中考數學教學設計

1、初中數學輔導網 中考數學解題技巧復習后階段，學習方法、思維和生活學習習慣相對有所固定，成績也在逐漸提高，但很多同學發(fā)現自己數學的學習興趣卻越來越淡，進步不大，于是就認為自己也許就是這個水平，孰不知，只要講究應試技巧與策略，就能把分數提高一個檔次。一、整體上安排要堅持“兩先兩后”1、 先覽后做，平時訓練和模擬考試中，有的同學便急急忙忙“偷偷”做題，加重了自己的心理緊張程度，就有可能影響發(fā)揮，而正確的做法就是應是先統覽試卷，摸清“題情”。對題型和難度作總體了解，在頭腦中尋找解決這部分題的知識內容。2、 先易后難，部分學生善“鉆研”，先做難題，無功后返，以致該得的分沒得到，還浪費了寶貴的時間，造成總

2、分較低。二、解題中要堅持“兩快兩慢” 1、審題要慢，答題要快。所謂“成在審題，敗在審題”，要咬文嚼字，抓住“題眼”，觀察分析抓“特征”，深刻挖掘其隱含的內在聯系； 2、計算要慢，書寫要快，平時練習就要養(yǎng)成這種習慣，否則計算失誤，后面就是“賠了夫人又折兵”了。三、不同題型，區(qū)別對待1、選擇題靈活做，選擇題一定堅持“小題小做”原則，采用間接、直接、特殊值代入法、排除法等各種方法并用，在確保無誤的情況下提高解題效率； 2、填空題仔細做，一類是定性的概念判斷填空，一類是定量的推理計算填空，適當提高運算速度，但解題過程要確?！鞍俜种佟保?3、中檔題認真做，高檔題分解做。中檔題一般學生都能做，主要缺點是

3、“會而不對，對而不全”，所以對這類題要仔細審題，減少紕漏； 高檔題也不過是低檔題的綜合與迭加，所以只要分解開了，他可能就變成許多簡單的問題，這樣去分析、解題，就能盡可能得分。三輪解題法1第一輪答題要敢于放棄三輪解題法的第一輪是，當你從前往后答題時，一看這題會，就答。一看這題不會，就不答。一看這題會，答的中間被困住卡殼了，就放。這是非常關鍵的一點。為什么?！皶鸬南却?，不會答的后答到了考場就做不到呢？要害在會與不會之間，難在會與不會的判定上。你想，會的題這很清楚。不會的題也很明了。但恰恰有些題是你乍一看會，一做起來就卡殼，或者我不能立即得出結論，我需要看一看，思考思考、演算演算、琢磨琢磨真是欲行

4、不能，欲罷不忍。每每都是在這不知不覺中喪失了寶貴的時間，每次考試都覺得時間不夠用，稀里糊涂地敗下陣來?！皶鸬南却?，不會答的后答”作為一條原則是顛撲不破的真理。但若同時將它當作考試方法，因為它僅是定性地指出了方向，定量分析不清楚，缺乏可操作性，所以出現有人用它靈，有人用它不靈；有時靈，有時就不靈的現象。尤其是重要的考試，每題必爭，每分必奪，哪道題都不想輕易放棄，哪一問都想攻下來，哪一分都不想丟的時候，就往往失靈。而“三輪解題法是一種定量的方法，量化清楚，可操作性強。當第一輪做完，有一個重要的環(huán)節(jié)2敢于休息30秒當按著會做的則解，不會做的則放，卡殼的也放的方法，從前做到最后一道題之后，要敢于休息

5、30秒。而且這個休息一定是老老實實地休息。比如，可以看看窗外的自然景觀，樹在搖曳，鳥在飛翔等。也可以想想自己喜歡的流行歌曲、電視劇等，當然不能想得太遠，如果你想出十集去，考試早結束了。還可以采取一些深呼吸放松法、自我深度松馳法、積極的自我暗示法等。當然也可以什么都不想，就是閉目養(yǎng)神。在休息過程中要注意一點，采用什么休息方法悉聽尊便，但千萬不要想自己沒做上來的某道題。為什么要用敢于休息30秒的“敢于”兩字呢？是因為絕大多數同學每每都覺得時間不夠，哪還敢擠出時間休息呀！其實恰恰相反，因為考試是高度的耗氧活動，對腦力、體力消耗很大，經過一段時間便會出現疲勞的現象，此時若*意志力來堅持，效率自然不高。

