第二章 數(shù)據(jù)模型1

1、一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化三、拉氏變換和拉氏反變換四、傳遞函數(shù)五、系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖六、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例七、小結(jié)0、數(shù)學(xué)模型的基本概念第二章 數(shù)學(xué)模型0、數(shù)學(xué)模型的基本概念 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。靜態(tài)模型是t時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。）動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 第二章 數(shù)學(xué)模型 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法(1)解析法(2) 實(shí)

2、驗(yàn)法 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。第二章 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式(1) 時(shí)間域：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程 (2)復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖(3) 頻率域：頻率特性 第二章 數(shù)學(xué)模型微分方程描述系統(tǒng)輸入-輸出模型，僅表示輸入輸出變量之間的關(guān)系。差分方程是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方

3、程?？刂葡到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 線性微分方程線性系統(tǒng) 線性定常系統(tǒng) 線性時(shí)變系統(tǒng) 微分方程連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 差分方程離散時(shí)間系統(tǒng) 偏微分方程控制系統(tǒng)中含有分布參數(shù) 非線性微分方程非線性系統(tǒng)一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(一）建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟一）建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 1、分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過程， 確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 2、從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過程，依據(jù)各變 量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的 動(dòng)態(tài)微分方程； 3、消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出 變量之間關(guān)系的微分方程； 4、標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排第二章 數(shù)學(xué)模型（二）控制系統(tǒng)微

4、分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫P17 P17 1、機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：（1）質(zhì)量（m）mfm(t)參考點(diǎn)x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 數(shù)學(xué)模型（2）彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121第二章 數(shù)學(xué)模型 K為彈簧剛度（3）阻尼dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()()()()(2121CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

5、第二章 數(shù)學(xué)模型C為黏性阻尼系數(shù)（4）機(jī)械平移系統(tǒng))()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCimmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m（受控質(zhì)量）、C （黏性阻尼系數(shù)）、K（彈性剛度）通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。第二章 數(shù)學(xué)模型顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）

6、數(shù)量。 ( )ox t 為輸出位移( )if t 為輸入（4） 彈簧阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi第二章 數(shù)學(xué)模型（5）機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C 粘性阻尼系數(shù) 彈性軸的旋轉(zhuǎn)力矩 阻尼器產(chǎn)生的阻尼力矩還有慣性體產(chǎn)生的慣性力矩柔性軸第二章 數(shù)學(xué)模型( ) kT t( )cT t)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK)()()()(22t

7、KtKtdtdCtdtdJiooo第二章 數(shù)學(xué)模型3、電氣系統(tǒng) P17-19 （1）電阻)()(tRitu電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)第二章 數(shù)學(xué)模型(2)電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t)(3)電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)第二章 數(shù)學(xué)模型C為電容，L為電感。dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(4)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)第二章 數(shù)學(xué)模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtd

8、LCiooo若L=0，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：)()()(tututudtdRCioo第二章 數(shù)學(xué)模型)()(0)(21tititua(5)有源電網(wǎng)絡(luò)p18-19+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：第二章 數(shù)學(xué)模型00A00( )=-( )( )( )=-0Au tK utu tutK小結(jié) 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模 型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一 方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方 法） 。 從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下， 數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出 響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)

9、行實(shí)驗(yàn) 模擬的基礎(chǔ)。 第二章 數(shù)學(xué)模型 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等 于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元（慣性 質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容 等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能 元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決 于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 第二章 數(shù)學(xué)模型二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化（一） 線性化問題的提出線性化問題的提出 2、線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系 統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性 微分方程進(jìn)行處理。 1、非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器， 阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系 統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性

10、傳輸特 性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線 性關(guān)系等。 第二章 數(shù)學(xué)模型3、線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工 作范圍內(nèi)具有線性特性； 4、非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的； 5、對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用 線性化模型近似代替非線性模型進(jìn)行處 理，能夠滿足實(shí)際需要。 第二章 數(shù)學(xué)模型（二）線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)； 1、線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：)()()(2121xfxfxxf可加性：)()(xfxf 齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章

11、 數(shù)學(xué)模型用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。2、非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)處理。 實(shí)際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。 第二章 數(shù)學(xué)模型非線性系統(tǒng)舉例節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱體截面積；第二章 數(shù)學(xué)模型)()()(tqtHtHdtdAi上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。 ：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，為常數(shù)。第二章 數(shù)學(xué)模型3、線性系統(tǒng)微

12、分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，mn。 )()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 數(shù)學(xué)模型4、 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 （1）泰勒級(jí)數(shù)展開法 函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0, y0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy第二章 數(shù)學(xué)模型)()()(000

