著名數(shù)學(xué)家朱梧槚的發(fā)現(xiàn)揭示課本有一系列重大錯(cuò)誤23

1、著名數(shù)學(xué)家朱梧槚的發(fā)現(xiàn)揭示課本有一系列重大錯(cuò)誤發(fā)現(xiàn)最小、大正數(shù)推翻百年集論破解2500年芝諾著名世界難題黃小寧(通訊：廣州市華南師大南區(qū)9-303 510631）(此文的壓縮版已公開發(fā)表在科技視界2014（10）)摘要論證有最大正數(shù)，各無窮序列都有末項(xiàng)，不存在對(duì)等于其真子集的無窮集，朱梧槚、肖奚安等4位數(shù)學(xué)家所言：“集合論中的無窮集都是自相矛盾的非集”不虛意味一系列以非集為“無窮集”的“定理”和集論必是錯(cuò)上加錯(cuò)的更重大錯(cuò)誤。證明元為正數(shù)且至少有兩元的集必有最小元使困擾科學(xué)界2500年的芝諾著名“運(yùn)動(dòng)不存在”世界難題迎刃而解，從而揭示二千多年“點(diǎn)無大小”公理是幾何學(xué)最重大根本錯(cuò)誤幾百年解析幾何一

2、直存在極重大錯(cuò)誤的根本原因。指出可證明各光滑曲線都是由充分短直線段連接成的，從而消除“fdf反例”悖論。邏輯學(xué)常識(shí)表明有標(biāo)準(zhǔn)數(shù)>R一切元。指出已知實(shí)數(shù)全體僅為實(shí)數(shù)全體的滄海一粟而遠(yuǎn)不夠用。試提出全新數(shù)學(xué)的冰山一角。關(guān)鍵詞最小、大正數(shù)；最大和無窮大自然數(shù)；點(diǎn)有大小，線有寬度；坐標(biāo)軸(平面)的伸展及壓縮變換；元點(diǎn)之間均不相連的有空隙數(shù)直線；芝諾悖論；有序集從大到小一個(gè)不漏的每一元人類自識(shí)正有理數(shù)幾千年來一直認(rèn)定沒最小、大正數(shù)。推翻此“常識(shí)、定理”的“反科學(xué)”的神話般發(fā)現(xiàn)來自于太淺顯的一系列邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)常識(shí)，例說“任何一個(gè)正數(shù)x都有對(duì)應(yīng)y（x）<x”就是說y可<任何（所有）正數(shù)x。

3、故凡懂集合的相、對(duì)等概念者都有能力評(píng)判本文的正確與否性而非只有極少數(shù)編書專家才能評(píng)判。問題是需保持有“皇帝新裝”中不會(huì)說假話的小孩那種童真才能看見明擺的真相，“新裝”中失去童真的大人不要說智慧火花，即使是智慧的燎原烈火，他也是視而不見的。蘇步青：實(shí)際上做了這樣一個(gè)基本假定：圓周上無限接近的兩點(diǎn)間的弧長等于對(duì)應(yīng)弦的長度。對(duì)于更復(fù)雜的曲線的弧長也是據(jù)此基本假定給以定義并由此給出計(jì)算的1。然而幾何直觀和“假定” （有待證明的猜想）是不能作為推導(dǎo)公式定理的理論依據(jù)的。幾何學(xué)斷定不論弧怎樣短都不可與對(duì)應(yīng)弦重合成為弦使弧總比弦長。與不可彎曲的不能重合。本文指出可證明書上常見的光滑曲線A實(shí)際上是由無窮多充分

4、短直線段連接成的，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn) A的元點(diǎn)都有與之相鄰的元點(diǎn)。袁萌教授在網(wǎng)上大力推薦K.D.Stroyan的專著無窮小微積分的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的封面上曲線與其切線不是相切于一個(gè)點(diǎn)而是相切于一直線段（1.朱梧槚、肖奚安等4位數(shù)學(xué)家的覺醒：書中“無窮集”都是虛假集敢說真話不愿人云亦云隨大流的朱梧槚是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)方面的世界著名專家，其名字和事跡被列入國際知識(shí)界名人錄國際上卓越的學(xué)術(shù)領(lǐng)導(dǎo)人辭典。朱梧槚、肖奚安、杜國平、宮寧生4位教授、博導(dǎo)敢于實(shí)事求是地?cái)喽ǎ骸凹险撝械臒o窮集都是自相矛盾的非集2”。也許其論據(jù)還有待繼續(xù)完善，但本文表明其論斷并非“怪論”，而是先知先覺地“在最不成問題的問題中發(fā)現(xiàn)重大問題”。張喜

5、安高級(jí)工程師也敏銳洞察到集論是自相矛盾的理論3。朱教授敢于堅(jiān)持真理地出版大著4后又力排眾議“極端孤獨(dú)”地出版“更愛真理”的大著5，公而忘私地毅然揭開集論的“無窮集”真相更令人欽佩。丁肇中深有體會(huì)：“99的人反對(duì)你，不代表他們是對(duì)的。專家的評(píng)論是依靠現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)，而科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是推翻現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)?！薄?.讓5千年都無人能識(shí)的最大自然數(shù)一下子暴露出來揭示中學(xué)數(shù)學(xué)有重大錯(cuò)誤h定理1：任何非空數(shù)集A=x=B=y的必要條件之一是|x|=|y|即y=±x，正如若A各元>0則B=A的必要條件之一是B各元>0一樣；之二是AB。這表明y=±x外的一切y=y（x）的定義域必值域。若A、B

6、的元分別是復(fù)數(shù)z1、z2則B=A的必要條件之一是|z1|=|z2|。證：1，2各元x到0的距離是x>0，1，2，3各元x到0的距離是x>0。如6所述，A（或B）各元x（或y）到任一固定數(shù)例如0的距離是變量|x|（|y|），顯然若A與B是同一集則|x|與|y|必是同一變量且A=BB。A（或B）各元z1（或z2）到z=0的距離是|z1|（或|z2|），若A=B則|z1|=|z2|。證畢。同樣可證有h定理2：數(shù)偶集A=（x，y）=B=（X，Y）的必要條件之一是：A各點(diǎn)（x，y）到（0，0）的距離=B各點(diǎn)（X，Y）到（0，0）的距離；.。其余類推。本文所指坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系。后文表明兩點(diǎn)集

7、是否相等不但與點(diǎn)本身有關(guān)且與表示點(diǎn)的位置的數(shù)組有關(guān)。設(shè)各函數(shù)的定義域、值域分別都可由D和Z代表，Dx（讀作“D各元x”）表示D各元都由x代表，x的變域是D，x、yB表示x、y所取數(shù)x、y都B。應(yīng)有h常識(shí)：“有下界的有序無窮集A從大到小一個(gè)不漏的每一元x都有對(duì)應(yīng)變數(shù)y<x”表示至少有一數(shù)y<A每一（一切）元x。（否定此常識(shí)者反映其還未真懂變數(shù)概念而只會(huì)背書）例“不論哪一正數(shù)x都有對(duì)應(yīng)y=x-1<x”就是說有數(shù)y<一切正數(shù)x；同樣+x>y=x/2>0表至少有一正數(shù)y<+所有元x。否定“說某某罪大惡極就是說要槍斃某某”的癥結(jié)是不懂“罪大惡極”的含義；同樣，否

