數(shù)學(xué)建模入門

1、一、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟1. 模型準(zhǔn)備要了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特征。2. 模型假設(shè)根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。如果對(duì)問題的所有因素一概考慮，無(wú)疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡(jiǎn)單，應(yīng)盡量使問題線性化、均勻化。3. 模型構(gòu)成根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這時(shí)，我們便會(huì)進(jìn)入一個(gè)廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)天地，這里在高數(shù)、概率老人的膝

2、下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊(duì)論、線性規(guī)劃、對(duì)策論等許多許多，真是泱泱大國(guó)，別有洞天。不過(guò)我們應(yīng)當(dāng)牢記，建立數(shù)學(xué)模型是為了讓更多的人明了并能加以應(yīng)用，因此工具愈簡(jiǎn)單愈有價(jià)值。4. 模型求解可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)。一道實(shí)際問題的解決往往需要紛繁的計(jì)算，許多時(shí)候還得將系統(tǒng)運(yùn)行情況用計(jì)算機(jī)模擬出來(lái)，因此編程和熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力便舉足輕重。5. 模型分析對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，能否對(duì)模型結(jié)果作出細(xì)致精當(dāng)?shù)姆治?，決定了你的模型能否達(dá)到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進(jìn)行誤差

3、分析，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。二、提交一篇論文，基本內(nèi)容和格式是什么？提交一篇論文，基本內(nèi)容和格式大致分三大部分：1. 標(biāo)題、摘要部分題目寫出較確切的題目（不能只寫A題、B題）。摘要200-300字，包括模型的主要特點(diǎn)、建模方法和主要結(jié)果。內(nèi)容較多時(shí)最好有個(gè)目錄。2. 中心部分1）問題提出，問題分析。2）模型建立： 補(bǔ)充假設(shè)條件，明確概念，引進(jìn)參數(shù)； 模型形式（可有多個(gè)形式的模型）； 模型求解； 模型性質(zhì)；3）計(jì)算方法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。4）結(jié)果分析與檢驗(yàn)。5）討論模型的優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方向，推廣新思想。6）參考文獻(xiàn)注意格式。3. 附錄部分計(jì)算程序，框圖。各種求解演算過(guò)程，計(jì)算中間結(jié)果。各種圖形、表格。三、

4、參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是不是需要學(xué)習(xí)很多知識(shí)？ 沒有必要很系統(tǒng)的學(xué)很多數(shù)學(xué)知識(shí)，這是時(shí)間和精力不允許的。很多優(yōu)秀的論文，其高明之處并不是用了多少數(shù)學(xué)知識(shí)，而是思維比較全面、貼合實(shí)際、能解決問題或是有所創(chuàng)新。有時(shí)候，在論文中可能碰見一些沒有學(xué)過(guò)的知識(shí)，怎么辦？現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，在優(yōu)秀論文中用過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)就是最有可能在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中用到的，你當(dāng)然有必要去翻一翻。具體說(shuō)來(lái)，大概有以下這三個(gè)方面：第一方面：數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力歸結(jié)起來(lái)大體上有以下幾類：1）概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2）統(tǒng)籌與線軸規(guī)劃3）微分方程；還有與計(jì)算機(jī)知識(shí)交叉的知識(shí)：計(jì)算機(jī)模擬。 上述的內(nèi)容有些同學(xué)完全沒有學(xué)過(guò)，也有些同學(xué)只學(xué)過(guò)一點(diǎn)概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，微分方程

5、的知識(shí)怎么辦呢？一個(gè)詞“自學(xué)”，我曾聽到過(guò)數(shù)模評(píng)卷的負(fù)責(zé)教師范毅說(shuō)過(guò)“能用最簡(jiǎn)單淺易的數(shù)學(xué)方法解決了別人用高深理論才能解決的答卷是更優(yōu)秀的答卷”。第二方面：計(jì)算機(jī)的運(yùn)用能力 一般來(lái)說(shuō)凡參加過(guò)數(shù)模競(jìng)賽的同學(xué)都能熟練地應(yīng)用字處理軟件“Word”，掌握電子表格“Excel”的使用；“Mathematica”軟件的使用，最好還具備語(yǔ)言能力。這些知識(shí)大部分都是學(xué)生自己利用課余時(shí)間學(xué)習(xí)的。第三方面：論文的寫作能力 前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)考卷的全文是論文式的，文章的書寫有比較嚴(yán)格的格式。要清楚地表達(dá)自己的想法并不容易，有時(shí)一個(gè)問題沒說(shuō)清楚就又說(shuō)另一個(gè)問題了。評(píng)卷的教師們有一個(gè)共識(shí)，一篇文章用10來(lái)分鐘閱讀仍然沒有引起

