湘教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理

1、湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納第一章 二元一次方程組 一、二元一次方程組1、概念：二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)（即次數(shù)）都是1的方程，叫二元一次方程。如：2X+3y=18,x+y=3,5x+2y=23,8x+2y=11等二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程（或一個(gè)是一元一次方程，另一個(gè)是二元一次方程；或兩個(gè)都是一元一次方程；但未知數(shù)個(gè)數(shù)仍為兩個(gè)）合在一起，就組成了二元一次方程組。如2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解： 使二元一次方程左右兩邊的值相等（即等式成立）的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫二元一次方程的解。 使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫二元一次方程

2、組的解。注：、因?yàn)槎淮畏匠毯袃蓚€(gè)未知數(shù)，所以，二元一次方程的解是一組（對(duì)）數(shù)，用大括號(hào)聯(lián)立；、一個(gè)二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組；、而二元一次方程組的解是其中兩個(gè)二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數(shù)組或無解（即無公共解）。二元一次方程組的解的討論：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 已知二元一次方程組 、 當(dāng)a1/a2 b1/b2 時(shí)，有唯一解；、 當(dāng)a1/a2 = b1/b2 c1/c2時(shí)，無解；、 當(dāng)a1/a2 = b1/b2 = c1/c2時(shí)，有無數(shù)解。x + y = 42x + 2y = 8 x + y = 32x +

3、2y = 5 x + y = 43x - 5y = 9 例如：對(duì)應(yīng)方程組：、 、 、例：判斷下列方程組是否為二元一次方程組：x = 112x + 3y = 0 3t + 2s = 5ts + 6 = 0 x = 4y = 5 a + b = 2b + c = 3 、 、 、 、 3、用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)： 用含X的代數(shù)式表示Y，就是先把X看成已知數(shù)，把Y看成未知數(shù)；用含Y的代數(shù)式表示X，則相當(dāng)于把Y看成已知數(shù)，把X看成未知數(shù)。例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代數(shù)式表示y為：_,用含y的代數(shù)式表示x為:_。4、根據(jù)二元一次方程的定義求字母系數(shù)的值：要抓住兩個(gè)方

4、面：、未知數(shù)的指數(shù)為1，、未知數(shù)前的系數(shù)不能為0例：已知方程 (a-2)x(/a/-1) (b+5)y(b2-24) = 3 是關(guān)于x、y的二元一次方程，求a、b的值。5、求二元一次方程的整數(shù)解例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整數(shù)解。思路：利用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的方法，可以求出方程有正整數(shù)解時(shí)x、y的取值范圍，然后再進(jìn)一步確定解。x = 3 y = - 1 再例：、如果 是方程組 ax - 2y = 5 2x + by = 3 的解，求 a-b 的值。ax + 5y = 15, 4x - by = -2, 、甲、乙兩人共解方程組 由于甲看錯(cuò)了方程中的a，得到

5、的方程組的解x = 5, y = 4, x = - 3, y = - 1, 為 乙看錯(cuò)了方程中的b，得到的方程組的解為 試計(jì)算a2009 + (-b/10)2010的值。二、二元一次方程組的解法消元 （整體思想就是：消去未知數(shù)，化“二元”為“一元”）1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為： 、從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；、將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程

6、（不能代入原來的方程哦！），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；、解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；、將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式（或原來的方程組中任一個(gè)方程）中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；、把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來，就是方程組的解。2、加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等（或利用等式的性質(zhì)可變?yōu)橄喾椿蛳嗟龋r(shí)，將兩個(gè)方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為： 、方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)既不相

7、反又不相等時(shí)，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項(xiàng)都要乘以這個(gè)數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；、把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；、解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；、將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來，就是方程組的解。例：解方程組：、x/2+ y/3 = 13/2 x/3 y/4 = 3/2 4y(2y + x + 16)/2 = -6x 2y + 3x = 7 2x - y 、3、用換元法解方程組：根據(jù)題目的特點(diǎn)，利用換元法簡(jiǎn)化求解，