6、經過休息就會使腦力得到恢復，使體力得到補充，經休息后再投入到解題過程中會高效發(fā)揮，所以敢于休息的同學反而時間就夠了，這就是辯證法。這也正是俗話所說“磨刀不誤砍柴工”的道理。敢于休息30秒也是心理狀態(tài)提升的體現?？荚嚂r有的同學一聽到其他同學快速翻頁的聲響就著急，眼睛的余光一看別的同學答得較快就發(fā)慌現在我能做到不為所動，不被所引，我還敢于主動休息。急答出現差錯，穩(wěn)答一次成功，孰優(yōu)孰劣是不言自明的道理。心理狀態(tài)的提升需要一個磨煉過程。敢于休息30秒，就是心理狀態(tài)走向成熟的開始，因此一定要敢于休息。休息后進人第二輪。3.第二輪查缺補漏第一輪將會做的題都做了，休息后還有沒有會做的題了呢？回答是肯定的。依

7、據有兩條：一條是實踐的依據；一條是理論的依據。任何一名考生幾乎都曾有過這樣的考試經歷，在考試過程中某道題不會，不得不放棄了，但當答到后邊某處時，忽悠一下想起前邊那道題該怎么做了?；蛘呤谴鸬胶筮吥车李}，或者看見一道題的某句話、某個符號等，立刻喚醒了記憶，產生了頓悟，激發(fā)了靈感等，前邊那道題就做出來了。這就是實踐的依據?？荚嚂r，從答題開始到達到考試最佳思維狀態(tài)即圖中點處需要一個上升過程，但是達到最佳思維狀態(tài)后，有些人還能下來，如碰到一道4分左右的小題，自以為能做出來，但摳了半天就是做不出來，心情一團糟，這時絕不是最佳狀態(tài)了，這時思維狀態(tài)就下降了。有人一落千丈，如圖中點至點沿虛線至點處所示。也有人下

8、降后還能升上去，再度達到最佳思維狀態(tài)，如圖中點至點處。而我們希望的理想狀態(tài)是，角大點，盡快達到最佳思維狀態(tài)，當達到最佳思維狀態(tài)后，一直持續(xù)到考試結束。由于第一輪將會做的題做了，這時你的思維狀態(tài)在0點之間，而決不會是點之間。因此，經休息后仍舊有會做的題。實踐和理論都證實，做過第一輪后仍舊會有能解出來的題。那么這時如第一輪所述，一看這題會，就答。一看這題不會，就不答。一看這題會，答的中間卡殼了，就放。這樣從前做到最后一道題，接下來要再次敢于休息30秒。怎樣休息前文已有詳述不再贅述。4.第三輪換思路解題休息以后，要從前到后檢查一遍自己做過的題。檢查通過后，從理論上講，你已經將自己的水平100%的發(fā)揮

9、出來了，但實際上是80%。因為你檢查雖然通過了，可還存在你沒檢查出來或檢查錯了的可能性，所以說是80%。雖然是80%，但已經很不簡單了。在一次考試中，能將自己的水平發(fā)揮出80%就是一次成功的考試。你看體育競賽，你觀奧運會，有多少運動員，有多少運動隊積多年訓練之精華，蓄埋藏年之心愿，只為了場上一搏。這一搏往往是發(fā)揮出平時訓練水平的80%就可以取得勝利，就可以拿牌。對發(fā)揮出80%，你一定認識到，我的水平已經發(fā)揮出來了，我就是這個水平。我對得起自己，對得起父母，對得起但如果這時考試還沒結束，還有時間，也沒有必要檢查第二遍，這時決不能滿足80%，要向100%進發(fā)，向超常發(fā)揮努力，做那些沒做上來的題。但

