二階常系數(shù)線性微分方程的解法word版

1、第八章 8.4 講第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)線形微分方程的概念形如ypyqy=f(x)的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程.其中p、q均為實數(shù)，f(x)為已知的連續(xù)函數(shù).如果f(x)三0,則方程式(1)變成ypyqy=o(2)我們把方程(2)叫做二階常系數(shù)齊次線性方程，把方程式(1)叫做二階常系數(shù)非齊次線性方程.本節(jié)我們將討論其解法.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程1 .解的疊加性定理 1 如果函數(shù) y1與 y2是式(2)的兩個解，則 y=C1yl+C2y2也是式(2)的解淇中 C1,C2是任意常數(shù).證明因為 y1與 y2是方程(2)的解,所以有ypy；qy1=0y2py2qy2=0

2、將 y=c1yl+C2y2代入方程(2)的左邊，得(C1yC2y2)p(C1y1C2y2)q(Gy1C2y2)=C1(y1py1qy1)CzMpy?qy?)=0所以 y=ay1+C2y2是方程(2)的解.定理 1 說明齊次線性方程白解具有疊加性.疊加起來的解從形式看含有 C1,C2兩個任意常數(shù)，但它不一定是方程式(2)的通解.2 .線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念設(shè)y1，y2，yn，為定義在區(qū)間 I 內(nèi)的 n 個函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù)ki,k2,，kn,使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有kiyi+k2y2+knyn三0,則稱這 n個函數(shù)在區(qū)間 I 內(nèi)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān).例如1,cos2x,sin2x在實數(shù)范

3、圍內(nèi)是線性相關(guān)的，因為22_1-cosxsinx三02又如l,x,x在任何區(qū)間（a,b）內(nèi)是線性無關(guān)的，因為在該區(qū)間內(nèi)要使2ki，kzx，k?x三0必須ki=k2二卜3二0.對兩個函數(shù)的情形，若=常數(shù)，則 yi,y2線性相關(guān)，若#常數(shù)，則 y2y2yi,y2線性無關(guān).3.二階常系數(shù)齊次微分方程的解法定理 2 如果乂與 y2是方程式（2）的兩個線性無關(guān)的特解，則y=C1yl+C2y2（a,C2為任意常數(shù)）是方程式（2）的通解.例如，y+y=0是二階齊次線性方程，丫=sinx,y2=cosx 是它的兩個解，且幺=tanx#常數(shù)，即 yi,y2線性無關(guān)，所以V2y=C1ylC2y2-CisinxC2

4、cosx（Ci,C2是任意常數(shù)）是方程 y*+y=0的通解.由于指數(shù)函數(shù)y=6（為常數(shù)）和它的各階導(dǎo)數(shù)都只差一個常數(shù)因子，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的這個特點，我們用y=e”來試著看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù)r,使y=erx滿足方程（2）.將 y=e求導(dǎo)，得.rx.2rxy二re,y二re把y,y,y”代入方程（2），得因為erx00,所以只有r2十pr+q=0只要r滿足方程式（3）,y=erx就是方程式（2）的解.我們把方程式（3）叫做方程式（2）的特征方程，特征方程是一個代數(shù)方程，其中r2,r的系數(shù)及常數(shù)項恰好依次是方程（2）y：y：y的系數(shù).24-p二.p-4q特征方程（3）的兩個根為r12=,因此方程式（2

5、）的通2解有下列三種不同的情形.2（1）當(dāng)p4q0時，蟲2是兩個不相等的實根.-p丁Jp2-4qri=,r22y1=erix,y2=er2x是方程（2）的兩個特解，并且幺=e（ri）x常數(shù)，即y2yi與V2線性無關(guān).根據(jù)定理 2,得方程（2）的通解為y=Cierix+C2er2x2（2）當(dāng)p-4q=0時，r1,r2是兩個相等的頭根.pri=r2=-上，這時只能得到方程（2）的一個特解yi=erix，還需求出另2一個解 y2,且力。常數(shù)，設(shè)上=u（x）,即2(rrx-pr-q)e=0_p-.,p-4q2yiyijxy2=eu(x)y2:erix(u-r1u),y；=er1x(u-2rlur12u