8、同時(shí)應(yīng)注意換元法求出的解要代回關(guān)系式中，求出方程組中未知數(shù)的解。5/(x+1) + 4/(y-2) = 2 7/(x+1) 3/(y-2) = 13/20 例：、解方程組：2(x+2)-3(y-1) = 13 3(x+2)+5(y-1) = 30.9 a = 8.3 b = 1.2 2a-3b = 13 3a+5b = 30.9 、已知方程組 的解是 ，則方程組 的解是：（ ）x = 10.3 y = 0.2 x = 6.3 y = 2.2 x = 10.3 y = 2.2 x = 8.3 y = 1.2 A、 B、 C、 D、4、用整體代入法解方程組：2x - y = 6 (x+2y)(4x

9、2y)= 192 例：解方程組： 解：5、另外幾種類型的例題：（1）、已知代數(shù)式x²+ ax + b，當(dāng)x = -1時(shí)，它的值是5，當(dāng)x =1時(shí)，它的值是-1，求當(dāng)x =2時(shí)，代數(shù)式的值。5x + y = 3mx + 5y = 4x - 2y = 55x + ny = 1（2）、已知方程組 與 有相同的解，求m，n的值。3x - 5y = 2m2x + 7y = m-18（3）、已知方程組 的解x、y互為相反數(shù)，求m、x以及y的值。2x - y = k3x + y = k+1（4）、關(guān)于x、y的方程組 的解，也是方程2x + y = 3的解，求k的值。（5）、某蔬菜公司收購到某種蔬菜

10、140噸，準(zhǔn)備加工后上市銷售。該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或者粗加工16噸。現(xiàn)計(jì)劃用15天完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務(wù)？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后的利潤為2000元，那么照此安排，該公司出售這些加工后的蔬菜共獲利多少元？三、實(shí)際問題與二元一次方程組1、利用二元一次方程組解實(shí)際應(yīng)用問題的一般過程為：審題并找出數(shù)量關(guān)系式 > 設(shè)元（設(shè)未知數(shù)） > 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程組 > 解方程組 > 檢驗(yàn)并作答（注意：此步驟不要忘記）2、列方程組解應(yīng)用題的常見題型： （1）、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式

11、是：較大量 - 較小量 = 相差量 ，總量 = 倍數(shù) × 倍量； （2）、產(chǎn)品配套問題：解這類題的基本等量關(guān)系式是：加工總量成比例； （3）、速度問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：路程 = 速度 × 時(shí)間，包括相遇問題、追及問題等； （4）、航速問題：、順流（風(fēng)）：航速 = 靜水（無風(fēng)）時(shí)的速度 + 水（風(fēng)）速； 、逆流（風(fēng)）：航速 = 靜水（無風(fēng)）時(shí)的速度 水（風(fēng)）速； （5）、工程問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：工作總量 = 工作效率×工作時(shí)間，（有時(shí)需把工作總量看作1）； （6）、增長率問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：原量×（1+增長率）= 增長后的

12、量，原量×（1-減少率）= 減少后的量； （7）、盈虧問題：解這類問題的關(guān)鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個(gè)角度來把握事物的總量； （8）、數(shù)字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示； （9）、幾何問題：解這類問題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計(jì)算公式； （10）、年齡問題：解這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)相等。例1：一批水果運(yùn)往某地，第一批360噸，需用6節(jié)火車車廂加上15輛汽車，第二批440噸，需用8節(jié)火車車廂加上10輛汽車，求每節(jié)火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸？例2：甲、乙兩物體分別在周長為400米的環(huán)形軌道上運(yùn)動(dòng)，已知它

13、們同時(shí)從一處背向出發(fā)，25秒后相遇，若甲物體先從該處出發(fā)，半分鐘后乙物體再從該處同向出發(fā)追趕甲物體，則再過3分鐘后才趕上甲，假設(shè)甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。 例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，甲的速度比乙大，當(dāng)二人反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每150秒相遇一次，當(dāng)二人同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每10分鐘相遇一次，求二人的速度。例4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 ：7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4 ：1，今要得到酒精與水的比是3 ：2的酒精溶液50kg，求甲、乙兩種溶液各取多少kg？例5：一張方桌由一個(gè)桌面和四條桌腿組成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50