10、是做是做不出來了，已經做過兩輪都沒做出來，說明是難點，是“硬骨頭”。對于難點和“硬骨頭”采用常規(guī)做法已經不行了。這時要攻，要向難點和“硬骨頭”發(fā)起總攻。那么如何攻呢？可用換思路解題法來攻。換思路解題法是基于這樣的思考，當你解題時，僅僅將題做對是遠遠不夠的，只有知道此題有幾種解法，哪種是優(yōu)化的解法才算優(yōu)秀。許多人都曾有過這樣的經歷，解題時想起了這題出自哪章哪節(jié)，老師講這點時是如何強調的，此題是考哪個或哪幾個知識點，老師出這題想考什么此時答這題感覺非常有把握，解題非常順。這就是靈感。其實靈感也沒有什么神秘，誰都曾經在考試過程中迸發(fā)過靈感的火花。當然如果你甚至能看透某題的陷阱和迷惑在哪里，你就是頂尖

11、高手了。總之，此時已是不攻白不攻，不得白不得，攻一步進一寸，得1分是1分的時候了。但要換思路，看看哪題能攻下來攻哪題，哪點能拿下來拿哪點。想想它是出自哪章哪節(jié)？老師想考哪個知識點？各點之間是什么關系這時要放飛你的記憶能力、領悟能力、多向聯想能力、逆向思維能力、發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能力等，多方位、多角度、多層次地思考。這時新的思路就有可能被打開，興奮點就可能被激活，靈感的火花就可能如年三十的禮花一樣在空中綻放。同學們，大膽嘗試吧！你曾經有過的靈感定會一次次再現。5變三輪解題法為自定理三輪解題法是一種全新的考試答題方法，是經過實踐驗證的科學、合理、有效的考試答題方法。認識掌握并運用了三輪解題法的同學

12、都取得了不同程度的進步。但應用三輪解題法卻要因人”而異，因科而異。若想靈活運用三輪解題法，第一要認識它的科學性、合理性、有效性；第二要實踐，沒有多次的實踐是不能掌握這樣一種全新的方法的；第三要總結，看看自己究竟是三輪好，還是二輪妙，或是四輪高。中間的兩次休息，多長時間為宜?？傊?，絕不是一輪到底，不管會不會的題都要跟它拼上三、五回合的從小學沿用至今的考試答題方法了。這是一種全新的分輪次解題方法。對不同的科目，應用三輪解題法也應有所差異。比如數、理、化等是這樣的三輪。而語文則應該是閱讀題之前是一輪，做完就要檢查結束。然后閱讀題是一輪，最后一輪全身心地寫作文。理想狀態(tài)是作文寫完，剩余時間少于5分鐘。

13、如果剩多了，說明你前邊的時間分配不合理，要改進。英語、歷史。政治、地理等的三輪也要因科而異。這樣，經過實踐一總結一再實踐一再總結循環(huán)往復，什么時候形成一套你自己得心應手運用自如的分輪次解題法，什么時候你用自己的名字將其命名為某某定理，這時你才是真正掌握了三輪解題法。此時你的精力主要用于過程的完善，過程的完成，忽略結果，你就能取得勝利。這時你才會感到考試是無憾的、考試是輕松的、考試是愉快的、考試是幸福的?？荚嚂鼓阈判脑絹碓綇姡荚嚂鼓闼季S越來越活躍、考試會使你的精神面貌煥然一新、考試會使你的應試能力實現跨越。選擇題解題八技巧排除法：根據題設和有關知識，排除明顯不正確選項，那么剩下惟一的選項，

