數(shù)學(xué)模型在機(jī)器人技術(shù)中的應(yīng)用

1、東 北 大 學(xué)研 究 生 考 試 試 卷評分考試科目： 數(shù)學(xué)模型 課程編號： 閱 卷 人： 考試日期： 2012.12 姓 名： 數(shù)學(xué)模型 學(xué) 號： 注 意 事 項1考 前 研 究 生 將 上 述 項 目 填 寫 清 楚2字 跡 要 清 楚，保 持 卷 面 清 潔3交 卷 時 請 將 本 試 卷 和 題 簽 一 起 上 交東北大學(xué)研究生院數(shù)學(xué)模型在機(jī)器人技術(shù)中的應(yīng)用1 緒 論數(shù)學(xué)模型是根據(jù)對研究對象所觀察到的現(xiàn)象及實踐經(jīng)驗，歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和具體算法，用來描述和研究客觀現(xiàn)象的運動規(guī)律的算法模型. 數(shù)學(xué)模型的歷史可以追溯到人類開始使用數(shù)字的時代. 隨著人類使

2、用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以解決各種各樣的實際問題. 數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用幾乎滲透到我們生活的各個方面. 隨著計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經(jīng)濟(jì)、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)人口、交通等新的領(lǐng)域滲透. 不論是用數(shù)學(xué)方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪類實際問題，還是與其他學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學(xué)模型并加以計算求解. 建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁. 人們常常把數(shù)學(xué)建模和計算機(jī)技術(shù)在知識經(jīng)濟(jì)時代的作用比喻為如虎添翼.數(shù)學(xué)模型同樣在機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域

3、取得了令人矚目的不凡成就. 機(jī)器人是自動執(zhí)行工作的機(jī)器裝置. 它既可以接受人類智慧，又可以運行預(yù)先編排的程序，又可以根據(jù)以人工智能技術(shù)制定的原則綱領(lǐng)行動. 它的任務(wù)是協(xié)助或取代人類的工作，例如生產(chǎn)業(yè)、建筑業(yè)或者是危險的工作. 機(jī)器人技術(shù)是為社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生了一個重大影響的一門科學(xué)技術(shù)，機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展是生產(chǎn)力發(fā)展需求的必然結(jié)果，也是人類自身發(fā)展的必然結(jié)果. 機(jī)器人的設(shè)計生產(chǎn)同樣離不開對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用在機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)和重大的影響.2 機(jī)器人設(shè)計簡介1、機(jī)器人分類按照機(jī)器人的作用機(jī)理，可以將機(jī)器人分為如下三代：（1） 示教再現(xiàn)機(jī)器人這種機(jī)器人是通過一個計算機(jī)，來控制一個多

4、自由度的一個機(jī)械，通過示教存儲程序和信息，工作時把信息讀取出來，然后發(fā)出指令，這樣的機(jī)器人可以重復(fù)根據(jù)人當(dāng)時示教的結(jié)果，再現(xiàn)出這種動作. 比如說汽車的點焊機(jī)器人，它只要把這個點焊的過程示教完以后，它總是重復(fù)這樣一種工作，它對外界的環(huán)境沒有感知（如圖 1所示）.圖 1示教再現(xiàn)機(jī)器人（2） 有感覺的機(jī)器人這種機(jī)器人是上面機(jī)器人的改進(jìn)版，它具有類似人在某種功能的感覺，比如說力覺、滑覺、視覺、聽覺等. 和人相類比，有了各種各樣的感覺，比如說在機(jī)器人抓一個物體的時候，它實際上力的大小能感覺出來，它能通過視覺，去感受和識別被抓物體的形狀、大小、顏色等. 例如在抓一個雞蛋的時候，它能通過一個觸覺，知道它的力

