高中數(shù)學(xué)解題36個大招

1、數(shù)學(xué)破題 36 個大招目 錄高考數(shù)學(xué)常考問題-大闖關(guān)（36 關(guān)）錯誤！未定義書簽。目 錄1第 1 關(guān)： 極值點偏移問題-對數(shù)不等式法錯誤！未定義書簽。第 2 關(guān)： 參數(shù)范圍問題常見解題 6 法7第 3 關(guān)： 數(shù)列求和問題解題策略 8 法10第 4 關(guān)： 絕對值不等式解法問題7 大類型15第 5 關(guān)： 三角函數(shù)最值問題解題 9 法22第 6 關(guān)： 求軌跡方程問題6 大常用方法28第 7 關(guān)： 參數(shù)方程與極坐標(biāo)問題“考點”面面看41第 8 關(guān)： 均值不等式問題拼湊 8 法48第 9 關(guān)： 不等式恒成立問題8 種解法探析54第 10 關(guān)： 圓錐曲線最值問題5 大方面60第 11 關(guān)： 排列組合應(yīng)用問

2、題解題 21 法64第 12 關(guān)： 幾何概型問題5 類重要題型71第 13 關(guān)： 直線中的對稱問題4 類對稱題型74第 14 關(guān)： 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題4 大解題技巧76第 15 關(guān)： 函數(shù)中易混問題11 對82第 16 關(guān)： 三項展開式問題破解“四法”88第 17 關(guān)： 由遞推關(guān)系求數(shù)列通項問題“不動點”法89第 18 關(guān)： 類比推理問題高考命題新亮點93第 19 關(guān)： 函數(shù)定義域問題知識大盤點99第 20 關(guān)： 求函數(shù)值域問題7 類題型 16 種方法107第 21 關(guān)： 求函數(shù)解析式問題7 種求法130第 22 關(guān)：解答立體幾何問題5 大數(shù)學(xué)思想方法134第 23 關(guān)： 數(shù)列通項公式常見

3、 9 種求法140第 24 關(guān)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題9 種錯解剖析152第 25 關(guān)：三角函數(shù)與平面向量綜合問題6 種類型155第 26 關(guān)：概率題錯解分類剖析7 大類型162第 27 關(guān)：抽象函數(shù)問題分類解析165第 28 關(guān)：三次函數(shù)專題全解全析169第 29 關(guān)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題大盤點181第 30 關(guān)：解析幾何與向量綜合問題知識點大掃描192第 31 關(guān)：平面向量與三角形四心知識的交匯193第 32 關(guān)：數(shù)學(xué)解題的“靈魂變奏曲”轉(zhuǎn)化思想197第 33 關(guān)：函數(shù)零點問題求解策略209第 34 關(guān)：求離心率取值范圍常見 6 法214第 35 關(guān)：高考數(shù)學(xué)選擇題解題策略217第 36 關(guān)

4、：高考數(shù)學(xué)填空題解題策略228以下只要證明上述函數(shù)不等式即可.以下我們來看看對數(shù)不等式的作用.題目 1：（2015 長春四模題）已知函數(shù)有兩個零點，則下列說法錯誤的是 A.B.C.D.有極小值點，且【答案】C【解析】函數(shù)導(dǎo)函數(shù)：有極值點，而極值，A 正確. 有兩個零點：，即：-得：根據(jù)對數(shù)平均值不等式：，而，B 正確，C 錯誤而+得：，即 D 成立.題目 2：（2011 遼寧理）已知函數(shù).若函數(shù)的圖像與軸交于兩點，線段中點的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】原題目有 3 問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)，則，-得：，化簡得：而根據(jù)對數(shù)平均值不等式：等式代換到上

5、述不等式根據(jù)：（由得出）式變?yōu)椋?，在函?shù)單減區(qū)間中，即：題目 3：(2010 天津理)已知函數(shù).如果，且.證明：.【解析】原題目有 3 問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)，則，兩邊取對數(shù)-得：根據(jù)對數(shù)平均值不等式題目 4：（2014 江蘇南通市二模）設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于兩點，且.證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項取對數(shù)得：-得：，即：根據(jù)對數(shù)平均值不等式：，+得：根據(jù)均值不等式：函數(shù)在單調(diào)遞減由題于與交于不同兩點，易得出則上式簡化為:第 2 關(guān)： 參數(shù)范圍問題常見解題 6 法求解參數(shù)的取值范圍是一類常見題型近年來在各地的模擬試題以及高