6、).將 yz.yLy；代入方程（2）,得erix(u，2hu-r12u)-p(u，riu)，qu1=0整理，得rix2_eu(2rl-p)u(ri-priq)u=0由于ex#0,所以u+(2rl+p)u因為 r1是特征方程（3）的二重根，所以r1xy2=xe那么，方程（2）的通解為rix=(Ci-C2x)ei-4q0時，特征方程（3）有一對共軻復(fù)根L=：.i：,r2一：一 i：(匚1；0)(Q-胃：)xyi=e,y2(.-工:叱，：*i)?=e=ee=e(cosxisin-x)(二一：)x二xUx二x:.x=e=ee=e(cosx-isin-x)2(ri.pj.q)u=02ri-priq=0,

7、從而有u”=0因為我們只需一個不為常數(shù)的解個解，不妨取 u=x，可得到方程（2）的另x=Cie1Cqx2xe利用歐拉公式ixe=cosx+isinx把 y1,y2改寫為Viy2y-y2之間成共軻關(guān)系，取2-1-x-y2=（yi-y2）=e-sin-x2i方程（2）的解具有疊加性，所以y1,y2還是方程（2）的解，并且y=ex（C1cosPx+C2sinPx）綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟如下（1）寫出方程（2）的特征方程2r-pr-q二0（2）求特征方程的兩個根 J,G根據(jù) r11r2的不同情形，按下表寫出方程（2）的通解.特征方程r2+pr+q=0的兩個根 r1,r2方程y+p

8、y+qy=0的通解兩個不相等的實根1手2r1x.xy=C1e+C2e兩個相等的實根 r1=r2.qxy=(C1+C?x)e一對共軻復(fù)根0,2=口士 iPy=ea(C1cosBx+C2sin%例 1 求方程y+2y+5y=0的通解.解：所給方程的特征方程為r22r5=0r1-12i,r2-1-2i-1x-yi=(yi丫？)=e-cos-x,y2yieasinPxeacosPx=tanPx#常數(shù)，所以方程（2）的通解為所求通解為y=e*(C1cos2xC2sin2x).例 2 求方程 d_S+2dS+S=0 滿足初始條件 S=4,S，=2dtdtt-t-的特解.解所給方程的特征方程為2r2r1=0

9、1i=1通解為S=(Ci-C2t)e將初始條件 S|y=4 代入，得 C1=4,于是S=(4+C2t)e上,對其求導(dǎo)得S=(C2-4C2t)e將初始條件 Sq 代入上式，得tC2=2所求特解為S=(42t)e例 3 求方程y+2y3y=0的通解.解所給方程的特征方程為r2+2r-3=0其根為 r1=-3,r2=1所以原方程的通解為y=C1exC2ex二、二階常系數(shù)非齊次方程的解法1. 解的結(jié)構(gòu)定理 3 設(shè)y”是方程(1)的一個特解,Y是式所對應(yīng)的齊次方程式(2)的通解，則y=Y+y*是方程式(1)的通解.證明把y=Y+y*代入方程(1)的左端：(Y-y,)-p(Yy)q(丫-y)=(YpYqY

10、).(y，：+py：+qy)=0-f(x)=f(x)y=Y+y*使方程(1)的兩端恒等，所以y=Y+y*是方程(1)的解.定理 4 設(shè)二階非齊次線性方程(1)的右端f(x)是幾個函數(shù)之和，如ypyqy=Z(x)f2(x)(4)而y與y2,分別是方程 ypyqy=f1(x)與 ypyqy=f2(x)的特解，那么 y；+y；就是方程(4)的特解，非齊次線性方程(1)的特解有時可用上述定理來幫助求出.2.f(x)=e/xPm(x)型的解法f(x)=exPm(x)，其中九為常數(shù)，Pm(x)是關(guān)于 x 的一個 m 次多項式.方程(1)的右端f(x)是多項式Pm(x)與指數(shù)函數(shù)ex乘積的導(dǎo)數(shù)仍為同一類型函