14、自然就是正確的選項，如果不能立即得到正確的選項，至少可以縮小選擇范圍，提高解題的準確率。排除法是解選擇題的間接方法，也是選擇題的常用方法。數形結合法：解決與圖形或圖像有關的選擇題，常常要運用數學結合的思想方法，有時還要綜合運用其他方法。特例檢驗法：取滿足條件的特例（特殊值，特殊點，特殊圖形，特殊位置等）進行驗證即可得正確選項，因為命題對一般情況成立，那么對特殊情況也成立。代入法：將選擇支代入題干或題代入選擇支進行檢驗，然后作出判斷。觀察法：觀察題干及選擇支特點，區(qū)別各選擇支差異及相互關系作出選擇。枚舉法：列舉所有可能的情況，作出正確的判斷。例如，把一張面值10元的人民幣換成零錢，現有足夠面值為

15、2元，1元的人民幣，換法有（A）5種（B）6種（C）8種（D）10種。分析：如果設面值2元的人民幣x張，1元的人民幣y元，不難列出方程，此方程的非負整數解有6對，故選B.待定系數法：要求某個函數關系式，可先假設待定系數，然后根據題意列出方程（組），通過解方程（組），求得待定系數，從而確定函數關系式，這種方法叫待定系數法。不完全歸納法：當某個數學問題涉及到相關多乃至無窮多的情形，頭緒紛亂很難下手時，行之有效的方法是通過對若干簡單情形進行考查，從中找出一般規(guī)律，求得問題的解決。該法有一定的局限性，因而不能作為一種嚴格的論證方法，但它可以幫助我們發(fā)現和探求一般問題的規(guī)律，從而找到解決問題的途徑。填空

16、題解題三策略直接解法：直接由條件出發(fā)，根據公式、法則、公理、定理進行計算證明得出正確答案。當然在解答的過程中，可以跳過一些不必要的步驟，盡量采用心算的辦法，快速求出問題的答案，這種解法適合于解答一些基礎題。該辦法要求學生對于基本概念、公式、法則、性質、定理、公理等要熟記于心，并能深入地理解運用。特殊值法：即根據題目中的條件，選取某個符合條件的特殊值或作出特殊圖形進行計算，推理的方法。用特殊值或作出特殊圖形進行計算，推理的方法。用特殊值法解題要注意所選取的值要符合條件，且易于計算。此類問題通常具有一個共性：題干中給出一些一般性的條件，而要求得出某些特定的結論或數值。在解決是可將問題提供的條件特殊

17、化。使之成為具有一般性的特殊圖形或問題，而這些特殊圖形或問題的答案往往就是原題的答案。利用特殊值法解答問題，不僅可以選用特別的數值代入原題，使原題得以解決而且可以作出符合條件的特殊圖形來進行計算或推理。猜想驗證法：近年來的中考題中出現了大量的探索規(guī)律類型的問題，此類題的主要解法是運用不完全歸納法，通過試驗，猜想，試誤驗證，總結，歸納等過程使問題得解。學會用畫精確圖形來尋找解題的途徑在以前聽說過一個故事，一個老師在課堂里出了一道題目，要求在座的學生回答從一個時間到另一個時間，時針走過了幾度，在座的學生中，一部分學生都拿起了筆進行計算，而另一部分學生都抬起了手腕撥弄起手表來，這只是一個杜撰的故事，

18、但是在中考的數學習題中，也有部分習題，通過畫精確的圖形，并通過觀察使解題的思路由原來的無方向變成了觀察猜測證明，使解題思路具有了方向，比較無方向的想象，更具實際意義。在綜合題中，往往存在23小題的鋪墊練習，但是由于習題的難度比較大，使部分同學在解某一小題時就產生了困難，導致下面小題沒有辦法繼續(xù)思考下去，加上考場氣氛的緊張，考試時受時間的限制，使部分同學放棄后面所有習題的解答。那么除了放棄，我們是否有其他的方式在某些知識點沒有確定的情況下，繼續(xù)后面的習題解答呢？作為數學老師在對參加中考的學生的叮囑中，最后總是要求將考場的數學用具準備齊全，如鉛筆、直尺、圓規(guī)、量角器等等，很多同學也很奇怪，這些工具