6、考試題中更是屢屢出現(xiàn)學(xué)生遇到這類問題，較難找到解題的切入點和突破口，下面介紹幾種解決這類問題的策略和方法一、確定“主元”思想常量與變量是相對的，一般地，可把已知范圍的那個看作自變量，另一個看作常量例 1.對于滿足 0的一切實數(shù)，不等式 x2+px>4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范圍分析：習(xí)慣上把 x 當(dāng)作自變量，記函數(shù) y= x2+(p-4)x+3-p,于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng) p時 y>0 恒成立，求 x 的范圍解決這個問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實根分布原理，這是相當(dāng)復(fù)雜的若把 x 與 p 兩個量互換一下角色，即 p 視為變量，x 為常量，則上述問題可轉(zhuǎn)化為在0,4內(nèi)關(guān)于 p

7、 的一次函數(shù)大于 0 恒成立的問題解：設(shè) f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，當(dāng) x=1 時顯然不滿足題意由題設(shè)知當(dāng) 0時 f(p)>0 恒成立，f(0)>0,f(4)>0 即 x2-4x+3>0 且 x2-1>0，解得 x>3 或 x<-1x 的取值范圍為 x>3 或 x<-1二、分離變量對于一些含參數(shù)的不等式問題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行分離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題。例 2若對于任意角總有成立，求的范圍 分析與解：此式是

8、可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價變形為恒成立根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值， 這樣問題化歸為怎樣求的最小值 因為即時，有最小值為 0，故評析：一般地,分離變量后有下列幾種情形：f(x)g(k)f(x)ming(k)f(x)> g(k)g(k) < f(x) minf(x)g(k)f(x) maxg(k)f(x)<g(k)f(x) max < g(k) 三、數(shù)形結(jié)合對于含參數(shù)的不等式問題，當(dāng)不等式兩邊的函數(shù)圖象形狀明顯，我們可以作出它們的圖象，來達(dá)到解決問題的目的例 3設(shè)，若不等式恒成立，求 a 的取值范圍分析與解：若設(shè)函數(shù)，則， 其圖象為上半圓設(shè)函數(shù)，其

9、圖象為直線 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象如圖，依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心到直線的距離且時成立，即 a 的取值范圍為四、分類討論當(dāng)不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時，應(yīng)用分類討論的方法來處理，分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素，為問題的解決提供新的條件。例 4當(dāng)時，不等式恒成立，求 a 的取值范圍得解：（1）當(dāng)時，由題設(shè)知恒成立，即，而解（2）當(dāng)時，由題設(shè)知恒成立，即，而解得a 的取值范圍是五、利用判別式當(dāng)問題可化為一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立的問題，可用判別式來求解例 5不等式，對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：在 R 上恒成立，R故實數(shù)的取值范圍是，解得.一般

10、地二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c 恒正，f(x)=ax2+bx+c 恒負(fù).六、構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造出函數(shù)，通過對函數(shù)性質(zhì)的研究，來達(dá)到解決問題的目的例 6已知不等式對于一切大于 1 的自然數(shù) 都成立，求實數(shù)的取值范圍分析：注意到不等式僅僅左邊是與 有關(guān)的式子，從函數(shù)的觀點看，左邊是關(guān)于 的函數(shù)，要使原不等式成立，即要求這個函數(shù)的最小值大于右式如何求這個函數(shù)的最小值呢？這又是一個非常規(guī)問題，應(yīng)該從研究此函數(shù)的單調(diào)性入手解：設(shè),N是關(guān)于N的遞增函數(shù)，則=.要使不等式成立，只須，解之得.實數(shù)的取值范圍是以上介紹了求參數(shù)的取值范圍問題的處理方法，在具體解題中可能要用到兩種或兩種以上的方法，應(yīng)靈活處理第

