全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答6

1、1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試(10月14日上午8001000)一選擇題(本題滿分30分，每小題5分)1設(shè)(，),則(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小順序是A(cosa)cosa<(sina)cosa<(cosa)sinaB(cosa)cosa<(cosa)sina <(sina)cosa C(sina)cosa<(cosa)cosa<(cosa)sina D(cosa)sina <(cosa)cosa<(sina)cosa2設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的周期為2的函數(shù)，且是偶函數(shù)，已知當(dāng)x2,3時(shí)，f(x)=

2、x，則當(dāng)x2,0時(shí)，f(x)的解析式是( )Af(x)=x+4 B f(x)=2-x C f(x)=3|x+1| D f(x)=2+|x+1|3設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)是F1、F2，左右頂點(diǎn)是M、N，若PF1F2的頂點(diǎn)P在雙曲線上，則PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)位置是( ) A在線段MN內(nèi)部 B在線段F1M內(nèi)部或在線段NF2內(nèi)部 C點(diǎn)M或點(diǎn)N D不能確定的4點(diǎn)集(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy中元素個(gè)數(shù)為( ) A0 B1 C2 D多于25設(shè)非零復(fù)數(shù)x、y滿足x2+xy+y2=0，則代數(shù)式+的值是( ) A21989 B1 C1 D以上答案都不對(duì)6已知橢圓+=1(a>b

3、>0)通過(guò)點(diǎn)(2，1)，所有這些橢圓上滿足|y|>1的點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的( )二填空題(本題滿分30分，每小題5分)1設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b=2，則 +的最小值是 2設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t60°)，cos(2t60°)為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)t由15°變到45°時(shí)，線段AP掃過(guò)的面積是 3設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值是 4對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An(n，n+3)，用f(n)表示線段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)端點(diǎn))，試求

4、f(1)+f(2)+f(1990)5設(shè)n=1990，則 (13C+32C33C+3994C3995C= 68個(gè)女孩與25個(gè)男孩圍成一圈，任何兩個(gè)女孩之間至少站兩個(gè)男孩，則共有 種不同和排列方法(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就能重合的排法認(rèn)為是相同的)三(本題滿分20分)已知a，b均為正整數(shù)，且a>b，sin=，(其中0<<)，An=(a2+b2)nsinn求證：對(duì)于一切自然數(shù)n，An均為整數(shù)四n2個(gè)正數(shù)排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4nan1 an2 an3

5、an4 ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+ann五設(shè)棱錐MABCD的底面為正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑第二試(10月14日上午10301230)一(本題滿分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4求證OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn) OOABCDP1OOO234F二(本題滿分35分)設(shè) E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下

6、列兩條性質(zhì)： 對(duì)任何1i<j100，恒有 ai+aj201； ai=10080試證明：G中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)且G中所有數(shù)字的平方和為一個(gè)定數(shù)三(本題滿分35分)某市有n所中學(xué)，第i所中學(xué)派出Ci名代表(1Ci39，1in)來(lái)到體育館觀看球賽，全部學(xué)生總數(shù)為Ci=1990看臺(tái)上每一橫排有199個(gè)座位，要求同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排，問(wèn)體育館最少要安排多少橫排才能夠保證全部學(xué)生都能坐下1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(解答)第一試一選擇題(本題滿分30分，每小題5分)1設(shè)(，),則(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小順序是A(cosa)cosa<(s

7、ina)cosa<(cosa)sinaB(cosa)cosa<(cosa)sina <(sina)cosa C(sina)cosa<(cosa)cosa<(cosa)sina D(cosa)sina <(cosa)cosa<(sina)cosa (1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解：(，)Þ0<cos<sin<1， (cosa)cosa<(sina)cosa；(cosa)sina<(cosa)cosa；選D 2設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的周期為2的函數(shù)，且是偶函數(shù)，已知當(dāng)x2,3時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x2,0時(shí)，f(