8、定“說A從大到小一個(gè)不漏的每一元x都有對(duì)應(yīng)變數(shù)y<x就是說至少有一數(shù)y<A一切元x”的癥結(jié)是不懂“一個(gè)不漏”的含義。注！只會(huì)背書應(yīng)付考試者不知“各元”是“無一遺漏的各個(gè)元素”的縮寫；“一一對(duì)應(yīng)”中的“一”的含義之一：一個(gè)不漏。定義1：A與B的元x與y:若可一一對(duì)應(yīng)近似相等或相等即xy（或=）x就稱AB，若可一一對(duì)應(yīng)相等即xy=x就稱A=B。顯然在未證有xy=x之前是不能斷定A=B的。地平面的R軸一個(gè)不漏的各正數(shù)點(diǎn)xR+全都離開原位地沿軸正向升高變成點(diǎn)y=kx（k>1）=x+x>x>0（點(diǎn)還是原來的點(diǎn)而只是改變高度）生成射線Z，R軸顯然就至少空出一沒有點(diǎn)的正數(shù)位置x

9、=x0落在一切升高了的點(diǎn)y的下面即x0<Z一切元y使 ZR+。y=kx>x>0的定義域和值域分別是R+和Z，據(jù)h定理1R+Z，據(jù)h常識(shí)Zy=kx>xR+表R+至少有一元x<Z一切元y。滿足x、yR的點(diǎn)z=x+yi的全體組成復(fù)平面z=x+yi，相應(yīng)有復(fù)直線z=x+yi（y=0）=x等。兩重合相等的點(diǎn)（集）稱為二重點(diǎn)（集）。兩R軸可成二重軸（RR=R=（x，x）。平面z的x軸即直線z=x的射線z=x0是各矢量z=x0的終點(diǎn)的集合，這各矢量（有箭頭的直線段）z都伸縮為矢量z=kz=kx（正常數(shù)k1）使各矢量z的終點(diǎn)z全都離開原位（點(diǎn)z=0除外）地沿線保序不保距地前（或后

10、）移到新位置z生成新射線z=kx與射線z=x0不可重合相等。理由：不同的函數(shù)其圖象也必不同，例y=x2的圖象與y=x的圖象不同，故若兩圖形是同一點(diǎn)集則它們的相應(yīng)函數(shù)必是同一函數(shù)。所以由復(fù)函數(shù)常識(shí)當(dāng)正數(shù)k1時(shí)射線z=kx0與射線z=x0不相等。有h幾何常識(shí)：因相等的圖形必全等故不全等的射線z與射線z必不相等。故有h定理3：點(diǎn)集A=B的必要條件是AB（點(diǎn)集甲保距變?yōu)辄c(diǎn)集乙就稱甲乙，不論集有多少個(gè)元點(diǎn)。）。h定理4：有下界的有序無窮集Wx變大為y=x+x>x組成Z不可包含W，因W至少有一元x<Z一切元y。證：由h常識(shí)Zy>xW表W有元x<Z一切y。證畢。據(jù)h定理4、1，中學(xué)幾

11、百年“定義域是（0，1）的y=2x（>x>0）的值域=（0，2）”及“定義域?yàn)?0,1)R+的y=2x>x>0的值域=（0，2)R+”等等，是一系列搞錯(cuò)變量的變域的重大錯(cuò)誤使人們誤以為病態(tài)b論“部分可=全部”是“革命發(fā)現(xiàn)”。“沒最小元”的A=（1，2）x>0變大為y=3x組成Z（中學(xué)斷定Z=（3，6）不可包含A，同理U=（0，1）x>0全都“上升”變大為y=3x組成W不可包含U一切元x；否則何來“全都變大”？故中學(xué)“W=（0，3）”是違反邏輯學(xué)常識(shí)的。定義2：若數(shù)集A各元可兩兩配對(duì)成一數(shù)偶集（配對(duì)前后的集是同一數(shù)集）就稱A是偶型數(shù)集，否則稱為奇型數(shù)集。相應(yīng)有

12、奇、偶型級(jí)數(shù)、數(shù)列。奇型集中可配對(duì)的元都配對(duì)后必剩下一“單身”元。1，2，3，4與（1，2）（3，4）是同一數(shù)集。補(bǔ)：請?zhí)貏e注意：無窮多雙元組成的偶型集去掉或增加一元后就變成不是由無窮多雙元組成的奇型集了。h定理5：N=1，2，.，n，.有最大元n。證： N各元n的后繼y=n+1的全體組成B=2,3，.，n+1，.N。N中1后面的一切元n2組成B=2,3，.，n（2），.N，B各元n2都是其左鄰n-1N的后繼n（2）B說明B包含B。Bn2的絕對(duì)值是1（n）=n2，By=n+1的絕對(duì)值是2（n）=n+1（n1）2；顯然1與2不是同一函數(shù)（補(bǔ)：畫出兩函數(shù)的二維圖像立刻看出兩圖不是二重點(diǎn)集。），據(jù)h

13、定理1BB。包含B的BBN說明B中必至少有一B外正整數(shù)元y0=n0+1>n0N，顯然n0是N的最大元n其后繼n+1是B=n2外即N外數(shù)。去掉偶型N=（1，2）（3，4）（此數(shù)偶集同時(shí)也是數(shù)集N，其數(shù)元在兩兩配對(duì)（即加括號(hào)）后還是原數(shù)集。）中的1得奇型B=2）（3，4）（5，6）N中的2沒B中數(shù)與之配對(duì)，除非拆散某對(duì)數(shù)而又生一“單身”數(shù)即其不是由無窮多雙元組成的奇型集（不可既是數(shù)集同時(shí)也是數(shù)偶集）而偶型BN。不知集有奇、偶型之分就會(huì)將兩異集誤為同一集導(dǎo)致全盤皆錯(cuò)的最重大根本錯(cuò)誤。據(jù)后文的h定理10N的B的元多于BN的元說明B必有B外元n0+1>n0N，顯然.。若N由一切非0自然數(shù)組成

14、則n+1等是超自然數(shù)。后文還要續(xù)證有n。顯然凡滿足h條件：“其各項(xiàng)可兩兩配對(duì)且每對(duì)項(xiàng)的數(shù)的代數(shù)和都是0”的級(jí)數(shù)必=0，不論其是否發(fā)散。故x=1-1+1-1+=0 表示x滿足h條件。偶型數(shù)列：（-1,1）（-1,1）的所有數(shù)的和h=(項(xiàng)1+項(xiàng)2)+(項(xiàng)3+項(xiàng)4)+=（-1+1）（無窮多個(gè)（-1+1）的和)）=0（注：h各項(xiàng)都0）是因式中各不同位置上的1與-1一樣多而可一一配對(duì)，故h去括號(hào)后還是原級(jí)數(shù)。去掉偶型h=（-1+1）+（-1+1）+.的首項(xiàng)-1得奇型h-（-1）=1（是h的第2項(xiàng)）+（-1+1）=1是因奇型h+1不滿足h條件。設(shè)級(jí)數(shù)都可由字母代表。若y=1與-y=-1分別都有“可數(shù)無窮多

15、個(gè)”（以下簡稱“可數(shù)個(gè)”）項(xiàng)，則±y的所有項(xiàng)的數(shù)的和：y+（-y）=（1-1）=0?？蚩騼?nèi)的無窮數(shù)列-1、1分別都有可數(shù)個(gè)項(xiàng)，各-1與各1，2,n,（各n都變?yōu)?1得-1）1，2,n,（各n都變?yōu)?得1）1一一配對(duì)成一無窮有序數(shù)偶列（-1，1）在框內(nèi)，框內(nèi)所有±1的和s=（-1+1）+（-1+1）+ =0（注：s各項(xiàng)都0），去掉s的首項(xiàng)-1得奇型s-(-1)=（1）+（-1+1）=1中兩等號(hào)之間的和式中的1個(gè)1成“單身”；這和式保留s的全部1但只留有s的部分(-1)；集論斷定這部分(-1)還是有可數(shù)個(gè)而可與s的全部1一一配對(duì)，從而使奇型s+1也滿足h條件而=0,即斷定s+1