13、 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的項(xiàng)，則：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = Kx， 其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0 = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；第二章 數(shù)學(xué)模型增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點(diǎn)上，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。 對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y = f (x1, x2)，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開獲得線性化的增量方程。 第二章 數(shù)學(xué)模型)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxx

14、xxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 靜態(tài)方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：第二章 數(shù)學(xué)模型（2）滑動(dòng)線性化切線法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非線性關(guān)系線性化A線性化增量增量方程為：y y =xtg切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。第二章 數(shù)學(xué)模型5、系統(tǒng)線性化微分方程的建立、系統(tǒng)線性化微分方程的建立 步驟： （1）確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)； （2）列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程； （3）消除中間變量，得到以增量表示的線性化微 分方程； 第二章 數(shù)學(xué)模型例：?jiǎn)螖[ P21根據(jù)牛頓第二定律這是一個(gè)非線性微分

15、方程因?yàn)閯t原微分方程可近似為以下線性方程:.2( )-sin ( )=( )iT t mgltmltTi(t)ml(t)350sin = -+sin3!5! 接近.2( )+sin ( )=( )imltmgltT t第二章 數(shù)學(xué)模型 實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化 )()()(tqtHtHdtdAi20022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHH0000,ioiqHqq解解：穩(wěn)態(tài)時(shí)：)(tH非線性項(xiàng)的泰勒展開為：第二章 數(shù)學(xué)模型節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)HHHHHHdHHdHH0000021)(則：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：Hdtd

16、HHdtd)(0第二章 數(shù)學(xué)模型)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：此時(shí)，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點(diǎn)的增量。第二章 數(shù)學(xué)模型6、線性化處理的注意事項(xiàng)線性化處理的注意事項(xiàng) （1）線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)；（2）線性化是有條件的，必須注意線性化方程適 用的工作范圍； （3）某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、 死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不能通過泰 勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)系統(tǒng)影響很小 時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作為非線性問題處理。 第二章 數(shù)學(xué)模型inout0

17、近似特性曲線真實(shí)特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性inout0繼電器非線性inout0間隙非線性第二章 數(shù)學(xué)模型例：閥控液壓缸線性化p20-21解：1）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入為x,為閥芯位移的輸入；y為液壓缸活塞位移的輸出，q為負(fù)載流量，pL為負(fù)載壓差，m為負(fù)載質(zhì)量。2)列寫原始微分方程：000= (,)qf xp(3):(1)qcqKxKp 表示成增量化形式為非線性函數(shù)，設(shè)閥的額定工作量為1( , )qq x p（）已知00 xp和，其靜態(tài)方程為：ppqxxqpxqpxqTaylorppxxppxx0000),(),(,)2(00級(jí)數(shù)形式展開成22()()=+(3)dydypA mDdt

18、dt(1)式（2）式聯(lián)立，求得 ，代入（3）式整理可得：液壓缸工作腔流動(dòng)連續(xù)性方程為()(2)dyqAdt A為液壓缸工作面積。液壓缸平衡方程為：p22()()+(+ )=()(4)ccqK mK DdydyAKxAAdtdt通常將式（4）寫成.(t)+(+ )(t)=( )(5)ccqK mK DyA yK x tAA三、拉氏變換和拉氏反變換p22（一）拉氏變換（一）拉氏變換 設(shè)函數(shù)f(t)在t第二章 數(shù)學(xué)模型6、單位加速度函數(shù)02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到

19、。 第二章 數(shù)學(xué)模型 （四）拉氏變換積分下限的說明（四）拉氏變換積分下限的說明 在某些情況下，函數(shù)f(t)在t0處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí) 必 須 明 確 拉 氏 變 換 的 積 分 下 限 是 0還是0+。0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst第二章 數(shù)學(xué)模型（五）（五）拉氏變換的主要定理拉氏變換的主要定理 1、疊加定理：(1)齊次性：Laf(t)=aLf(t)，a為常數(shù)；(2)疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章 數(shù)學(xué)模型p232、實(shí)微分定理 0)()0(),0

20、()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明證明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 數(shù)學(xué)模型)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同樣有：式中，f (0)，f (0)，為函數(shù)f(t)的各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值。第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：第二章 數(shù)學(xué)

