工程力學(xué)11-1-動力學(xué)習(xí)題課及作業(yè)習(xí)題解答

1、北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系 韓斌202習(xí)題習(xí)題20.9 均質(zhì)細(xì)桿均質(zhì)細(xì)桿OA質(zhì)量為質(zhì)量為m,長度為長度為l ,以鉸鏈以鉸鏈A與質(zhì)量為與質(zhì)量為m1,半徑半徑 r 的均質(zhì)圓盤中心相連的均質(zhì)圓盤中心相連,不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦,系系統(tǒng)于圖示水平位置無初速釋放統(tǒng)于圖示水平位置無初速釋放,求桿求桿OA轉(zhuǎn)至鉛垂位置轉(zhuǎn)至鉛垂位置時(shí)時(shí),桿的角速度桿的角速度,角加速度及角加速度及O處的約束力。處的約束力。解：解：受力分析：受力分析：注意桿與圓盤是鉸接，從約束注意桿與圓盤是鉸接，從約束條件分析：條件分析：OA桿為定軸轉(zhuǎn)動，桿為定軸轉(zhuǎn)動，盤為一般平面運(yùn)動。盤為一般平面運(yùn)動。A畫出圓盤受力圖畫出圓盤受力圖AyFAxFgm1:

2、000AAAAAAJLJL0A！僅重力作功，僅重力作功，：3AOOA以以O(shè)點(diǎn)所在平面為勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)初始靜止：點(diǎn)所在平面為勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)初始靜止：000VT222桿桿桿桿桿21212211)2161()(21)31(212121lmmlmmlvmJTAOglmmglV1120011VTVTlmmgmm)3()2(311桿()桿設(shè)桿轉(zhuǎn)至鉛垂位置時(shí)角速度為設(shè)桿轉(zhuǎn)至鉛垂位置時(shí)角速度為 ：桿4畫出鉛垂位置系統(tǒng)整體受力圖：畫出鉛垂位置系統(tǒng)整體受力圖：OxFOyFAOCgmgm1對固定點(diǎn)對固定點(diǎn)O的動量矩定理：的動量矩定理：0)(eOOMdtdL桿桿桿2112)3(31)(31lmmllmmlLO0)3(

3、3121桿lmmdtdLO0桿桿CaAa由系統(tǒng)整體的質(zhì)心運(yùn)動定理：由系統(tǒng)整體的質(zhì)心運(yùn)動定理：0OxFACOyammagmmF11)( )( )( 22桿桿lalaAC2gmmmmgmmammagmmFACOy)3( 2)2( 3)()(1211115AB桿運(yùn)動到鉛直位置時(shí)，桿運(yùn)動到鉛直位置時(shí)，以地面為，以地面為勢能零點(diǎn)勢能零點(diǎn), ,則由則由： 1100TVTVBAl2ll 3解：解：AB習(xí)題習(xí)題20-12 已知細(xì)長桿已知細(xì)長桿AB長長2l ，B端置于光滑水平端置于光滑水平面，面，A端系有長端系有長l ，質(zhì)量不計(jì)的柔繩，桿于圖示初始，質(zhì)量不計(jì)的柔繩，桿于圖示初始位置無初速釋放。求：繩子運(yùn)動到鉛垂

4、位置時(shí)，桿位置無初速釋放。求：繩子運(yùn)動到鉛垂位置時(shí)，桿兩端所受的約束力。兩端所受的約束力。 繩子運(yùn)動到鉛垂時(shí)，桿上端受繩的拉力，下端受繩子運(yùn)動到鉛垂時(shí)，桿上端受繩的拉力，下端受地面支持力。系統(tǒng)僅有重力作功地面支持力。系統(tǒng)僅有重力作功機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒。6由由： 1100TVTVBvAvTFABBFCvgm0 ,2300TlmgV得得 glvC： cos21212lFFlmBT (1) ： BTCyFFmgma(2) BAl2ll 321121 ,213CmvTlmgVglvvCA注意：對動點(diǎn)注意：對動點(diǎn)A或或B列動量矩定列動量矩定理容易出錯！理容易出錯！7BvAvTFABBFCvgmAan

5、AaBAa運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程：運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程： BAl2ll 3nBABAAnABaaaaa由由A，B兩點(diǎn)的加速度關(guān)系兩點(diǎn)的加速度關(guān)系lvA/2？l 20 lvlA2cos20y方向：方向：cos222lvA00nBAABa故cos2lg(3)： cos21212lFFlmBT (1) ： BTCyFFmgma(2) Ba8BvAvTFABBFBaCvgmAanAaBAaBAl2ll 3幾何關(guān)系：幾何關(guān)系： 23cos,213sin2(5) )(21)(21BAnABACaaaaaa又又沿沿y方向投影，得：方向投影，得： 2222glvaaAnACy(4)9BAl2ll 3幾何關(guān)系：幾何關(guān)系： 2

