故事中的數(shù)學思想方法——李新亞

1、中學數(shù)學中的主要思想方法1中學數(shù)學中的主要思想：函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想，分類討論思想，化歸與轉化思想。（1）函數(shù)與方程思想：就是用函數(shù)的觀點、方法研究問題，將非函數(shù)問題轉化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)的研究，使問題得以解決。通常是這樣進行的：將問題轉化為函數(shù)問題，建立函數(shù)關系，研究這個函數(shù)，得出相應的結論。中學數(shù)學中，方程、數(shù)列、不等式等問題都可利用函數(shù)思想得以簡解；幾何量的變化問題也可以通過對函數(shù)值域的考察加以解決。（2）數(shù)形結合思想:數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學,因而數(shù)學研究總是圍繞著數(shù)與形進行的。“數(shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達式，代數(shù)中的一切內容；“形”就是圖形、圖象、

2、曲線等。數(shù)形結合的本質是數(shù)量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數(shù)量關系。數(shù)形結合就是抓住數(shù)與形之間的內在聯(lián)系，以“形”直觀地表達數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。”通過深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用形的直觀誘發(fā)直覺。（3）分類討論思想：就是根據(jù)數(shù)學對象本質屬性的共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎的，它能揭示數(shù)學對象之間的內在規(guī)律，有助于學生總結歸納數(shù)學知識，使所學知識條理化。數(shù)學中的分類有現(xiàn)象分類和本質分類兩種，前一種分類是以分類對象的外部特征、外部關系為根據(jù)的，如復數(shù)分為實數(shù)與虛數(shù)等，這種分法看

3、上去一目了然，但不能揭示所分對象之間的本質聯(lián)系；后一種分類是按對象的本質特征、內部聯(lián)系進行分類的，如函數(shù)按單調性或有界性分類，多面體按柱、錐、臺分類等。（4）化歸與轉化思想：在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數(shù)學思想稱為轉化思想。體現(xiàn)在數(shù)學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程。化歸與轉化的一般原則是：化歸目標簡單化原則；和諧統(tǒng)一性原則（化歸應朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形、關系方面趨于統(tǒng)一的方向進行，使問題的條件與結論表現(xiàn)得更均勻和恰當。）；具體化原則；標準形式化原則（將

4、待解問題在形式上向該類問題的標準形式化歸。；低層次化原則（解決數(shù)學問題時，應盡量將高維空間的待解問題化歸成低維空間的問題，高次數(shù)的問題化歸成低次數(shù)的問題，多元問題化歸為少元問題解決。這是因為低層次問題比高層次問題更直觀、具體、簡單）。古今中外許多精彩的經(jīng)典故事，不僅妙趣橫生，耐人尋味，還蘊含著豐富的數(shù)學思想內涵。一“道旁李苦”與反證法的思想王戎七歲的時候，和小朋友們一道玩耍看見路邊有株李樹，結了很多李子，枝條都被壓斷了。那些小朋友都爭先恐后地跑去摘。只有王戎沒有動。有人問他為什么不去摘李子，王戎回答說：“這樹長在大路邊上，還有這么多李子，這一定是苦李子。”摘來一嘗，果然是這樣。這里王戎運用的就

5、是反證法的思想：論題是樹在道邊而多李，此必苦李。論證過程應是：假使不是苦李，那么長在道邊沒人看管的李子一定會被人吃了。但實際上李子卻沒有人吃。這與假設相矛盾。所以，假設不成立，一定是苦李。二“大敦穴”的發(fā)現(xiàn)與歸納法的思想據(jù)內經(jīng)記載：古代有一個樵夫經(jīng)常犯頭疼病，但找不到治療的辦法。有一次，這個樵夫上山去砍柴，無意中碰破了足拇指，出了一點血，但這時他卻感到頭部不疼了，當時他也沒有在意。后來，他的頭疼病復發(fā)，在砍柴時又偶然碰破了上次碰破過的地方，這時他的頭疼病又好了，這次卻引起了他的注意：奇怪，為什么碰破了這個部位，我的頭疼病就好了呢?于是便記住了這個部位。以后，每當他犯頭疼病的時候，就有意識地去刺

6、破這個部位結果頭疼病馬上就好了，或是減輕了疼痛。這個樵夫所碰的部位就是現(xiàn)在人體穴位中的大敦穴，它在足拇指的指甲的外側根部。這個樵夫發(fā)現(xiàn)大敦穴的過程就是采用了歸納法的思想。歸納法就是從特殊的具體的認識推進到一般的抽象的認識的一種思維方式。它是科學發(fā)現(xiàn)的一種常用的有效的思維方式。初中數(shù)學中的例子更是多的不勝枚舉：多邊形內角和定理、冪的運算法則等無不是用歸納的思想得出的。三莊子與無窮的思想早在遠古時代，無限的概念就比其它任何概念都激動著人們的感情，而且遠在兩千年以前，人們就已經(jīng)產生了對數(shù)學無窮的萌芽認識。在我國，著名的莊子一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭?！睆闹芯涂审w現(xiàn)出我國早期對數(shù)學無

