2012考研必備資料】線性代數(shù)公式必記

1、【2021考研必備資料】線性代數(shù)公式必記1、行列式1. 行列式共有個(gè)元素，展開(kāi)后有項(xiàng)，可分解為行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、和的大小無(wú)關(guān)；、某行列的元素乘以其它行列元素的代數(shù)余子式為0；、某行列的元素乘以該行列元素的代數(shù)余子式為；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：4. 設(shè)行列式：將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，那么；將順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，那么；將主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后轉(zhuǎn)置，所得行列式為，那么；將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，那么；5. 行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積；、上、下三角行列式：主對(duì)角元素的乘積；、和：副對(duì)角元素的乘積

2、；、拉普拉斯展開(kāi)式：、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值；6. 對(duì)于階行列式，恒有：，其中為階主子式；7. 證明的方法：、；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0是其特征值；2、矩陣1. 是階可逆矩陣：是非奇異矩陣；是滿秩矩陣的行列向量組線性無(wú)關(guān)；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價(jià)；可表示成假設(shè)干個(gè)初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；的行列向量組是的一組基；是中某兩組基的過(guò)渡矩陣；2. 對(duì)于階矩陣： 無(wú)條件恒成立；3.4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：假設(shè)，那

3、么：、；、；、；主對(duì)角分塊、；副對(duì)角分塊、；拉普拉斯、；拉普拉斯3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)矩陣，總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：；等價(jià)類(lèi)：所有與等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；對(duì)于同型矩陣、，假設(shè)；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣：、只能通過(guò)初等行變換獲得；、每行首個(gè)非0元素必須為1；、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應(yīng)用：初等列變換類(lèi)似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換、 假設(shè)，那么可逆，且；、對(duì)矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，就變成，即：；、求解線形方程組：對(duì)于個(gè)未知數(shù)個(gè)方程，如果，那么可逆，且；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣

4、的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)，且，例如：；、倍乘某行或某列，符號(hào)，且，例如：；、倍加某行或某列，符號(hào),且，如：；5. 矩陣秩的根本性質(zhì)：、；、；、假設(shè)，那么；、假設(shè)、可逆，那么；可逆矩陣不影響矩陣的秩、；、；、；、如果是矩陣，是矩陣，且，那么：、的列向量全部是齊次方程組解轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論；、假設(shè)、均為階方陣，那么；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣向量行矩陣向量的形式，再采用結(jié)合律；、型如的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式；二項(xiàng)展開(kāi)式：；注：、展開(kāi)

5、后有項(xiàng)；、組合的性質(zhì)：；、利用特征值和相似對(duì)角化：7. 伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：；、伴隨矩陣的特征值：；、8. 關(guān)于矩陣秩的描述：、，中有階子式不為0，階子式全部為0；兩句話、，中有階子式全部為0；、，中有階子式不為0；9. 線性方程組：，其中為矩陣，那么：、與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組有個(gè)方程；、與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組為元方程；10. 線性方程組的求解：、對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換只能使用初等行變換；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程：、；、向量方程，為矩陣，個(gè)方程，個(gè)未知數(shù)、全部按列分塊，其中；、線性表出、有解

6、的充要條件：為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)4、向量組的線性相關(guān)性1. 個(gè)維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；個(gè)維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無(wú)關(guān)有、無(wú)非零解；齊次線性方程組、向量的線性表出是否有解；線性方程組、向量組的相互線性表示是否有解；矩陣方程3. 矩陣與行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)4. ；(例15)5. 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)；、線性相關(guān)坐標(biāo)成比例或共線平行；、線性相關(guān)共面；6. 線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理：假設(shè)線性相關(guān)，那么必線性相關(guān)；假設(shè)線性無(wú)關(guān)，那么必線性無(wú)關(guān)；向量的個(gè)數(shù)加加減減，

7、二者為對(duì)偶假設(shè)維向量組的每個(gè)向量上添上個(gè)分量，構(gòu)成維向量組：假設(shè)線性無(wú)關(guān)，那么也線性無(wú)關(guān)；反之假設(shè)線性相關(guān)，那么也線性相關(guān)；向量組的維數(shù)加加減減簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；7. 向量組個(gè)數(shù)為能由向量組個(gè)數(shù)為線性表示，且線性無(wú)關(guān)，那么(二版定理7)；向量組能由向量組線性表示，那么；定理3向量組能由向量組線性表示有解；定理2向量組能由向量組等價(jià)定理2推論8. 方陣可逆存在有限個(gè)初等矩陣，使；、矩陣行等價(jià)：左乘，可逆與同解、矩陣列等價(jià)：右乘，可逆；、矩陣等價(jià)：、可逆；9. 對(duì)于矩陣與：、假設(shè)與行等價(jià)，那么與的行秩相等；、假設(shè)與行等價(jià)，那么與同解，且與的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相

8、關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣的行秩等于列秩；10. 假設(shè)，那么：、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；轉(zhuǎn)置11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無(wú)需證明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 設(shè)向量組可由向量組線性表示為：題19結(jié)論其中為，且線性無(wú)關(guān)，那么組線性無(wú)關(guān)；與的列向量組具有相同線性相關(guān)性必要性：；充分性：反證法注：當(dāng)時(shí)，為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對(duì)矩陣，存在，、的列向量線性無(wú)關(guān)；、對(duì)矩陣，存在，、的行向量線性無(wú)關(guān)；14. 線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；定義有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15. 設(shè)的矩陣的秩為，那么元齊次線性方程組的解集的秩為：；16. 假設(shè)為的一個(gè)解，為的一個(gè)根底解系，那么線性無(wú)關(guān)；題33結(jié)論5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣或定義，性質(zhì)：、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；、假設(shè)為正交矩陣，那么也為正交陣，且；、假設(shè)、正交陣，那么也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬(wàn)不要忘記施密特正交化和單位化；2. 施密特正交化：；;3. 對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4. 、與等價(jià)經(jīng)過(guò)初等變換得到；，、可逆；，、同型；、與合同，其中可逆；與有相同