6、3cos,213sin2 (5) 2222glvaaAnACy(4)cos2lg(3)解得解得： mgmgFmgmgFBT3632273614336322736143( )( )： cos21212lFFlmBT (1) ： BTCyFFmgma(2) 10已知已知AB桿長桿長2r，質(zhì)量質(zhì)量m；圓盤半徑；圓盤半徑r，質(zhì)量，質(zhì)量m，初，初始位置始位置AC垂直，垂直，BAC=45 求：在重力作用下，求：在重力作用下，初始瞬時(shí)位置時(shí)和初始瞬時(shí)位置時(shí)和AB垂直時(shí)，桿垂直時(shí)，桿AB的角加速度及的角加速度及地面對圓盤的約束力。地面對圓盤的約束力。 習(xí)題習(xí)題20-14Arrr2 BCr11Arrr2 BCr

7、raaaeeaa解：解： 1.初始瞬時(shí)初始瞬時(shí)系統(tǒng)靜止：系統(tǒng)靜止：0 , 0 , 0輪桿Cv對動點(diǎn)對動點(diǎn)C，建動系固連于桿，建動系固連于桿AB ，Creneaaaaaa)0(桿e00桿r2？輪r桿輪 , 0ra桿輪rr2桿輪2(1)分別取桿和輪為分離體，分別取桿和輪為分離體，畫出受力圖畫出受力圖找出找出 ， 之間的之間的：桿輪設(shè)角加速度如圖，設(shè)角加速度如圖，12Cr1N2NgmfF輪ArrB1Ngm桿AxFAyF上述上述5 5個方程中，共有個方程中，共有 fFNN,21桿輪五個未知量，可解得：五個未知量，可解得： 對桿列對桿列： rNrmgrm1222231桿(2)對圓盤列對圓盤列： rFmr

8、f輪221(3)對圓盤列對圓盤列： ffxCxFNFNrmFma112222 (4)022 12NmgNFmayCy(5)桿輪2(1)運(yùn)動學(xué)關(guān)系：運(yùn)動學(xué)關(guān)系：13mgNmgFrgrgmgNf2635,263,133,2623,262921輪桿2.桿運(yùn)動到鉛垂位置時(shí)桿運(yùn)動到鉛垂位置時(shí)Arr2BCr331sin;32cos;212tanrr幾何關(guān)系：幾何關(guān)系：桿輪rvavev補(bǔ)充補(bǔ)充：由：由 reavvv桿rve3輪rvacoseavv ( (* *) ) 桿輪2桿rvversin：2211VTVT取取C點(diǎn)為勢能零點(diǎn)。點(diǎn)為勢能零點(diǎn)。14Arr2BCr3桿輪rvavev：2211VTVT取取C點(diǎn)為勢

9、能零點(diǎn)點(diǎn)為勢能零點(diǎn)01TrmgV2212222222613)23213)2(21桿輪桿（mrmrrmT)2(2rrmgV31sin;32cos;212tanrr幾何關(guān)系：幾何關(guān)系：( (* *) ) 桿輪2桿rvversinrg13223）（桿()(6)15Arr2BCr3桿輪aaeanearaCarvavev23桿rane桿rae3222桿桿rvarcceneaaaara0cossin輪在水平方向投影：在水平方向投影： ( (* * *) )桿桿桿輪213236 22gr(7)當(dāng)桿運(yùn)動到鉛垂位置時(shí)當(dāng)桿運(yùn)動到鉛垂位置時(shí) ，分別畫出，分別畫出桿和輪的受力圖。桿和輪的受力圖。Creneaaaaaa

10、對動點(diǎn)對動點(diǎn)C，建動系固連于桿，建動系固連于桿AB ，16Ar2Br3桿C輪gm1NAxFAxF1Ngm2NfF對桿：對桿： rNrm223112桿(8) 對圓輪：對圓輪： rFmrf輪221(9) 對對： fFNmr1輪(10) 02 mgN(11) 桿輪213236gr(7)聯(lián)立求解（聯(lián)立求解（7）（11）17Ar2Br3桿C輪gm1NAxFAxF1Ngm2NfF解得：解得：rg1691227）（桿負(fù)號表示負(fù)號表示()rg1692212）（輪()mgFf169)22(6()mgN2( )18習(xí)題習(xí)題20-16 已知：圓盤直徑已知：圓盤直徑D=l ，桿長為，桿長為l ，質(zhì)量均為，質(zhì)量均為m。