11、3 關(guān)： 數(shù)列求和問題解題策略 8 法數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考和數(shù)學(xué)競賽中都占有十分重要的地位，數(shù)列求和問題是數(shù)列的基本內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點和重點。由于數(shù)列求和問題題型多樣，技巧性也較強(qiáng)，以致成為數(shù)列的一個難點。鑒于此，下面就數(shù)列求和問題的常見解題策略作一歸納，供廣大師生參考。 1、公式法求和若所給數(shù)列的通項是關(guān)于 n 的多項式，此時可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列舉如下：等差數(shù)列求和公式：，等比數(shù)列求和公式：自然數(shù)的方冪和： k3=13+23+33+n3= n2 (n+1)2， k=1+2+3

12、+n= n(n+1)， k2=12+22+32+n2= n(n+1)(2 n+ 1)例 1 已知數(shù)列，其中，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求。解：由題意，是首項為 ，公差為的等差數(shù)列前項和，2、錯位相減法求和若數(shù)列的通項公式為，其中，中有一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比 q，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯位相減法。它在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n 項和公式時曾用到的方法。例 2 已知當(dāng)時，求數(shù)列的前 n 項和；解：當(dāng)時， 由題可知，的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的通項之積，這時數(shù)列 的前

13、項和 式兩邊同乘以 ，得式減去式，得若，若，3、反序相加法求和將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n 個，Sn 表示從第一項依次到第 n項的和，然后又將 Sn 表示成第 n 項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到 Sn 的一種求和方法。也稱倒寫相加法，這是在推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項和公式時曾用到的方法.例 3 設(shè)， 利 用 課 本 中 推 導(dǎo) 等 差 數(shù) 列 的 前項 和 的 公 式 的 方 法 ， 可 求 得的值為： 解：因為 f（x）=，f（1x）=f（x）+f（1x）=.設(shè) S=f（5）+f（4）+f（6），則 S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（

14、f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）=6S=f（5）+f（4）+f（0）+f（6）=3. 4、拆項重組求和.有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，能分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列的和、差，則對拆開后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和也稱分組求和法. 例 4 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前 n 項和.解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得：Sn5、裂項相消法求和有些數(shù)列求和的問題，可以對相應(yīng)的數(shù)列的通項公式加以變形，將其寫成兩項的差，這樣整個數(shù)列求和的各加數(shù) 都按同樣的方法裂成兩項之差，其中每項的被減數(shù)一定是后面某項的減數(shù)，從而經(jīng)過逐

15、項相互抵消僅剩下有限項，可得出前項和公式這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，也稱為分裂通項法。它適用于型（其中 是各項不為 0 的等差數(shù)列，c 為常數(shù)）、部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。常見拆項公式有：； ； ； ； 等例 5 設(shè)數(shù)列的前項的和，令，求解：由題意得：（其中 n 為正整數(shù)）所以：。6、并項求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一 起先求和，然后再求和 。例 6 設(shè)數(shù)列的首項為 ，前 項和 滿足關(guān)系式： 設(shè)數(shù)列 的公比為 ，作數(shù)列 使，求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1.解:由題

16、意知為等比數(shù)列，得 ，故= ，故：bn=，可知b2n1和b2n是首項分別為 1 和，公差均為的等差數(shù)列。于是 b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2（b1b3）+b4（b3b5）+b6（b5b7）+b2n（b2n1+b2n+1）=（b2+b4+b2n）=（2n2+3n） 7、累加法給出數(shù)列 的遞推式和初始值，若遞推式可以巧妙地轉(zhuǎn)化為 型，可以考慮利用累加法求和， 此法也叫疊加法。例7數(shù)列的前項和為，已知，求解：由得：，即，對成立。由，累加得：，又，所以，當(dāng)時，也成立8 多法并取求和根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的

