高三數學 7.1空間幾何體教案

1、7.1空間幾何體【高考目標定位】一、空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖1、考綱點擊（1）認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；（2）能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖；（3）會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；（4）會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）。2、熱點提示1、高考考查的熱點是三視圖和幾何體的結構特征，借以考查空間想象能力；2、以選擇、

2、填空的形式考查，有時也出現在解答題中。二、空間幾何體的表面積與體積1、考綱點擊了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）；2、熱點提示（1）通過考查幾何體的表面積和體積，借以考查空間想象能力和計算能力；（2）多與三視圖、簡單組合體相聯系；（3）以選擇、填空的形式考查，屬容易題?！究季V知識梳理】一、空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖1、多面體的結構特征（1）棱柱（以三棱柱為例）如圖：平面ABC與平面A1B1C1間的關系是平行，ABC與A1B1C1的關系是全等。各側棱之間的關系是：A1AB1BC1C，且A1A=B1B=C1C。（2）棱錐（以四棱錐為例）如圖：一個面是四邊形，四

3、個側面是有一個公共頂點的三角形。（3）棱臺棱臺可以由棱錐截得，其方法是用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分為棱臺。2、旋轉體的結構特征旋轉體都可以由平面圖形旋轉得到，畫出旋轉出下列幾何體的平面圖形及旋轉軸。3、空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的開關和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖。4、空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：（1）原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45o（或135o），z軸與x軸和y軸所在平面垂直；（2）原圖形中平行

4、于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行。平行于x軸和z軸的線段長度在直觀圖不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中減半。5、平行投影與中心投影平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點。注：空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度和投影效果上的區(qū)別是：（1）觀察角度：三視圖是從三個不同位置觀察幾何體而畫出的圖形；直觀圖是從某一點觀察幾何體而畫出的圖形；（2）投影效果：三視圖是正投影下的平面圖形，直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形。二、空間幾何體的表面積和體積1、旋轉體的表面積名稱圖形表面積圓柱S=2r(r+)圓錐S=r(r+)圓臺球2、幾何體的體積公式（1）設棱（圓）柱的底面積為S，高為h，則體積

5、V=Sh;（2）設棱（圓）錐的底面積為S，高為h，則體積V=Sh;（3）設棱（圓）臺的上、下底面積分別為S，S，高為h，則體積V=（+S）h;（4）設球半徑為R，則球的體積V=。注：對于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補的方法，轉化成已知體積公式的幾何體進行解決?！緹狳c難點精析】一、空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖（一）空間幾何體的結構特征相關鏈接1、幾種常見的多面體（1）正方體（2）長方體（3）直棱柱：指的是側棱垂直于底面的棱柱，特別地當底面是正多邊形時，這樣的直棱柱叫正棱柱；（4）正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心的棱錐。特別地，各條棱均相等的正三棱錐又叫正四面體

6、；（5）平行六面體：指的是底面為平行四邊形的四棱柱。2、理解并掌握空間幾何體的結構特征，對培養(yǎng)空間想象能力，進一步研究幾何體中的線面位置關系或數量關系非常重要，每種幾何體的定義都是非常嚴謹的，注意對比記憶。例題解析例1平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件 充要條件 思路解析：利用類比推理中“線面”再驗證一下所給出的條件是否正確即可。解答：平行六面體實質是把一個平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體，因此“平行四邊形”與“平行六四體”有著性質上的“相似性”。平行四邊形平行六面體兩組對邊分別平行一組對

7、邊平行且相等對角線互相平分兩組相對側面分別平行一組相對側面平行且全等對角線交于一點且互相平分答案：兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點且互相平行；底面是平行四邊形（任選兩個即可）。例2一正方體表面沿著幾條棱裁開放平得到如圖的展開圖，則在原正方體中（ ）A ABCD B ABEF C CDGH D ABGH解答：選C。折回原正方體如圖，則C與E重合，D與B重合。顯見CDGH（二）幾何體的三視圖相差鏈接1、幾何體的三視圖的排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣，側視圖放在正視圖右面，高度與正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣，即“長對正，高平齊，寬相等”注意虛、實線的區(qū)