7、窮的認識水平。而我國第一個創(chuàng)造性地將無窮思想運用到數(shù)學中。且運用相當自如的是魏晉時期著名數(shù)學家劉徽。他提出用增加圓內接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓的“割圓術”。并闡述道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！笨梢妱⒒諏?shù)學無窮的認識已相當深刻，正是以“割圓術”為理論基礎，劉徽得出徽率，而其后繼者祖沖之更是得出了圓周率介于31415926與31415927之間的領先國外上千年的驚人成果。四“二桃殺三士”與“抽屜原理”齊景公門下有三名武力超群的勇士。他們雖為齊國立過不少功勞，但卻都是因居功自傲而目中無人，橫行霸道。齊國的宰相晏嬰就想除掉他們。晏嬰知道，用武力絕對制服不了

8、三人，只能用別的計謀。于是他請齊景公賞賜三名勇士兩個桃子，并且吩咐說：“你們自己按各人功勞的大小去分配桃子吧!”三名勇士都要求自己單獨吃一個桃子，否則就意味著自己的功勞不大。豈不有失勇士的面子，這是絕對不能讓步的。但他們又感到雖然自己單獨吃一個桃子是受之無愧的，但這樣一來。其余兩位就只能合吃一個桃子了，這將使他們感到奇恥大辱，為了夸耀自己而羞辱朋友，又有損哥們義氣。他們左右為難，便都賭氣自殺了。晏子不費吹灰之力便達到了預期的目的，實在算得上“陰謀”。但有趣的是他卻運用了數(shù)學中的一個重要的原理 抽屜原理。這個原理形象的說法就是：把三件物品放到兩個抽屜里，一定有一個抽屜里至少有兩件物品。這個故事中

9、兩個桃子可看作兩個抽屜。三名勇士可看作三件物品，把三件物品放到兩個抽屜中，至少有兩件物品要落進同一個抽屜里， 即至少有兩名勇士只能合吃一個桃子。由于三名勇士都爭強好勝，互不相讓的性格弱點，就決定悲劇結局的不可避免。老謀深算的晏子就憑簡單的抽屜原理而穩(wěn)操勝券了。五、曹沖稱象與轉化命題法 在曹沖稱象的故事中，聰明的曹沖運用了這樣一個方法：要知大象的體重但不能直接去稱，便把問題轉化為容易辦到的去稱石頭的重量，最后由石頭的重量還原為大象的體重。曹沖的這個方法在數(shù)學中叫做“轉化命題法”。在初中數(shù)學中，轉化命題的方法應用非常廣泛，如解分式方程，通過換元法或去分母法，把解分式方程轉化成解整式方程，實現(xiàn)了“復

10、雜向簡單的轉化”；對于直線和圓的位置關系的研究，轉化成圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較問題，使“幾何問題”轉化為“代數(shù)問題”等。六、司馬光砸缸與逆向思維 司馬光砸缸的故事也是學生很熟悉的歷史故事，當一個小朋友不小心掉進水缸以后，其他小朋友想到的是讓“人離開水”，當無法辦到時便驚慌失措，司馬光想到的是“水離開人”，在緊急關頭把缸砸破讓水流走，救活了一條小生命?！叭穗x開水”的逆向思維是“水離開人”。逆向思維是一種積極的具有創(chuàng)造性的思維形式，這種思維形式在數(shù)學教學中屢見不鮮。如整式的乘法與分解因式；去括號與添括號；原命題與逆命題等。七、魯班造鋸與類比法 魯班造鋸的故事是家喻戶曉的歷史故事，當魯班

11、的手不慎被一片草葉割破后，他仔細觀察小草葉子的邊沿布滿了密集的小齒，于是便產生聯(lián)想，根據(jù)小草的結構發(fā)明了鋸子，魯班在這里運用了“類比法”。所謂類比的思想方法是指將相似的事物加以比較，辨析其異同的思維方法。例如，實數(shù)和代數(shù)式有許多屬性是相同的：實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)，代數(shù)式也可分為有理式和無理式；實數(shù)可以進行混合運算，代數(shù)式也可以進行這些運算。此外，在教材中，依據(jù)有理數(shù)絕對值的概念建立實數(shù)絕對值；依據(jù)正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則建立有理數(shù)指數(shù)冪的運算這些都是運用了類比法。在教學中，要善于運用類比法，它有助于培養(yǎng)學生思維的廣闊性和邏輯性，提高學生發(fā)現(xiàn)相似性和相似關系的能力，尋求正確求解途徑，從而促進方法、能力和知識的正向遷移。八、將軍飲馬與數(shù)形結合 相傳，古希臘亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫，有一天，一位將軍專程來拜訪海倫，求問一個百思不解的問題：從圖中A地出發(fā)到筆直的河邊去飲馬，然后再去B地，走哪一條線路最短？這個問題就被稱為“將軍飲馬問題”，據(jù)說當時海倫稍加思索，便圓滿地解答了這個問題。 設點A關于河岸的對稱點為C點，連接CB與河岸相交于M點，則從A點到M點去飲馬，再從M點去B處所走的路線最短，這是因為對于河岸上任何不同于M點的N點都有：AN+NB=CN+NBCB=CM+MB=AM+MB “將