燒毀轉而討論森林燒毀速度速度dB/dt.模型假設模型假設 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）燒毀單位面積損失費） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度）火勢蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度）速度） 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費用隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3假設假設1）的解釋的解釋 rB火勢以失火點為中心，火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四

6、周呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設假設1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用)()()(21xfxfxC假設假設3）4）xttt112假設假設2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結

7、果解釋結果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)模型模型應用應用c1,c2,c3已知已知, t1可估計可估計, c1, t1, x c3 , x 結果結果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個每個隊員單位時間滅火費隊員單位時間滅火費, c3每個每個隊員一次性費用隊員一次性費用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度. , 可可設置一系列數(shù)值設置一系列數(shù)值由模型決定隊員

8、數(shù)量由模型決定隊員數(shù)量x為了選修課程門數(shù)最少，應學習哪些課程為了選修課程門數(shù)最少，應學習哪些課程 ？ 例例2 選課策略選課策略要求至少選兩門數(shù)學課、三門運籌學課和兩門計算機課要求至少選兩門數(shù)學課、三門運籌學課和兩門計算機課 課號課號課名課名學分學分所屬類別所屬類別先修課要求先修課要求1微積分微積分5數(shù)學數(shù)學 2線性代數(shù)線性代數(shù)4數(shù)學數(shù)學 3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法4數(shù)學；運籌學數(shù)學；運籌學微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結構數(shù)據(jù)結構3數(shù)學；計算機數(shù)學；計算機計算機編程計算機編程5應用統(tǒng)計應用統(tǒng)計4數(shù)學；運籌學數(shù)學；運籌學微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù)6計算機模擬計算機模擬3計算機；運籌學計

9、算機；運籌學計算機編程計算機編程7計算機編程計算機編程2計算機計算機 8預測理論預測理論2運籌學運籌學應用統(tǒng)計應用統(tǒng)計9數(shù)學實驗數(shù)學實驗3運籌學；計算機運籌學；計算機微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù)選修課程最少，且學分盡量多，應學習哪些課程選修課程最少，且學分盡量多，應學習哪些課程 ？ 0-1規(guī)劃模型規(guī)劃模型 決策變量決策變量 目標函數(shù)目標函數(shù) xi=1 選修課號選修課號i 的的課程（課程（xi=0 不選）不選） 91iixZMin選修課程總數(shù)最少選修課程總數(shù)最少 約束條件約束條件最少最少2門數(shù)學課，門數(shù)學課，3門運籌學課，門運籌學課，2門計算機課。門計算機課。 254321xxxxx3986

10、53xxxxx29764xxxx課號課號課名課名所屬類別所屬類別1微積分微積分數(shù)學數(shù)學2線性代數(shù)線性代數(shù)數(shù)學數(shù)學3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法數(shù)學；運籌學數(shù)學；運籌學4數(shù)據(jù)結構數(shù)據(jù)結構數(shù)學；計算機數(shù)學；計算機5應用統(tǒng)計應用統(tǒng)計數(shù)學；運籌學數(shù)學；運籌學6計算機模擬計算機模擬計算機；運籌學計算機；運籌學7計算機編程計算機編程計算機計算機8預測理論預測理論運籌學運籌學9數(shù)學實驗數(shù)學實驗運籌學；計算機運籌學；計算機先修課程要求先修課程要求74xx 02215xxx076 xx058xx02219xxx最優(yōu)解：最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它為其它為0；6門課程，總

11、學分門課程，總學分21 02213xxx0-1規(guī)劃模型規(guī)劃模型 約束條件約束條件x3=1必有必有x1 = x2 =12313,xxxx074 xx模型求解（模型求解（LINGO） 課號課號課名課名先修課要求先修課要求1微積分微積分 2線性代數(shù)線性代數(shù) 3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結構數(shù)據(jù)結構計算機編程計算機編程5應用統(tǒng)計應用統(tǒng)計微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù)6計算機模擬計算機模擬計算機編程計算機編程7計算機編程計算機編程 8預測理論預測理論應用統(tǒng)計應用統(tǒng)計9數(shù)學實驗數(shù)學實驗微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù)學分最多學分最多多目標優(yōu)化的處理方法：化成單目標優(yōu)化。多

