10個(gè)例題快速掌握初中數(shù)學(xué)最值問題（精編版）

1、10個(gè)例題快速掌握初中數(shù)學(xué)最值問題XX 指導(dǎo)： 日期：10個(gè)典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問題解決幾何最值問題的通常思路 兩點(diǎn)之間線段最短;直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中.垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重 合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù),根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最 值問題的關(guān)鍵.通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理藏進(jìn)而解決 問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段.幾何最值問題中的基本模型舉例軸原兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線三角形三邊關(guān)系優(yōu)選-段最短At 8為定點(diǎn)，/為定直線，P為直線/上=1的一個(gè)動點(diǎn)-求4冉明的最小值"為定點(diǎn)/為定直線

2、,MN為直線/=1上的一條動線段，求Af B為定點(diǎn),為定直線，P為直線/上的一個(gè)動點(diǎn)，求AP-BF的最大值1 ,如圖：點(diǎn)Q是勇內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊04 上運(yùn)動，若品。氏45七O卜疋貝腴PMN的周長的 最小值為 .【分析】作戶關(guān)于OAf 08的對稱點(diǎn)C D.連接OCt OD.則 當(dāng)M /V是匚。與04。8的交點(diǎn)時(shí),"億/V的周長最短, 最短的值是匚。的長，根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：COD是等 腰直角三角形.據(jù)此即可求解.【解答】解：作?關(guān)于04的對稱點(diǎn)C D.連接0C OD.則當(dāng)M, N是CD與OAt 08的交點(diǎn)時(shí)，財(cái)/以V的周 長最短最短的值是生的長,.代關(guān)于"對稱，,

3、M0T/A0P, OC-OP 同理，ADOP=2BOPt OPOD wCOD 二匕 COP+匕 D。&2(匕 AOP+zBOP) =2匕AOB二 90> 0C OD.AM+BN 的 最小值先平移AM 或B/V使Mt作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對稱點(diǎn)/V重合,然后 作其中一個(gè) 定點(diǎn)關(guān)于定作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對稱點(diǎn)直線/的對稱 點(diǎn)折原'理兩點(diǎn)之間線段最短在以如中:仇/V兩點(diǎn)分別是邊上的動點(diǎn); 將WMN沿 伽翻折,3點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為硏連接48： 求48的最小值.轉(zhuǎn)化成求ABWN+ /VC的最小值 典型戦型AC0Z?是等腰直角三角形. 則 CD y/2 OC 2 x 3 V2

4、 二6,優(yōu)選-【題后思考】本題考查了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解厶W/V周長最小的條件是解題的關(guān)鍵!1!2.如圖，當(dāng)四邊形徹8也的周長最小時(shí)，K【分析】因?yàn)锳B, /W的長度都是固定的，所以求出PA+NB 的長度就行了,問題就是徹+価什么時(shí)候最短，【題后思考考查關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等 知識.3 .如圖,九g兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)點(diǎn)4到直線的距離AMA, 點(diǎn)8到直線的距離8N=，且MN=A,為直線上的動點(diǎn), PA -縮的最大值為 【分析】作點(diǎn)8于直線/的對稱點(diǎn)fft則 用=尸3因而|必PPA- PBt則當(dāng)A,療在f散上時(shí)，|徹-繼的值最大,根據(jù)平行線分線段定理即可求得所和W的值然 后根

5、據(jù)勾股定理求得以、圖的值，進(jìn)而求得|加國的最大 值.【解答】解：作點(diǎn)8于直線/的對稱點(diǎn)Bt連48并延長交直 線/于P.把8點(diǎn)向左平移2個(gè)單位8點(diǎn);作9關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B 連接43,交*軸于月從而確定/V點(diǎn)位置，此時(shí)PA+NB 最短.設(shè)直線4g的解析式為y= k燈bt待定系數(shù)法求直線解析 式.即可求得a的值.【解答】解：將/V點(diǎn)向左平移2單位與重合，點(diǎn)8向左平移2單位到8 (2, -1),作廿關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)根據(jù)作法知點(diǎn)(2, 1),設(shè)直線的解析式為戶奴仍, 卩=2A + b則 -3 = A + b，解得燈 b= - 7 7_.戶4x7.當(dāng) y=0 時(shí)，4，即 P 3，°)，3= 4

6、,7故答案填：利用勾股定理求出AB = 5 二|必-所|的最大值二5.【題后思考】本題考查了作圖軸對稱變換，勾股定理等，熟 知“兩點(diǎn)之間線段最短"是解答此題的關(guān)鍵.4.動手操作：在矩形紙片川化。中，AB=3t AD=5.如圖F=l所示，折疊紙片，使點(diǎn)川落在8C邊上的4處，折痕為RZ 當(dāng)點(diǎn)A在伊7邊上移動時(shí)，折痕的端點(diǎn)尺Q也隨之移動,若 限定點(diǎn)尺Q分別在 砧.血?邊上移動，則點(diǎn)4在 配邊上可移動的最大距離為 【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端即 以取最大或最小值 時(shí)，點(diǎn)月或。的位置.經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分別求岀點(diǎn)P與8 重合時(shí)，84取最大值3和當(dāng)點(diǎn)Q與口重合時(shí).跡'的最小值 1.所以