19、在考試時有什么用啊，那么我們就一起來看看吧。例題1、如圖1，已知邊長為的等邊，點在邊上，點是射線上一動點，以線段為邊向右側作等邊，直線交直線于點，（1）寫出圖1中與相似的三角形；（2）證明其中一對三角形相似；（3）設，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（4）若，試求的面積。備用圖備用圖圖1此題在第一、二小題時學生還是能順利完成，但是在第三題的過程中遇到了問題，而由于第三題的困難使很多同學放棄了第四題，那么我們來看一下，我們在第三題未能有效突破的情況下是否能對第四題有一個突破呢。AA圖（1）圖（2）這是一個可以精確的畫出圖形的問題：等邊三角形的邊長為3（圖形是確定的），CF=1，AE

20、=1（點F、E是確定點），三角形EFG是邊長為EF的等邊三角形（點G也可以確定），所以這完全是能用畫圖工具精確畫出的圖形。我們根據條件將圖形精確的畫出：（這里圖（2）中等邊EFG雖然G點位置不能確定，但是可以根據EF已知，EFG是等邊三角形，運用尺規(guī)作圖方法可以確定EFG的位置。尺規(guī)作圖知識點在中考中不是經常出現，但是用尺規(guī)作圖方法來解題，卻是數學解題中經常出現的思路）。通過畫精確的圖形我們發(fā)現圖（1）當E在邊AB上時，觀察得到EF/AC，EG/BC，FG/AB。圖（2）當E在BA的延長線上時，觀察得到FGCM。那么現在我們不再由于第三小題的問題無法解決而致使第四題的解題無方向。通過觀察圖形得

21、出的結論，現在做的只要進行適當的證明：如圖（1）BE=2，BF=2，是等邊三角形EF/AC，結論成立。所以。如圖（2）EF=FN=NG=MN=MA=2AE=1，結論成立。所以。這里我們跳過了第三題利用已知條件畫出精確圖形而解出第四題。通過上面例題可以知道，當給出的圖形是一個確定的圖形，而給出的條件也是確定的即這個圖形可以運用我們手上的畫圖工具精確的畫出圖形，然后通過觀察圖形得到圖形的特點，最后再證明我們觀察到的結論，這樣可以避免我們在不清楚某些條件的情況下，找到一個明確的解題方向。初中數學是由形象向抽象過渡的關鍵時期，而我們在不知不覺中滲透了考慮問題的抽象思維的同時，反而將其形象的一面忽略。又

22、由于我們日常過于注重數學解題理論，而忽略了學生的動手能力，造成了學生解題思路的單一性。作為數學教師在教會學生基本知識的同時，更希望能夠培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性，任何一種解題思想都不是萬能的，希望通過數學思想的培養(yǎng)，掌握處理問題的不同方法。 畫出幾何圖形是初中數學教學中的一個知識點，但是很多學生認識不到不到這個知識點在數學學習中的作用，加上日常教學中，有的老師不是很重視畫圖，導致有些學生不能迅速、準確的根據條件畫出精確的圖形。從以上可以看出，根據條件能準確畫出圖形也是我們數學解題的思路之一。分類思想與討論方法所謂“分類討論”就是在研究數學問題時，根據某一標準把研究對象進行分類，然后按類進行討論。分類思想

23、是自然科學乃至社會科學中的基本邏輯方法，初中數學中分類思想的教學是培養(yǎng)學生逐步建立邏輯思維能力較為有效的載體。初中四年，是學生由形象的接受知識到抽象的感知知識的階段。學生通過對分類思想的建立和研究，培養(yǎng)了學生思維的條理性和縝密性，提高了學生全面周密地分析問題和解決問題的能力。分類是討論的前提，討論是分類的延續(xù)，在建立了合理的分類后，只有找到正確的討論方法，才能認為是完整的解決了問題。分類思想是根據數學對象的本質與屬性的相同點和差異點，將數學對象區(qū)分為不同種類的數學思想方法。數學分類思想須滿足兩點要求：（1）對稱性，即保證分類的對象既不重復又不遺漏。（2）同一性，即每次分類必須保持同一的分類標準