12、目標優(yōu)化的處理方法：化成單目標優(yōu)化。兩目標兩目標( (多目標多目標) )規(guī)劃規(guī)劃 987654321322343445xxxxxxxxxWMax,WZMin討論：選修課程最少，學分盡量多，應學習哪些課程？討論：選修課程最少，學分盡量多，應學習哪些課程？ 91iixZMin課程最少課程最少 以以學分最多為目標，不學分最多為目標，不管課程多少。管課程多少。 以課程最少以課程最少為目標，不為目標，不管學分多少。管學分多少。最優(yōu)解如上，最優(yōu)解如上，6門課門課程，總學分程，總學分21 。最優(yōu)解顯然是選修所最優(yōu)解顯然是選修所有有9門課程門課程 。多目標規(guī)劃多目標規(guī)劃 在在課程最少的前提下課程最少的前提下以

13、以學分最多為目標。學分最多為目標。最優(yōu)解：最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它為其它為0；總總學分由學分由21增至增至22。注意：最優(yōu)解不唯一！注意：最優(yōu)解不唯一！課號課號課名課名學分學分1微積分微積分52線性代數(shù)線性代數(shù)43最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法44數(shù)據(jù)結構數(shù)據(jù)結構35應用統(tǒng)計應用統(tǒng)計46計算機模擬計算機模擬37計算機編程計算機編程28預測理論預測理論29數(shù)學實驗數(shù)學實驗3 LINGO無法告訴優(yōu)化無法告訴優(yōu)化問題的解是否唯一。問題的解是否唯一。可將可將x9 =1 易為易為x6 =1增加約束增加約束 ，以學分最多為目標求解。以學分最多為目標求解。691i

14、ix多目標規(guī)劃多目標規(guī)劃 對學分數(shù)和課程數(shù)加權形成一個目標，如三七開。對學分數(shù)和課程數(shù)加權形成一個目標，如三七開。 987654321322343445xxxxxxxxxW91iixZ最優(yōu)解：最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1，其它為其它為0；總學分總學分28。課號課號課名課名學分學分1微積分微積分52線性代數(shù)線性代數(shù)43最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法44數(shù)據(jù)結構數(shù)據(jù)結構35應用統(tǒng)計應用統(tǒng)計46計算機模擬計算機模擬37計算機編程計算機編程28預測理論預測理論29數(shù)學實驗數(shù)學實驗3 WZWZYMin3 . 07 . 021一場筆墨官司（放射性廢物的處

15、理問題）一場筆墨官司（放射性廢物的處理問題） 美國原子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）美國原子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英英尺的海里尺的海里. .他們這種做法安全嗎？他們這種做法安全嗎？ 分析：可從各個角度去分析造成危險的分析：可從各個角度去分析造成危險的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能. . 聯(lián)想：安全聯(lián)想：安全 、危險、危險問題的關鍵問題的關鍵 * *圓桶至多能承受多大的沖撞速度？圓桶至多能承受多大的沖撞速度？( (40英尺英尺

16、/ /秒秒);); * *圓桶和海底碰撞時的速度有多大？圓桶和海底碰撞時的速度有多大？ 新問題：求這一種桶沉入新問題：求這一種桶沉入300英尺的海英尺的海底時的末速度底時的末速度. .（原問題是什么（原問題是什么? ?）可利用的數(shù)據(jù)條件：可利用的數(shù)據(jù)條件： 圓桶的總重量圓桶的總重量 W=527.327（磅）（磅） 圓桶受到的浮力圓桶受到的浮力 B =470.327（磅）（磅） 圓桶下沉時受到的海水阻力圓桶下沉時受到的海水阻力 D=Cv，C= =0.08 可利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位可利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移滿足的微分方程：移滿足的微分方程： )1(22DBWdtydm vdtd

17、yCvDgwm ,其其中中)2(. 0)0(),( VBWWgvWcgdtdv或或方程的解為方程的解為0),1()( teCBWtvtWCg 計算碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰計算碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時間撞時間t0 0 ? ?分析：考慮圓桶的極限速度分析：考慮圓桶的極限速度08. 0327.470436.527)(lim CBWtvt713.86（英尺（英尺/ /秒）秒）40（英尺（英尺/ /秒）秒） 原問題得到解決了嗎原問題得到解決了嗎? ?極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！ 結論：解決問題的方向是正確的結論：解決問題的方向是正確的.解決思路：避開求解決思路：避開求t0的難點的難點 令令 v(t)=v(y(t), 其中其中 y=y(t) 是圓桶下沉深度是圓桶下沉深度. dtdydydvdtdv. 將將代入（代入（1）得）得,.CvBWdtdydydvm .0)0(,0)0(,yvWgdydvCvBWv或或兩邊積分得函數(shù)方程：兩邊積分得函數(shù)方程： ,ln2WgyBWCvBWCBWCv 若能求出函數(shù)若能求出函數(shù)v=v(y), ,就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(.(試一試試一試)* 用數(shù)值方法求出用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為的近似值為 v(300)45.41( (英尺英尺