16、=1+（-1+1）+（-1+1）+=1+0的兩等號(hào)之間中各不同位置上的1與-1可重新一一配對(duì)(例各-1都改與其左鄰的1配對(duì))而有s+1=(1-1)+(1-1)+=0。那么s就非一確定數(shù)0，s+1也非一確定數(shù)1。所以極限論之前2百年的級(jí)數(shù)常識(shí)：s=0與s+1=1, 斷定s+1不滿足h條件，間接斷定s+1中的1與-1是不可重新一一配對(duì)的,即間接斷定s+1=1+（-1+1）+（-1+1）+中的無窮數(shù)列1，1，1，.的項(xiàng)與-1，-1，-1，.的項(xiàng)是不一樣多的級(jí)數(shù)常識(shí)推翻集論。3.科學(xué)應(yīng)補(bǔ)上的變量與代數(shù)啟蒙知識(shí)掃數(shù)盲使人猛醒：“x軸各點(diǎn)與各實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)”定理和“R完備”論是百年重大錯(cuò)誤區(qū)間（0，1）&#

17、204;R表示R中0與1之間所有數(shù)組成的集,其余類推?！耙粋€(gè)變數(shù)就是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，通常用x，.來表示，它被用來代表某一數(shù)系中的某一子集D中的任一元素。該數(shù)集D叫做這個(gè)變數(shù)的變域7?！笨梢姟白兞縳”中的x既是變量同時(shí)也代表其變域D內(nèi)任何定量，不能只知其一不知其二，x所取各數(shù)也均由x代表，Dx都有一個(gè)共同的“名字”叫x。固定數(shù)是變數(shù)中的一種：變域內(nèi)只有一個(gè)數(shù)的變數(shù)。不等式起碼常識(shí)：說“D=+x>0都有對(duì)應(yīng)y=x-1<x”就是說y可<R+一切元x，因式中x可一個(gè)不漏地遍取+一切數(shù)x使代表數(shù)的y必可一個(gè)不漏地遍比+一切x都小而代表（?。?外數(shù)；同樣，中學(xué)“R+x>0都有對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)

18、正數(shù)x/2<x即+x>y=x/2”（據(jù)h常識(shí)）表示（y的變域中）有標(biāo)準(zhǔn)正數(shù)y<+所有元x。關(guān)鍵是連文盲也知“一個(gè)不漏”“一切”的確切含義。應(yīng)有代數(shù)常識(shí)：變數(shù)y<x表示x（或y）的變域X（或Y）x（或y）都有對(duì)應(yīng)數(shù)y（或x）<（>）x（或y），故此式所代表的內(nèi)容之一：有數(shù)y<X一切元x，或：y可變至<X的任何數(shù)x而?。ù恚外數(shù)；有數(shù)x>y的變域Y內(nèi)一切元y。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最關(guān)鍵是須明白表達(dá)式中各字母、符號(hào)所代表的全部含義，否則就如文盲不識(shí)字那樣不識(shí)表達(dá)式所表達(dá)的內(nèi)容而成數(shù)盲。鸚鵡是數(shù)學(xué)盲，盡管其也許能“解題”,正如文盲不懂（甚至搞錯(cuò)）射擊原理卻

19、照樣能成神槍手一樣。據(jù)h常識(shí)“由一切標(biāo)準(zhǔn)正數(shù)組成的+x>y=x/2>0”表有非標(biāo)準(zhǔn)正數(shù)y<+所有元x。中學(xué)斷定U=（0，1）x>x/2=y>0，據(jù)h常識(shí)這表示y>0可<U一切x而取非正數(shù)矛盾;鮮明對(duì)比的是將y=x/2換為y=x-1就沒矛盾。同理，書上“R+x>y=x/2R+”“含全部正數(shù)的Z+x>y=x/2>0”都是病句：R+（Z+）有正數(shù)元y<R+（Z+）每一（一切）正數(shù)x；。故中學(xué)和集論中此類“R+、U、Z+”等等都是自相矛盾的子虛烏有的假無窮集。建基于重大病句和假無窮集之上的“理論”必是錯(cuò)上加錯(cuò)的更重大錯(cuò)誤。4.直線出現(xiàn)空

20、洞的原因揭示x軸有上、下界點(diǎn)對(duì)射線(無窮集)的認(rèn)識(shí)一直存在極重大根本錯(cuò)誤相對(duì)論中的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸是可沿軸保距平移的。中學(xué)生就須知道定義域?yàn)镽+的y=x+1的值域=？即由x>0（變域是R+）得x+1=y>1中y>1的變域（射線x>0沿線正向平移距離1得射線y=x+1>1）=？注：說R軸各元點(diǎn)x可變換為點(diǎn)y=x+x=x+1>x就是說R軸可沿軸正向平移距離1變?yōu)閥=x+1軸。其余類推。R一切非負(fù)元x0組成A（中學(xué)記A=0，），A一切1的元x1組成ZA（中學(xué)記Z=1，），RAx0保距變大為y=x+11組成Z（中學(xué)斷定Z=Z）；Zy=x+1的絕對(duì)值是y=x+1&g

21、t;x0，而Zx1的絕對(duì)值是x1，據(jù)h定理1 ZZ。ZA的元x1都可表為x=1+x>x（0）A（其中x=x-10的變域是射線x1沿線負(fù)向平移距離1而得的射線x=x-10）說明Zx都元是y=x+1的Z，包含Z的ZZA說明Z中必有Z（現(xiàn)有數(shù)學(xué)記Z=1，）外的元y0=x0+1>1，顯然y0>Z一切元。復(fù)射線z=x0平移成的射線z+1=x+11與射線z=x1顯然不相等，中學(xué)數(shù)學(xué)一直將這兩異線誤為同一線。如有地名那樣，“位置x”中的x就是該位的“名字”。空間位置本身是不動(dòng)的，而圖形的點(diǎn)x可移位，挖去x軸一個(gè)點(diǎn)x就空出一位置“洞”x說明x軸由點(diǎn)x與容納點(diǎn)的位置洞x兩部分組成。地平面的R軸

22、各元點(diǎn)x都在位置洞x內(nèi)即點(diǎn)與位置已一一配對(duì)：點(diǎn)x位置x。現(xiàn)各非負(fù)數(shù)點(diǎn)x0沿軸正向保距上移距離1變?yōu)辄c(diǎn)y=x+11生成射線Z(元是點(diǎn)y1)使R軸原線段0,1)內(nèi)各位置x都變成空洞單身。出現(xiàn)空洞的唯一原因是與空洞一樣多的原軸內(nèi)點(diǎn)都被挖去或移出軸外（射線的平移是剛體運(yùn)動(dòng)，各動(dòng)點(diǎn)沒縮小也沒與別的點(diǎn)有重疊部分等。）此邏輯學(xué)常識(shí)表明上移點(diǎn)y1中必有部分點(diǎn)y移出了R軸而處在R軸一切位置洞的上面使Z不是R軸的一部分，即射線y=x+11“刺破了天”：有部分元點(diǎn)y突出在R軸一切元點(diǎn)的上面而推翻“R完備”論、r定理：“x軸各點(diǎn)與各實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)”。這形象直觀地表明：R軸是無窮長直線段；如一直線段任意平移后還是原線段而

