解析幾何第四版復(fù)習(xí)重點(diǎn)第四章柱面錐面旋轉(zhuǎn)面與二次曲面

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面§4.1 柱面2、設(shè)柱面的準(zhǔn)線為xy 2z2x2z，母線垂直于準(zhǔn)線所在的平面，求這柱面的方程。解：由題意知：母線平行于矢量1,0, 2任取準(zhǔn)線上一點(diǎn)M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，過(guò) M 0的母線方程為：xx0tx0xtyy0y0 yzz02tz0z2t而 M 0 在準(zhǔn)線上，所以：xty2( z 2t )2xt2( z2t )消去 t ，得到： 4x 225 y 2z24xz20x10z 0此即為所求的方程。3、求過(guò)三條平行直線xyz, x1y z1, 與x1y 1 z 2 的圓柱面方程。解 ： 過(guò) 原 點(diǎn) 且 垂 直

2、于 已 知 三 直 線 的 平 面 為 x yz 0 ： 它 與 已 知 直 線 的 交 點(diǎn) 為0, 0,0 ,(1, 0, 1), (114， 這 三 點(diǎn) 所 定 的 在 平 面 xy z 0 上 的 圓 的 圓 心 為,)333M 0 (2 ,11 , 13) ，圓的方程為：151515( x2 ) 2( y11) 2( z13) 29815151575xyz0此即為欲求的圓柱面的準(zhǔn)線。又過(guò)準(zhǔn)線上一點(diǎn)M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ，且方向?yàn)?1, 1,1的直線方程為：xx1tx1xtyy1ty1ytzz1tz1zt將此式代入準(zhǔn)線方程，并消去t 得到：5( x 2y2z 2xyy

3、zzx)2x11y13z0學(xué)習(xí)必備歡迎下載此即為所求的圓柱面的方程。§4.2 錐面2、已知錐面的頂點(diǎn)為(3 , 1 , 2) ，準(zhǔn)線為 x 2y 2z21, xyz0，試求它的方程。解：設(shè) M ( x, y, z) 為要求的錐面上任一點(diǎn)，它與頂點(diǎn)的連線為：X3Y1Z2x3y1z2令它與準(zhǔn)線交于 ( X 0,Y0 ,Z0 ) ，即存在t ，使X 03( x3)tY01( y!)tZ02( z2)t將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去t 得：3x25y27z 26xy2 yz10 xz4x 4 y 4z 4 0此為要求的錐面方程。4、求以三坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程。解：（這里僅求、卦限內(nèi)的圓錐面

4、，其余類推）圓錐的軸 l 與 i , j , k 等角，故 l 的方向數(shù)為 1 :1 :1與 l 垂直的平面之一令為xyz1平面 xyz1在所求的錐面的交線為一圓，該圓上已知三點(diǎn)(1 ,0 ,0), (0 ,1 ,0), ( 0 ,0 ,1) ，1 11該圓的圓心為(,) ，故該圓的方程為：(x1) 2( y1) 2( z1) 2( 2)23333xy z1它即為要求圓錐面的準(zhǔn)線。對(duì)錐面上任一點(diǎn)M (x, y, z) ，過(guò) M 與頂點(diǎn) O 的母線為：XYZxyz令它與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為( X 0 , Y0 , Z0 ) ，即存在 t ，使 X0xt ,Y0yt , Z 0zt ，將它們代入準(zhǔn)線方程，

5、并消去t 得：xyyzzx0學(xué)習(xí)必備歡迎下載此即為要求的圓錐面的方程。5、求頂點(diǎn)為 (1, 2, 4) ，軸與平面 2x2 yz0垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3, 2, 1) 的圓錐面的方程。解：軸線的方程為：x1y2z4221過(guò)點(diǎn) (3, 2, 1) 且垂直于軸的平面為：2(x3)2( y2)(z1)0即：2x2 yz110該平面與軸的交點(diǎn)為(11, 20 , 37) ，它與 (3, 2, 1)的距離為：999d(113) 2(202)2(371)21169993要求圓錐面的準(zhǔn)線為：( x11)2( y20)2( z37) 211699992x2yz110對(duì)錐面上任一點(diǎn)M (x, y, z) ，過(guò)該點(diǎn)