21、模型(兩節(jié)課）3、復(fù)微分定理 222( )() ( )( )( ).( )( 1)( )(1, 2,3,.)nnnndF sLt f tdsdF sL t f tdsdF sL t f tnds=-輊=犏臌輊= -=犏臌若Lf(t)=F(s)，則除了F(s)的極點(diǎn)之外，有：證明：第二章 數(shù)學(xué)模型0000( )( ( )( )( )( )( )()( )()() ( )ststststF sL f tf t edtsddF sf t edtdsdsdf tedtdstf t edtLt f t由于兩邊對(duì) 求導(dǎo)得-=-=-4、積分定理p24 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsf

22、ssFdttfL)(1)(sFsdttfL當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章 數(shù)學(xué)模型證明證明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)(1)(sFsdttfLnn(1)()1111.( )()( )(0).(0)nnnnnLf tdtF sffsss-輊犏=+犏犏臌蝌同樣：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章 數(shù)學(xué)模型121(0)(0).(0)0nnffff-+-=5、延時(shí)定理 p24 ()00().1()( )().1()().1()()( )()( )( )( )asstastatasaassas

23、L f tataeF sL f tataf tata ef ta edtfedaefedeF s證：-=-+-=-=-=-揪井=+=設(shè)當(dāng)t0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意a0，有：函數(shù) f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 數(shù)學(xué)模型6、衰減定理 p24 ()00( )()( )( )( )()atatatstatstL ef tF saL ef tef t edtf t edtF sa證明：-+輊=+犏臌輊=+犏臌蝌例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 數(shù)學(xué)模型7、初值定理 證明證明：)(lim)0()(lim0ss

24、Fftfst初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。 00( )( )limlim( )lim0lim( )(0 )0stssstssdf tdf tLedtdtdtdf tedtdtsF sf)(lim)0(ssFfs即：第二章 數(shù)學(xué)模型8、終值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面， 即：)(limtft存在。則：第二章 數(shù)學(xué)模型證明證明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同。)(lim)(

25、0ssFfs第二章 數(shù)學(xué)模型00000( )( )limlim( )lim()(0)stssstsdf tdf tLedtdtdtdf tedtdtff-輊輊犏犏=犏犏臌臌輊犏=犏臌=-又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即：9、卷積定理 p27 )()()()(sGsFtgtfL00( )* ( )() ( )( ) ()( )*( )ttf tg tf tgdfg tdg tf t若t0時(shí)， f(t)g(t)0，則f(t)和g(t)的卷積可表示為：其中，f(t)g(t)表示函數(shù)f(t)和g(t)的卷積。第二章 數(shù)學(xué)模型證明證明：0000( )( )() ( )().1() (

26、 )().1() ( )tstL f tg tLf tgdLf ttgdf ttgde dt 第二章 數(shù)學(xué)模型00( )( )tssfedged 令 - =-=蝌)()(sGsF( - )00( - ) 1( - )( )s tsf ttedtged 10、時(shí)間比例尺的改變p26 ()tL faF asa例：11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLat第二章 數(shù)學(xué)模型證明：0stttL ffedtaa設(shè),tua則 00=a =()stsautfedtf u eduasF as11、tx(t)函數(shù)的拉氏變換p26 證明： ( ) ( )=-dX sL tx tds第二章 數(shù)學(xué)模型-0-0-

27、0( )=( )=( )()=-( )=- ( )stststdX sdx t e dtdsdsdx tedtdstx t e dtL tx t12、證明：( )x tt第二章 數(shù)學(xué)模型( )=( )sx tLX s dst的拉氏變換為-0-0-00( )=( )=( )1=-( ) e1=( )( )= stssstsstsstX s dsx t e dtdsx te dsdtx tdttx tetx tLt 13、周期函數(shù)的象函數(shù) 設(shè)函數(shù)x(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即x(t+T)=x(t)，則證明：令t=+nT， 則-023-0T2+-=0( ) =( )lim( )+( )+( )+

28、=( )stTTTstststTnnT TstnTnL x tx t e dtx t e dtx t e dtx t e dtx t e dt第二章 數(shù)學(xué)模型-01( ) =( )1-TstsTL x tx t e dte()00000 ( )()( )1( )1TsnTnTsnTsnTstsTL x txnT edexedx t edte（五）（五）求解拉氏反變換的部分分式法求解拉氏反變換的部分分式法 P28 例例2-3。 部分分式法 如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易

29、地求出，則：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)第二章 數(shù)學(xué)模型常用拉氏變換表常用拉氏變換表)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsF在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，pn為方程A(s)=0的根的負(fù)值，稱為F(s)的極點(diǎn)。此時(shí)，即可將F(s)展開成部分分式。 第二章 數(shù)學(xué)模型 F(s)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn) P29niiinnpsAps