23、只是改變了位置那樣，任一射線沿線正向平移一段距離得射線還是原射線而只是改變了空間位置，并非的一部分。所以“上述射線可上移使R軸出現(xiàn)空洞卻又沒原軸內(nèi)點(diǎn)能移出對(duì)加法封閉的軸外”中的“R軸”是不合邏輯的“自相矛盾的非集”?！按蟮乐梁喼烈住保喝魯?shù)軸的剛性元點(diǎn)沒被挖去也沒移出軸外，點(diǎn)之間也沒重疊部分，就絕不會(huì)出現(xiàn)空洞。上述啟蒙知識(shí)和語文常識(shí)表明“R+內(nèi)從小到大一個(gè)不漏的各元x都有對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)y=x+1>x”表示至少有一標(biāo)準(zhǔn)數(shù)y>R+一切元x，y=x+1>x>0表示y必可>x的變域R+一切元x而取R+外正數(shù)。 5.幾何常識(shí)顯示幾百年解析幾何一直有極重大根本錯(cuò)誤數(shù)軸伸縮后就非原軸

24、了相似變換將圖像放大（縮小)。設(shè)長為1的一截橡皮筋s是橡皮點(diǎn)的集合，各橡皮點(diǎn)（正方體）都有中心，規(guī)定兩橡皮點(diǎn)之間的距離是它們的兩中心的連線的長。將s拉長后（或放大鏡下）各橡皮點(diǎn)都變長了使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離也變大了，這是一種有序集的元的保序增距變換。將s拉長為長是2的ss,但s不是s的一部分, 因s的元點(diǎn)的長>s的元點(diǎn)的長。x軸各點(diǎn)x保序不保距地變?yōu)辄c(diǎn)X=2x，x軸就均勻伸長變換為元是點(diǎn)X的X=2x軸使線段0,1Ìx軸伸長變?yōu)樵屈c(diǎn)X的沒空隙線段0，2ÌX=2x軸。后文證明點(diǎn)X的長度2倍于點(diǎn)x的長數(shù)軸也有因點(diǎn)變長（短）的伸縮變換這是“化學(xué)變化”：改變了組成線的“分子”。將“

25、分子”點(diǎn)不同的線混為一談就如將棉線誤為銅線那樣是根本錯(cuò)誤。x軸A伸縮變換為X=kx軸B正常數(shù)k>（<）1時(shí)是彈性伸長（壓縮）變換。據(jù)h幾何常識(shí)由A不B（伸縮變換是非保距變換）知AB。h定理6 ：x軸變換為X=X（x）軸疊壓在x軸上，x軸=X軸的充要條件是X=x。證：x軸各點(diǎn)x到原點(diǎn)x=0的距離是|x|，X軸各點(diǎn)X到原點(diǎn)X=0的距離是|X|，若兩軸是同一軸則這兩距離必是同一函數(shù)即|X|=|x|,亦即X=±x,式中:X=x是恒等變換，X=-x是.,而X=-x軸是與x軸方向相反的軸。故定理得證。）X=kx（k>0）軸是可伸縮變換的軸，其可沿軸平移距離|c|變?yōu)閄

26、=kx+c軸，.。據(jù)h定理6X=kx（k1）軸x軸。所以直線y（x）=0與直線y（2x）=0不是同一直線（兩y的x的變域均是R），前者是x軸即R軸，后者是X=2x軸；同理直線y（x）=3與直線y（2x）=3不是同一直線；.。故中學(xué)解析幾何一直將X=x軸與用而不知的X=2x軸、X=（x/2）軸、X=kx+c（c0）軸、X=x3軸、X=x3+c軸、等無窮多各異軸誤為同一軸：X=x軸，繼而將無窮多各根本不同的相應(yīng)平面等誤為同一平面R2等。Rx×k（k>0）變?yōu)閥=kx得元是y的集可記為kR，Rx變?yōu)閥=x+非0固定數(shù)c生成的集可記為R+c。據(jù)h定理1，RR+c，R2R且R且，故R&#

27、215;R2R×2R且2R×R且2R×3R且。故定義域是R的y（x）=kx（k是非1正數(shù)）的值域是kR而非R。中學(xué)“定義域均是R+的y=kx>0、y=x2>0、y=x3>0、y=>0、.的值域均是R+”等等，是一系列搞錯(cuò)變量的變域而將兩異集誤為同一集;定義域?yàn)镽的直線y(x)=kx+c是R×(kR+c)的子集,y的值域是kR+c。據(jù)h定理1線段L=0，3ÌR軸被砍去一部分（1，3ÌR軸而變短成為0，1ÌL與L收縮變同樣短（L各點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)X=x/3生成元是點(diǎn)X的沒空隙的0，1 ÌR軸）是有根本

28、區(qū)別的。按“橡皮幾何學(xué)”觀點(diǎn)R2面可看成由彈性膜做成,可隨意伸縮。R2均勻彈性伸張或收縮后各元點(diǎn)之間的距離就變大或小了，此類非保距變換前后的點(diǎn)集不全等，當(dāng)然就更不相等（據(jù)h定理2也得此結(jié)論）。R2面有單位圓1：2+2=1。R2各元點(diǎn)（x，y）變?yōu)辄c(diǎn)（X=2x，Y=2y），R2就整體彈性伸張變?yōu)樵屈c(diǎn)（X，Y）的（2R）2即XY面，使x軸、y=x軸ÌR2分別被伸長變?yōu)閄=2x軸和Y=2y軸Ì（2R）2，同時(shí)使1被拉伸而膨脹變大為2：（將X=2x與Y=2y代入1的方程得）（X/2）2+（Y/2）2=1即X2+Y2=4。后文指出解析幾何一直誤以為1與2是同一R2面的圓Ì

29、R2。z平面伸縮為kz（正常數(shù)k1）平面顯然z平面。6.由數(shù)學(xué)定理竟推出數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)根本不能動(dòng)書上數(shù)軸是自相矛盾的假集學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的目的之一是定量描述運(yùn)動(dòng)物體的位置的改變?，F(xiàn)實(shí)中由大到小取值的變量比比皆是（例自由落體的高度）決定了數(shù)學(xué)中由大到小取值的變量比比皆是,例沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)。點(diǎn)xc到點(diǎn)c的距離0是由大到小取值的有序變化的有序變量，稍有一點(diǎn)頭腦的人都知道必取盡變域D所有正數(shù)后才能取0=x-c即必取到無正數(shù)可取了才取0。但有定理斷定0每取一正數(shù)后總還有后續(xù)正數(shù)如/2D要取而總不能取到無正數(shù)可取從而更談不上能取0尖銳自相矛盾！可見困擾科學(xué)界2500年的著名“運(yùn)動(dòng)不存在”芝諾悖論實(shí)質(zhì)上是深刻揭示

30、不能真正用數(shù)來表達(dá)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)危機(jī)。在科學(xué)界不但不察存在2500年的數(shù)學(xué)危機(jī)反而還將有過人科學(xué)洞察力的芝諾斥之為詭辯家的“科學(xué)共識(shí)”反映一種劣勝優(yōu)汰現(xiàn)象，這使人不能不感嘆2500年前的芝諾的科學(xué)洞察力遠(yuǎn)在不少當(dāng)代人之上。數(shù)學(xué)、物理學(xué)家蘭佐斯是明白人，他清醒指出：不能否認(rèn)，我們碰到了一難解之謎（這是世界難題黃小寧按）。我們知道連續(xù)性這個(gè)概念，可我們卻不能夠把它描述出來。我們觀看一運(yùn)動(dòng)物體從位A移到位B，但卻不了解這是怎樣發(fā)生的。聰明的芝諾曾用他那著名悖論非常形象地描述了連續(xù)性的這種矛盾的本質(zhì)。(蘭佐斯無窮無盡的數(shù)157頁，中譯本）因x數(shù)軸是連續(xù)的故沿軸從原點(diǎn)ox=1處的動(dòng)點(diǎn)x不經(jīng)過與o只相隔1個(gè)、