6、與頂點(diǎn)的母線為：X1Y2Z4x 1y2z4令它與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為( X 0, Y0, Z0 ) ，即存在 t ，使 X 01( x1)t , Y0 2( y 2)t ,Z0 4( z4)t將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去t 得：51x251y12 z2104xy52 yz52zx518x 516 y252z 12990§4.3 旋轉(zhuǎn)曲面1、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程：（1）； x 1 y 1 z 1繞 xyz 1 旋轉(zhuǎn)112112（2）； x yz1 繞 xyz 1 旋轉(zhuǎn)211112（3） x1yz 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)；133學(xué)習(xí)必備歡迎下載（4）空間曲線zx2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)。x2y21解：（ 1）設(shè)

7、M 1 ( x1, y1, z1) 是母線 x 1y 1z1 上任一點(diǎn)，過(guò)M 1 的緯圓為：112( xx1)( yy1 )2(zz1 )0(1)x2y2(z1)2x12y12( z1 1)2(2)又 M 1 在母線上。x1 1 y11z11112從（ 1）（ 3）消去 x1 , y1 , z1 ，得到：5x25y22z22xy 4 yz 4 xz 4x 4y 4z 8 0此為所求的旋轉(zhuǎn)面方程。（2）對(duì)母線上任一點(diǎn)M 1( x1, y1 , z1 ) ，過(guò) M 1 的緯圓為：( xx1)( yy1 )2(zz1 )0(1)x2y2(z 1)2x12y12( z1 1)2(2)因 M 1 在母線

8、上，x1y1z11(3)211從（ 1）（ 3）消去 x1 , y1 , z1 ，得到：5x25 y223 z212xy24 yz24 xz24x 24 y46 z 23 0此為所求的旋轉(zhuǎn)面的方程。（3）對(duì)母線上任一點(diǎn)M 1( x1, y1 , z1 ) ，過(guò)該點(diǎn)的緯圓為：zz1(1)x2y2z2x12y12z12(2)x11y1z1（ 3）又 M 1 在母線上，所以：331從（ 1）（ 3）消去 x1 , y1 , z1，得到：9( x2y2 ) 10 z26z 9 0此為所求的旋轉(zhuǎn)面方程。（4）對(duì)母線上任一點(diǎn) M 1( x1, y1 , z1 ) ，過(guò) M1 的緯圓為：學(xué)習(xí)必備歡迎下載zz

9、1(1)x2y2z2x12y12z12(2)又 M 1 在母線上，所以z1x12(1)x12y121(2)從（ 1）（ 3）消去 x1 , y1 , z1 ，得到：x2y21zz1x1210z1即旋轉(zhuǎn)面的方程為：x2y21( 0 z 1)§4.4 橢球面2、設(shè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)(1,0,0) 的距離等于從這點(diǎn)到平面x4 的距離的一半，試求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn) M ( x, y, z) ，要求的軌跡為，則M ( x, y, z)( x 1)2y2z21 x 43x24 y24z2122即： x2y2z21433此即為的方程。3y2z21的中心（即原點(diǎn)），沿某一定方向到曲面上的一點(diǎn)的距離為r

10、，、由橢球面 x2a2b2c2設(shè)定方向的方向余弦分別為, , ，試證：1222r 2a2b2c2證明：沿定方向 , 到曲面上一點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為 r , r, r 該點(diǎn)在曲面上r 2 2r 22r 221a2b2c2即 1222a2b2c2r2學(xué)習(xí)必備歡迎下載x2y2z21 的中心，引三條兩兩相互垂直的射線，分別交曲面 p1 , p2 , p3 ，4、由橢球面bc2a22設(shè) op1r1, op2r2, op3r3 ，試證：111111r12r2 2r32a2b2c21222證明：利用上題結(jié)果，有iii(i1,2,3)2a2b2c2ri其中i ,i, i 是 opi的方向余弦。若將 opi (i1