14、個(gè)，或制作桌腿300條，現(xiàn)有5立方米木料，請(qǐng)問，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此時(shí)，可以制成多少張方桌？例6：某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時(shí)50千米的速度行駛，就會(huì)遲到24分鐘，如果他以每小時(shí)75千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達(dá)乙地，求甲、乙兩地間的距離。例7：某農(nóng)場(chǎng)有300名職工耕種51公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花、蔬菜三種農(nóng)作物，已知種植各種農(nóng)作物每公頃所需勞動(dòng)力人數(shù)及投入資金如右表：已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃投入資金67萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種農(nóng)作物的種植面積才能使所有職工都有工作而且投入資金正好夠用？農(nóng)作物品種每公頃需勞動(dòng)力每公頃需投入資金水稻4人1

15、萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2萬元例8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元，一個(gè)50人的旅游團(tuán)到該酒店租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？例9：某山區(qū)有23名中、小學(xué)生因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要a元，資助一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要b元。某校學(xué)生積極捐款，初中各年級(jí)學(xué)生捐款數(shù)額與使用這些捐款恰好資助受捐助中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如右表：（1）、求a、b的值；年級(jí)捐款數(shù)額（元）捐助貧困中學(xué)生人數(shù)（名）捐助貧困小學(xué)生人數(shù)（名）初一年級(jí)400024初二年級(jí)420033初三年級(jí)7400（2）初三

16、年級(jí)的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用，請(qǐng)分別計(jì)算出初三年級(jí)的捐款所資助的中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)。四、三元一次方程組的解法1、概念：由三個(gè)方程組成方程組，且方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含有的未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。注：三元一次方程組中的三個(gè)方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)”的條件即可。2、解三元一次方程組的基本思想：一元一次方程消元>(代入法、加減法)二元一次方程組消元>(代入法、加減法)三元一次方程組3x + 4z = 72x + 3y + z = 95x 9y + 7z = 83x + 4y + z = 14x

17、 + 5y + 2z = 172x + 2y - z = 3例1：解方程組 例2：在y = ax²+bx+c中，當(dāng)x=1時(shí)，y=0；x=2時(shí)，y=3；x=3時(shí),y=28，求a、b、c的值。當(dāng)x = -1時(shí)，y的值是多少？例3：甲、乙、丙三數(shù)之和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個(gè)數(shù)。例4：小明從家到學(xué)校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每小時(shí)行3千米，平路每小時(shí)行4千米，下坡路每小時(shí)行5千米，那么小明從家到學(xué)校需要1小時(shí)，從學(xué)?；丶抑恍枰?4分鐘。求小明家到學(xué)校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？第二章 整式的乘法

18、1同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n ，底數(shù)不變，指數(shù)相加. 2冪的乘方與積的乘方：(am)n=amn ，底數(shù)不變，指數(shù)相乘； (ab)n=anbn ，積的乘方等于各因式乘方的積.3單項(xiàng)式的乘法：系數(shù)相乘，相同字母相乘，只在一個(gè)因式中含有的字母，連同指數(shù)寫在積里.4單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.5多項(xiàng)式的乘法：(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.6乘法公式：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，兩個(gè)數(shù)的和與

19、這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；（2）完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2, 兩個(gè)數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍； (a-b)2=a2-2ab+b2 , 兩個(gè)數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍； (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，略.7配方：（1）若二次三項(xiàng)式x2+px+q是完全平方式,則有關(guān)系式：； （2）二次三項(xiàng)式ax2+bx+c經(jīng)過配方，總可以變?yōu)閍(x-h)2+k的形式，利用a(x-h)2+k可以判斷ax2+bx+c值的符號(hào)； 當(dāng)x=h時(shí)，可求出ax2+bx+c的最大（或最?。┲祂.（3）注意：.8同底數(shù)冪的除