30、ApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(式中，Ai為常數(shù)，稱為s = -pi極點(diǎn)處的留數(shù)。nitpiniiiieApsALsFL1111)(于是：第二章 數(shù)學(xué)模型例例：求)6(2)(22ssssssF的原函數(shù)。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA第二章 數(shù)學(xué)模型54) 3(2)()2(2223sssssssFsA)0(5415831)()(231teesFLtftt215431158131)(ssssF即：第

31、二章 數(shù)學(xué)模型例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)f（t）s10s7s1s2) s (F23解：解：)5s)(2s ( s1s2s10s7s1s2) s (F23其中：其中：p10、p2-2、p3-51002121|0.1(2)(5)2 5sSssAss ss同理：同理：A2=0.5、A3-0.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (F25( )(0.10.50.6) 1( )ttf teet-=+- 其反變換為：其反變換為：P29 例例2-4。 F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) P29-30nnpsApsApspsAsAsAsBsF332121)()()()(21212121)

32、()(pspspspsAsApspssF或或假設(shè)F(s)含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)-p1、-p2，其余極點(diǎn)均為各不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則：式中，A1和A2的值由下式求解：上式為復(fù)數(shù)方程，令方程兩端實(shí)部、虛部分別相等即可確定A1和A2的值。第二章 數(shù)學(xué)模型niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(注意，此時(shí)F(s)仍可分解為下列形式：由于p1、p2為共軛復(fù)數(shù)，因此， A1和A2的也為共軛復(fù)數(shù)。ipsiipssFA)()(第二章 數(shù)學(xué)模型例例：求的原函數(shù)。10,)2()(222nnnssssF解解：)1)(1()(222nnnnnssssF21nd令：，則： sAjsjsAsAj

33、sjsssFdndndndnn3212)()()(第二章 數(shù)學(xué)模型dndnjsjsnAsAs212根據(jù)：dndnnjAAAj1212有：dndnjAAAj121即：nddnnAAAAA2; 121121由上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等，得：第二章 數(shù)學(xué)模型2222)()(1)(dnndnnsssssF1022223sssAnnn而：sjsjsssFdndnn1)(2)(所以：222221()()1ndndndssss+=-+-2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat第二章 數(shù)學(xué)模型tetetfdtdtnnsin1cos1)(2查拉氏變換表得：cos,sin1221 arctg

34、令，即：0),sin(11)(2ttetfdtn于是：0,sincos11122ttteddtn第二章 數(shù)學(xué)模型例例：求的原函數(shù)。) 1(1)(2sssssF解解：1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF1)(00sssFA23212123212)()() 1(jsjsAsAsFss第二章 數(shù)學(xué)模型0, 123)(2321)(21212121AAAAAA即：所以：11)(2sssssF2223211sss第二章 數(shù)學(xué)模型22222321212321211ssss2222232123312321211ssss第二章 數(shù)學(xué)模型查拉氏變換表得：tetetftt23sin3123

35、cos1)(22ttet23sin2123cos2332120,6023sin3212ttet第二章 數(shù)學(xué)模型 F(s)含有重極點(diǎn) P31設(shè)F(s)存在r重極點(diǎn)-p0，其余極點(diǎn)均不同，則： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。11110001.()()()()()rnrrrrrnAAAAAspspspspsp+-+=+第二章 數(shù)學(xué)模型00 ( )() rrAF s spsp=+=-010 ( )() rrdAF s spdssp-禳镲镲=+睚镲镲鉿= -022021 ( )() 2!rrdAF s sp

36、dssp-禳镲镲=+睚镲镲鉿=-011011 ( )() (1)!rrrdAF s sprdssp-禳镲镲=+睚镲-镲鉿=-第二章 數(shù)學(xué)模型01101()(1)!kp tktLespk-輊犏=犏+-臌注意到：01112111( ) ( ).(1)!(2)! .(0)rnp trrrrptp trnf tLF sAAttA errAeA et+-+=輊犏=+犏-臌+所以：第二章 數(shù)學(xué)模型例例：求的原函數(shù)。) 1()2(3)(2ssssF解解：12) 2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202ss

37、sssssssdsdsssFdsdA第二章 數(shù)學(xué)模型21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：例2-7 P32第二章 數(shù)學(xué)模型（六）應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程（六）應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟1、將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方程； 2、 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；3、應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。 第二章 數(shù)學(xué)模型原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第二章 數(shù)學(xué)模型 實(shí)例)()(6)(5)(22txtxdtt