24、。初中數學分類思想的研究主要體現在以下三個基本的層面：一、數學知識點定義下的分類。具體的體現在等腰三角形的底角和頂角的分類；等腰三角形的腰和底邊的分類；不確定的相似三角形中對應頂點的分類等等。此類問題的主要特點是由于數學知識點在定義時自身產生了分類，而問題的提問方式沒有對該定義的分類內容進行解釋，題意本身要求學生在解題的時候，根據定義的分類要求進行合理的分類討論。例1、如圖（1），在直角三角形ABC中，直角邊AC=3cm,BC=4cm.設P，Q分別為AB，BC上的動點，在點P自點A沿AB方向向點B作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，它們移動的速度均為每秒1cm，當Q點到達C

25、點時，P點就停止移動設P，Q移動的時間t秒（1）當t為何值時，為等腰三角形？ACBPQ圖（1）（2）能否與直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，說明理由此題是典型的根據定義分類討論的問題，第一小題要求確定為等腰三角形，但是題目中未確定哪兩條邊相等，所以根據等腰三角形的定義進行適當的分類討論，為了在討論中不重復和不遺漏，對三條邊BP、PQ、BQ兩兩相等進行了組合分類討論，分成了(1)BP=PQ；(2)PQ=BQ；(3)BP=BQ三種不同的情況。第二小題要求確定使其與相似，但是題目中未確定相似三角形的對應頂點，所以根據相似三角形的定義進行適當的分類討論，而本題根據圖形特點存在公共角，則若與

26、，存在(1)；(2)兩種不同的情況。這類問題的分類思想還是明確的，學生也是容易掌握分類和討論的方法，相對的難點在于分類后的解題方法會有一些困難，需要學生進行訓練和總結。二、數學問題中圖形形狀及位置不確定情況下的分類。如不確定的三角形銳角、鈍角與直角的分類；不確定三角形的高存在外高和內高的分類；圓中兩條平行弦在圓心同側和異側的分類；兩圓相切存在內切和外切的分類；兩圓相交兩圓心在公共弦同側和異側的分類等等。此類問題較多也較為復雜和隱蔽，很多情況下的分類是學生意想不到的。例2、若等腰三角形一腰上的高與該腰所對底角平分線的夾角是10，則此三角形的頂角是多少度.例3、半徑為25的圓O中的兩條平行弦，AB

27、=40，CD=48，求兩弦之間的距離？DHCBA圖（2）BCHDA圖（3）此兩題并不是很難理解，對于例2，學生很快會告訴我答案為度，我告訴他們答案不完整，還存在另一個解度，很多學生的疑惑是“另一解是如何產生的？”“此題我為什么不知道要分類？”。由于問題中沒有給出具體的圖形，所以要求我們自己進行畫圖，學生思維的習慣性會畫出圖(2)，而很多人會忽略了圖(3)的情況，即不確定的一個三角形的同一條邊所對的高和角平分線存在兩種不同的位置關系。同樣分析例3，學生也是想不到畫兩條弦時有在圓心的同側和異側兩種不同情況的分類。對于這類問題，學生不是不會做，而是分類思想是學生在解題時不容易想到，對于這類問題一方面

28、在平時不斷的積累，不斷的總結，使再次遇上同類型問題時有分類的意識。其次是在分析題目時要不斷的問自己（特別是未給出圖形，自己畫圖時），是否有其他情況存在的可能性。圖(4)BEAC（F）（F）D三、數學運動型問題中不同情況下的分類。具體體現在點在線段、射線、直線及折線上運動時在不同的位置產生的分類；圖形運動中構成相應圖形不同情況下的分類等等。此類問題的主要特點是點或是圖形在運動，由于運動產生了不同的情況。例4、如圖（4），ACB與DFE是全等的兩個直角三角形，其中ACB=DFE=900，AC=DF=4，BC=EF=3，點D、C、F、B在同一條直線上，點E在邊AC上，DFE沿著直線DB向右平移的過程