11、懸掛。懸掛后桿端后桿端B突然受一水平向右沖擊力突然受一水平向右沖擊力F。FABC解：初始靜止，解：初始靜止，分別以圓盤和分別以圓盤和桿為分離體畫桿為分離體畫出受力圖。出受力圖。OABCF 求：該瞬時(shí)圓盤求：該瞬時(shí)圓盤和桿的角加速度和桿的角加速度 。gmgm盤OxFOyFAxFAyFAxFAyF桿19 221212lFlFmlAx桿(2) AxCxFFma(3) (1) lFlmAx盤2223OABCFgmgm盤OxFOyFAxFAyFAxFAyF桿（1）（3）中有）中有4個未知量：個未知量：AxAxCxFFa , ，盤桿，(1)，(2)兩式得：兩式得： 考慮到考慮到 AxAxFFFml2494

12、盤桿(4) 注意：對動點(diǎn)注意：對動點(diǎn)A列動量矩定列動量矩定理容易出錯！理容易出錯！20ABC： nCACAnAACaaaaa初始瞬時(shí)，初始瞬時(shí)， 0盤桿, ,故故 0nCAnAaa桿盤llaaaCAAC21(5)在在 x 方向投影：方向投影：盤桿AanAaCAanCAaCa解式（解式（6）和（）和（4）得：）得： 代入代入(3)并利用并利用(1)得得:Fml8114盤桿(6) mlPmlP521 54桿盤()()AxCxFFma(3) Fml2494盤桿(4) (1) lFlmAx盤222321動力學(xué)基本定理包括：動能定理，動量定理動力學(xué)基本定理包括：動能定理，動量定理(質(zhì)心運(yùn)質(zhì)心運(yùn)動定理動定

13、理)，動量矩定理及相應(yīng)的守恒定律。，動量矩定理及相應(yīng)的守恒定律。 tFpddeR動量定理動量定理 eR1FamCiini質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理對定點(diǎn)對定點(diǎn)O或質(zhì)心或質(zhì)心C的動量矩定理的動量矩定理:)(ddeOOMtL)(eCCMdtLd(單個剛體在其質(zhì)量對稱單個剛體在其質(zhì)量對稱面內(nèi)作一般平面運(yùn)動時(shí)面內(nèi)作一般平面運(yùn)動時(shí))(eOOMJ)(eCCMJ1212WTTiniWTdd1動能定理動能定理221.剛體系統(tǒng)在任意時(shí)刻的動能、動量及對某點(diǎn)的動剛體系統(tǒng)在任意時(shí)刻的動能、動量及對某點(diǎn)的動量矩的計(jì)算量矩的計(jì)算;1.針對具體問題針對具體問題,選擇適當(dāng)?shù)那蠼馑悸泛投ɡ磉x擇適當(dāng)?shù)那蠼馑悸泛投ɡ?使使求解過程

14、盡量簡潔求解過程盡量簡潔;1.各基本物理量各基本物理量(包括轉(zhuǎn)動慣量、動能、動量、動量矩包括轉(zhuǎn)動慣量、動能、動量、動量矩等等)要概念清楚，能正確地進(jìn)行計(jì)算。要概念清楚，能正確地進(jìn)行計(jì)算。2.綜合應(yīng)用基本定理綜合應(yīng)用基本定理()求解平面求解平面運(yùn)動的剛體系統(tǒng)的動力學(xué)問題運(yùn)動的剛體系統(tǒng)的動力學(xué)問題(特別是求解速度特別是求解速度,角角速度及作功的力等量速度及作功的力等量)。2.找出運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充條件。找出運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充條件。232.深刻理解各基本定理的特點(diǎn)，根據(jù)所求解的深刻理解各基本定理的特點(diǎn)，根據(jù)所求解的具體問題，適當(dāng)選用定理。具體問題，適當(dāng)選用定理。動能定理動能定理標(biāo)量方程標(biāo)量方程,僅可求未知量大小僅可