5、的大小和滑動的情況（如圖 2所示為日本開發(fā)的一個能識別人的特定語言并對其作出特定反應(yīng)的玩具機(jī)器人）.圖 2 有感覺的機(jī)器人（3） 智能機(jī)器人智能機(jī)器人（如圖 3所示）是機(jī)器人技術(shù)中一個理想的最高級的階段. 只要告訴它做什么，而不用告訴它怎么去做，它就能完成運動，具有感知思維和人機(jī)通訊的功能和機(jī)能. 不但具有優(yōu)良的自控型，還有一定的自學(xué)習(xí)能力. 這種機(jī)器人目前的發(fā)展還只是局限在具有這種智能的概念，真正完整意義的智能機(jī)器人實際上并不存在. 隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，智能的概念也會越來越豐富，內(nèi)涵越來越寬.圖 3 智能機(jī)器人2、機(jī)器人設(shè)計過程機(jī)器人的設(shè)計與大多數(shù)機(jī)械設(shè)計過程相同：首先要知道為什么要設(shè)計

6、機(jī)器人？機(jī)器人能實現(xiàn)哪些功能？活動空間（有效工作范圍）有多大？了解基本的要求后，接下來的工作就好作了. 首先是根據(jù)基本要求確定機(jī)器人的種類，是行走的提升（舉升）機(jī)械臂、還是三軸的坐標(biāo)機(jī)器人、還是六軸的機(jī)器人等. 并且要對選定的機(jī)器人類型進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，以檢驗機(jī)器人設(shè)計的可行性. 選定了機(jī)器人的種類也就確定了控制方式，也就有了在有限的空間內(nèi)進(jìn)行設(shè)計的指導(dǎo)方向. 接下來的要做的就是設(shè)計任務(wù)的確定. 這是一個相對復(fù)雜的過程，在實現(xiàn)這一復(fù)雜過程的第一步是將設(shè)計要求明確的規(guī)定下來；第二步是按照設(shè)計要求制作機(jī)械傳動簡圖，分析簡圖，制定動作流程表（圖），初步確定傳動功率、控制流程和方式；第三步是明確設(shè)計內(nèi)容，

7、設(shè)計步驟、攻克點、設(shè)計計算書、草圖繪制，材料、加工工藝、控制程序、電路圖繪制；第四步是綜合審核各方面的內(nèi)容，確認(rèn)生產(chǎn).3 數(shù)學(xué)模型在機(jī)器人設(shè)計中的應(yīng)用在機(jī)器人的設(shè)計中，離不開對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用. 在機(jī)器人設(shè)計過程中，需要對機(jī)器人的運動方式1、 機(jī)器人示教編程的數(shù)學(xué)模型在基于虛擬現(xiàn)實的機(jī)器人示教過程中，虛擬環(huán)境與真實世界的一致性是很重要的.虛擬環(huán)境必須如實、準(zhǔn)確地反應(yīng)真實世界中機(jī)器人的運動及其與作業(yè)對象之間的位姿關(guān)系，這是機(jī)器人虛擬示教編程的基礎(chǔ). 因此首先要確定機(jī)器人與作業(yè)對象之間的位姿關(guān)系，根據(jù)這個關(guān)系，建立虛擬環(huán)境中兩者模型的位姿關(guān)系，以保證虛擬場景與真實場景的一致性.我們這里舉一個例子，焊

8、接技術(shù)是工業(yè)機(jī)器人一個傳統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域，加油較高的位置精度要求. 在虛擬環(huán)境中產(chǎn)生機(jī)器人焊接的控制程序所需的機(jī)器人與作業(yè)對象的位姿關(guān)系就是要確定沿焊縫軌跡的每一點工具位置和方位. 數(shù)學(xué)上課描述為確定工具坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系齊次變換矩陣.機(jī)器人作業(yè)空間的坐標(biāo)關(guān)系如圖 4所示. 其中，為機(jī)器人基坐標(biāo)系，為工具坐標(biāo)系，為世界坐標(biāo)系，為工作臺坐標(biāo)系，為工件坐標(biāo)系，為焊縫坐標(biāo)系.圖 4 機(jī)器人作業(yè)空間的坐標(biāo)系如果齊次變換能夠確定，那么工具坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣可由下式確定：根據(jù)作業(yè)布局的位置關(guān)系，、能夠被事先確定而不需計算. 因此只需計算、.下面只簡單介紹一下上述中的一個變換方法：到的變換