6、興趣的話，這一遍文章就很有可能被打入冷宮了。四、小組中應(yīng)該如何分工？ 傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)答案是數(shù)學(xué)，編程，寫作。其實(shí)分工不用那么明確，但有個(gè)前提是大家關(guān)系很好。不然的話，很容易產(chǎn)生矛盾。分工太明確了，會(huì)讓人產(chǎn)生依賴思想，不愿去動(dòng)腦子。理想的分工是這樣的：數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽小組中的每一個(gè)人，都能勝任其它人的工作，就算小組只剩下她（他）一個(gè)人，也照樣能夠搞定數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。在競(jìng)賽中的分工，只是為了提高工作的效率，做出更好的結(jié)果。具體的建議如下：一定要有一個(gè)人腦子比較活，善于思考問題，這個(gè)人勉強(qiáng)歸于數(shù)學(xué)方面吧；一定要有一個(gè)人會(huì)編程序，能夠?qū)崿F(xiàn)一些算法。另外需要有一個(gè)論文寫的比較好，不過(guò)寫不好也沒關(guān)系，多看一看別人的

7、優(yōu)秀論文，多用幾次word，Visio就成了。論文寫作：一、寫好數(shù)模答卷的重要性1. 評(píng)定參賽隊(duì)的成績(jī)好壞、高低，獲獎(jiǎng)級(jí)別，數(shù)模答卷，是唯一依據(jù)。2. 答卷是競(jìng)賽活動(dòng)的成績(jī)結(jié)晶的書面形式。3. 寫好答卷的訓(xùn)練，是科技寫作的一種基本訓(xùn)練。二、答卷的基本內(nèi)容，需要重視的問題1評(píng)閱原則假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的合理性，表述的清晰程度。2答卷的文章結(jié)構(gòu)1）摘要。2）問題的敘述，問題的分析，背景的分析等。3）模型的假設(shè)，符號(hào)說(shuō)明（表）。4）模型的建立（問題分析，公式推導(dǎo)，基本模型，最終或簡(jiǎn)化模型等）。5）模型的求解計(jì)算方法設(shè)計(jì)或選擇；算法設(shè)計(jì)或選擇，算法思想依據(jù)，步驟及實(shí)現(xiàn)，計(jì)算框圖；所采用的軟

8、件名稱；引用或建立必要的數(shù)學(xué)命題和定理；求解方案及流程。6）結(jié)果表示、分析與檢驗(yàn)，誤差分析，模型檢驗(yàn)。7）模型評(píng)價(jià)，特點(diǎn)，優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方法，推廣。8）參考文獻(xiàn)。9）附錄、計(jì)算框圖、詳細(xì)圖表。3. 要重視的問題1）摘要。包括：a. 模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）；b. 建模的思想（思路）；c. 算法思想（求解思路）；d. 建模特點(diǎn)（模型優(yōu)點(diǎn)，建模思想或方法，算法特點(diǎn)，結(jié)果檢驗(yàn)，靈敏度分析，模型檢驗(yàn)）；e. 主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論；回答題目所問的全部“問題”）。 注意表述：準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、條理清晰、合乎語(yǔ)法、字體工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。務(wù)必認(rèn)真校對(duì)。2）問題重述。3）模型假設(shè)

9、。根據(jù)全國(guó)組委會(huì)確定的評(píng)閱原則，基本假設(shè)的合理性很重要。a. 根據(jù)題目中條件作出假設(shè)b. 根據(jù)題目中要求作出假設(shè)關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意。4） 模型的建立。a. 基本模型：）首先要有數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)公式、方案等；）基本模型，要求 完整，正確，簡(jiǎn)明；b. 簡(jiǎn)化模型：）要明確說(shuō)明簡(jiǎn)化思想，依據(jù)等；）簡(jiǎn)化后模型，盡可能完整給出；c. 模型要實(shí)用，有效，以解決問題有效為原則。數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實(shí)際問題，不追求數(shù)學(xué)上的高（級(jí)）、深（刻）、難（度大）。）能用初等方法解決的、就不用高級(jí)方法；）能用簡(jiǎn)單方法解決的，就不用復(fù)雜方法；）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。

