數(shù)學(xué)論文古典概型

1、 古典概型中樣本空間的選取數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生 張媛媛指導(dǎo)教師 徐偉摘要：在古典概型計算中由于樣本點總數(shù)的計算必須在已經(jīng)確定的樣本空間進行，如何選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g是研究古典概型的首要問題。即使為同一問題，考慮的角度不同，得到的樣本空間也不同。如果對古典概型的樣本空間只作抽象的描述，不便于真正理解不同問題樣本空間的聯(lián)系和區(qū)別，以至于在求事件概率時，選取錯誤的樣本空間，濫用古典概型公式，論文正是基于這一目的，在正確思路和有關(guān)基礎(chǔ)理論的基礎(chǔ)上，通過對典型的例子進行研究，分析其一般原則和最佳樣本空間的構(gòu)思，通過結(jié)構(gòu)對稱壓縮法構(gòu)造恰當(dāng)?shù)臉颖究臻g，選擇最佳的樣本空間，簡化古典概率的求解。關(guān)鍵詞：古典概型

2、 概率 樣本空間 排列組合 The selecting of sample space in the classical probability modelStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Zhang Yuanyuan Tutor XuweiAbstract: In the classical probability model，the calculation of the sample points must be conducted in sample space what have been identifie

3、d .How select the appropriate sample space of classical probability model .Even for the same problem. Only for the abstract description about sample space in the probability model .Due to the different research questions，Sample space is also different. It is difficult to understand the links and dif

4、ferences between the different sample space .When seeking the probability of something will lead to selection the wrong sample space and abuse sample space .The purpose of this paper is based on the correct ideas and theories about the underlying .By studying about typical example to analyze the gen

5、eral principles and best sample space. Construct the appropriate sample space by a symmetrical compression method to choose the best sample space and simplify the solution of classical probability model .Key words: classical probability model; probability; sample space; 引言 古典概型是概率論中最重要的內(nèi)容之一，在概率論中占有很

6、重要的地位。古典概型的求解包含兩個步驟：第一步：選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，使它滿足有限和等可能的要求， A是為的某個子集；第二步：先計算樣本點總數(shù)n，然后計算事件的有利場合數(shù)m。如何構(gòu)造樣本空間是古典概型解題首要問題。隨著科學(xué)技術(shù)的進步，概率論在科學(xué)中得到越來越廣泛的應(yīng)用。樣本空間在概率學(xué)習(xí)中往往被忽視，但是它的選取在問題解決中至關(guān)重要，本文避開在其構(gòu)造中可能會出現(xiàn)的總總錯誤，只在正確思想的前提下，通過舉例說明樣本空間的選取在解題過程中的重要性。1 古典概型變量古典概型也叫創(chuàng)痛概率，其定義是由法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯提出的。如果一個隨機試驗所包含的單位事件是有限的，而且每個單位事件發(fā)生的可能性均相等，則這

7、個隨機試驗叫做拉普拉斯試驗，這種條件下的概率模型就叫古典概型。1.1古典概型的起源眾所周知，最先吸引數(shù)學(xué)家研究的賭博問題就是分賭本問題：甲乙兩人賭技相同，各出賭資500元。約定誰先勝3局誰就拿走1000元?，F(xiàn)在賭了三局，甲兩勝一負，因故要中止賭博，問這1000元要如何分才公平？有人認為按已勝的局數(shù)分，即甲拿三分之二，乙拿三分之一，但是這樣分是不合理的，因為設(shè)想繼續(xù)賭下去，結(jié)果無非以下四種：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。把已賭過的三局與此對照，可以看出，對前三個結(jié)果，都是甲先勝三局，因而得1000元，只有最后一個結(jié)果乙才得1000元，在賭技相同的情況下，這四個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即甲乙最終獲勝的可能

8、性之比為3：1，所以全部賭本按這個比例來分，即甲分750元，乙分250元才算公平合理。1.2古典概型的判斷一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型。2 古典概型的計算2.1樣本空間的選擇 古典概型的習(xí)題大多是求隨機事件A的概率，求解包含兩個步驟：首先選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，使它滿足有限性和等可能性，且把A表示為的某個子集；然后計算樣本點總數(shù)和時間的有利場合數(shù)m。在第二部中要計算需要動用排列組合方法，但是排列組合具有技巧性和靈活性，給人難做的印象，下面則通過一些典型的例子具體討論重視第一步，即選擇適當(dāng)?shù)臉颖究臻g的重要意義