31、2個(gè)、有窮多個(gè)點(diǎn)x軸的階段就絕不能進(jìn)入與o相隔無窮多個(gè)點(diǎn)x軸的階段，正如一人不經(jīng)過兒童期就絕不可進(jìn)入少年期一樣；但有定理斷定此點(diǎn)x所能到達(dá)的各正數(shù)位置x都與o相隔無窮多個(gè)正數(shù)點(diǎn)x軸顯然抹殺了x有序漸變的連續(xù)變化性,故此定理使書上x軸“是自相矛盾的非集”。產(chǎn)生邏輯悖論是因主觀認(rèn)識(shí)與客觀實(shí)際不符。點(diǎn)的有序連續(xù)變化規(guī)律：沿一維空間K運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)從一位置y有序連續(xù)運(yùn)動(dòng)到另一位置y+y若不首先與y只相隔有窮多個(gè)位置點(diǎn)K就絕不可與y相隔無窮多個(gè)位置點(diǎn)K;同樣.。由大到小取值且變域?yàn)?, 2R的x有最后一次的取值即其取數(shù)過程是有完有了的。真正的無窮集必是“無窮無盡”與“有窮有盡”的對(duì)立統(tǒng)一體。7.h常識(shí)和上述啟

32、蒙知識(shí)讓幾千年初等數(shù)學(xué)一直未能識(shí)的最小正數(shù)一下子暴露出來百年極限論一直存在重大錯(cuò)誤設(shè)數(shù)學(xué)內(nèi)的所有實(shí)（正）數(shù)組成S（S+）。中學(xué)幾千年“常識(shí)a”：“任何正數(shù)y=k（y/k）,k>1”使自有函數(shù)概念幾百年來數(shù)學(xué)實(shí)際上一直認(rèn)定S+y都有對(duì)應(yīng)正數(shù)y/k=xS+即S+y>y/k=xS+。據(jù)h常識(shí)這就是說S+有正數(shù)x<S+一切正數(shù)y病句。故真正常識(shí)推翻“常識(shí)a”。有序集的元與元之間是可有上下（前后、左右）順序關(guān)系的（例負(fù)數(shù)是0下數(shù)，.），可將比x?。ù螅┑臄?shù)形象化地稱為位于x下（上）面的數(shù)，不同的數(shù)必處在不同位置?！叭魏我粋€(gè)（全稱量詞）正數(shù)y的下面都有數(shù)”=“所有正數(shù)y的下面都有數(shù)”顯然

33、表示有數(shù)在所有（任何）正數(shù)下面，只有一字之差的“任何一個(gè)正數(shù)y的下面都有正數(shù)”是病句：有正數(shù)位于所有正數(shù)下面。據(jù)上述啟蒙知識(shí)說y>x=y/2>0中的y可取一切（任何）正數(shù)就是說x>0可<一切正數(shù)而取非正數(shù)。這一非弱智人都能明白的不等式常識(shí)說明并非每一正數(shù)y的下面都有對(duì)應(yīng)正數(shù) y/2意味必有未知正數(shù)y的下面沒對(duì)應(yīng)正數(shù) y/2等。說地平面的“y軸中由大到小一個(gè)不漏的各個(gè)正數(shù)元點(diǎn)y的下面都有正數(shù)點(diǎn)=y/2y軸”就是說y軸有正數(shù)元點(diǎn)在y軸一切正數(shù)元點(diǎn)的下面病句。所以此“y軸”是“自相矛盾的非集”。h定理7：元為正數(shù)且至少有兩元的V+必有最小元。證1: V+中至少>一個(gè)元V

34、+的元y必可表為y=k（y/k）=kx>xV+而有對(duì)應(yīng)y/k=xV+，其中k>1是任何使kxV+的>1；稱此類元y具有性質(zhì)a。V+中有性質(zhì)a的元y=kx>x>0的全體組成ZV+。據(jù)勾股定理有無理數(shù),據(jù)上述啟蒙知識(shí)及h常識(shí)Zy=kx>xV+表V+至少有一元x=x0<Z一切元y而沒性質(zhì)a即x0沒對(duì)應(yīng)正數(shù)x0/kV+而不可>任何別的正數(shù)V+從而是V+最小元。證2:獨(dú)立變量y>0與非獨(dú)立變量y>0有根本區(qū)別。變域是Z的y=kx>x>0中的y（x）被限制所取各數(shù)y都須有別的正數(shù)x=y/kV+與之對(duì)應(yīng)從而不可不受任何限制地遍取V+一切

35、數(shù)，說y=kx>xV+可取V+一切數(shù)就是說式中x可<V+一切數(shù)而取V+外數(shù)矛盾。鮮明對(duì)比的是獨(dú)立變量y=x>0就可遍取V+一切數(shù)，因其所取各數(shù)y無須被限制一定有y的正數(shù)V+與之對(duì)應(yīng)。證畢。據(jù)h定理7，任何距離函數(shù)0的變域都有最小正數(shù)元使芝諾著名“運(yùn)動(dòng)不存在”世界難題迎刃而解；V+=S+有“更無理”和“更虛”的最小元y=0使相應(yīng)符號(hào)y/2等，或不能代表數(shù)（此時(shí)y2（y/2），正如當(dāng) x=0時(shí)c/x 不能代表任何數(shù)一樣；或代表數(shù)學(xué)以外的另類正數(shù)，正如比普朗克長度短的非0長度是物理學(xué)外的長度一樣。S+外的“正數(shù)”要么不是數(shù)，要么是數(shù)學(xué)外的數(shù)?？捎昧硪环椒ㄗCU=（0，1）有最小元：S

36、+L=(0，k>1) =U1，k）中的U=（0，1）x>0變大為y=kxL 組成ZL。將S+中滿足y=k（y/k）=kx>xS+的元y=kx（k>1）稱為平凡正數(shù)，因這各y=kx都是由式中x變大為kx而來的，故據(jù)函數(shù)知識(shí)Z是L中一切平凡正數(shù)y=kx>xU組成的集。據(jù)h定理4U至少有一正數(shù)元x<Z一切元kx>x，此Z外的xU顯然是非平凡正數(shù)x而沒對(duì)應(yīng)正數(shù)x/kS+說明此x=0。據(jù)h定理1LZ（Lx=y的絕對(duì)值是獨(dú)立變數(shù)x=y>0，Zy=kx的絕對(duì)值是非獨(dú)立變數(shù)y=kx>x。），其實(shí)L的元為x>0而Z的元是y=kx>x也從一側(cè)面說明

37、LZ，包含Z的LZ表明L中至少有一Z的元。以上中學(xué)生都能看懂的一系列論據(jù)還很不夠，后文對(duì)0還要作更有力的證明。發(fā)現(xiàn)0說明“0，1x的對(duì)應(yīng)數(shù)y=kx（k>1)的全體組成0，k”等等，是一系列重大錯(cuò)誤。極限論的j式:>=|x-a|（正無窮?。?gt;0中的表示什么？可是0.1，可是0.01，可是.，.可是任何有窮正數(shù)。據(jù)變量定義是每取一個(gè)數(shù)都可固定一下的變量，凡變量必有變域，故是其變域E的任一元。能由j式中的代表的數(shù)的全體E就是此的變域。由h常識(shí)E>>0表有無窮小正數(shù)<E一切元。有教授說是“除了正數(shù)外，不受任何限制，即它可以是任何正數(shù)8”；許品芳等編高等數(shù)學(xué)（上）5頁