9、.變換矩陣可分解為旋轉(zhuǎn)矩陣和位移向量兩部分，即其中和分別是在和下的位置描述. 我們采用旋動理論分別求解旋轉(zhuǎn)矩陣和位移向量.圖 5 向量在坐標(biāo)系和下的表示設(shè)，為固定于機(jī)器人末端的兩個空間特征點，其連線構(gòu)成一空間向量.在坐標(biāo)系和下可分別表示為和，如圖-5所示. 根據(jù)空間向量的表達(dá)與其位置無關(guān)的性質(zhì)，存在下面的關(guān)系：根據(jù)旋動理論的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系等式，存在一個又旋轉(zhuǎn)軸構(gòu)成的關(guān)系矩陣，使得上式滿足式中，與的關(guān)系為并且有根據(jù)Gayley定理，和的關(guān)系為由于具有奇異矩陣性質(zhì)，因此無法直接解出.若一直空間另一向量，在坐標(biāo)系和下的表達(dá)是分別為和，則式可改寫為式中 可以證明，只要向量與不共線，上式的解必然存在. 于

10、是進(jìn)而可以求出旋轉(zhuǎn)矩陣. 在得出后，可直接由下式計算這樣，兩個坐標(biāo)系和之間的變換關(guān)系就由和唯一確定了.同樣地，從到的變換和從到的變換也有相似的原理.虛擬環(huán)境與真實世界物理上的分布，使得本地與遠(yuǎn)端的運動轉(zhuǎn)換關(guān)系必須被確定. 這種運動轉(zhuǎn)換關(guān)系與操作員管理任務(wù)的操作控制界面共同決定了機(jī)器人示教的模式. 數(shù)學(xué)模型的建立對于這種功能的實現(xiàn)發(fā)揮了不可替代的作用. 2、 基于視覺移動機(jī)器人的定位系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模在視覺定位方法中，通過對機(jī)器人采集到的數(shù)據(jù)，使用先前的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算就可以得到機(jī)器人的位置. 地理特征或者人工標(biāo)志在世界坐標(biāo)系中的位置是預(yù)先已知的. 當(dāng)從捕獲的景物圖像中提取出路標(biāo)的圖像坐標(biāo)后，則通過

11、路標(biāo)在圖像中的位置和它們在參考系中的幾何關(guān)系，就可以計算出傳感器系統(tǒng)在參考坐標(biāo)系中的絕對位置. 根據(jù)一般的數(shù)學(xué)模型，位置計算需要至少三個路標(biāo)才能計算. 以下對數(shù)學(xué)模型在視覺機(jī)器人的定位中的算法使用進(jìn)行舉例說明. 根據(jù)數(shù)學(xué)定理，若一直空間中3個點，則這3個點必然構(gòu)成一個圓. 若已知兩個點，同時另一個點與這兩個點，連線的夾角也已知，則必可求，構(gòu)成的一個共圓，并且點必然位于由和點和所形成的多個圓的交點上.這樣，可知任意兩個路標(biāo)和它們與傳感器連線的夾角就對應(yīng)于一個圓的方程，當(dāng)圖像中的路標(biāo)個數(shù)為，且時，就可以構(gòu)造個圓方程. 并且視點一定在這些圓的交點上. 其數(shù)學(xué)模型的幾何解釋如圖 6所示.（a） 視點與

12、兩路標(biāo)構(gòu)成一個圓（b） 視點位于圓的交點圖 6 視點路標(biāo)數(shù)學(xué)模型的幾何解釋建立這些圓的方程以后，經(jīng)過簡化處理，再通過最小二乘法就可以求得該視點在路邊坐標(biāo)系中的位置和方向. 3、 數(shù)學(xué)模型在智能機(jī)器人中的應(yīng)用智能機(jī)器人具有感覺、識別、推理和判斷能力，可以根據(jù)外界條件的變化修改程序，這種修改原則不是由人規(guī)定的，而是機(jī)器人通過學(xué)習(xí)，總結(jié)經(jīng)驗來獲得修改程序的原則. 所以它只能程度比較高. 這種機(jī)器人具有一定的自動規(guī)劃能力，能夠自己安排自己的工作，不需要人的照料，完全獨立. 這種機(jī)器人的控制使用常規(guī)的控制手段已經(jīng)不可能實現(xiàn)，需要使用到只能控制的知識. 而數(shù)學(xué)是無處不在的，智能控制同樣需要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，使

