高三數(shù)學(xué) 7.1空間幾何體教案

1、7.1空間幾何體【高考目標(biāo)定位】一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1、考綱點(diǎn)擊（1）認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；（2）能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖；（3）會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；（4）會(huì)畫(huà)某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）。2、熱點(diǎn)提示1、高考考查的熱點(diǎn)是三視圖和幾何體的結(jié)構(gòu)特征，借以考查空間想象能力；2、以選擇、

2、填空的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中。二、空間幾何體的表面積與體積1、考綱點(diǎn)擊了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）；2、熱點(diǎn)提示（1）通過(guò)考查幾何體的表面積和體積，借以考查空間想象能力和計(jì)算能力；（2）多與三視圖、簡(jiǎn)單組合體相聯(lián)系；（3）以選擇、填空的形式考查，屬容易題?！究季V知識(shí)梳理】一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1、多面體的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱（以三棱柱為例）如圖：平面ABC與平面A1B1C1間的關(guān)系是平行，ABC與A1B1C1的關(guān)系是全等。各側(cè)棱之間的關(guān)系是：A1AB1BC1C，且A1A=B1B=C1C。（2）棱錐（以四棱錐為例）如圖：一個(gè)面是四邊形，四

3、個(gè)側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形。（3）棱臺(tái)棱臺(tái)可以由棱錐截得，其方法是用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分為棱臺(tái)。2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征旋轉(zhuǎn)體都可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)出下列幾何體的平面圖形及旋轉(zhuǎn)軸。3、空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的開(kāi)關(guān)和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。4、空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：（1）原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45o（或135o），z軸與x軸和y軸所在平面垂直；（2）原圖形中平行

4、于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行。平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中減半。5、平行投影與中心投影平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。注：空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度和投影效果上的區(qū)別是：（1）觀察角度：三視圖是從三個(gè)不同位置觀察幾何體而畫(huà)出的圖形；直觀圖是從某一點(diǎn)觀察幾何體而畫(huà)出的圖形；（2）投影效果：三視圖是正投影下的平面圖形，直觀圖是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形。二、空間幾何體的表面積和體積1、旋轉(zhuǎn)體的表面積名稱圖形表面積圓柱S=2r(r+)圓錐S=r(r+)圓臺(tái)球2、幾何體的體積公式（1）設(shè)棱（圓）柱的底面積為S，高為h，則體積

5、V=Sh;（2）設(shè)棱（圓）錐的底面積為S，高為h，則體積V=Sh;（3）設(shè)棱（圓）臺(tái)的上、下底面積分別為S，S，高為h，則體積V=（+S）h;（4）設(shè)球半徑為R，則球的體積V=。注：對(duì)于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決。【熱點(diǎn)難點(diǎn)精析】一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征相關(guān)鏈接1、幾種常見(jiàn)的多面體（1）正方體（2）長(zhǎng)方體（3）直棱柱：指的是側(cè)棱垂直于底面的棱柱，特別地當(dāng)?shù)酌媸钦噙呅螘r(shí)，這樣的直棱柱叫正棱柱；（4）正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐。特別地，各條棱均相等的正三棱錐又叫正四面體

6、；（5）平行六面體：指的是底面為平行四邊形的四棱柱。2、理解并掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)培養(yǎng)空間想象能力，進(jìn)一步研究幾何體中的線面位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系非常重要，每種幾何體的定義都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，注意?duì)比記憶。例題解析例1平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類(lèi)似地，寫(xiě)出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件 充要條件 思路解析：利用類(lèi)比推理中“線面”再驗(yàn)證一下所給出的條件是否正確即可。解答：平行六面體實(shí)質(zhì)是把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體，因此“平行四邊形”與“平行六四體”有著性質(zhì)上的“相似性”。平行四邊形平行六面體兩組對(duì)邊分別平行一組對(duì)

7、邊平行且相等對(duì)角線互相平分兩組相對(duì)側(cè)面分別平行一組相對(duì)側(cè)面平行且全等對(duì)角線交于一點(diǎn)且互相平分答案：兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)且互相平行；底面是平行四邊形（任選兩個(gè)即可）。例2一正方體表面沿著幾條棱裁開(kāi)放平得到如圖的展開(kāi)圖，則在原正方體中（ ）A ABCD B ABEF C CDGH D ABGH解答：選C。折回原正方體如圖，則C與E重合，D與B重合。顯見(jiàn)CDGH（二）幾何體的三視圖相差鏈接1、幾何體的三視圖的排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖一樣，側(cè)視圖放在正視圖右面，高度與正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣，即“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”注意虛、實(shí)線的區(qū)

