高中數(shù)學函數(shù)解題技巧[1]

1、函數(shù) (理科)一、 考點回顧1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.2.了解函數(shù)的單調(diào)性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法.3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).4.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).6.能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題.二、經(jīng)典例題剖析考點一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點內(nèi)容在復習中要肯于在對定義的深入理解上下功夫復習函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“

2、形”兩個方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應用問題的過程中得以深化具體要求是：1正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性2從數(shù)形結合的角度認識函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運用，歸納總結求函數(shù)最大值和最小值的常用方法3培養(yǎng)學生用運動變化的觀點分析問題，提高學生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法解決問題的能力這部分內(nèi)容的重點是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論函數(shù)yf

3、(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(x)f(x)和f(x)f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，f(x)f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關于直線xa對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(xa)f(ax)成立函數(shù)的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用根據(jù)已知條件，調(diào)

4、動相關知識，選擇恰當?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學生能力的較高要求函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來。因此，掌握函數(shù)的圖像是學好函數(shù)性質(zhì)的關鍵，這也正是“數(shù)形結合思想”的體現(xiàn)。復習函數(shù)圖像要注意以下方面。1掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描點法和圖象變換法2會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題3用數(shù)形結合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學問題4掌握知識之間的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點運用描點法作圖象應避免描點

5、前的盲目性，也應避免盲目地連點成線要把表列在關鍵處，要把線連在恰當處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎進行變換，以及確定怎樣的變換這也是個難點例1設a0，求函數(shù)(x(0，)的單調(diào)區(qū)間分析：欲求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則須解不等式(遞增)及(遞減)。解：當a0，x0時f (x)0x2(2a4)xa20，f (x)0x2(2a4)xa20()當a 1時，對所有x 0，有x2(2a4)xa20，即f (x)0，此時f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增()當a1時，對x

6、1，有x2(2a4)xa20，即f (x)0，此時f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又知函數(shù)f(x)在x1處連續(xù)，因此，函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增()當0a1時，令f (x)0，即x2(2a4)xa20，解得，或因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增令f (x)0，即x2(2a4)xa2 0，解得 ：因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減點評：本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力 例2 已知，函數(shù)。設，記曲線在點處的切線為。()求的方程；()設與軸交點為。證明： ； 若，則()分析：欲求切線的方程，則須求出它的斜率，根據(jù)

7、切線斜率的幾何意義便不難發(fā)現(xiàn)，問題歸結為求曲線在點的一階導數(shù)值。解：求的導數(shù)：，由此得切線的方程：。()分析：要求的變化范圍，則須找到使產(chǎn)生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結為的變化，因此，找到與的等量關系式，就成； 欲比較與的大小關系，判斷它們的差的符號即可。 證：依題意，切線方程中令y0，. 由.。點評：本小題主要考查利用導數(shù)求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問題的能力。例3、 函數(shù)y1的圖象是( )解析一：該題考查對f(x)圖象以及對坐標平移公式的理解，將函數(shù)y的圖形變形到y(tǒng)，即向右平移一個單位，再變形到y(tǒng)即將前面圖形沿x軸翻轉(zhuǎn)，再變形到y(tǒng)1，從而得到答案B.解析

8、二：可利用特殊值法，取x0，此時y1，取x2，此時y0.因此選B.答案：B點評：1、選擇題要注意利用特值排除法、估值排除法等。2、處理函數(shù)圖像的平移變換及伸縮變化等問題的一般方法為：先判斷出函數(shù)的標準模型，并用換元法將問題復合、化歸為所確定的標準模型?？键c二：二次函數(shù)二次函數(shù)是中學代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關系. 這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學問題.同時，有關二次函數(shù)的內(nèi)

9、容又與近、現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展緊密聯(lián)系，是學生進入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎. 因此，從這個意義上說，有關二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了. 學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合，這正是中學數(shù)學中一種非常重要的思想方法.例設二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當時，證明.分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式. 證明：由題意可知.， ， 當時，.又， ，綜上可知，所給問題獲證. 點評

