33函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)（一） (2)

1、 3.33.3 函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)的和、差、積、商 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)( (一一) )yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期W W 1. 導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)的定義：.)()(limlim)(,)()()(. )()(, )(xxfxxfxyxfyxfxxfxxfyxyxxfxxfyyxxxxfyxxxx0000000000000即即或或，記記作作處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)（或或變變化化率率）在在點點叫叫做做處處可可導(dǎo)導(dǎo)，并并把把這這個個極極限限在在點點有有極極限限，我我們們就就說說函函數(shù)數(shù)時時，如如果果當(dāng)當(dāng)相相應(yīng)應(yīng)地地有有增增量量，那那么么函函數(shù)數(shù)增增量量處處有有在在如如果果自自變變量量定定義義

2、：設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧顧 2. 求函數(shù)求函數(shù) y = f (x) 在點在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟：處的導(dǎo)數(shù)的步驟：.lim)()()()()()()()(xyxfxxfxxfxyxfxxfyx000000321取取極極限限，得得導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；求求平平均均變變化化率率；求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量.sin)(cos;cos)(sin;)()(;)(xxxxQnxnxCCnn10為為常常數(shù)數(shù)3. 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （一）兩個函數(shù)的和與差的導(dǎo)數(shù)：（一）兩個函數(shù)的和與差的導(dǎo)數(shù)： 法則法則 1 兩個函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩兩個函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)

3、數(shù)的和（或差），即個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差），即().uvuv其中其中 u 和和 v 都是關(guān)于都是關(guān)于 x 的函數(shù)，并且都是可導(dǎo)的的函數(shù)，并且都是可導(dǎo)的 .證明：證明： y = f (x) = u(x) v(x) ,)()()()(xvxuxxvxxuy )()()()(xvxxvxuxxu ,vu ,xvxuxy 新新 課課 教教 學(xué)學(xué)xvxuxyxx 00limlimxvxuxx 00limlim, )()()(xvxuxf.)(vuvuy即即例例 1 求求 y = x 3 + sin x 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) .例例 2 求求 y = x 4 x 2 x + 3 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) .解：解：y=(x3

4、+sinx)=(x3)+(sinx)=3x2+cosx解：解：y=(x4x2x+3) =(x4)(x2)x+3=4x32x1， （二）兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)：二）兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)： 法則法則 2 ：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即(.)u vu vuv證明：證明： y = f (x) = u (x) v (x) ,)()()()(xvxuxxvxxuy )()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxu xxvxxvx

5、uxxvxxuxxuxy )()()()()()( 因為因為 v(x) 在點在點 x 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，xxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx )()(lim)()()()(limlim000.)(vuvuuvy即即.)(uCuCuCuCCu02，另外，由法則另外，由法則(),.CuCu常數(shù)與函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即 于是當(dāng)于是當(dāng) x 0 時，時，v(x+ x) v(x) .所以所以 v(x) 在點在點 x 處連續(xù)處連續(xù).的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求例例4532323xxxy.)( )(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求例例233242xxy()uvu vuv().CuCu5632xxy解：解： 3)32

6、()23(42xxx98182xx)23)(32()23()32(22xxxxy解：解： 例例5 y=3x2+xcosx，求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)y.解：解：y=(3x2+xcosx) =(3x2)+(xcosx) =32x+xcosx+x(cosx) =6x+cosx+xsinxx例例6 y=5x10sinx2 cosx9，求，求y.x解解：y=(5x10sinx2 cosx9) xx1=(50 x9+2)sinx+(5x10)cosx=5(x10)sinx+5x10(sinx) 2( )cosx+2 (cosx)0 xxx=(5x10sinx)(2cosx)9x121212x=510 x9sinx+

7、5x10cosx(cosx2sinx)xx1=50 x9sinx+5x10cosxcosx+2sinx ( )( )( )( )u xv xu xv x ()uvu vuv 推推 廣廣上述公式可以推廣到個函數(shù)的情況：上述公式可以推廣到個函數(shù)的情況： （f1+f2+fn) =f1+f2+fn（f1f2fn) = f1f2fn+ f1f2f3fn+ f1f2fn-1fn例例7* 已知已知231111( )()()()(),2222nnfxxxxxfn(x)= . 則則解：1()0 11(1,2,3, )2kxkn 233231111111( )1 ()()()() 1 ()()2222221111

8、()()()() 12222nnnnfxxxxxxxxxxx 令令x=0,得得233231231111231 2 3(1)21111 111 111(0)2222 222 222222222222 2 2222nnnnnnnnnn nf 例例7* 已知已知231111( )()()()(),2222nnfxxxxxfn(x)= . 則則1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=2x3+3x25x+4 (2)y=sinxx+1 (3)y=(3x2+1)(2x) (4)y=(1+x2)cosx 練練 習(xí)習(xí)解解 ： （1）(2x3+3x2-5x+4)=(2x3)+(3x2)-(5x)+4 =23x2

9、+32x-5=6x2+6x-5（2）y=(sinxx+1)=(sinx)x+1=cosx1（3）y=(3x2+1)(2x) =(3x2+1)(2x)+(3x2+1)(2x) =32x(2x)+(3x2+1)(1)=9x2+12x1（4）y=(1+x2)cosx=(1+x2)cosx+(1+x2)(cosx) =2xcosx+(1+x2)(sinx)=2xcosx(1+x2)sinx2.填空：填空：(1)(3x2+1)(4x23)=( )(4x23)+(3x2+1)( )(2)(x3sinx)=( )x2sinx+x3( )6x8x3cosx3.判斷下列求導(dǎo)是否正確，如果不正確，加以改正判斷下列求導(dǎo)是否正確，如果不正確，加以改正.(3+x2)(2x3)=2x(2x3)+3x2(3+x2)解：不正確解：不正確.(3+x)2(2x3) =(3+x2)(2x3)(3x2)(2x3) =2x(2x3)+(3+x2)(3x2) =2x(2x3)3x2(3+x2) ( )( )( )( )u xv xu xv x 由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導(dǎo)