20、法：am÷an=am-n ，底數(shù)不變，指數(shù)相減.9零指數(shù)與負(fù)指數(shù)公式: （1）a0=1 (a0)； a-n=,(a0). 注意：00，0-2無意義；（2）有了負(fù)指數(shù)，可用科學(xué)記數(shù)法記錄小于1的數(shù)，例如：0.0000201=2.01×10-5 .第三章 因式分解1. 因式分解 定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。 即：多項(xiàng)式幾個(gè)整式的積 例：因式分解是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。2.因式分解的方法： （1）提公因式法： 定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這個(gè)變形就是提公因式法

21、分解因式。公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。 例：的公因式是 解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8、6，它們的最大公約數(shù)為2；字母部分都含有因式，故多項(xiàng)式的公因式是2.提公因式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式，提公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式。注意：提取公因式后，對(duì)另一個(gè)因式要注意整理并化簡(jiǎn)，務(wù)必使因式最簡(jiǎn)。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號(hào)的，要先提取符號(hào)。例1：把分解因式. 解析：本題的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母的最低次冪是ab，故公因式為6

22、ab。 解：例2：把多項(xiàng)式分解因式解析：由于，多項(xiàng)式可以變形為,我們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式（）,所以我們可以提取公因式（）后,再將多項(xiàng)式寫成積的形式.解：=例3：把多項(xiàng)式分解因式 解：= （2）運(yùn)用公式法 定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。 注意：公式中的字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。 選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮完全平方公式。例1：因式分解 解：例2：因式分解 解： （3）分組分解法（拓展） 將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解；例：把多項(xiàng)式分解因式

23、 解：= 將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解. 例：將多項(xiàng)式因式分解解：= （4）十字相乘法（形如形式的多項(xiàng)式，可以考慮運(yùn)用此種方法） 方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)，這兩數(shù)的和為一次項(xiàng)系數(shù) 例：分解因式 分解因式補(bǔ)充點(diǎn)詳解 補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將-30分解成p×q的形式， 我們可以將100分解成p×q的形式，使p+q=-1, p×q=-30,我們就有p=-6, 使p+q=52, p×q=100,我們就有p=2,q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。 所以將多項(xiàng)式可以分 所以將多項(xiàng)式可以分解為 解為52 -6503.因式分解的一般步驟： 如果

24、多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的積的形式。一、 例題解析提公因式法提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，一般要將公因式提到括號(hào)外面.確定公因式的方法：系數(shù)取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母(或多項(xiàng)式因式)取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最

25、低次冪.【例 1】 分解因式：(為正整數(shù))(、為大于1的自然數(shù))【鞏固】 分解因式： ，為正整數(shù).【例 2】 先化簡(jiǎn)再求值，其中，l 求代數(shù)式的值：，其中.【例 3】 已知：，求的值.n 分解因式：.公式法平方差公式：公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號(hào)相反；每一項(xiàng)都可以化成某個(gè)數(shù)或式的平方形式；右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積.完全平方公式： 左邊相當(dāng)于一個(gè)二次三項(xiàng)式；左邊首末兩項(xiàng)符號(hào)相同且均能寫成某個(gè)數(shù)或式的完全平方式；左邊中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)或式的積的2倍，符號(hào)可正可負(fù)；右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項(xiàng)的符號(hào)決定.一些需要了解

26、的公式： 第四章相交線與平行線一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)二、知識(shí)要點(diǎn)1、在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有 兩 種： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一種特殊情況。圖1 1 3 4 2 2、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫 平行線 。如果兩條直線只有 一個(gè) 公共點(diǎn)，稱這兩條直線相交；如果兩條直線 沒有 公共點(diǎn)，稱這兩條直線平行。3、兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有 公共頂點(diǎn) 且有 一條公共邊 的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角的性質(zhì)： 鄰補(bǔ)角互補(bǔ) 。如圖1所示， 與 互為鄰補(bǔ)角， 與 互為鄰補(bǔ)角。 + = 180°； + = 180°； + = 180°； + = 180°