10、d鼓勵(lì)創(chuàng)新，但要切實(shí)，不要離題搞標(biāo)新立異。數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在： 建模中，模型本身，簡(jiǎn)化的好方法、好策略等； 模型求解中； 結(jié)果表示、分析、檢驗(yàn)，模型檢驗(yàn)； 推廣部分。e在問題分析推導(dǎo)過(guò)程中，需要注意的問題：）分析：中肯、確切；）術(shù)語(yǔ)：專業(yè)、內(nèi)行；）原理、依據(jù)：正確、明確；）表述：簡(jiǎn)明，關(guān)鍵步驟要列出；）忌：外行話，專業(yè)術(shù)語(yǔ)不明確，表述混亂，冗長(zhǎng)。5）模型求解。a. 需要建立數(shù)學(xué)命題時(shí)：命題敘述要符合數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。b. 需要說(shuō)明計(jì)算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。若采用現(xiàn)有軟件，說(shuō)明采用此軟件的理由，軟件名稱。c. 計(jì)算過(guò)程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。d. 設(shè)法算出

11、合理的數(shù)值結(jié)果。6） 結(jié)果分析、檢驗(yàn)；模型檢驗(yàn)及模型修正；結(jié)果表示。a. 最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的；b. 對(duì)數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)；結(jié)果不正確、不合理、或誤差大時(shí)，分析原因，對(duì)算法、計(jì)算方法、或模型進(jìn)行修正、改進(jìn)。c. 題目中要求回答的問題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出；d. 列數(shù)據(jù)問題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；e. 結(jié)果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析。 數(shù)值結(jié)果表示：精心設(shè)計(jì)表格；可能的話，用圖形圖表形式。 求解方案，用圖示更好。7）必要時(shí)對(duì)問題解答，作定性或規(guī)律性的討論。最后結(jié)論要明確。8）模型評(píng)

12、價(jià)優(yōu)點(diǎn)突出，缺點(diǎn)不回避。改變?cè)}要求，重新建?？稍诖俗?。推廣或改進(jìn)方向時(shí)，不要玩弄新數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。9）附錄詳細(xì)的結(jié)果，詳細(xì)的數(shù)據(jù)表格，可在此列出，但不要錯(cuò)，錯(cuò)的寧可不列。主要結(jié)果數(shù)據(jù)，應(yīng)在正文中列出，不怕重復(fù)。檢查答卷的主要三點(diǎn)，把三關(guān)：a. 模型的正確性、合理性、創(chuàng)新性b. 結(jié)果的正確性、合理性c. 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩三、關(guān)于寫答卷前的思考和工作規(guī)劃答卷需要回答哪幾個(gè)問題建模需要解決哪幾個(gè)問題；問題以怎樣的方式回答結(jié)果以怎樣的形式表示；每個(gè)問題要列出哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)建模要計(jì)算哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)；每個(gè)量，列出一組還是多組數(shù)要計(jì)算一組還是多組數(shù)。四、答卷要求的原理1. 準(zhǔn)確科學(xué)性；2. 條理邏輯

13、性；3. 簡(jiǎn)潔數(shù)學(xué)美；4. 創(chuàng)新研究、應(yīng)用目標(biāo)之一，人才培養(yǎng)需要；5. 實(shí)用建模、實(shí)際問題要求。五、建模理念1. 應(yīng)用意識(shí)要解決實(shí)際問題，結(jié)果、結(jié)論要符合實(shí)際；模型、方法、結(jié)果要易于理解，便于實(shí)際應(yīng)用；站在應(yīng)用者的立場(chǎng)上想問題，處理問題。2. 數(shù)學(xué)建模用數(shù)學(xué)方法解決問題，要有數(shù)學(xué)模型；問題模型的數(shù)學(xué)抽象，方法有普適性、科學(xué)性，不局限于本具體問題的解決。3. 創(chuàng)新意識(shí)建模有特點(diǎn)，更加合理、科學(xué)、有效、符合實(shí)際；更有普遍應(yīng)用意義；不單純?yōu)閯?chuàng)新而創(chuàng)新。參賽須知：1時(shí)間和體力的問題 競(jìng)賽中時(shí)間分配也很重要，分配不好可能完不成論文，所以開始時(shí)要大致做一下安排，不必分的太細(xì)，比如第一天做第一小題，第二天做

