【最新推薦】初中數(shù)學(xué)幾何模型大全+經(jīng)典題型(含答案)(4)

1、初中數(shù)學(xué)幾何模型大全 +經(jīng)典題型（含答案）全等變換平移：平行等線段（平行四邊形）對(duì)稱：角平分線或垂直或半角旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱全等模型角分線模型說(shuō)明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線， 形成對(duì)稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直 也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱全等。對(duì)稱半角模型說(shuō)明：上圖依次是45 、30 、22.5 、15 及有一個(gè)角是30 直 角三角形的對(duì)稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全等。旋轉(zhuǎn)全等模型半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段 自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等 中點(diǎn)

2、旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問(wèn)題旋轉(zhuǎn)半角模型說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。自旋轉(zhuǎn)模型構(gòu)造方法: 遇60度旋60度，造等邊三角形 遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱共旋轉(zhuǎn)模型說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形， 第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?？?察的內(nèi)容。通過(guò)“ 8”字模型可以證明。模型變形Z)說(shuō)明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變 化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰 三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公

3、共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。中點(diǎn)旋轉(zhuǎn):說(shuō)明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)， 證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與 中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。 證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直 角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的 等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過(guò)證明旋轉(zhuǎn)全等 三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。中點(diǎn)模型JAffitc*i5ffiift3tt僧扶一邊枸逍中為甥W岡詒御血中Hi幾何最值模型對(duì)稱最值（兩點(diǎn)間線段最短）3差模型同伽 界fW兩找段之筮垠小橫型軸對(duì)稱模型三線段之和過(guò)橋模型iZfft 型

4、四邊形呦長(zhǎng)三fft）KM小模型最小模型對(duì)稱最值（點(diǎn)到直線垂線段最短）A Ii I - Ia,IICl0冷J/Jr-3HQkF G,丨 4卜 1! 1 八下Lll A1 * f r/ :/ :說(shuō)明：通過(guò)對(duì)稱進(jìn)行等量代換， 轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。旋轉(zhuǎn)最值（共線有最值）說(shuō)明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段，定長(zhǎng)線段的和為最大值，定長(zhǎng)線段的差為最小值。剪拼模型三角形四邊形IF四邊形四邊形Ell說(shuō)明：剪拼主要是通過(guò)中點(diǎn)的 180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形 狀。矩形正方形說(shuō)明：通過(guò)射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)， 通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)完成形 狀改變正方形+等腰直角三角形正方形面積等分旋轉(zhuǎn)相似模型B

5、說(shuō)明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。推廣：兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三 邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“ 8”字的規(guī)律。相似模型說(shuō)明：注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過(guò)等量代換來(lái)構(gòu)造相似三角形的作用。（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與 不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓 幕定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過(guò)等線段、等比值、等 乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。說(shuō)明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來(lái)做相應(yīng)的平行線。初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題（附

6、答案）經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD丄AB，EF AB，EG CO .求證：CD = GF.（初二）CGOB2、已知：如圖，P是正方形 ABCD內(nèi)點(diǎn)，ZPAD =ZPDA = 15.求證：APBC是正三角形.（初二）C3、如圖，已知四邊形 ABCD、AiBiCiDi都是正方形，A2、B2、C2、D2 分別是 AAi、BBi、CCi、DD 的中點(diǎn).求證：四邊形 A2B2C2D2是正方形.（初二）4、已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD = BC , M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交 MN 于E、F.求證： DEN =F.經(jīng)典難題（二）1

7、、已知：MBC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OM丄BC于M .(1)求證：AH = 2OM ;(2)若BAC = 60 0，求證：AH = AO .(初二)2、設(shè)MN是圓O外一直線，過(guò)O作OA丄MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E,直線EB及CD分別交MN 于 P、Q.求證：AP = AQ .（初二）3、如果上題把直線 MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交 MN 于P、Q .求證：AP = AQ .（初二）ECAM,.-NPO4、如圖，分別以厶ABC的AC和BC為一邊，在 ABC的外側(cè)作正方

8、形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）F經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE /AC , AE = AC , AE 與CD相交于F.求證：CE= CF.（初二）2、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE IlAC，且CE= CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F.求證：AE = AF .（初二）AD3、設(shè)P是正方形 ABCD 一邊BC上的任一點(diǎn)，PF丄AP , CF平分DCE .求證：PA = PF .（初二）廠J匚4、如圖，PC切圓O于C, AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D .求證：AB = D

9、C ,BC = AD .（初A三）經(jīng)典難題（四）1、已知：AABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA = 3, PB=4 , PC = 5 .求：APB的度數(shù).（初二）2、設(shè)P是平行四邊形ABCD求證： PAB =ZPCB .（初二）3、設(shè) ABCD 為圓內(nèi)接凸四邊形，求證： AB CD + AD BC =AC BD .（初三）4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且AE = CF.求證: DPA =ZDPC .（初二）經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為求證：L V 2 .1 的正MBC 內(nèi)任一點(diǎn)，L= PA + PB + PC,2、已知：P是邊長(zhǎng)為的正