27、;。4、兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的 反向延長線 ，這樣的兩個(gè)角互為 對(duì)頂角 。對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。如圖1所示， 與 互為對(duì)頂角。 = ； = 。5、兩條直線相交所成的角中，如果有一個(gè)是 直角或90°時(shí)，稱這兩條直線互相垂直，圖2 1 3 4 2 a b 其中一條叫做另一條的垂線。如圖2所示，當(dāng) = 90°時(shí)， 。垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。性質(zhì)3：如圖2所示，當(dāng) a b 時(shí)， = = = = 90°。圖3 a 5 7 8 6 1 3

28、 4 2 b c 點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫點(diǎn)到直線的距離。6、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角基本特征：在兩條直線(被截線)的 同一方 ，都在第三條直線(截線)的 同一側(cè) ，這樣的兩個(gè)角叫 同位角 。圖3中，共有 對(duì)同位角： 與 是同位角； 與 是同位角； 與 是同位角； 與 是同位角。在兩條直線(被截線) 之間 ，并且在第三條直線(截線)的 兩側(cè) ，這樣的兩個(gè)角叫 內(nèi)錯(cuò)角 。圖3中，共有 對(duì)內(nèi)錯(cuò)角： 與 是內(nèi)錯(cuò)角； 與 是內(nèi)錯(cuò)角。在兩條直線(被截線)的 之間 ，都在第三條直線(截線)的 同一旁 ，這樣的兩個(gè)角叫 同旁內(nèi)角 。圖3中，共有 對(duì)同旁內(nèi)角： 與 是同旁內(nèi)角； 與

29、 是同旁內(nèi)角。7、平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。圖4 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c 平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。如圖4所示，如果ab，則 = ； = ； = ； = 。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。如圖4所示，如果ab，則 = ； = 。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如圖4所示，如果ab，則 + = 180°； + = 180°。圖5 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c 性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果ab，ac，

30、則。8、平行線的判定： 判定1：同位角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果 = 或 = 或 = 或 = ，則ab。判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果 = 或 = ，則ab 。判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。如圖5所示，如果 + = 180°； + = 180°，則ab。判定4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果ab，ac，則 。9、判斷一件事情的語句叫命題。命題由 題設(shè) 和 結(jié)論 兩部分組成，有 真命題 和 假命題 之分。如果題設(shè)成立，那么結(jié)論 一定 成立，這樣的命題叫 真命題 ；如果題設(shè)成立，那么結(jié)論 不一定 成立，這樣的命題叫假命題。真命題的正確性是

31、經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。10、平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移變換，簡(jiǎn)稱平移。平移后，新圖形與原圖形的 形狀 和 大小 完全相同。平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。平移性質(zhì)：平移前后兩個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等；對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等。第五章 旋轉(zhuǎn)一.知識(shí)框架二知識(shí)概念1.旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)圖形按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。（圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固

32、定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段的長度、對(duì)應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。） 2.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°，大于360°）。 3中心對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱：中心對(duì)稱圖形：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個(gè)圖形成中心對(duì)稱圖形。中心對(duì)稱：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個(gè)圖形重合，那么我們就說，這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱。 4.中心對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形

33、是全等形。關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。一、精心選一選 (每小題3分，共30分)下面的圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ） A B C D 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（2,3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （）A（3，2）B (2,3）C（2，3）D(2，3）3張撲克牌如圖1所示放在桌子上，小敏把其中一張旋轉(zhuǎn)180º后得到如圖（2）所示，則她所旋轉(zhuǎn)的牌從左數(shù)起是（ ）A第一張 B第二張 C第三張 D第四張?jiān)谙聢D右側(cè)的四個(gè)三角形中，不能由ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的是（）ABCABCD圖33如圖3