9、。例1 袋子里有a只黑球，b只白球，一次隨機摸取一個球，求第k次（1ka+b）摸出黑球的概率。 解 方法一：球依次被摸出，知道摸完為止，這就是把（a+b）個球全排列，所以這樣樣本點總數(shù)為（a+b）！，有利場合數(shù)為a（a+b-1）！，所以p（）=a（a+b-1）！(a+b)!=a（a+b）。 方法二：我們換一個角度看問題，即從球的角度觀察哪個球第k次出現(xiàn)，一共有（a+b）個球，也就是一共有（a+b）總可能，有利場合數(shù)有a個，所以p（）=a（a+b）。 第一個方法用排列組合的方法，方法二沒有。顯然，方法二更簡單一些。雖然方法一是最容易想到的，但是方法二也是比較容易掌握和理解的。到底兩種方法的區(qū)別和

10、聯(lián)系在哪呢？其實就是選取的樣本空間有所不同。方法二的樣本空間為第k次摸出球的全部可能結(jié)果，這個樣本空間是最小的，所以計算的步驟簡化了例2 包括甲乙在內(nèi)的n個人隨機站成一圈，甲乙相鄰的概率是多少？解 把這個問題看成圓周排列的一個應(yīng)用，但是在這里不選擇這種方法。設(shè)甲已經(jīng)先坐好，再考慮乙的坐法。乙總共有(n-1)個位置都是等可能的，而有利場合有2個，即所求的概率為2 （n-1）。 把上述解法作細致的分析，即我們?nèi)颖究臻g=,。表示乙坐在甲左邊第i個位置上，滿足有限和等可能的要求，用事件A表示的子集,. 對于例2這樣選取的樣本空間是最小的，而且不使用排列組合。而其他方法解題選取的樣本空間只會比這大，且

11、解法復(fù)雜。 例3 有mn個球，一個是黑色，一個是白色，其余的都是紅色，把這mn個球隨意 的放進m個袋中，每個袋子放n個球。求黑色球和白色球放在同一個袋中的概率。解 如果此題用計算排列組合的方法去解，是很困難的。但是如果用類似前面例題的 方法來解答就容易多了，首先要注意題目所描述的條件等價于隨機的把mn個球依次排列，只要我們注意黑球白球的位置。假設(shè)黑球已經(jīng)先放好，那么白球的可能位置一共有(mn-1)個，而有利場合數(shù)，即白色球落入黑球所在的袋子，有（n-1）個，即所求概率為(n-1)（mn-1）。例4 任意選取一正整數(shù)，求該數(shù)的平方被5整除的概率。解 須注意到不能把全體正整數(shù)作為此題的樣本空間，這

12、樣的空間是無限的，所以不是等可能的。所以首先要進行分析，正整數(shù)的平方能不能被5整除取決于此正整數(shù)的末位數(shù)，即它們可以是0，19這十個數(shù)中的一個。任取一個正整數(shù)的含義就是十個數(shù)字出現(xiàn)的可能性是相等的。即選取樣本空間=0,1,29。所求概率事件A=0,5，即P（A）=。以上我們就是通過幾個例題了解適當(dāng)選擇樣本空間的重要性。 2.3典型例題解析對于同一個問題，樣本空間也可以有不同的取法。而且在計算時應(yīng)該要注意基本事件的總數(shù)和有利場合數(shù)的計算要在一個樣本空空間中進行。例1 在一個盒子中有十個相同的球，分別標記為1,2，10，從中任意選取一球，則此球的號碼是偶數(shù)的概率。解法一：若選擇樣本空間S=1,2，

13、10，則基本事件的總數(shù)為n=10，A=選取球的號碼為偶數(shù)，事件A的基本事件數(shù)m=5，因此p（A）=解法二：設(shè)A=所取的球號碼為偶數(shù)，B=所取球的號碼為奇數(shù)，所選取的樣本空間為S=A，B，由A,B的對稱性可得P(A)=例2 袋子中有a個黑球，b個白球，把球隨機的摸出來（一次摸一個不放回），直到袋子中剩下的球相同，求剩下的球都是黑球的概率。解：假設(shè)摸球直到全部摸完為止，則“最后全剩下的為黑球”（事件A）和“最后摸出的為黑球”（事件B）為同一問題，可以繼續(xù)這樣思考：如果到最后全剩下黑球（A發(fā)生），最后摸出的必是黑球（B發(fā)生，所以AB）;反之，若最后摸出的為黑球（B發(fā)生），則最后剩下的同顏色球必包含這