17、規(guī)律來求數(shù)列的前 n 項和，它通常集分組、裂項、公式求和于一體，是一個解決綜合性數(shù)列求和的重要途徑.例 8 已知數(shù)列an：的值.解：第 4 關(guān)： 絕對值不等式解法問題7 大類型類型一：形如型不等式解法:根據(jù)的符號，準(zhǔn)確的去掉絕對值符號，再進(jìn)一步求解.這也是其他類型的解題基礎(chǔ). 1、 當(dāng)時，或2 、 當(dāng)，無解3、 當(dāng)時，使的解集，無解例 1 不等式的解集為（）A.B.使成立的的解集.C.D.解：因為，所以.即，解得：，所以，故選 A.類型二：形如型不等式解法：將原不等式轉(zhuǎn)化為以下不等式進(jìn)行求解：或需要提醒一點的是，該類型的不等式容易錯解為：例 2 不等式的解集為（ ）AB.CD.解：或或，故選

18、D類型三：形如，型不等式，這類不等式如果用分類討論的方法求解，顯得比較繁瑣， 其簡潔解法如下解法：把看成一個大于零的常數(shù)進(jìn)行求解，即：，或例 3 設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是 解：，故填：.類型四：形如型不等式解法：可以利用兩邊平方，通過移項，使其轉(zhuǎn)化為：“兩式和”與“兩式差”的積的方法進(jìn)行，即：例 4 不等式的解集為 解：所以原不等式的解集為類型五：形如型不等式解法：先利用絕對值的定義進(jìn)行判斷，再進(jìn)一步求解，即：，無解例 5 解關(guān)于的不等式解：（1） 當(dāng)時，原不等式等價于：（2） 當(dāng)時，原不等式等價于：（3） 當(dāng)時，原不等式等價于：或或綜上所述（1） 當(dāng)時，原不等式的解集為：（2） 當(dāng)時，原不

19、等式的解集為：（3） 當(dāng)時，原不等式的解集為：類型六：形如使恒成立型不等式.解法：利用和差關(guān)系式：，結(jié)合極端性原理即可解得，即：；例 6 不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是（）AB.C.D.解 ： 設(shè)函數(shù)所以而不等式對任意的實數(shù)恒成立類型七：形如故，故選擇 A，1、解法：對于解含有多個絕對值項的不等式，常采用零點分段法，根據(jù)絕對值的定義分段去掉絕對值號，最后把各種情況綜合得出答案，其步驟是：找出零點，確定分段區(qū)間；分段求解，確定各段解集；綜合取并，去掉所求解集， 亦可集合圖像進(jìn)行求解.例 7 解不等式分析：找出零點：確定分段區(qū)間：解：（1）當(dāng)時，原不等式可化為： 解得：因為，所

20、以不存在（2） 當(dāng)時，原不等式可化為：解得：又因為，所以（3） 當(dāng)時，原不等式可化為：，解得：又，所以綜上所述，原不等式的解集為：2、特別地，對于形如，型不等式的解法，除了可用零點分段法外，更可轉(zhuǎn)化為以下不等式，即：或例 8 設(shè)函數(shù)（1） 若，解不等式（2） 如果求的范圍解：（1） 當(dāng)由得：即：或解得：，即：或故不等式的解集為：（2） 由得：即：或即：或因為恒成立，所以成立，解得：或故的取值范圍為：絕對值不等式一直是高中教學(xué)中的一個難點，我們通過化歸思想將其進(jìn)行等價變換，從而避免了繁瑣的討論，減 小了運算量，以上所介紹的七種類型的含有絕對值的不等式總體上囊括了近幾年高考中有關(guān)的題目，當(dāng)然方法可

21、能并不為一，在解決此類問題的時候很多人也比較喜歡使用數(shù)形結(jié)合的方法來處理，這其實也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式多樣化的統(tǒng)一美.方法是多種多樣的，只是無論多么優(yōu)秀的方法最終也是用來解題的工具，如果我們僅僅是停留在最求方法的多樣 化而忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想，那么就有點得不償失了.第 5 關(guān)： 三角函數(shù)最值問題解題 9 法三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運算工具，三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問題。 這部分內(nèi)容是一個難點，它對三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高。解決這一類問題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角