13、用數(shù)學(xué)模型來實現(xiàn).智能控制內(nèi)容十分豐富，其中有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、專家系統(tǒng)、模糊控制、自適應(yīng)控制、自學(xué)習(xí)控制、自適應(yīng)控制等等一系列內(nèi)容. 這些內(nèi)容的產(chǎn)生及發(fā)展都離不開對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，數(shù)學(xué)模型在這些理論的發(fā)展過程中起到了不可替代的至關(guān)重要的作用. 例如，模糊控制中應(yīng)用的模糊數(shù)學(xué)，模糊數(shù)學(xué)是以精確的數(shù)學(xué)集合論為基礎(chǔ)，并考慮到對數(shù)學(xué)的集合概念進(jìn)行修改和推廣. 用“模糊集合”作為表現(xiàn)模糊事物的數(shù)學(xué)模型. 并且在“模糊集合”上逐步建立運算、變換規(guī)律，開展有關(guān)的理論研究，能夠?qū)磥硐喈?dāng)復(fù)雜的模糊系統(tǒng)進(jìn)行定量的描述和處理的數(shù)學(xué)方法. 對于過于復(fù)雜或難以精確描述的系統(tǒng)，傳統(tǒng)方法就顯得無能為力了，模糊數(shù)學(xué)在處理這些

14、控制問題有著明顯的優(yōu)勢. 又例如，在結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論與控制理論的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制中，匯集了包括數(shù)學(xué)、生物學(xué)、神經(jīng)生理學(xué)等一系列學(xué)科. 通過將各學(xué)科知識進(jìn)行綜合、分析，而后進(jìn)行數(shù)學(xué)建模. 隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型的不斷發(fā)展，越來越多的復(fù)雜問題得以有效解決.4 總結(jié)和展望數(shù)學(xué)模型在各個方面的實際應(yīng)用中已經(jīng)發(fā)揮的作用和取得的成就令人矚目。數(shù)學(xué)模型在對機(jī)器人機(jī)械手臂進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、在機(jī)器人傳感器的配置、在模糊規(guī)劃以及模糊控制、在機(jī)器人導(dǎo)航、在機(jī)器人目標(biāo)識別等各方面起到了不可替代的作用. 數(shù)學(xué)模型有效地解決了一些傳統(tǒng)方法難以解決甚至無法解決的問題，例如對于復(fù)雜多變量的控制問題的建模、對于復(fù)雜控制問題的簡化、對于

15、機(jī)器人編程算法的確定等.隨著數(shù)學(xué)模型理論的不斷完善，數(shù)學(xué)模型在機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用. 在各代的機(jī)器人中，都有數(shù)學(xué)模型的身影.相信隨著科技的不斷發(fā)展，人類的不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)模型會更加透徹地滲透到經(jīng)濟(jì)、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)人口、交通等我們生活的方方面面，更好地服務(wù)全人類。 參考文獻(xiàn)1. 單峰, 朱麗梅, 田賀民. 數(shù)學(xué)模型. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2012.2. 賀定修, 馮天祥. 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ). 成都: 西南交通大學(xué)出版社, 2011.3. 陳汝棟, 于延榮. 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2006.4. 熊啟才. 數(shù)學(xué)模型方法及應(yīng)用. 重慶：重慶大學(xué)出版社, 2005.3.5. 江裕釗, 辛培清. 數(shù)學(xué)模型與計算機(jī)模擬. 電子科技大學(xué)出版社，1989.01.01.6. 本德朱堯辰，徐偉宣. 數(shù)學(xué)模型引論. 科學(xué)普及出版社，1982.01.01.7. 崔茂源. 基于虛擬現(xiàn)實技術(shù)與監(jiān)控理論的機(jī)器人示教系統(tǒng)研究D. 2004.8. 李明. 機(jī)器人. 上海：上海科技出版社，2012.9. 王文峰. 第四次飛躍：機(jī)器人革命改變世界. 北京：華文出版社，2012.10. 郝礦榮，丁永生. 機(jī)器人幾何代數(shù)模型與控制. 北京：