14、最后一個球，即剩下的球必是黑球（A發(fā)生，即BA）。所以這兩個事件是相等的。事件B也就是在低（a+b）此摸出黑球，概率為2.3 對稱壓縮法在古典概型中，對等的事件發(fā)生的概率的相等的。對于結(jié)構(gòu)處于完全對稱和平等地位的事件，發(fā)生的概率應(yīng)該是相同的，而且這樣不但可以很大幅度的成倍的壓縮樣本空間，并且可以甩開繁瑣的排列組合，從而簡化計算的過程和步驟，達到事半功倍的效果。這種通過對稱性成倍壓縮樣本的方法叫做對稱壓縮法。因為在古典概型中的可能性決定了在這個模型中的事件具有對稱性。其優(yōu)點是可以拋開種種糾纏不清的關(guān)系，直接得到結(jié)果。例1 袋子中有a個白球和b個黑球，每次從袋子里任意取出的球不再放回去，連續(xù)取出個

15、球（a+b），求第次取出的為白球的概率。解 方法一： 設(shè)A為所求事件，把a個白球和b個黑球看作不同，而且考慮拿球的順序，此時試驗可以看成把a+b個球進行排列。則樣本空間為a+b個球的所有的全排列組成，所以總樣本點數(shù)有（a+b）！個，則第個位置為白球的排列法有a（a+b-1）!個，所以P（A）= 方法二： 把a個白球和b個黑球看作不相同，把試驗看成觀察第次選取的球的結(jié)果，則這個球是平等對稱的，因為每個球第次被摸到的可能性是相同的，壓縮樣本空間后的總樣本點數(shù)為（）個，則第個位置為白球的放置方法僅僅有種，所以P（A）= 這道題解釋的抽簽原理，抽簽的結(jié)果與抽簽的先后順序無關(guān)，因此對于所有的人都是公平的

16、，而且，這道題的結(jié)論有助于解類似的相關(guān)題目。例2 擲一枚均勻硬幣2+1次，求出現(xiàn)正面多于反面的概率。 解 設(shè)A=正面數(shù)反面數(shù)，B=反面數(shù)正面數(shù)，投擲次數(shù)為奇數(shù)，所以A=，此外由于硬幣是均勻的，投擲是隨機的，故A，B是對稱平等的，由對稱性可知P（A）=P(B),所以P(A)= 此題利用事件本身的對稱性簡化計算過程。例3 在線段AB上任意取3個不同的點，。求位于之間的概率。解 設(shè)=位于之間，=位于之間， 位于之間，事件中任意兩個事件之間是互斥的，所以取只有3個樣本點的樣本空間=，即所求事件P()=。 此題為無限樣本空間問題在古典概型中的求解提供了一種思路，使得解法簡潔、自然。例4 將標號為1、2、

17、3、4的四個小球任意的排成一排，求1號球排在2號的右邊（不一定相鄰）的概率解 由于1號球不是排在2號球的右邊就是排在2號球的左邊，二者必居其一。而交換1號球和2號球的位置其左右也正好發(fā)生交換，所以排在左邊與排在右邊的排法是相同的，各占其中的，所以1號球的右邊的概率是（當(dāng)然1號球排在2號球的左邊的概率也是）2.4 樣本空間減小法在古典概型中，有一種重要的概率：條件概率。在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率P(B|A)的計算方法有兩種：（1） 定義法在原樣本空間中先計算P（A），P（AB）再按照P(B|A)=來計算其概率。（2） 樣本空間縮小法考慮在事件A發(fā)生的條件下，原樣本空間 縮小為子事

18、件A，在縮小之后的新的樣本空間中再計算B發(fā)生的概率，即P(B|A)= 利用方法2計算的條件概率P（B|A）僅需要用事件A的范圍來考查事件B的發(fā)生概率，從而，這樣樣本空間就減小到了最小。這種利用條件概率的特殊性來縮小樣本空間的方法稱為樣本空間縮小法，這種方法能使計算變得簡單、巧妙。例1 盒子中裝有2-1個黑球和2個白球，從中任取個球，結(jié)果都是同一顏色的球，球這些球都是白球的概率。解 設(shè)A=抽取的個球為白球，B=抽取的個球為同一顏色，AB，則所求的概率為P（A|B）方法一 在原有的樣本空間中，考慮P(A|B)=,P(AB)=,然后計算P（A|B）=例3 同時擲兩顆骰子，計算出現(xiàn)點數(shù)之和為偶數(shù)的概率