38、：“對(duì)于任何正數(shù)”“代表著任何一個(gè)正數(shù)”（兵器工業(yè)出版社，1992）；2003.8出版的9書63頁：“對(duì)于任何正實(shí)數(shù)”“對(duì)于任一正（實(shí)）數(shù)”；.。按此說法j式就是重大錯(cuò)誤：說>0可變至<任何正數(shù)而取非正數(shù)。非頭腦遲鈍的學(xué)生都能看出這一非常明顯的事實(shí)，因非數(shù)盲者都能一眼看出:說j式與c=0<中的均是任何正數(shù)就是說變數(shù)c=0（變域內(nèi)只有一元）與>0都可變至<任何正數(shù)而取非正數(shù)。故中國大陸多數(shù)編書者都改說是“任意取(給)定的正數(shù)”（不說在哪一范圍內(nèi)任取且特意不用j式來定量闡明正無窮小概念）且認(rèn)定這與“是任何正數(shù)”不等價(jià)（否則就不會(huì)作此改動(dòng)）。然而標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)中常見此推理：0

39、|A|<，由的任意性知A=0（孫念增譯高等數(shù)學(xué)教程二卷二分冊328頁：L-b<，由于的任意小性，可肯定L=b。）等價(jià)于說：因是任何正數(shù)故非負(fù)的|A|<必=0。因若有正數(shù)不可由代表就不能斷定|A|=0。但這一出爾反爾就不易被初學(xué)者察覺了；掩蓋矛盾與消除矛盾有根本區(qū)別?！俺?shù)中只有0才是無窮小”的依據(jù)是“正數(shù)與0中只有0才可<”。這使標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)自相矛盾,因j式中取正數(shù)的可<（意味有正數(shù)<）。所以極限論一直有重大錯(cuò)誤: 直接或隱蔽地變相斷定>0可<任何正數(shù)而取非正數(shù)。鮮明對(duì)比的是“任何有窮正數(shù)>>0”就非病句。有專家說：A是數(shù)而j式中的是變量

40、而不是數(shù)，故你說的矛盾并不存在。但至少可取兩數(shù)的是變量而不可取數(shù)的不是變量，數(shù)與數(shù)之間才能比較大小，而非數(shù)的“鬼魂”竟也>0和；A與變數(shù)的區(qū)別只是：A的變域內(nèi)只有一個(gè)數(shù)，的變域內(nèi)至少有兩個(gè)數(shù)；只能代表一個(gè)數(shù)的A是數(shù)，至少能代表兩個(gè)數(shù)的竟反而不是數(shù)？！越辯解就越是一片混亂??！起碼數(shù)學(xué)常識(shí)：j式表示是介于0與之間的數(shù)或是?。?，）內(nèi)數(shù)的變量。然而教授說：“它是一個(gè)變量，它不代表任何確定的數(shù)，.10”（注：變量的變域是由確定的數(shù)組成的集）。這使不敢懷疑教授會(huì)犯常識(shí)性錯(cuò)誤的學(xué)生不禁感嘆：數(shù)學(xué)真是高深莫測??！j式的R+說明標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)暗含無窮小正變數(shù)<，R中暗含<的正數(shù)0<，不論你指

41、定哪一有窮正數(shù)都有0<。否認(rèn)存在這類正數(shù)與否認(rèn)無理數(shù)一樣都使數(shù)學(xué)自相矛盾。詳論見1112。8.起碼數(shù)學(xué)常識(shí)顯示有未識(shí)正數(shù)不可1010倍于別的正數(shù)S+洞察x0也有無限變大的另一面y=x/1010+x=+1010>0中的末項(xiàng)x=1010>0總不可忽略即yx/1010+0總不成立是因可0的x(變域是D)與首項(xiàng)x/1010=相比實(shí)在是總距0太遠(yuǎn)了從而遠(yuǎn)不可視其為0而忽略說明0的x也有相比下總距0太遠(yuǎn)的另一面從而遠(yuǎn)不可進(jìn)入數(shù)學(xué)一直未能察覺的0的某充分小鄰域內(nèi)！在高精度近似計(jì)算中凡有變量x>0不可略必表明x相比下總距0極遠(yuǎn)。Dx=1010>0 直接表達(dá)Dx分別1010倍于別的

42、正數(shù)從而相比下都是距0極遠(yuǎn)的0的極大正數(shù)（凡可1010倍于別的正數(shù)S+的正數(shù)都D）。各元(相比下)均為極大正數(shù)的集遠(yuǎn)不能包含所有正數(shù)凡違反此起碼邏輯學(xué)常識(shí)的集必是自相矛盾的假集。故中學(xué)“既含全部正數(shù)而又各元x（x/1010>0且1010x）相比下都是極大（?。┱龜?shù)”的“正數(shù)集”是假集。自相矛盾的理論是有頭腦且不愿盲從者無法接受的理論，從而極難學(xué)難教。絕不可將可取一切正數(shù)的x視為0而忽略此起碼數(shù)學(xué)常識(shí)否定“D含一切正數(shù)”說明D外有數(shù)學(xué)一直未能識(shí)的正數(shù)x而沒對(duì)應(yīng)數(shù)x/1010S+?！案饕阎龜?shù)xx/103x/106相比下全是距0無限遠(yuǎn)的極大極大（無窮多個(gè)極大）的無窮大正數(shù)x。只識(shí)此類x猶如上

43、述的只識(shí)光年尺度13”遠(yuǎn)不夠用，遠(yuǎn)不能滿足用數(shù)來表達(dá)運(yùn)動(dòng)的需要。y=x2+x(0<x<c=10-10)不x2+0的原因是一次項(xiàng)x<c相比于x2總距0遠(yuǎn)而不近從而不可視其為0而忽略，即x0總不能小到微不足道的程度，相反，其總大到不可略的程度。其中x2可形象化為一面積，x=1×x<c是長為1千米，寬是x<c千米的長方形K的面積。圖像顯示K的面積xx2總遠(yuǎn)不成立，唯一原因是差x-x2x0相比下總距0太遠(yuǎn)從而遠(yuǎn)不可忽略。近似常識(shí)表明x0的變域內(nèi)各數(shù)x相比下全都是不可略的極大正數(shù)。但中學(xué)“定義域?yàn)镈=（0，c）的y=x+x2”和百年極限論又?jǐn)喽▁能不受任何限制地任

44、意逼近0取D一切數(shù)。3百年微積分一直無法消除此尖銳矛盾從而對(duì)非常重要的近似計(jì)算只知結(jié)論而不能說清原理。科學(xué)極不發(fā)達(dá)期水分子的極渺小性掩蓋了其也有無限可分的無窮大性，數(shù)學(xué)極不發(fā)達(dá)期x0的一面掩蓋了其也有被限制相比下無限變大的另一面：x/x2=1/x顯示分子x(0<x<c)0與分母x20相比是越變越大無窮變大：x<c在不斷變小的同時(shí)也不斷變大:越來越x2而可無窮大倍于x2。這使x0遠(yuǎn)不可進(jìn)入0的某充分小鄰域內(nèi)！y=x2>0中的x0只能在自己的變域內(nèi)任意逼近0而非能在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)任意逼近0；.。極限論誤導(dǎo)人們以為只要定義域?yàn)镽的y=x2+x與x2的非0距離|y-x2|=|x