8、x)的解析式是( )Af(x)=x+4 B f(x)=2-x C f(x)=3|x+1| D f(x)=2+|x+1|解 設(shè)x2,1,則x+42,3,于是f(x+4)=x+4，但f(x)= f(x+4)=x+4 (x2,1)，又設(shè)x1,0)，則x(0,1,故f(x)=x+2，由f(x)= f(x)=x+2 (x1，0).f(x)=3|x+1|=故選C3設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)是F1、F2，左右頂點(diǎn)是M、N，若PF1F2的頂點(diǎn)P在雙曲線上，則PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)位置是( ) A在線段MN內(nèi)部 B在線段F1M內(nèi)部或在線段NF2內(nèi)部 C點(diǎn)M或點(diǎn)N D不能確定的解：設(shè)內(nèi)切圓在三邊上切點(diǎn)分別為

9、D、E、F，當(dāng)P在右支上時(shí)，PF1PF2=2a但PF1PF2=F1DF2D=2a，即D與N重合，當(dāng)P在左支上時(shí)，D與M重合故選C4點(diǎn)集(x，y)|lg(x3+y3+)=lgx+lgy中元素個(gè)數(shù)為( ) A0 B1 C2 D多于2解：x3+y3+=xy>0但x3+y3+3=xy，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x3=y3=時(shí)，即x=，y=時(shí)成立故選B5設(shè)非零復(fù)數(shù)x、y滿足x2+xy+y2=0，則代數(shù)式+的值是( ) A21989 B1 C1 D以上答案都不對(duì)解：=或2，其中=cos120°+isin120°1+2=0且3=1若=，則得()1990+()1990=1若=2，則得()1990+

10、()1990=1選B6已知橢圓+=1(a>b>0)通過(guò)點(diǎn)(2，1)，所有這些橢圓上滿足|y|>1的點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的( )解：+=1，由a2>b2，故得<1<+=，1<b<+=1Þ<1，a2>5故選C二填空題(本題滿分30分，每小題5分)1設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b=2，則 +的最小值是 解：ab()2=1，從而anbn1，故 + = 1等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)成立即所求最小值=12設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t60°)，cos(2t60°)為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)t由15

11、°變到45°時(shí)，線段AP掃過(guò)的面積是 解：點(diǎn)P在單位圓上，sin(2t60°)=cos(150°2t)，cos(2t60°)=sin(150°2t).當(dāng)t由15°變到45°時(shí)，點(diǎn)P沿單位圓從(，)運(yùn)動(dòng)到(,)線段AP掃過(guò)的面積=扇形面積=3設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值是 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等號(hào)

12、當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)成立故n=34對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An(n，n+3)，用f(n)表示線段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)端點(diǎn))，試求f(1)+f(2)+f(1990)解 線段OAn的方程為y=x(0xn)，故f(n)等于該線段內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)若n=3k(kN+)，則得y=x (0xn)(kN*)，其內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)(k，k+1)，(2k，2k+2)，此時(shí)f(n)=2；若n=3k±1(kN+)時(shí)，則由于n與n+3互質(zhì)，故OAn內(nèi)沒(méi)有格點(diǎn)，此時(shí)f(n)=0 f(1)+f(2)+f(1990)=2=13265設(shè)n=1990，則 (13C+32C33C+3994C3995C= 解：取(+i)19

13、90展開(kāi)的實(shí)部即為此式而(+i)1990=+i故原式=68個(gè)女孩與25個(gè)男孩圍成一圈，任何兩個(gè)女孩之間至少站兩個(gè)男孩，則共有 種不同和排列方法(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就能重合的排法認(rèn)為是相同的)解：每個(gè)女孩與其后的兩個(gè)男孩組成一組，共8組，與余下9個(gè)男孩進(jìn)行排列，某個(gè)女孩始終站第一個(gè)位子，其余7組在8+91個(gè)位子中選擇7個(gè)位子，得C=C種選法7個(gè)女孩可任意換位，25個(gè)男孩也可任意換位，故共得C7!25!種排列方法三(本題滿分20分)已知a，b均為正整數(shù)，且a>b，sin=，(其中0<<)，An=(a2+b2)nsinn求證：對(duì)于一切自然數(shù)n，An均為整數(shù)證明：由sin=，得cos=

14、記An=(a2+b2)ncosn當(dāng)a、b均為正整數(shù)時(shí)，A1=2ab 、B1=a2b2均為整數(shù)A2=4ab(a2b2)，B2=2(a2b2)2(a2+b2)2也為整數(shù)若Ak=(a2+b2)ksink、Bk=(a2+b2)kcosk均為整數(shù)，則Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)=(a2+b2)k+1sinkcos+(a2+b2)cosksin=AkB1+A1Bk為整數(shù) Bk+1=(a2+b2)k+1cos(k+1)=(a2+b2)k+1coskcos(a2+b2)k+1sinksin=BkB1AkA1為整數(shù)由數(shù)學(xué)歸納原理知對(duì)于一切nN*，An、Bn為整數(shù)四n2個(gè)正數(shù)排成n行n列a11