19、。方法一：若選取樣本空間S=（1,1）（1,2）（1,6） （2,1）（2,2）（2,6） （6,1）(6,2)（6,6）基本事件的總數(shù)為n=36，設(shè)A=出現(xiàn)點數(shù)之和為偶數(shù)，事件A的基本事件數(shù)m=18，所以P=(A)=方法二：試驗的結(jié)果為（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），則樣本空間為S=（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），樣本總數(shù)為n=4，則事件A=出現(xiàn)點數(shù)之和為偶數(shù)中含有基本事件數(shù)m=2，即P(A)= 方法三：把試驗的結(jié)果?。ǔ霈F(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)），（出現(xiàn)的點數(shù)之和為偶數(shù)），樣本空間S=（出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)），（出現(xiàn)的點數(shù)之和為偶數(shù)），樣本總數(shù)n=2，而事件A=出

20、現(xiàn)的點數(shù)之和為偶數(shù)，所包含事件數(shù)為m=1，因此P=此題說明，即使是同一個問題，樣本空間的選取不同，解法也會不同，難易程度也會不一樣，計算效果就會不同。選取的樣本空間越小，計算也就會越簡單。例2 袋子中有個白球，b個紅球，k個人依次在袋子中抽取一個球：（1）作放回抽樣；（2）作不放回抽樣，計算第i（i=1,2k）個人抽到白球（事件A）的概率。（ka+b）解 (1)在放回抽樣情況下，有P(B)= (2)在不放回抽樣的情況下， 解法一：每個人各抽取一個球，每一種取法就是一個基本事件，則基本事件共有(a+b)(a+b-1)（a+b-k+1）=個，又因為每個基本事件的可能性是相同的，所以當(dāng)事件B發(fā)生時，

21、第i人取的應(yīng)該是白球，當(dāng)然它可以是a個白球中的任意一個，共有a鐘抽取方法，則其余的k-1個球可以是a+b-1個球中的任意k-1個，總共有，因此P(B)= 解法二：選取樣本空間為第k此取出球的全部可能結(jié)果（形象的說，不從摸球的角度看待問題，而是從球的角度看待問題，即哪一個球第k此被摸到），也就是說，把（a+b）個球編號，前a個球是白球，后b個球是紅球，樣本空間為S=,表示第i=k次摸到第i號球，可見每一個球都有可能在第k次被摸到，且被摸到的可能性是相同的。則要求的事件B=概率P= 2.4 事件對等轉(zhuǎn)化法 兩個事件相等，它們的概率也是相等的，所謂的對等事件轉(zhuǎn)化法就是利用了這一性質(zhì)，當(dāng)事件A的樣本空

22、間樣本點的總數(shù)不但龐大而且復(fù)雜難求時，與之相等的另外一個事件B樣本空間卻比較小而且比較好求時，可以巧妙地將之進行對等轉(zhuǎn)化，把求事件A的概率轉(zhuǎn)化成求事件B的概率。一、 古典概型在公式計算中分子分母應(yīng)對等古典概型計算公式為P(A)=，n為有限樣本空間包含的樣本點個數(shù)，m為相同的樣本空間中的事件A所包含的樣本點的個數(shù)，而且各樣本點是等可能發(fā)生的。因為每一個事件的解題方法千變?nèi)f化，樣本空間就會千變?nèi)f化，假若先找出樣本空間，再去求事件個數(shù)的做法顯然比較麻煩。但是如果事件A與作為樣本空間的總事件做法相同，它們就一定在相同的樣本空間。這樣可以先求出樣本空間的個數(shù)，再用相同的做法求事件做法的個數(shù)。例1 一個口袋中裝有大小相同的2個紅球、3個黑球、4個白球，從口袋中一次摸出一個球，摸出的球不再放回，連續(xù)摸球2次，求第一次摸出黑球和第二次摸出白球的概率。從袋子中一次摸出2個球共有種可能，第一次摸出的為黑球，第二次的為白球有種可能，所求概率為二、 兩個事件相等，它們的概率也是相等的，所謂的對等事件轉(zhuǎn)化法就是利用了這一性質(zhì)，當(dāng)事件A的樣本空間樣本點的總數(shù)不但龐大而且復(fù)雜難求時，與之相等的另外一個事件B樣本空間卻比較小而且比較好求時，可以巧妙地將之進行對等轉(zhuǎn)化，把求事件A的概率轉(zhuǎn)化成求事件B的概率。例1 二人擲一枚均