45、|0在恒<時(shí)就必可視x為0而略：yx2+0（非0的|x|<）0，從而誤以為y在x=0處有極小值0而搞錯(cuò)曲線y在x=0附近的性態(tài)、形狀。近與遠(yuǎn)是相比較而言的。何謂質(zhì)點(diǎn)？愛因斯坦：“一個(gè)大小可忽略不計(jì)的物體，就作為一個(gè)點(diǎn)?！保◥垡蛩固刮募ㄒ唬?04頁，中譯本，1976年）在光年尺度下地球是質(zhì)點(diǎn)，北京與廣州相距極近而處于宇宙的同一位置：都在地球內(nèi)（與宇宙相比地球是微塵）;但在公里尺度下兩地相距極遠(yuǎn),只識(shí)光年尺度是遠(yuǎn)不夠的。同理，0<x<任何有窮正數(shù)時(shí)y軸上的點(diǎn)A(y=1+x)與點(diǎn)B(y=1+x2)兩者分別無限靠近點(diǎn)y=1的程度是有重大差別的另一面的，雖然兩點(diǎn)的距離：1+x-

46、1-x2=x-x2x<。研究函數(shù)在點(diǎn)p鄰近的性態(tài)應(yīng)以p為新原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系。9.二千幾百年“點(diǎn)無大小”使幾何學(xué)一直不能自圓其說挖去x軸全部點(diǎn)，x軸就變成位置洞集?！伴L度都=0的位置洞能形成長0的洞集”是不合邏輯的。設(shè)x軸各元點(diǎn)不可重疊(合)在同一位置上使沿x軸移動(dòng)的元點(diǎn)只能移動(dòng)到空位內(nèi)；x軸沒空洞使各元點(diǎn)能沿軸移動(dòng)的最大距離是0，正如擠滿人的電梯內(nèi)的人都沒運(yùn)動(dòng)的空間一樣。挖去x軸原點(diǎn)就空出一位置洞x=0（可供點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的空間），這有洞x軸的線段h=（0，1各點(diǎn)x都沿軸負(fù)向平移一個(gè)點(diǎn)的長度距離3到空位內(nèi)形成元為點(diǎn)x=x-3的線段0，1-3Ì有洞x軸從而又生一新空位x=1，h所平移的

47、距離3是容納原點(diǎn)的位置洞的長度。“3=0”就是說h能沿軸移動(dòng)的最大距離是0即1-3=1。這與事實(shí)不符產(chǎn)生科學(xué)悖論的原因。h若沒移動(dòng)就不能使原有的空位內(nèi)又有點(diǎn)了。故“=0”是自相矛盾概念。不能因不識(shí)未知正數(shù)3就否認(rèn)h可平移的事實(shí)。又例因“點(diǎn)是點(diǎn)集的一部分”，故“長為0的點(diǎn)能聚集成有長線段”中的“線段”是明顯不合邏輯的假無窮點(diǎn)集。故“點(diǎn)無大小”公理是不合邏輯的自相矛盾概念(這是數(shù)形結(jié)合出現(xiàn)“全部點(diǎn)可與部分點(diǎn)一樣多”“分球怪論”等形形色色怪論的根源)。后文還要續(xù)論此事實(shí)。故須提出符合客觀實(shí)際的“點(diǎn)”概念?！包c(diǎn)”的問題是點(diǎn)集論與幾何學(xué)的最根本問題。10.提出數(shù)容器概念推翻百年集論從而可看圖識(shí)N的無窮大

48、元有首項(xiàng)的無窮序列都有末項(xiàng)1，3，2中有數(shù)改變了位置就形成另一數(shù)列3，1，2了?？梢姅?shù)列不但與數(shù)有關(guān)且與各數(shù)的所在位置有關(guān)，故其一項(xiàng)中有兩個(gè)成員：數(shù)和數(shù)所在位置。直線是由其像素點(diǎn)各就各位地分別占據(jù)一定位置而形成的，同樣數(shù)列an無非是各數(shù)各就各位地進(jìn)入各指定位置“座位”排成的一行（列）數(shù)，各座位與各an已一一配對(duì)：ann號(hào)位。座位可由形象表示（也可將看成是只容一數(shù)的數(shù)容器），挖去一數(shù)就留下一單身位置, 正如挖去復(fù)平面一個(gè)點(diǎn)就留下了一個(gè)“洞”那樣，挖去全部數(shù)就留下空位序列。故可記數(shù)列N=.,其中表示數(shù)的座位，僅僅挖去其全部奇數(shù)而非奇數(shù)項(xiàng)就得與其等長的L：.，“拆東補(bǔ)西”地讓各n=2q都移入q=1，

49、2，.號(hào)位得；.中各n=2q都換為q得.；.前列是“夫妻”列，后列是空位列，因“拆東補(bǔ)西”前、后的單身空位是一樣多的。各空位的位號(hào)數(shù)n顯然都是無窮大自然數(shù)>前列一切數(shù)q。詳論見14。N中各數(shù)可交換位置，看圖可知一前移“奪占”的座位的同時(shí)其原座位也變空而在后，這是一對(duì)一的，故被奪占位置的數(shù)都可后移到空位上。故當(dāng)N各偶數(shù)n=2q都前移到n=q號(hào)位（被奪座位的數(shù)可后移而總有空位與之對(duì)應(yīng)）后就得K：；因K還含N全部數(shù)故K中有兩無窮數(shù)列：前列Q含N全部偶數(shù)，后列的數(shù)都是奇數(shù)jn（n=1，2，）N且都處在K一切偶數(shù)n=2q的后面而都與相隔無窮多個(gè)數(shù)；故K中有首項(xiàng)是，末項(xiàng)的數(shù)是jn的各無窮數(shù)列。朱梧槚

50、大著4218頁中含N全部數(shù)的“2，3，4，n，n+1，1”中的1是該數(shù)列的末項(xiàng)。h定理8（改天換地的改偶定理）：無窮“夫妻”數(shù)偶集F=（x，y）內(nèi)“男、女”雙方的“人”之間任意重新配對(duì)（有的人“喜新厭舊另結(jié)新歡”改配偶使有的人變成“單身”，。）后，一方出多少個(gè)單身，對(duì)方也必只能出多少個(gè)單身。證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新夫妻的各自原配偶就成分屬男、女方的一對(duì)單身，一單身“再婚”就或使對(duì)方一單身也再婚，或拆散一對(duì)夫妻而生一與其同“性別”的新單身，沒別的可能。故F中人任意改配偶(新配偶必是F中人)后一方出n個(gè)單身的同時(shí)對(duì)方也只能出n個(gè)單身。證畢。設(shè)兩不交且非空的集d、h 的并集記為d+

51、h=H，d=H-h，非空DD表示兩D的元已一一配對(duì)：xx。h定理9：任何無窮集W的任一非空真子集w的元必少于Ww的元而不W；故凡W的集必不是W的真子集。證1：用反證法。假設(shè)A=wW=w+g成立則據(jù)改偶定理在A、W雙方的元一一配對(duì)后再令A(yù)（=w）方各元y=x都改與W方的x（=y）w=Aw配對(duì)后，A（=ww）方有0個(gè)單身的同時(shí)W=w+g方也只有0個(gè)單身，然而事實(shí)上非空gW各元都是單身，故假設(shè)不成立。證2：任何非空數(shù)集必占數(shù)宇宙的一定空間。數(shù)集W各數(shù)分別處在各不同位置上，一位置可形象化為一數(shù)容器（這一概念的提出對(duì)撥亂反正地正確運(yùn)用“配對(duì)”法判斷兩無窮數(shù)集是否等濃度起決定性作用）。W各數(shù)x都進(jìn)入數(shù)容器