22、函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問題。下面就介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法：一 配方法若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，切它們次數(shù)是 2 時，一般就需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理。例 1 函數(shù)的最小值為（）.A2B .0C .D .6分析本題可通過公式將函數(shù)表達(dá)式化為，因含有 cosx 的二次式，可換元，令 cosx=t，則配方，得,當(dāng) t=1 時,即 cosx=1 時，,選 B.例 2 求函數(shù) y=5sinx+cos2x 的最值分析 ：觀察三角函數(shù)名和角，其中一個為正弦，一個為余弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡，使三角函數(shù)的

23、名和角達(dá)到統(tǒng)一。二 引入輔助角法例 3 已知函數(shù)當(dāng)函數(shù) y 取得最大值時，求自變量 x 的集合。分析 此類問題為的三角函數(shù)求最值問題，它可通過降次化簡整理為 型求解。解：三 利用三角函數(shù)的有界性在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法。例 4 求函數(shù)的值域分析 此為型的三角函數(shù)求最值問題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，這類三角函數(shù)一般先化為部分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解?；蛘咭部上扔梅唇夥ǎ儆萌呛瘮?shù)的有界性去解。解法一：原函數(shù)變形為，可直接得到：或解法一：原函數(shù)變形為或例 5 已知函數(shù)，求函數(shù)

24、 f(x)的最小正周期和最大值。分析 在本題的函數(shù)表達(dá)式中，既含有正弦函數(shù)，又有余弦函數(shù)，并且含有它們的二次式，故需設(shè)法通過降次化二次為一次式，再化為只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的表達(dá)式。解：f(x)的最小正周期為，最大值為 。四 引入?yún)?shù)法（換元法）對于表達(dá)式中同時含有 sinx+cosx，與 sinxcosx 的函數(shù)，運用關(guān)系式一般都可采用換元法轉(zhuǎn)化為 t 的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍。例 6 求函數(shù) y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。分析解：令 sinx+cosx=t，則， 其中 當(dāng)五 利用基本不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理的拆添項，湊

25、常數(shù)，同時要注意等號成立的條件，否則會陷入誤區(qū)。例 7 求函數(shù)的最值。解：= 當(dāng)且僅當(dāng)即 時，等號成立，故。六 利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例 8 已知，求函數(shù)的最小值。分析 此題為型三角函數(shù)求最值問題，當(dāng) sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來求解。設(shè)，在（0，1）上為減函數(shù)，當(dāng) t=1 時，。七 數(shù)形結(jié)合由于，所以從圖形考慮，點(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題可考慮用幾何方法求得。例 9 求函數(shù)的最小值。分析 法一：將表達(dá)式改寫成y 可看成連接兩點 A(2,0)與點(cosx,sinx

26、)的直線的斜率。由于點(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓（如圖），所以求 y 的最小值就是在這個半圓上求一點，使得相應(yīng)的直線斜率最小。設(shè)過點 A 的切線與半圓相切與點 B,則可求得所以 y 的最小值為（此時）.法二：該題也可利用關(guān)系式 asinx+bcosx=（即引入輔助角法）和有界性來求解。八 判別式法例 10 求函數(shù)的最值。分析 同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法。解：時此時一元二次方程總有實數(shù)解由 y=3，tanx=-1，由九 分類討論法含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問題，需要對參數(shù)進(jìn)行討論。例 11 設(shè)，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a).解：令 sinx

27、=t,則（1） 當(dāng)，即在0，1上遞增，（2） 當(dāng)即時，在0，1上先增后減，（3） 當(dāng)即在0，1上遞減，以上幾種方法中又以配方法和輔助角法及利用三角函數(shù)的有界性解題最為常見。解決這類問題最關(guān)鍵的在于對三角函數(shù)的靈活應(yīng)用及抓住題目關(guān)鍵和本質(zhì)所在。第 6 關(guān)： 求軌跡方程問題6 大常用方法知識梳理：（一）求軌跡方程的一般方法：1. 待定系數(shù)法：如果動點 P 的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。2. 直譯法：如果動點 P 的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷

28、，但點 P 滿足的等量關(guān)系易于建立， 則可以先表示出點 P 所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點 P 的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點 P 運動的某個幾何量 t，以此量作為參變數(shù)， 分別建立 P 點坐標(biāo) x，y 與該參數(shù) t 的函數(shù)關(guān)系 xf（t），yg（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程 F（x，y）0。4. 代入法（相關(guān)點法）：如果動點 P 的運動是由另外某一點 P'的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出 P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點 P'的坐