10、：本題主要利用函數(shù)與方程根的關系，寫出二次函數(shù)的零點式。例5 已知二次函數(shù)，設方程的兩個實數(shù)根為和. (1)如果，設函數(shù)的對稱軸為，求證：；(2)如果，求的取值范圍.分析：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化. 解：設，則的二根為和.(1)由及，可得 ，即，即 兩式相加得，所以，;(2)由， 可得 .又，所以同號. ，等價于或，即 或解之得 或.點評：在處理一元二次方程根的問題時，考察該方程所對應的二次函數(shù)圖像特征的充要條件是解決問題的關鍵。考點三：抽象函數(shù)抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義

11、域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值，特定的運算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質(zhì)法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問題，(一)函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性，單調(diào)性周期性，特殊點等)反應出來的，抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設條件和隱含的性質(zhì)，靈活進行等價轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化，化難為

12、易，常用的解題方法有:1，利用奇偶性整體思考;2，利用單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化;3，利用周期性回歸已知4;利用對稱性數(shù)形結合;5，借助特殊點，布列方程等.(二)特殊化方法1、在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時，一般用代換的方法，將x換成x等；2、在求函數(shù)值時，可用特殊值代入；3、研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對綜合題，的解答提供思路和方法.總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難湊效，但我們?nèi)绻芡ㄟ^對題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會收到事半功倍之功效，真有些山窮水復疑無路，柳暗花明又一村的快感.例6、 A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的

13、集合：對任意，都有 ； 存在常數(shù)，使得對任意的，都有()設，證明：()設，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的;()設，任取，令證明:給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，成立不等式解：對任意，所以對任意的，所以0，令，所以反證法:設存在兩個使得，則由，得，所以，矛盾，故結論成立。，所以點評：本題以高等數(shù)學知識為背景，與初等數(shù)學知識巧妙結合，考查了函數(shù)及其性質(zhì)、不等式性質(zhì)，考查了特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想?？键c四：函數(shù)的綜合應用函數(shù)的綜合運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象

14、，抽象其數(shù)學特征，建立函數(shù)關系因此，運動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關函數(shù)知識是運用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運用函數(shù)思想解決有關數(shù)學問題的意識是運用函數(shù)思想的關鍵例7設函數(shù)()求的最小值；()若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：()，當時，取最小值，即()令，由得，(不合題意，舍去)當變化時，的變化情況如下表：(0，1)(1，2)遞增極大值遞減在內(nèi)有最大值在內(nèi)恒成立等價于在內(nèi)恒成立，即等價于，所以的取值范圍為點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應用，考查運用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力 例8甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行

15、駛到乙地，速度不得超過c千米時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米時)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元. 把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米時)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域； 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？ 分析：幾個變量(運輸成本、速度、固定部分)有相互的關聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關系，并求函數(shù)的最小值.解：(讀題)由主要關系：運輸總成本每小時運輸成本時間，(建模)有y(abv)(解題)所以全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米時)的函數(shù)關系式是：yS(bv)，其中函數(shù)的定義域是v(0，c .整理函數(shù)有yS(bv

16、)S(v)，由函數(shù)yx (k0)的單調(diào)性而得：當c時，則v時，y取最小值；當c時，則vc時，y取最小值.綜上所述，為使全程成本y最小，當c時，行駛速度應為v；當c時，行駛速度應為vc.點評：1.對于實際應用問題，可以通過建立目標函數(shù)，然后運用解(證)不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.方法總結與高考預測(一)方法總結本專題主要思想方法：1. 數(shù)形結合2. 分類討論3. 函數(shù)與方程(二)高考預測1.考查有關函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的試題，從試題上看，抽象函數(shù)和具體函數(shù)都有，