52、內(nèi)，各與各x已一一配對(duì)：x裝x的容器，其中所有組成的數(shù)容器集記為W器W。非常顯然：W的任何真子集w都不可充滿W器（裝入了W的W器內(nèi)有部分?jǐn)?shù)被挖去使W器內(nèi)數(shù)集是wW就出現(xiàn)單身空容器，W器內(nèi)一數(shù)x離開原位改入一單身內(nèi)的同時(shí)必生一新單身即一單身變?yōu)榉菃紊淼耐瑫r(shí)必生一新單身，故w不可充滿W器。）一目了然地表明W的元必多于w的元。證畢。同理凡是w的數(shù)集也必不可充滿W器表明有h定理10：凡wW的數(shù)集的元必少于W的元，凡W的集的元必多于wW的元。傅種孫：“有多邊形于此,截去一角所余必不與原形等積。試問何以知其然？答道全體大于部分。區(qū)區(qū)6字就解決了。事實(shí)上問題并不是這樣簡單，須知希爾伯特費(fèi)十?dāng)?shù)頁的篇幅才把它解

53、決的?！保〝?shù)學(xué)通報(bào)1962/11，25頁）本來小學(xué)生也一看就知的極簡單的面積問題卻要“故弄玄虛”地費(fèi)十?dāng)?shù)頁紙才能證明它。這是典型的化簡為繁、化清為濁。數(shù)學(xué)的證明中有不少類似這樣化簡為繁的例子（例對(duì)隱函數(shù)存在定理的證明）。這勢必大大增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)和不得不延長學(xué)制。產(chǎn)生“高深莫測”的“數(shù)學(xué)”的癥結(jié)是對(duì)數(shù)與形的認(rèn)識(shí)有驚人淺薄和極重大錯(cuò)誤，“深入才能淺出，淺入就只能深出。”“假傳萬卷書，真?zhèn)饕痪湓挕！?。再證N有最大元：G=NN中的G的非1元x=n+1都被令改有新配偶nN（所有n=1，2，組成VN）后，G的1（原有配偶1N）就成單身，據(jù)改偶定理N也必出一單身x1V（n=1，2，都非單身），這V 外的

54、x1>VN一切元n顯然是n。證畢。將“N”換為“元是n=1，2，.的集”就證有h定理11（末項(xiàng)定理）：各有首項(xiàng)的無窮序列都有末項(xiàng)。11.數(shù)學(xué)教育界也有“皇帝新裝”現(xiàn)象康脫對(duì)數(shù)與數(shù)列的認(rèn)識(shí)有赤裸裸錯(cuò)誤于宗義:“一列有理數(shù)(.)就稱為一個(gè)實(shí)數(shù)，.。.。而且這個(gè)思想方法已被泛函分析和其它學(xué)科推廣了”（9書62-63頁）?？得搶⒂蔁o窮多正(負(fù))數(shù)組成的“基本數(shù)列”：±1/n和1/n2定義為一個(gè)數(shù)0即說±1/n=1/n2=0。這是赤裸裸地將白定義為黑的錯(cuò)誤。理由: 將一群正(負(fù))數(shù)定義為一個(gè)數(shù)0是連偷換概念（單獨(dú)一個(gè)數(shù)與無窮多個(gè)各異數(shù)是兩不同概念，不可作分母的0與非0數(shù)也是兩不

55、同概念。）也遠(yuǎn)談不上的指鹿為馬。不少課本說這3數(shù)列是無窮小變量,而正無窮小與負(fù)無窮小有根本區(qū)別且都0，還有：不同階的正無窮小是有重大差別的。課本有：設(shè)an和bn是兩基本有理數(shù)列，若|an-bn|0（n）就稱an=bn。稱基本有理數(shù)列是一個(gè)實(shí)數(shù)，規(guī)定相等的基本有理數(shù)列是同一數(shù)。（9書56頁）按此定義由無窮多非0數(shù)（其中有1的各數(shù)）組成的“基本數(shù)列”A=1010，109，108，1011/10n，就=B=-1011/10n（“=0”），因|1011/10n -（-1011/10n）|0（n）。這顯然與事實(shí)不符，因極顯然：正項(xiàng)數(shù)列與負(fù)項(xiàng)數(shù)列有根本區(qū)別，且按“相等”的含義兩無窮數(shù)列an和bn當(dāng)且僅當(dāng)其

56、分別包含一樣多個(gè)數(shù)且an必=bn時(shí)它們才相等數(shù)列起碼常識(shí)。“皇帝新裝”中人們不察皇帝光身，反而認(rèn)為其“穿了件只有非蠢人才能看得見的高級(jí)時(shí)裝”，現(xiàn)實(shí)中師生們百年不察“偉大數(shù)學(xué)家”康脫赤裸裸錯(cuò)誤，反而認(rèn)為“這是聰明人才能理解的高深理論”。12.證明有最小、大正數(shù)起碼數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)常識(shí)凸顯N只是正整數(shù)全體的滄海一粟，凸顯有未知正數(shù)x沒對(duì)應(yīng)數(shù)1010x等質(zhì)量為M=kx的地球上一砬質(zhì)量為x的沙子被風(fēng)揚(yáng)起到天上，M就受到擾動(dòng)而變?yōu)?kx+（-x）kx+0，若x則x與kx(k1固定不變)相比始終總是等價(jià)于一沙子與地球相比，以致于還可視x為0而忽略。同樣，定義域?yàn)镈的y=1010x+微不足道的微擾項(xiàng)x主部101

57、0x+0x>0是說變域是D的微擾余項(xiàng)x（可）與y的主要部分1010x微擾項(xiàng)x>0僅占y的1/（1010+1）相比實(shí)在是總距0太近了以致于可視其為0而忽略即說Dxy相比下全都是微不足道而可忽略不計(jì)的極小正數(shù)表明D(N)只是正數(shù)全體的滄海一粟（y的首項(xiàng)可是10100x等等）。若x的變域D=N就表明N只是正整數(shù)全體的滄海一粟。若D=R+就表明.。關(guān)鍵是有起碼數(shù)學(xué)常識(shí)：當(dāng)所論數(shù)均為正數(shù)(正整數(shù))時(shí)絕不可將可取一切正數(shù)(正整數(shù))的x視為0而忽略;邏輯學(xué)常識(shí)：若J各元相比下都是0的極小正數(shù)則J絕不可含全部正數(shù)。R2面中的點(diǎn)(x ,y)中的y可稱為點(diǎn)的高度（可<0），定義域?yàn)镽+的射線y1

58、=1010x（x>0）的元點(diǎn)(x,y1)均垂直上升使其高度均由y1（幾乎沒變化地）變?yōu)閥2=1010x+xy1=1010x生成元是點(diǎn)(x,y2)的射線y2(x)y1;兩射線幾乎重合是因點(diǎn)（x，y2）與點(diǎn)（x，y1）的距離y2-y1=x(變域是R+)相比下總距0太近從而使兩點(diǎn)相比下總幾乎重合在一起,即各點(diǎn)(x,y1)上升的高度x相比下均0, 亦即R+x相比下均0。故中學(xué)斷定D可=S+（依據(jù)是自識(shí)正數(shù)幾千年來一直認(rèn)定的“常識(shí)i”：不論哪一正數(shù)x都有對(duì)應(yīng)kx>x），是膚淺認(rèn)識(shí)。真正常識(shí)推翻“常識(shí)i”揭示D絕不可含一切正數(shù)。因凡有對(duì)應(yīng)數(shù)1010xS+的正數(shù)x均D故D外正數(shù)x必沒對(duì)應(yīng)1010xS+,此x是數(shù)學(xué)一直未能識(shí)的正數(shù)。所以“各元>0相比下均0的D含一切正數(shù)”中的D是違反起碼數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)常識(shí)的“自相矛盾的非集”。x距0的遠(yuǎn)近性不能孤立片面地僅與定量相比而更要與論域中別的變量y及1010x相比。再三證明有0：證1：設(shè)U=（0，1）ÌS+中一切有性質(zhì)a（見第7節(jié)）的元y=kx>x>0組成U（或=U或ÌU，中學(xué)斷定=U）。由0<y=kx<1知0<x<1/k，