8、別。注：嚴(yán)格按排列規(guī)則放置三視圖，并用虛線標(biāo)出長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，對(duì)準(zhǔn)確把握幾何體很有利。2、應(yīng)用：在解題的過(guò)程中，可以根據(jù)三視圖的的及圖中所涉及到的線段的長(zhǎng)度，推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系及圖中一些線段的長(zhǎng)度，這樣我們就可以解出有關(guān)的問(wèn)題。例題解析例如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫(huà)出（單位：cm）.在正視圖下面，按照畫(huà)三視圖的要求畫(huà)出該多面體的俯視圖。思路解析：根據(jù)正視圖和側(cè)視圖可確定出點(diǎn)G、F的位置，從而可以畫(huà)出俯視圖。解答：如圖：（三）幾何體的直觀圖相關(guān)鏈接畫(huà)幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫(huà)法，步驟清晰易掌握，其規(guī)則可以

9、用“斜”（兩坐標(biāo)軸成450或1350）和“二測(cè)”（平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變）來(lái)掌握，在高考中常借助于求平面圖或直觀圖的面積來(lái)考查畫(huà)法中角度和長(zhǎng)度的變化。例題解析例（1）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖。（2）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么ABC的平面直觀圖的面積為 思路解析：（1）三視圖確定幾何體結(jié)構(gòu)畫(huà)直觀圖（2）根據(jù)規(guī)則求出的高即可。解答：（1）由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，它的下部是一個(gè)不在此列四棱臺(tái)，上部是一個(gè)正四棱錐。畫(huà)法：畫(huà)軸。如圖，畫(huà)x軸、y軸、z軸,使xOy=450,xOz=900.畫(huà)底面。利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出底面AB

10、CD，在z軸上截取使等于三視圖中相應(yīng)高度，過(guò)作的平行線，Oy的平行線，利用與畫(huà)出底面；畫(huà)正四棱錐頂點(diǎn)。在Oz上截取點(diǎn)P，使P等于三視圖中相應(yīng)的高度；成圖。連接，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖所示。（2）如圖、所示的實(shí)際圖形和直觀圖。由圖可知，在圖中作答案：（四）截面問(wèn)題例棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖所示，求圖中三角形（正四面體的截面）的面積。思路解析：截面過(guò)正四面體的兩頂點(diǎn)及球心，則必過(guò)對(duì)棱的中點(diǎn)。解答：如圖，ABE為題中的三角形，由已知得AB=2，BE=，BF=，AF=，ABE的面積為注：解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮

11、自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對(duì)照分析，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系。與球有關(guān)的截面問(wèn)題為了增加圖形的直觀性，解題時(shí)常常畫(huà)一個(gè)截面圓起襯托作用。二、空間幾何體的表面積與體積（一）幾何體的展開(kāi)與折疊相關(guān)鏈接1、幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開(kāi)圖求得的。利用了空間問(wèn)題平面化的思想。把一個(gè)平面圖形折疊成一個(gè)幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的展開(kāi)與折疊是高考的一個(gè)熱點(diǎn)；2、幾何體的展開(kāi)圖（1）多面體的展開(kāi)圖；直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形；正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形。（2

12、）旋轉(zhuǎn)體的展開(kāi)圖圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，矩形的長(zhǎng)是底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的母線長(zhǎng)；圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)；圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長(zhǎng)分別為圓臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng)。注：圓錐中母線長(zhǎng)與底面半徑r和展開(kāi)圖扇形中半徑和弧長(zhǎng)間的關(guān)系及符號(hào)容易混淆。例題解析例有一根長(zhǎng)為3cm,底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？思路解析：把圓柱沿這條母線展開(kāi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離。解答：把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開(kāi)，在平面上得到矩形ABCD（如圖），由題意知B

13、C=3cm，AB=4cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度。AC=5cm，故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5cm。（二）幾何體的表面積相關(guān)鏈接1、高考中對(duì)幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運(yùn)算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決；2、多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和。圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；3、組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理。例題解析例如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 思路解析：三視圖直觀圖（圓柱與球的組合體）圓柱的底面半徑、高及球半徑代入公式求解解答：由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)球和圓柱組合而成的幾何體，球的直徑為2，圓柱的底面直徑為2，高為3，則，幾何體的表面積為S=4+8=12。答案：12（三）幾何體的體積例一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，求這個(gè)三棱錐的體積。思路解析：本題為求棱錐的體積問(wèn)題。已知底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積。解答：如圖所示，正三棱錐S-ABC。設(shè)H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高。連接AH并延長(zhǎng)交BC于E，則E為BC的中點(diǎn)，且AHBC