10、方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA + PB+ PC的最小值.3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA =3a，求正方形的邊長(zhǎng).4、如圖， ABC 中,ABC =ZACB = 800, D、E 分別是 AB、AC 上的點(diǎn)， DCA = 30 0, ZEBA = 200，求BED 的度數(shù).經(jīng)典難題（一）1.如下圖做GH丄AB,連接E0。由于GoFE四點(diǎn)共圓，所以GFH =ZOEG,即GHFS AOGE,可得,又CO=EO，所以CD=GF得證EOGFGOGHCOCDC2.如下圖做厶DGC使與ADP全等，可得 PDG為等邊，從 而可得DGC 旦ZAPD ZCGP）得出 PC=AD=DC,禾和 Z DCG=

11、 ZPCG =15所以ZDCP=3 ，從而得出 PBC是正三角形3.如下圖連接BCi和ABi分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并 延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G 占八、由 A2E= IAiBi= B1C1= FB 2 , EB2= 4AB= 4 BC=FC 1 ,又 GFQ+ Q=90 0 和GEB2+ ZQ=90 0,所以GEB2= ZGFQ 又B2FC2= ZA2EB2 ,可得 B2FC2 旦A2EB2，所以 A2B2=B 2C2 ,又ZGFQ+ ZHB2F=90 0 和 ZGFQ= ZEB2A2 ,從而可得Z A2B2 C2=90 0 ,

12、同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形 A2B2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM，所以可得QMF= ZF, ZQNM= ZDEN 和ZQMN= ZQNM ,從而得出DEN =ZFO經(jīng)典難題(二)1.(1)延長(zhǎng)AD至U F連BF，做OG丄AF,又ZF= ZACB= ZBHD ,可得BH=BF,從而可得HD=DF ,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接 OB , OC,既得 ZBOC=120 0,從而可得Z BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得證。3.作 OF 丄 CD , OG 丄 BE,連接 OP

13、, OA ,0F ,AF , OG ,AG ,OQ o由于AD=AC =CD = 2FD = FDBE = 2BG = BG ,由此可得厶ADF ZABG ,從而可得 AFC= ZAGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得Z AFC= ZAOP和ZAGE= ZAOQ ,ZAOP= ZAOQ ,從而可得 AP=AQO4.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG, Cl, FH。可得PQ=EG+ FHO2由 AEGA ZAIC ,可得 EG=AI ,由 BFH ZCBI ,可得 FH=BI。經(jīng)典難題（三）1順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ADE ,到MBG ,連接CG.由于ABG= ZADE=90 0+45 0=

14、135 0從而可得B, G , D在一條直線上，可得 AGB ZCGB 推出AE=AG=AC=GC ,可得ZAGC為等邊三角形。ZAGB=30 0 ,既得 EAC=30 0 ,從而可得 A EC=75 0 又ZEFC= ZDFA=45 0+30 0=75 0.可證：CE=CF。2.連接BD作CH丄DE ,可得四邊形CGDH是正方形由 AC=CE=2GC=2CH ,可得ZCEH=30 0 ,所以Z CAE= ZCEA= ZAED=15 0又ZFAE=90 0+45 0+15 0=150 0,從而可知道Z F=15 0 ,從而得出AE=AF3.作FG丄CD , FE BE,可以得出 GFEC為正方

15、形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。VZktan BAP=tan ZEPF= X= Z ,可得 YZ=XY-X 2+XZ , YY-X + Z 即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出ABP 旦EF ,得到PA = PF ,得證。Vt &.工一 一 一F經(jīng)典難題（四）1順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ABP 60 0 ,連接PQ ,則APBQ是正三角形?？傻肁PQC是直角三角形。所以APB=150 0。2.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn) E,使AE /DC , BE /PC.可以得出 ABP= ZADP= ZAEP，可得：AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）?？傻肸BA

16、P= ZBEP= ZBCP，得證。3.在 BD 取一點(diǎn) E,使ZBCE= ZACD ,既得ABECSZADC ,可得:Il=AC，即 AD BC=BE AC,又 ZACB= ZDCE，可得 ABC SZDEC，既得AI=DI，即 AB CD=DE AC ,由 + 可得:AB CD+AD BC=AC(BE+DE)= AC BD，得4.過(guò) D 作 AQ 丄 AE , AG 丄 CF，由 SADE=-SCD= SDFC，可得:Al竺警,由 AE=FC O2可得DQ=DG，可得 DPA =ZDPC （角平分線逆定理）。經(jīng)典難題（五）1. （1 ）順時(shí)針旋轉(zhuǎn) BPC 60 0，可得APBE為等邊三角形。

17、既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小L=:；（2）過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交 AB,AC與點(diǎn)D，F(xiàn)O由于APD ZATP= ZADP ,推出ADAP又 BP+DPBP和 PF+FCPC又 DF=AF由可得：最大L 2;由（1）和（2）既得：V WL V 2Ir2順時(shí)針旋轉(zhuǎn) BPC 60 0，可得 PBE為等邊三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP , PE, EF在一條直線上，即如下圖：可得最小 PA+PB+PC=AF 。既得 AF=)4+(+1)2 =)2+廳=F+尹 =c3:1)2 =召 3+1) 恵 +