8、別。注：嚴格按排列規(guī)則放置三視圖，并用虛線標出長、寬、高的關系，對準確把握幾何體很有利。2、應用：在解題的過程中，可以根據三視圖的的及圖中所涉及到的線段的長度，推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的關系及圖中一些線段的長度，這樣我們就可以解出有關的問題。例題解析例如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角后所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側視圖在下面畫出（單位：cm）.在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖。思路解析：根據正視圖和側視圖可確定出點G、F的位置，從而可以畫出俯視圖。解答：如圖：（三）幾何體的直觀圖相關鏈接畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，步驟清晰易掌握，其規(guī)則可以

9、用“斜”（兩坐標軸成450或1350）和“二測”（平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變）來掌握，在高考中常借助于求平面圖或直觀圖的面積來考查畫法中角度和長度的變化。例題解析例（1）如圖是一個幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖。（2）已知正三角形ABC的邊長為a,那么ABC的平面直觀圖的面積為 思路解析：（1）三視圖確定幾何體結構畫直觀圖（2）根據規(guī)則求出的高即可。解答：（1）由三視圖知該幾何體是一個簡單的組合體，它的下部是一個不在此列四棱臺，上部是一個正四棱錐。畫法：畫軸。如圖，畫x軸、y軸、z軸,使xOy=450,xOz=900.畫底面。利用斜二測畫法畫出底面AB

10、CD，在z軸上截取使等于三視圖中相應高度，過作的平行線，Oy的平行線，利用與畫出底面；畫正四棱錐頂點。在Oz上截取點P，使P等于三視圖中相應的高度；成圖。連接，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖所示。（2）如圖、所示的實際圖形和直觀圖。由圖可知，在圖中作答案：（四）截面問題例棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖所示，求圖中三角形（正四面體的截面）的面積。思路解析：截面過正四面體的兩頂點及球心，則必過對棱的中點。解答：如圖，ABE為題中的三角形，由已知得AB=2，BE=，BF=，AF=，ABE的面積為注：解決這類問題的關鍵是準確分析出組合體的結構特征，發(fā)揮

11、自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對照分析，找出幾何體中的數量關系。與球有關的截面問題為了增加圖形的直觀性，解題時常常畫一個截面圓起襯托作用。二、空間幾何體的表面積與體積（一）幾何體的展開與折疊相關鏈接1、幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開圖求得的。利用了空間問題平面化的思想。把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是高考的一個熱點；2、幾何體的展開圖（1）多面體的展開圖；直棱柱的側面展開圖是矩形；正棱錐的側面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；正棱臺的側面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形。（2

12、）旋轉體的展開圖圓柱的側面展開圖是矩形，矩形的長是底面圓周長，寬是圓柱的母線長；圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長。注：圓錐中母線長與底面半徑r和展開圖扇形中半徑和弧長間的關系及符號容易混淆。例題解析例有一根長為3cm,底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少？思路解析：把圓柱沿這條母線展開，將問題轉化為平面上兩點間的最短距離。解答：把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如圖），由題意知B

13、C=3cm，AB=4cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度。AC=5cm，故鐵絲的最短長度為5cm。（二）幾何體的表面積相關鏈接1、高考中對幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運算能力，只要正確把握幾何體的結構，準確應用面積公式，就可以順利解決；2、多面體的表面積是各個面的面積之和。圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和；3、組合體的表面積應注意重合部分的處理。例題解析例如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是 思路解析：三視圖直觀圖（圓柱與球的組合體）圓柱的底面半徑、高及球半徑代入公式求解解答：由三視圖可知，該幾何體是由一個球和圓柱組合而成的幾何體，球的直徑為2，圓柱的底面直徑為2，高為3，則，幾何體的表面積為S=4+8=12。答案：12（三）幾何體的體積例一個正三棱錐的底面邊長為6，側棱長為，求這個三棱錐的體積。思路解析：本題為求棱錐的體積問題。已知底面邊長和側棱長，可先求出三棱錐的底面積和高，再根據體積公式求出其體積。解答：如圖所示，正三棱錐S-ABC。設H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長即為該正三棱錐的高。連接AH并延長交BC于E，則E為BC的中點，且AHBC