29、中，設平移過程中的平移距離為x，DFE與ACB的公共部分的面積為，在移動過程中，求與的函數關系式，并寫出它的定義域.此題的題意非常清楚，我們通過觀察，發(fā)現DFE在移動過程中與ACB的公共部分分成了四種情況：(1)如圖(5)圖形構成梯形，此時x的范圍為；(2)如圖(6)圖形構成五邊形，此時x的范圍為；(3)如圖(7)圖形構成四邊形，此時x的范圍為；(4)如圖(8)圖形構成三角形，此時x的范圍為。圖(5)BEACDF圖(6)BEAC（F）DFC（F）EA圖(7)BDFEA圖(8)BCDF此類問題涉及點或圖形的運動，一方面要仔細分析題意，對題中的字詞引起重視（如邊、線段、射線和直線的區(qū)別等），另一方

30、面要求將畫圖和空間想象能力（圖形運動的過程）相結合。明確圖形運動的情形如何，移動過程中產生了怎樣不同的情況，就可以確定分類的情況和分類的依據。l 幾何證明思路：（文字轉化成圖形）解題思路：初中幾何一般證題途徑證明兩線段相等 1.兩全等三角形中對應邊相等。2.同一三角形中等角對等邊。3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。9.同圓（或等圓）中等弧所

31、對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。12.兩圓的內（外）公切線的長相等。13.等于同一線段的兩條線段相等。證明兩個角相等1.兩全等三角形的對應角相等。2.同一三角形中等邊對等角。3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。7.圓外一點引圓的兩

32、條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。8.相似三角形的對應角相等。9.圓的內接四邊形的外角等于內對角。10.等于同一角的兩個角相等證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個

33、角互余，則第三個角是直角。4.鄰補角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。11.利用半圓上的圓周角是直角。證明線段的和差倍分1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三

34、角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。證明角的和差倍分1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分線的定義。3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。證明線段不等1.同一三角形中，大角對大邊。2.垂線段最短。3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。證明兩角的不等1.同一三角形中，大邊對大角。2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角。3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。4.同

35、圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5.全量大于它的任何一部分。證明比例式或等積式1.利用相似三角形對應線段成比例。2.利用內外角平分線定理。3.平行線截線段成比例。4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。5.與圓有關的比例定理相交弦定理、切割線定理及其推論。6.利用比利式或等積式化得。證明四點共圓1.對角互補的四邊形的頂點共圓。2.外角等于內對角的四邊形內接于圓。3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）。4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。5.到頂點距離相等的各點共圓。l 中考專題講座 第一講 方案設計一、知識網絡梳理通過動手操作來解決一些數學問題特別是作圖題的設計，引導學生將

36、所學的數學知識應用于實際，從數學角度對某些日常生活出現的問題進行設計性研究，有利于學生對數學知識的實踐應用能力和動手操作能力的提高，是學為之用的教改精神的具體體現，是數學教改中的一大熱點這類題目不僅要求學生要有扎實的數學雙基知識，而且要能夠把實際問題中所涉及到的數學問題轉化、抽象成具體的數學問題，具有很普遍的實際意義，是中考熱點之一創(chuàng)新意識的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質教育中最具活力的課題，考查學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，將是今后數學中考命題的熱點之一近年一些省市的中考數學題中涌現了立意活潑、設計新穎、富有創(chuàng)新意識、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學生自我設計題目這類命題以綜合考查閱讀理解能力

37、、分析推理能力、數據處理能力、文字概括能力、書面表達能力和動手能力等能與初中所學的重點知識進行聯結題型1 設計圖形題幾何圖形的分割與設計在中考中經常出現，有時是根據面積相等來分割，有時是根據線段間的關系來分割，有時根據其它的某些條件來分割，做此類題一般用尺規(guī)作圖題型2設計測量方案題設計測量方案題滲透到幾何各章節(jié)之中，例如：測量底部不能直接到達的小山的高，測量池塘的寬度，測量圓的直徑等，此類題目解法不惟一，是典型的開放型試題題型3設計最佳方案題此類題目往往要求所設計的問題中出現路程最短、運費最少、效率最高等詞語，解題時常常與函數、幾何聯系在一起創(chuàng)新意識的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素