29、標(biāo)，然后把 P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點 P 的軌跡方程。5. 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點的坐標(biāo)較簡單。6：交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點（含 參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程）， 該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的注意事項：1. 求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運動變化中，發(fā)現(xiàn)動點 P 的運動規(guī)律，即 P 點滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會動中求靜，變中求不變。

30、來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。3. 求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點不在軌跡上），又要檢驗是否丟解。（即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。 檢驗方法：研究運動中的特殊情形或極端情形。4. 求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。課前熱身：1. P 是橢圓=1 上的動點，過 P 作橢圓長軸的垂線，垂足為 M，則 PM 中點的軌跡中點的軌跡方程為：（）A、B、C、D、=1【答案】：B【解答】:令中點坐標(biāo)為,則點 P 的坐標(biāo)為(代入橢圓方程得,選 B2.

31、 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（）ABCD【答案】：D【解答】:令圓心坐標(biāo)為(,則由題意可得,解得,則圓的方程為,選 D3: 一動圓與圓 O：外切，而與圓 C：內(nèi)切，那么動圓的圓心 M 的軌跡是：A：拋物線 B：圓 C：橢圓【答案】：DD：雙曲線一支【解答】令動圓半徑為 R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選 D。4: 點 P(x0，y0)在圓 x2+y2=1 上運動，則點 M（2x0，y0）的軌跡是（）A.焦點在 x 軸上的橢圓B. 焦點在 y 軸上的橢圓C. 焦點在 y 軸上的雙曲線D. 焦點在 X 軸上的雙曲線【答案】：A【解答】:令 M 的

32、坐標(biāo)為則代入圓的方程中得,選 A【互動平臺】一：用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時， 要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要動點滿足已知曲線定義時，通過待定系數(shù)法就可以直接得出方程。例 1：已知 的頂點 A，B 的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C 為動點，且滿足求點 C 的軌跡?！窘馕觥坑煽芍?，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）?！军c評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲

33、線方程的關(guān)鍵。（1） 圓：到定點的距離等于定長（2） 橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)（大于兩定點的距離）（3） 雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點的距離）（4） 到定點與定直線距離相等?！咀兪?1】: 1:已知圓的圓心為 M1，圓的圓心為 M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心 P 的軌跡方程。解：設(shè)動圓的半徑為 R，由兩圓外切的條件可得：，。12動圓圓心 P 的軌跡是以 M 、M 為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動圓與圓 O：外切，而與圓 C：內(nèi)切，那么動圓的圓心 M 的軌跡是：A：拋物線 B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【解答】令動圓

34、半徑為 R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選 D。二：用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。全國高中資料啟東中學(xué)資料共享群：700578906衡水中學(xué)資料共享群：720605560 共享群：765266758臺州中學(xué)資料共享群：276463099雅禮中學(xué)資料共享群：915349821成都七中資料共享群：920385244 長郡中學(xué)資料共享群：310601280例 2：一條線段 AB的長等于 2a,兩個端點 A和 B分別在 x 軸和 y 軸上滑動，求 AB中點 P的軌跡方程？ 解 設(shè) M 點的坐標(biāo)為由平幾的中線定理：在直角三角形 AOB中，OM=M點的軌跡是以 O為

35、圓心，a 為半徑的圓周.【點評】此題中找到了 OM=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1） 代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動點的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方 法求其軌跡。2） 列出符合題設(shè)條件的等式：有時題中無坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡 方程。3） 運用有關(guān)公式：有時要運用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動點坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4） 借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股 定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)

36、等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.【變式 2】: 動點 P（x,y）到兩定點 A（3，0）和 B（3，0）的距離的比等于 2（即 ），求動點 P的軌跡方程？【解答】|PA|=代入 得化簡得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4 為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例 3過點 P（2，4）作兩條互相垂直的直線 l1，l2，若 l1 交 x 軸于 A 點，l2 交 y 軸于 B 點，求線段 AB 的中點 M 的軌跡方程?！窘馕觥糠治?1：從運動的角度觀