15、求未知量大小,僅用動能定理只能求解一個未知量僅用動能定理只能求解一個未知量僅與作功的力有關(guān)（作功的有外僅與作功的力有關(guān)（作功的有外力也可有內(nèi)力）力也可有內(nèi)力）動量定理動量定理質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小和方向和方向只與外力系的主矢有關(guān)只與外力系的主矢有關(guān)24動量矩定理動量矩定理本質(zhì)為矢量方程，但對作平面運(yùn)動的研究對象本質(zhì)為矢量方程，但對作平面運(yùn)動的研究對象為一標(biāo)量方程為一標(biāo)量方程機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒,動量守恒動量守恒,質(zhì)心運(yùn)動守恒質(zhì)心運(yùn)動守恒,動量矩守恒動量矩守恒各有其成立的條件各有其成立的條件,可方便地求解系統(tǒng)運(yùn)動狀

16、態(tài)可方便地求解系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)(速速度度,角速度角速度,位移位移)3.選用定理的基本原則選用定理的基本原則(1)正確分析系統(tǒng)的受力正確分析系統(tǒng)的受力,首先判斷是否滿足某個守恒定首先判斷是否滿足某個守恒定律律(及是否在某投影軸上滿足守恒定律及是否在某投影軸上滿足守恒定律),根據(jù)相應(yīng)守恒根據(jù)相應(yīng)守恒定律求出未知運(yùn)動學(xué)量定律求出未知運(yùn)動學(xué)量(速度、角速度或位移等速度、角速度或位移等)。25(2)求約束力的問題求約束力的問題,一般不能選用動能定理一般不能選用動能定理(理想約理想約束力不作功束力不作功),可用其他幾個定理?？捎闷渌麕讉€定理。(3)單自由度系統(tǒng)：速度單自由度系統(tǒng)：速度(或角速度或角速度)和加速

17、度和加速度(或角或角加速度加速度)可用動能定理的積分和微分形式求；進(jìn)一可用動能定理的積分和微分形式求；進(jìn)一步求約束力可用其他定理。步求約束力可用其他定理。(4)若求加速度或角加速度：對質(zhì)點(diǎn)系可用動量或若求加速度或角加速度：對質(zhì)點(diǎn)系可用動量或質(zhì)心運(yùn)動定理；對單個定軸轉(zhuǎn)動剛體，可用對轉(zhuǎn)軸質(zhì)心運(yùn)動定理；對單個定軸轉(zhuǎn)動剛體，可用對轉(zhuǎn)軸的動量矩定理；對單個一般平面運(yùn)動剛體，可同時(shí)的動量矩定理；對單個一般平面運(yùn)動剛體，可同時(shí)選用質(zhì)心運(yùn)動定理和對質(zhì)心的動量矩定理。選用質(zhì)心運(yùn)動定理和對質(zhì)心的動量矩定理。26(5)研究對象的選?。簡巫杂啥认到y(tǒng)用動能定理時(shí)或研究對象的選?。簡巫杂啥认到y(tǒng)用動能定理時(shí)或不需求系統(tǒng)內(nèi)部

18、相互作用力時(shí)，可選整體為研究對不需求系統(tǒng)內(nèi)部相互作用力時(shí)，可選整體為研究對象；求系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用力時(shí)，可切取適當(dāng)分離象；求系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用力時(shí)，可切取適當(dāng)分離體為研究對象。體為研究對象。(7)對于剛體系統(tǒng)，求解時(shí)首先分析清楚各剛體的運(yùn)動對于剛體系統(tǒng)，求解時(shí)首先分析清楚各剛體的運(yùn)動狀態(tài)狀態(tài)(平移、定軸轉(zhuǎn)動、一般平面運(yùn)動平移、定軸轉(zhuǎn)動、一般平面運(yùn)動)。(8)注意題中給出的系統(tǒng)在某特殊時(shí)刻的運(yùn)動學(xué)條件注意題中給出的系統(tǒng)在某特殊時(shí)刻的運(yùn)動學(xué)條件(如如:從靜止釋放從靜止釋放,突然剪斷突然剪斷)。(6)列動力學(xué)基本定理的方程時(shí)列動力學(xué)基本定理的方程時(shí),常涉及多個運(yùn)動學(xué)量常涉及多個運(yùn)動學(xué)量(如如某點(diǎn)速度、加速度某點(diǎn)速度、加速度,某剛體的角速度、角加速度某剛體的角速度、角加速度)，需要，需要列出列出(如利用兩點(diǎn)速度關(guān)系、兩點(diǎn)加速如利用兩點(diǎn)速度關(guān)系、兩點(diǎn)加速度關(guān)系，速度合成關(guān)系、加速度合成關(guān)系度關(guān)系，速度合成關(guān)系、加速度合成關(guān)系,角速度合成角速度合成關(guān)系、角加速度合成關(guān)系等關(guān)系、角加速度合成關(guān)系等)；有時(shí)還需