34、的方格紙中，左邊圖形到右邊圖形的變換是（）A向右平移7格B以AB的垂直平分線為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱，再以AB為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱C繞AB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800，再以AB為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱D以AB為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱，再向右平移7格從數(shù)學(xué)上對(duì)稱的角度看，下面幾組大寫英文字母中，不同于另外三組的一組是（ ）AA N E GBK B X NCX I H ODZ D W H 圖4如圖4，C是線段BD上一點(diǎn)，分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊ABC和等邊CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有( )A1對(duì)B2對(duì)C3對(duì)D4對(duì)下列這些復(fù)雜的圖案都是在一個(gè)圖案的基礎(chǔ)上，在“幾何畫板”軟件

35、中拖動(dòng)一點(diǎn)后形成的，它們中每一個(gè)圖案都可以由一個(gè)“基本圖案”通過連續(xù)旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)的角度是（ ）A B C D 圖5如圖5所示，圖中的一個(gè)矩形是另一個(gè)矩形順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后形成的個(gè)數(shù)是（ ）Al個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)圖6如圖6，ABC和ADE都是等腰直角三角形，C和ADE都是直角，點(diǎn)C在AE上，ABC繞著A點(diǎn)經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能夠與ADE重合得到圖7，再將圖23A4作為“基本圖形”繞著A點(diǎn)經(jīng)過逆時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)得到圖7.兩次旋轉(zhuǎn)的角度分別為（ ）圖7A45°，90°B90°，45°C60°，30°D30°，60二、

36、耐心填一填（每小題3分，共24分）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過 ，而且被_平分.在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形這五種圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是_時(shí)鐘上的時(shí)針不停地旋轉(zhuǎn)，從上午8時(shí)到上午11時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角是_如圖8，ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得ABC，則ABB是 三角形.已知0，則點(diǎn)（2，3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)1在第象限 如圖9，COD是AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°后所得的圖形，點(diǎn)C恰好在AB上，AOD90°，則D的度數(shù)是 如圖10，在兩個(gè)同心圓中，三條直徑把大圓分成相等的六部分，若大圓的半

37、徑為2，則圖中陰影部分的面積是.如圖11，四邊形ABCD中，BAD=C=90º，AB=AD，AEBC于E，若線段AE=5，則S四邊形ABCD。圖11圖10圖8 圖9三、細(xì)心解一解（共46分）圖12（6分）如圖12，四邊形ABCD的BAD=C=90º,AB=AD,AEBC于E,旋轉(zhuǎn)后能與重合。(1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)? (2）旋轉(zhuǎn)了多少度?(3）如果點(diǎn)A是旋轉(zhuǎn)中心，那么點(diǎn)B經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到什么位置？20（4分）如圖13，請(qǐng)畫出關(guān)于點(diǎn)O點(diǎn)為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形圖13（6分）如圖14，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)的

38、坐標(biāo)為把向上平移5個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的，畫出，并寫出的坐標(biāo)；以原點(diǎn)為對(duì)稱中心，再畫出與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)圖14圖1518（4分）如圖15，方格中有一條美麗可愛的小金魚(1）若方格的邊長為1，則小魚的面積為 (2）畫出小魚向左平移3格后的圖形（不要求寫作圖步驟和過程）圖16（6分）如圖16,E、F分別是正方形ABCD的邊CD、DA上一點(diǎn)，且CEAFEF，請(qǐng)你用旋轉(zhuǎn)的方法求EBF的大小19（8分）將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片和將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這時(shí)與相交于點(diǎn)CAEFDBCDOAFB(E)ADOFCB(E)圖圖圖（

39、1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn)，在同一直線上時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是 2分（2）當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由（3）在圖中，連接，探索與之間有怎樣的位置關(guān)系，并證明第六章 數(shù)據(jù)的分析一、知識(shí)點(diǎn)講解：1.平均數(shù)：（1）算術(shù)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，有n個(gè)數(shù)據(jù)，則它們的算術(shù)平均數(shù)為 .（2）加權(quán)平均數(shù)： 若在一組數(shù)字中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，那么 叫做、的加權(quán)平均數(shù)。其中，、分別是、的權(quán). 權(quán)的理解:反映了某個(gè)數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中的重要程度。權(quán)的表示方法：比、百分比、頻數(shù)（人數(shù)、個(gè)數(shù)、次數(shù)等）。2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置