11、,2,3) 所在的直線看成新的坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸，則1 ,2 , 3 是坐標(biāo)矢量關(guān)于新坐標(biāo)系的方向余弦， 從而22222222211231，同理， 1231 ， 123所以，1111222)1(222)1(222)222a2( 123b2123c2123r1r2r3111a2b2c2即： 111111r1 2r22r32a2b2c2§4.5 雙曲面x2y2z2yoz面（或 xoz 面）3、已知單葉雙曲面91 ，試求平面的方程， 使這平面平行于44且與曲面的交線是一對(duì)相交直線。解：設(shè)所求的平面為xk ，則該平面與單葉雙曲面的交線為：x2y2z21（* ）494xk亦即y2z21 k 2

12、944xk為使交線（ * ）為二相交直線，則須：k210 ，即 k24所以，要求的平面方程為：x2同理，平行于 xoy 的平面要滿足它與單葉雙曲面的交線為二相交直線，則該平面為： y3學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、設(shè)動(dòng)點(diǎn)與(4,0,0) 的距離等于這點(diǎn)到平面x1 的距離的兩倍，試求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M ( x, y, z) ，所求軌跡為，則M (x, y, z)(x4)2y2z22 x1( x 4)2y2z24( x 1)2亦即：x2y2z2141212此為的軌跡方程。5、試求單葉雙曲面x2y2z21 與平面 x2z30 的交線對(duì) xoy 平面的射影柱面。1645解：題中所設(shè)的交線為：x2y 2z

13、211645x2z30從此方程中消去z ，得到：x220 y224x1160此即為要求的射影柱面方程。§4.6 拋物面2、適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程：（1）到一定點(diǎn)和一定平面距離之比為定常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；（2）與兩給定的異面直線等距離的點(diǎn)的軌跡，已知兩異面直線間的距離為2a ，夾角為 2。解：（ 1）取定平面為 xoy 面，過(guò)定點(diǎn)且垂直于xoy 面的直線作為z 軸，則定點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(0,0, a) ，而定平面即為 z0 ，設(shè)比值常數(shù)為c ，并令所求的軌跡為，則點(diǎn) M ( x, y, z)x 2y2( z a)2cz即 x2y 2(1 c 2 ) z22az a 20此為的方程。（

14、2）取二異面直線的公垂線為軸，中點(diǎn)的坐標(biāo)為原點(diǎn)；再取 x 軸，使其與二異面直線的夾角相等，則二異面直線的方程為：ytg x 0ytg x 0za與az設(shè)所求的軌跡為，則學(xué)習(xí)必備歡迎下載yza2a2xy2zxM (x, y, z)tg0011tg1tg 2yza2a2xy2zxtg0011tg1tg 2即：tg 2(z a)2( za) 2( xtgy) 2tg 2( za) 2( z a)2(xy) 2經(jīng)同解化簡(jiǎn)得：sincosxyza此即所要求的軌跡方程。§4.7 單葉雙曲面與雙葉雙曲面的直母線3、在雙曲拋物面x2y 2z 上，求平行于平面 3x2 y 4z0 的直母線。164解：雙曲拋物面x2y2z 的兩族直母線為：164xyuxy424v及2u( xv( xy ) zy ) z4242第一族直母線的方向矢量為： 2, 1, u第二族直母線的方向矢量為： 2,1, v據(jù)題意，要求的直母線應(yīng)滿足：2324u0u12324v0v2要求的直母線方程為：xy1xy24242及xyxyzz424225、求與兩直線x 6yz1 與 xy 8z 4 相交，而且與平面 2x 3 y 50 平3213221學(xué)