15、a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4nan1 an2 an3 an4 ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+ann(1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)分析 由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比解 設(shè)第一行等差數(shù)列的公差為d，各列的公比為q a44=2a43a42=由a44=a24q2，得， q=. a12=a42q3=1 d= = ， a1k=a12+(k2)d=k(k=1，2，3，n) akk

16、=a1kqk1=k·()k1=()k·k令Sn= a11+a22+ann則 SS=+ = + =1. S=2五設(shè)棱錐MABCD的底面為正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑解：取AD、BC中點(diǎn)E、F，則MEAD，ABMA，ABAD，ÞAB平面MAD， 平面MAD平面ABC ME平面ABC 平面MEF平面ABC EFAB，故EF平面MAD， 平面MEF平面MAD BCEF，BCME， BC平面MEF，平面MEF平面MBC設(shè)AB=a，則ME= ，MF=a+2，2取MEF的內(nèi)切圓圓心O，作OPEF、OQME，ORMF，由

17、于平面MEF與平面MAD、ABC、MBC均垂直，則OP、OQ、OR分別與平面ABC、MAD、MBC垂直從而以此內(nèi)切圓半徑為半徑的球與平面MAD、ABC、MBC都相切， 設(shè)此球的半徑為r，則 r=(a+)=1等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=，即a=時(shí)成立作QHMA，由于OQAB，故OQ平面MAB，故球心O與平面MAB的距離=QH，當(dāng)AB=，ME=，MA=，MQ=(1)=1 MQHMAE，=，QH=>1即O與平面MAB的距離>r，同理O與平面MCD的距離>r故球O是放入此棱錐的最大球 所求的最大球半徑=1第二試(10月14日上午10301230)一(本題滿分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角

18、線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4求證OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn) 證明 O為ABC的外心， OA=OB O1為PAB的外心，O1A=O1B OO1AB作PCD的外接圓O3，延長(zhǎng)PO3與所作圓交于點(diǎn)E，并與AB交于點(diǎn)F，連DE，則Ð1=Ð2=Ð3，ÐEPD=ÐBPF， ÐPFB=ÐEDP=90° PO3AB，即OO1PO3同理，OO3PO1即OO1PO3是平行四邊形 O1O3與PO互相平分，即O1O3過(guò)PO的中點(diǎn)同理，O2O4過(guò)PO中點(diǎn) OP、

19、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn)二(本題滿分35分)設(shè) E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下列兩條性質(zhì)： 對(duì)任何1i<j100，恒有 ai+aj201； ai=10080試證明：G中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)且G中所有數(shù)字的平方和為一個(gè)定數(shù)證明：取100個(gè)集合：ai，bi：ai=i，bi=201i(i=1，2，100)，于是每個(gè)集合中至多能取出1個(gè)數(shù)于是至多可以選出00個(gè)數(shù)現(xiàn)要求選出100個(gè)數(shù)，故每個(gè)集合恰選出1個(gè)數(shù)把這100個(gè)集合分成兩類： 4k+1，2004k； 4k1，2024k每類都有50個(gè)集合設(shè)第類選出m個(gè)奇數(shù)，50m個(gè)偶數(shù)，第類中選出n個(gè)奇數(shù)，50n個(gè)偶數(shù)于

20、是1m+0(50m)+(1)n+2(50n)100800(mod 4)即m3n0(mod 4)，即m+n0(mod 4) G中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù) 設(shè)選出的100個(gè)數(shù)為x1，x2，x100，于是未選出的100個(gè)數(shù)為201x1，201x2，201x100故x1+x2+x100=10080 x12+x22+x1002+(201x1)2+(201x2)2+(201x100)2=2(x12+x22+x1002)2×201×(x1+x2+x100)+100×2012=2(x12+x22+x1002)2×201×10080+100×2012=12+22+32+2002 x12+x22+x1002=(12+22+32+2002)+2×201×10080100×2012=×200×201×401+201×2016020100&