17、有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢，另外試題注重對轉(zhuǎn)化思想的考查，且都綜合地考查單調(diào)性與奇偶性.2.考查與函數(shù)圖象有關的試題，要從圖中(或列表中)讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對稱變換，注意函數(shù)的對稱性、函數(shù)值的變化趨勢，培養(yǎng)運用數(shù)形結合思想來解題的能力.3.考查與反函數(shù)有關的試題，大多是求函數(shù)的解析式，定義域、值域或函數(shù)圖象等，一般不需求出反函數(shù)，只需將問題轉(zhuǎn)化為與原函數(shù)有關的問題即可解決.4.考查與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有關的試題.對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結合運算推理來解決.5加強函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想的考查是高考的一個重點.善于轉(zhuǎn)化命題，引進變量建立函數(shù)，運用變化

18、的方法、觀點解決數(shù)學試題以提高數(shù)學意識，發(fā)展能力.6注意與導數(shù)結合考查函數(shù)的性質(zhì).一、強化訓練（一） 選擇題(12個)1.函數(shù)的反函數(shù)是()A B C D2.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是(A) (B) (C)(D)3.在下列四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有(A)(B) (C)(D)4.已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設則(A)(B)(C)(D)5.函數(shù)的定義域是A. B. C. D. 6、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是A. B. C. D. 7、函數(shù)的反函數(shù)的圖像與軸交于點(如右圖所示)，則方程在上的根是A.4 B.3 C. 2 D.18、設是R上

19、的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是(A)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù) (C) 是偶函數(shù) (D) 是偶函數(shù)9、已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則A BC D10、設(A)0 (B)1 (C)2 (D)311、對a，bR，記maxa，b，函數(shù)f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是(A)0 (B) (C) (D)312、關于的方程，給出下列四個命題：存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根；其中假命題的個數(shù)是A0 B1 C2 D3（二） 填空題(4個)1.函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件

20、，若則_。2設則_3.已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則_。4. 設，函數(shù)有最小值，則不等式的解集為 。（三） 解答題(6個)1. 設函數(shù).(1)在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；(2)設集合. 試判斷集合和之間的關系，并給出證明；(3)當時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 2、設f(x)3ax，f(0)0，f(1)0，求證：()a0且21；()方程f(x)0在(0，1)內(nèi)有兩個實根. 3. 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。()求的值；()若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；4.設函數(shù)f(x)其中a為實數(shù).()若f(x)的定義域為R，求a的取值范圍;()當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區(qū)間.

21、5. 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同(I)用表示，并求的最大值；(II)求證：()6. 已知函數(shù)，是方程f(x)0的兩個根，是f(x)的導數(shù)；設，(n1，2，) (1)求的值； (2)證明：對任意的正整數(shù)n，都有a； (3)記(n1，2，)，求數(shù)列bn的前n項和Sn。（四） 創(chuàng)新試題1. 下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段、的機動車輛數(shù)(假設：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數(shù)相等)，則 (A) (B) (C) (D)2. 設函數(shù)f(x)3sin

22、x2cosx1。若實數(shù)a、b、c使得af(x)bf(xc)1對任意實數(shù)x恒成立，則的值等于( )A. B. C. 1D. 1解答：一、選擇題1解：由得：，所以為所求，故選D。解：依題意，有0a1且3a10，解得0a，又當x7a1，當x1時，logax11 |x1x2|故選A解：已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設，0，選D.解：由，故選B.解：B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，是減函數(shù);故選A.解：的根是2，故選C解：A中則，即函數(shù)為偶函數(shù)，B中，此時與的關系不能確定，即函數(shù)的奇偶性不確定，C中，即函數(shù)為奇函數(shù)，D中，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案D。解：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以是的反函數(shù)，即， ，選D.解：f(f(2)f(1)2，選C解：當x1時，|x1|x1，|x2|2x，因為(x1)(2x)3x1；當1x時，|x1|x1，|x2|2x，因為(x1)(2x)2x10，x12x；當xx2；故據(jù)此求得最小值為。選C解：關于x的方程可化