37、察發(fā)現(xiàn)，點 M 的運動是由直線 l1 引發(fā)的，可設(shè)出 l1 的斜率 k 作為參數(shù)，建立動點 M 坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法 1：設(shè) M（x，y），設(shè)直線 l1 的方程為 y4k（x2），（k）M 為 AB 的中點，消去 k，得 x2y50。另外，當(dāng) k0 時，AB 中點為 M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當(dāng) k 不存在時，AB 中點為 M（1，2），也滿足上述軌跡方程。綜上所述，M 的軌跡方程為 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 時，需注意 k1、k2 是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用 PAB 為直角三角形的幾何特性：解法 2：設(shè) M（x，y），

38、連結(jié) MP，則 A（2x，0），B（0，2y），l1l2，PAB 為直角三角形化簡，得 x2y50，此即 M 的軌跡方程。分析 3：設(shè) M（x，y），由已知 l1l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用 M 點坐標(biāo)表示 A、B 兩點坐標(biāo)。事實上，由 M 為 AB 的中點，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法 3：設(shè) M（x，y），M 為 AB 中點，A（2x，0），B（0，2y）。又 l1，l2 過點 P（2，4），且 l1l2PAPB，從而 kPA·kPB1，注意到 l1x 軸時，l2y 軸，此時 A（2，0），B（0，4）中點 M（1，2），經(jīng)檢驗

39、，它也滿足方程 x2y50綜上可知，點 M 的軌跡方程為 x2y50?！军c評】1）解法 1 用了參數(shù)法，消參時應(yīng)注意取值范圍。解法 2，3 為直譯法，運用了 kPA·kPB1，這些等量關(guān)系用參數(shù)法求解時，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標(biāo)取值范圍的影響【變式 3】過圓 O：x2 +y2= 4 外一點 A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦 BC 的中點 M 的軌跡解法一：“幾何法”設(shè)點 M 的坐標(biāo)為（x,y）,因為點 M 是弦 BC

40、的中點，所以 OMBC,所以|OM | | | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16化簡得：（x2）2+ y2 =4由方程 與方程 x2 +y2= 4 得兩圓的交點的橫坐標(biāo)為 1，所以點 M 的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以 M 的軌跡是以（2，0）為圓心， 2 為半徑的圓在圓 O 內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法”設(shè)點 M 的坐標(biāo)為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線 AB 的方程為 y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0 (*),由點 M 為 BC 的中點，所以 x=.(1) , 又 OMBC，所以 k=(

41、2)由方程（1）（2）消去 k 得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.所以點 M 的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以 M 的軌跡是以（2，0）為圓心，2 為半徑的圓在圓 O 內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程例 4.軌跡方程。分析：題中涉及了三個點 A、B、M，其中 A 為定點，而 B、M 為動點，且點 B 的運動是有規(guī)律的，顯然 M 的運動是由 B 的運動而引發(fā)的，可見 M、B 為相關(guān)點，故采用相關(guān)點法求動點 M 的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)動點 M 的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè) B 點坐標(biāo)為（x0，y0）則由 M 為線段 AB 中點，可得即

42、點 B 坐標(biāo)可表為（2x2a，2y）【點評】代入法的關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標(biāo)間的等量關(guān)系【變式 4】如圖所示，已知 P(4，0)是圓 x2+y2=36 內(nèi)的一點，A、B 是圓上兩動點，且滿足APB=90°，求矩形 APBQ的頂點 Q 的軌跡方程【解析】： 設(shè) AB 的中點為 R，坐標(biāo)為(x,y)，則在 RtABP 中，|AR|=|PR|又因為 R 是弦 AB 的中點，依垂徑定理在RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0因此點 R 在一個圓上，而當(dāng) R 在此圓上

43、運動時，Q 點即在所求的軌跡上運動設(shè) Q(x,y)，R(x1,y1)，因為 R 是 PQ 的中點，所以 x1=,代入方程 x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程【備選題】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（I） 若動點滿足（其中為坐標(biāo)原點），求點的軌跡方程；（II） 在 軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則 則，由得即QQ 群：238455466于是的中點坐標(biāo)為當(dāng)不與 軸垂直時，即 又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)