14、第二小題，這樣反而會(huì)有壓力。開始階段不忙寫作，可以將一些小組討論的要點(diǎn)記錄下來(lái)，不要太工整，隨便一下，到第三天再開始寫論文也不遲的。另外要說(shuō)的就是體力要跟上，三天一般睡眠只有不到10個(gè)小時(shí)。建議是賽前熬夜編程幾次，但比賽前一天可不許熬呀，呵呵。2團(tuán)隊(duì)合作是能否獲獎(jiǎng)的關(guān)鍵 三天的比賽中，團(tuán)隊(duì)交流所占用的時(shí)間可能會(huì)超過(guò)一半。當(dāng)出現(xiàn)分歧的時(shí)候應(yīng)當(dāng)如何解決是很關(guān)鍵的，甚至直接決定你是否可以獲獎(jiǎng)，我的建議是“妥協(xié)”，不要總認(rèn)為自己的觀點(diǎn)是正確的，多聽聽別人的觀點(diǎn)，在兩者之間謀求共同點(diǎn)。合作在競(jìng)賽前就應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)，比如一塊兒做一道題什么的，充分利用每個(gè)人的優(yōu)點(diǎn)，也可以張三準(zhǔn)備圖論，李四準(zhǔn)備最優(yōu)化方法，然后幾天

15、后大家一塊交流，這些都是可以磨合團(tuán)隊(duì)之間的關(guān)系的。3重視摘要 摘要首先不要寫廢話，也不要照抄題目的一些話，直奔主題，要寫明自己怎樣分析問題，用什么方法解決問題，最重要的是結(jié)論是什么要說(shuō)清楚，在中國(guó)的競(jìng)賽中不寫結(jié)論的話是一定不會(huì)得獎(jiǎng)的。摘要至少需要琢磨兩個(gè)小時(shí)，不要輕視了它的重要性。多看看優(yōu)秀論文的摘要是如何去寫的很有必要的，并要作為賽前準(zhǔn)備的課題之一。4論文寫作要正規(guī) 論文一定要大致按照摘要、問題重述、模型假設(shè)、符號(hào)說(shuō)明、問題分析、（建立、分析、求解模型）、參考文獻(xiàn)、附錄等等的方式來(lái)寫。一般初評(píng)會(huì)先淘汰一些結(jié)構(gòu)失敗的文章，如果沒有論文的結(jié)構(gòu)，內(nèi)容再好也沒有用。論文前面的結(jié)構(gòu)一般都不會(huì)變的，后面

16、可以按照實(shí)際情況來(lái)安排自己的結(jié)構(gòu)，省略的部分可以有結(jié)果說(shuō)明、靈敏度分析、其他模型、模型擴(kuò)展、優(yōu)缺點(diǎn)分析等等的東西，多看些優(yōu)秀論文就知道還有哪些形式的了，附錄可以貼一些算法流程圖或比較大的結(jié)果或圖表等等。5模型的假設(shè)與模型的建立 評(píng)委看完摘要后緊接著就是看模型假設(shè)了，有一個(gè)萬(wàn)能的方法就是可以抄題目中可以作為假設(shè)的幾句話，這樣會(huì)給人留下好的印象，畢竟說(shuō)明你審題了。但不能全抄，要加上自己論文中的一些假設(shè)，最好不要太具體了，一些重要參數(shù)不要被定死只能取某些值，這樣會(huì)讓人感覺到論文的局限性較強(qiáng)。模型的建立是根據(jù)你對(duì)問題分析而來(lái)的，提出的數(shù)學(xué)符號(hào)和建立模型最好要比較接近，在同一頁(yè)最好，以便評(píng)委可以對(duì)照符號(hào)

17、來(lái)看，數(shù)學(xué)公式要嚴(yán)謹(jǐn)，推導(dǎo)要嚴(yán)密，這些都反映了一個(gè)人的數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力，即使你推導(dǎo)不對(duì)，別人看到你的陣勢(shì)也首先會(huì)誤以為你是對(duì)的。6圖文表并茂可以增色 我聽說(shuō)一個(gè)不確切的信息是評(píng)委老師喜歡用Matlab編程的論文，不知道有沒有這回事，但這說(shuō)明了老師需要看一個(gè)具有圖或表在其中的論文，一篇如果像政治書那樣寫的論文估計(jì)沒有人會(huì)對(duì)它感興趣的，尤其是科技論文。Matlab編程之所以受到青睞是因?yàn)镸atlab提供的圖形處理能力很強(qiáng)大，圖表的說(shuō)明性特別強(qiáng)，如果結(jié)論有很多數(shù)據(jù)的話，最好做成圖表的形式加以說(shuō)明，會(huì)令你的論文更有說(shuō)服力，也更加會(huì)受到評(píng)委的好評(píng)。常用資料：一、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中應(yīng)當(dāng)掌握的十類算法1蒙特卡羅算

18、法該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)解決問題的算法，同時(shí)可以通過(guò)模擬可以來(lái)檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法。2數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具。3線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題建模競(jìng)賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時(shí)候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來(lái)描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實(shí)現(xiàn)。4圖論算法這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備。5動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中。6最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法這些問題是用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對(duì)于有些問題非常有幫助，但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難