38、dxdttxdiooo設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。解解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換： )0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章 數(shù)學(xué)模型)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 數(shù)學(xué)模型stLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：sxx

39、ssXssooo1)0()0()5()()65(2從而：第二章 數(shù)學(xué)模型61065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 數(shù)學(xué)模型) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章 數(shù)學(xué)模型零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)例

40、2-8 P321、應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始 條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù) 的值就可得到微分方程的全解。 2、如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏 變換可以簡(jiǎn)單地用sn代替dn/dtn得到。 由上述實(shí)例可見：第二章 數(shù)學(xué)模型3、系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。 四、傳遞函數(shù)（一）（一）傳遞函數(shù)的概念和定義傳遞函數(shù)的概念和定義 1、 傳遞函數(shù) 第二章 數(shù)學(xué)模型在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。 零初始條件：（1）t0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；（2）輸入量施加于系統(tǒng)之前，

41、系統(tǒng)處于穩(wěn)定 的工作狀態(tài)，即t 0 時(shí)，輸出量及其各 階導(dǎo)數(shù)也均為0；第二章 數(shù)學(xué)模型（二）傳遞函數(shù)求解示例 1、質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)第二章 數(shù)學(xué)模型 2、R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()(

42、)()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：第二章 數(shù)學(xué)模型3、幾點(diǎn)結(jié)論 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型， 其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)， 與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。 若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函 數(shù)G(s) 決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的 固有動(dòng)態(tài)特性。 傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān) 系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的 輸入輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。 第二章 數(shù)學(xué)模型（三）傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdt

43、dbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio1、考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：第二章 數(shù)學(xué)模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2、特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn) （1） 特

44、征方程第二章 數(shù)學(xué)模型式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)： G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K 反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。 第二章 數(shù)學(xué)模型（2）零點(diǎn)和極點(diǎn) )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將G(s)寫成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)

45、就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。第二章 數(shù)學(xué)模型（3）零、極點(diǎn)分布圖 將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖0 12312-1-2-3-1-2j第二章 數(shù)學(xué)模型2、傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明 （1）傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定 常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳 遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； （2）傳遞函數(shù)是 s 的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各 項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相 等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)

46、； 第二章 數(shù)學(xué)模型（3）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之 前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。 因此，傳遞函數(shù)原則上不能 反映系統(tǒng)在非零初始 條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律； （4）傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無法 描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。 （5）一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān) 系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。 第二章 數(shù)學(xué)模型3、脈沖響應(yīng)函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù) 初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的輸

47、出響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的相同信息。第二章 數(shù)學(xué)模型（三）典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（三）典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 1、環(huán)節(jié) 具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。 任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。 第二章 數(shù)學(xué)模型2、 環(huán)節(jié)的分類 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假設(shè)系統(tǒng)有b個(gè)實(shí)零點(diǎn)，c 對(duì)復(fù)零點(diǎn)，d 個(gè)實(shí)極點(diǎn)，e對(duì)復(fù)極點(diǎn)和v個(gè)零極點(diǎn)，由線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式：可見：b+2c = m v+d+2e = n第二章 數(shù)學(xué)模型iiiiiisszs1),1(1

48、jjjjjjTsTTsps1),1(1對(duì)于實(shí)零點(diǎn)zi=i和實(shí)極點(diǎn)pj=j ，其因式可以變換成如下形式：第二章 數(shù)學(xué)模型1222222()()()() 21 (21)szszsjsjssss 對(duì)于復(fù)零點(diǎn)對(duì)z=+j和z+1= j ，其因式可以變換成如下形式：2222,1式中，第二章 數(shù)學(xué)模型對(duì)于復(fù)極點(diǎn)對(duì)pk=k+jk和pk+1=k jk ，其因式可以變換成如下形式：) 12(1 2 )()(2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，第二章 數(shù)學(xué)模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(于是，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：第二章 數(shù)學(xué)模型121,11,1, 12, 1,2222TssTTsssssK由上式可見，傳遞函數(shù)表達(dá)式包含六種不同的因子，即：一般，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：第二章 數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)：K一階微分環(huán)節(jié)：s+11222ss二階微分環(huán)節(jié)：s1積分環(huán)節(jié)：11Ts慣性環(huán)節(jié)：12122TssT振蕩環(huán)節(jié)：第二章 數(shù)學(xué)模型3、典型環(huán)節(jié)示例 q 比例環(huán)節(jié) P33-34輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。其運(yùn)動(dòng)方程為：xo(t)=Kxi(t