44、與 軸垂直時，求得，也滿足上述方程 所以點的軌跡方程是（II）假設(shè)在 軸上存在定點，使為常數(shù)當(dāng)不與 軸垂直時，設(shè)直線的方程是 代入有則是上述方程的兩個實根，所以， 于是因為是與 無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當(dāng)與 軸垂直時，點的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時故在軸上存在定點，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與 軸垂直時，設(shè)直線的方程是 代入有則是上述方程的兩個實根，所以由得當(dāng)時，由得，將其代入有整理得當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與 軸垂直時，求得，也滿足上述方程故點的軌跡方程是（II） 假設(shè)在 軸上存在定點點，使為常數(shù)，當(dāng)不與 軸垂直時，由（I）有， 以上同解法一的（II）【誤區(qū)警示】1.

45、 錯誤診斷【例題 5】中，B，C 坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為 16，求點 A 的軌跡方程?！境Ｒ婂e誤】由題意可知，|AB|+|AC|=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為【錯因剖析】ABC 為三角形，故 A，B，C 不能三點共線?！菊_解答】ABC 為三角形， 故 A， B， C 不能三點共線。軌跡方程里應(yīng)除去點， 即軌跡方程為2. 誤區(qū)警示1：在求軌跡方程中易出錯的是對軌跡純粹性及完備性的忽略，因此，在求出曲線方程的方程之后， 應(yīng)仔細(xì)檢查有無“不法分子”摻雜其中，將其剔除；另一方面，又要注意有無“漏網(wǎng)之魚”仍逍遙法外， 要將其“捉拿歸案”

46、。2：求軌跡時方法選擇尤為重要，首先應(yīng)注意定義法，幾何法，直接法等方法的選擇。3：求出軌跡后，一般畫出所求軌跡，這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分?！菊n外作業(yè)】【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1: 已知兩點給出下列曲線方程： ； ； ； ，在曲線上存在點 P 滿足的所有曲線方程是（）ABCD【答案】:D【解答】: 要使得曲線上存在點 P 滿足,即要使得曲線與 MN 的中垂線有交點.把直線方程分別與四個曲線方程聯(lián)立求解,只有無解,則選 D2. 兩條直線與的交點的軌跡方程是 .【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點 O 作圓的弦 0A，則弦的中點 M 的軌跡

47、方程是 .【解答】:令 M 點的坐標(biāo)為(,則 A 的坐標(biāo)為(2,代入圓的方程里面得:4:當(dāng)參數(shù) m 隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為 。【分析】：把所求軌跡上的動點坐標(biāo) x，y 分別用已有的參數(shù) m 來表示，然后消去參數(shù) m，便可得到動點的軌跡方程?！窘獯稹浚簰佄锞€方程可化為它的頂點坐標(biāo)為消去參數(shù) m 得：故所求動點的軌跡方程為。5:點 M 到點 F（4，0）的距離比它到直線的距離小 1，則點 M 的軌跡方程為 ?！痉治觥浚狐c M 到點 F（4，0）的距離比它到直線的距離小 1，意味著點 M 到點 F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出點 M 的軌跡方程。【解答】

48、：依題意，點 M 到點 F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點 M 的軌跡是以 F（4，0）為焦點、為準(zhǔn)線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點距離的比為 1：2 的點的軌跡方程為 【分析】:設(shè)動點為 P，由題意，則依照點 P 在運動中所遵循的條件，可列出等量關(guān)系式?！窘獯稹浚涸O(shè)是所求軌跡上一點，依題意得由兩點間距離公式得：化簡得：7 拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于 A、B 兩點，動點 C 在拋物線上，求ABC 重心 P 的軌跡方程?！痉治觥浚簰佄锞€的焦點為。設(shè)ABC 重心 P 的坐標(biāo)為，點 C 的坐標(biāo)為。其中【解答】：因點是重心，則由分點坐標(biāo)公式得：即由點在拋物線上，得：將代入并化簡，得：（【能力訓(xùn)練】8. 已