7、可求點(diǎn)4在8。邊上移動的最大距離為2.【解答】解：當(dāng)點(diǎn)戶與8重合時(shí)，&T取最大值是3,當(dāng)點(diǎn)Q與。重合時(shí)（如圖），由勾股定理得4U4,此時(shí) BA取最小值為1.則點(diǎn)4在邊上移動的最大距離為3 1 =2.%)故答案為：2【題后思考】本題考査了學(xué)生的動手能力及圖形的折疊、勾股 定理的應(yīng)用等知識，難度稍大，學(xué)生主要缺乏動手操作習(xí)慣, 單憑思象造成錯(cuò)誤,5. 如圖，直角梯形紙片 ABCDt ADABt AB=8f AD=CD=At 點(diǎn)丘盧分別在線段川反4。上，將沿樣翻折.點(diǎn)4 的落點(diǎn)記為P,當(dāng)尸落在直角梯形川伊刀內(nèi)部時(shí)，夕的最小值等于 優(yōu)選-=1【分析】如圖，經(jīng)分析、探究，只有當(dāng)直徑&最大

8、，且點(diǎn)， 落在上時(shí)，如最?。桓鶕?jù)勾股定理求岀8。的長度.問 題即可解決.【解答】解：如圖，'當(dāng)點(diǎn)P落在梯形的內(nèi)部時(shí)，代加90)四邊形PFAEX。為直徑的圓內(nèi)接U!邊形,二只有當(dāng)直徑&最大，且點(diǎn)4落在8。上時(shí) R?最小, 此時(shí)E與點(diǎn)8重合;由題意得：PE二AB二8, 由勾股定理得:8。二位+6J80,二"話-8 ,【題后思考】該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法, 以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成;解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運(yùn)動過程中的某一瞬間動中求靜，以 靜制動.6, 如圏，匕MON二矩形的頂點(diǎn)4召分別在邊 OMt CW上'當(dāng)8在邊ON上運(yùn)動

9、時(shí)丄隨之在。材上運(yùn) 動，矩形礎(chǔ)匚。的形狀保持不變，其中 礎(chǔ)=2, 8仁1,運(yùn)動 過程中點(diǎn)。到點(diǎn)。的最大距離為 .【分析】取48的中點(diǎn)E連接。公DEt根據(jù)直角三 角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE*8,利用勾股定 理列式求出DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可 得。過點(diǎn)f時(shí)最大.【解答】解：如圖,48的中點(diǎn)g連接OQ OE. DE,/zW/V=90 AB=21 OE=AE=2ABt- SCt四邊形48CP是®巳UiADBC f根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OD< OEDEt 二當(dāng)QQ過點(diǎn)f是最大，最大值為“ +L【題后思考】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中 線等于斜

10、邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理,確 定出。過48的中點(diǎn)時(shí)道最大是解題的關(guān)鍵.7. 如圖，線段砧的長為4, C為 砧上一動點(diǎn).分別以>4匚BC為斜邊在Ng的同側(cè)作等腰直角ACD和等腰直角，氣BCEr 那么QE長的最小值是 .【分析】設(shè)配=4 *,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得 22出CD= (4F ,根據(jù)勾股定理然后用配方 法即可求解.【解答】解：設(shè)ACxt BC=4 - xf鬼。均為等腰直角三角形,723呉(4x),優(yōu)選-ACD=45ot /BCD=45、,NOC&90。I 1：.DR=eHCB=奪 (4-x) 2=終一4肝8= x-2) 2+4,根據(jù)二次函數(shù)的最值，二當(dāng)

11、x取2時(shí).産取最小值，最小值為：4.故答案為：2.題后思考】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形.難 度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二;欠函數(shù)最值.題后思考】本題考查了菱形的質(zhì)，軸對稱確定最短路線問 題,熟記菱形的軸對稱性和利用軸對稱確定最短路線的方法是 解題的關(guān)鍵.9.如圖所示，正方形48CQ的邊長為1,點(diǎn)為邊BC±l的 任意一點(diǎn)（可與戻C重合），分別過8、C Z?作射線AP 的垂線，垂足分別為& C D,則BB*CC*DD的取值范 圍是D【分析】首先連接4G 必,由正方形ABCD的邊長為1,II1即可得：ShADP= 2 S 正方形 ABCD- 2，SABP- 51 AC

12、P= 51ABC 2， 1 1正方形ABCD- 2 , 繼而可得2 EB8+CC+DD） =1,又由1 <AP<42t即可求得答案.【解答】解：連接川G DP.:四 W ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長為1,:AB- CD, S正方形 abcd- 1'8.如圖，ABCD中，AB=2t 蜀=120> 點(diǎn)尺 Q K 分別為線段CDf位?上的任意一點(diǎn)，則冰+CX的最小 值為B=:分析根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,作點(diǎn)P關(guān)于8。的對 稱點(diǎn)，連接戶Q與80的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K然后根據(jù) 直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P 。丄CD時(shí)PK+ QK的最小值，然后

13、求解即可【解答】解：如圖,眾二2,4=120、二點(diǎn)到匚。的距離為2xf =右,'PK+QK的最小值為打.故答案為：右，QCD_L L1' Sa略 2 $ 正方2Smb葉 S、acp= S：abc= 2 $ 正方形ABCO= 2 /:SADP- SABP SACP 1 ,1211:& AKBB互 ABCC +3 AKDD =% APBBCC+ DD) f2則跡+« +。，<AP<42 t.當(dāng)尸與g重合時(shí)，有最大值2; 當(dāng)P與。重合時(shí)，有最小值亜.,二卜BB + dDDG 故答案為：2<Bff + CC + DD<2.【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問 題.此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接億 必根據(jù)題意得.2到 Sg葉$"時(shí)Sacp- 1,繼而得至U BB+CC-DD ,10.如圖，菱形 ABCD中，A=60 AB=3, OA。召的半徑分別為2和L P、E、產(chǎn)分另（J是邊口Z。71和。8上的 動點(diǎn).則戶&跌的最小值是【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的注質(zhì)得出P與D重 合