40、的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 4.平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系相同點(diǎn)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的相同之處主要表現(xiàn)在：都是來描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量；都可用來反映數(shù)據(jù)的一般水平；都可用來作為一組數(shù)據(jù)的代表。不同點(diǎn)它們之間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下方面。1）、定義不同平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 。眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。2）、求

41、法不同平均數(shù)：用所有數(shù)據(jù)相加的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),需要計(jì)算才得求出。中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。它的求出不需或只需簡(jiǎn)單的計(jì)算。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，不必計(jì)算就可求出。3）、個(gè)數(shù)不同在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都具有惟一性，但眾數(shù)有時(shí)不具有惟一性。在一組數(shù)據(jù)中，可能不止一個(gè)眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)。4）、代表不同平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來一代表數(shù)據(jù)的總體 “平均水平”。中位數(shù)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用

42、來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”。眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖反映有所不同，但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表。5）、特點(diǎn)不同平均數(shù)：與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)。主要缺點(diǎn)是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)。中位數(shù)：與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)它沒有影響；它是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，不受數(shù)據(jù)極端值的影響。眾數(shù)：與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率的考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，不受極端值的影響,其缺點(diǎn)是具有不惟一性，一組數(shù)據(jù)中可能會(huì)有一個(gè)眾數(shù)，也可

43、能會(huì)有多個(gè)或沒有 。6）、作用不同平均數(shù)：是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值，比較可靠和穩(wěn)定，因?yàn)樗c每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，反映出來的信息最充分。平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況，也可以用來作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。因此，它在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說的平均成績、平均身高、平均體重等。中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù)。但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適。眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù)。在一組數(shù)據(jù)中，如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng)，且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時(shí)用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表

44、示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”就比較適合。5.極差：一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差。極差反映的是數(shù)據(jù)的變化范圍。 6.方差：設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是，我們用它們的平均數(shù)，即用來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。 當(dāng)一組數(shù)據(jù)比較小時(shí)可以用公式計(jì)算。方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，就越穩(wěn)定。標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根，即并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.它也是一個(gè)用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量.7.極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：聯(lián)系：極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來衡量（或描述）一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。床▌?dòng)大?。┑闹笜?biāo)，常

45、用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。區(qū)別：極差是用一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差來反映數(shù)據(jù)的變化范圍，主要反映一組數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值之間的差異情況，對(duì)其他的數(shù)據(jù)的波動(dòng)不敏感。方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的結(jié)果，主要反映整組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，是反映一組數(shù)據(jù)與其平均值離散程度的一個(gè)重要指標(biāo)，每個(gè)數(shù)年據(jù)的變化都將影響方差的結(jié)果，是一個(gè)對(duì)整組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況更敏感的指標(biāo)。在實(shí)際使用時(shí)，往往計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際是方差的一個(gè)變形，只是方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，而標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)單位相同。8.數(shù)據(jù)的收集與整理的步驟： 1.收集數(shù)據(jù) 

46、0;  2.整理數(shù)據(jù)    3.描述數(shù)據(jù)   4.分析數(shù)據(jù)   5.撰寫調(diào)查報(bào)告   6.交流  9.平均數(shù)、方差的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，xn的平均數(shù)是，方差是s2。那么（1）一組新數(shù)據(jù)x1+b，x2+b，x3+b，xn+b的平均數(shù)是+b，方差是s2。（2） 一組新數(shù)據(jù)ax1，ax2，ax3，axn的平均數(shù)是a，方差是a2s2.（3）一組新數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，ax3+b，axn+b的平均數(shù)是a+b，方差是a2s2.二、典型例題：15名同學(xué)目測(cè)同一本教科書的寬度時(shí)，產(chǎn)生的誤差如下（單位：mm）：，則這組數(shù)據(jù)的極差