11、數(shù)，因此方程(1)的特解可能為 y*=Q(x)e九淇中Q(x)是某個多項式函數(shù).把y州=Q(x)e五y：=Q(x)Q(x)e”y-=?Q(x)+2九Q(x)+Q(x)e*代入方程(1)并消去e匕得Q(x)+(2兒+p)Q(x)+(九2+p兒+q)Q(x)=Pm(x)(5)以下分三種不同的情形，分別討論函數(shù)Q(x)的確定方法：(1)若九不是方程式(2)的特征方程r2+pr+q=0的根，即九2+p 九+q#0,要使式(5)的兩端恒等，可令Q(x)為另一個 m 次多項式Qm(X):Qm(x)=bObiXb2X2+bmXm代入(5)式，并比較兩端關(guān)于 x 同次哥的系數(shù)，就得到關(guān)于未知數(shù)b0,b1，bm

12、的m+1個方程.聯(lián)立解方程組可以確定出bi(i=0,1，m).從而得到所求方程的特解為y*=Qm(x)e的(2)若九是特征方程r2+pr+q=0的單根，即片+p九+q=0,2%+p0，要使式(5)成立，則Q(x)必須要是 m 次多項式函數(shù)，于是令Q(x)=xQm(x)用同樣的方法來確定Qm(x)的系數(shù)(i=0,1，m).(3)若九是特征方程r2+pr+q=0的重根，即入2+p 九+q=0,21p=0.要使(5)式成立，則Q(x)必須是一個 m 次多項式，可令2Q(x)=xQm(x)用同樣的方法來確定Qm(x)的系數(shù).綜上所述，若方程式(1)中的f(x)=Pm(x)e,則式(1)的特解為k-xy

13、=xQm(x)e其中Qm(x)是與Pm(x)同次多項式，k按人不是特征方程的根,是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取 0,1 或 2.例 4 求方程y+2y=3e2K的一個特解.解f(x)是pm(x)e型，且Pm(x)=3，九=2對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2+2r=0,特征根根為 r1=0,r2=-2.九二-2 是特征方程的單根，令y*=xb0e，代入原方程解得bo3y-2例 5 求方程y“2y=(x-1)ex的通解.解先求對應(yīng)齊次方程y-2y+y=0的通解.特征方程為r2-2r7=0,r1=r2=1齊次方程的通解為丫=(Ci-C2x)ex.再求所給方程的特解*=1,Pm(x)=x-1由于

14、九=1是特征方程的二重根，所以2xy-二x(axb)e把它代入所給方程，并約去ex得6ax2b=x-1比較系數(shù)彳導(dǎo)11a=b=-62千日“2/x1、x于zEy=x（1一）e61c1所給方程的通解為y=.vv=(C1C2x-x7-x8)ex266274斛得a=一一，b=55故所求特解為xe3.f(x)=Acos句x+Bsinujx型的解法f(x)=Acosx+Bsinox,其中A、B、CO均為常數(shù).此時,方程式(1)成為ypyq=AcosxBsin-x(7)這種類型的三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，仍屬同一類型，因此方程式(7)的特解 yW 也應(yīng)屬同一類型，可以證明式(7)的特解形式為y=xk(acosx，bs

15、in，x)其中a,b為待定常數(shù).k為一個整數(shù).當(dāng)士 COi不是特征方程r2+pr+q=0 的根，k取 0;2當(dāng)士COi不是特征方程r+pr+q=0的根，k取 1;例 6 求方程y+2y-3y=4sinx的一個特解.解 8=1,士8i=i不是特征方程為r2+2r-3=0的根，k=0.因此原方程的特解形式為y=acosxbsinx于是y-=-asinx，bcosxy,=-acos-bsinx將y*,yj,y代入原方程，得-4a+2b=0-2a4b424原方程的特斛為：y.二-cosx_sinx55例7求方程y_2y_3y=ex+sinx的通解.解先求對應(yīng)的齊次方程的通解Y.對應(yīng)的齊次方程的特征方程為2r一2r-3=01-1,r2=3_x3xY=C1eC2e再求非齊次方程的一個特解y.由于f(x)=5cos2x+e”,根據(jù)定理 4,分別求出方程對應(yīng)的右端項為fi(x)=ex,f2(x)=sinX