38、質教育中最具活力的課題，考查學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，將是今后數學中考命題的熱點之一近年一些省市的中考數學題中涌現了立意活潑、設計新穎、富有創(chuàng)新意識、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學生自我設計題目這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力、數據處理能力、文字概括能力、書面表達能力和動手能力等能與初中所學的重點知識進行聯結二、知識運用舉例（一）方程、函數型設計題例1已知甲、乙兩輛汽車同時、同方向從同一地點A出發(fā)行駛（1）若甲車的速度是乙車的2倍，甲車走了90千米后立即返回與乙車相遇，相遇時乙車走了1小時求甲、乙兩車的速度；（2）假設甲、乙每輛車最多只能帶200升汽油，每升汽油可以行駛10千米，途中不能再加

39、油，但兩車可以互相借用對方的油，若兩車都必須沿原路返回到出發(fā)點A，請你設計一種方案使甲車盡可能地遠離出發(fā)點A，并求出甲車一共行駛了多少千米？解：（1）設甲，乙兩車速度分別是x千米/時和y千米/時，根據題意得：解之得：即甲、乙兩車速度分別是120千米/時、60千米/時（2）方案一：設甲汽車盡可能地遠離出發(fā)點A行駛了x千米，乙汽車行駛了y千米，則即即甲、乙一起行駛到離A點500千米處，然后甲向乙借油50升，乙不再前進，甲再前進1000千米返回到乙停止處，再向乙借油50升，最后一同返回到A點，此時，甲車行駛了共3000千米 甲行500千米乙行500千米甲再借油50升返回甲借油50升，甲行1000千米

40、方案二：（畫圖法）如圖此時，甲車行駛了（千米）方案三：先把乙車的油均分4份，每份50升當甲乙一同前往，用了50升時，甲向乙借油50升，乙停止不動，甲繼續(xù)前行，當用了100升油后返回，到乙停處又用了100升油，此時甲沒有油了，再向乙借油50升，一同返回到A點此時，甲車行駛了（千米）2.某電腦公司現有A，B，C三種型號的甲品牌電腦和D，E兩種型號的乙品牌電腦希望中學要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購一種型號的電腦（1） 寫出所有選購方案(利用樹狀圖或列表方法表示）；（2） 如果（1）中各種選購方案被選中的可能性相同，那么A型號電腦被選中的概率是多少？（3） 現知希望中學購買甲、乙兩種品牌電腦共36臺(

41、價格如圖所示)，恰好用了10萬元人民幣，其中甲品牌電腦為A型號電腦，求購買的A型號電腦有幾臺解：（1） 樹狀圖如下 列表如下：有6可能結果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）(注：用其它方式表達選購方案且正確給1分)（2） 因為選中A型號電腦有2種方案，即(A，D)（A，E），所以A型號電腦被選中的概率是（3） 由（2）可知，當選用方案（A，D）時，設購買A型號、D型號電腦分別為x，y臺，根據題意，得解得經檢驗不符合題意，舍去；(注：如考生不列方程，直接判斷(A，D)不合題意，舍去，也給2分)當選用方案（A，）時，設購買A型號、型號電腦分別為x，y臺，根據題

42、意，得解得所以希望中學購買了7臺A型號電腦（二）統計型設計題 例5某中學要召開運動會，決定從初三年級全部的150名的女生中選30人，組成一個彩旗方隊（要求參加方隊的同學的身高盡可能接近）現在抽測了10名女生的身高，結果如下（單位：厘米）： 166 154 151 167 162 158 158 160 162 162（1）依據樣本數據估計，初三年級全體女生的平均身高約是多少厘米？（2）這10名女生的身高的中位數、眾數各是多少？（3）請你依據樣本數據，設計一個挑選參加方隊的女生的方案（請簡要說明）解：（1）因為（166154151167162158158160162162）10160（厘米），所

43、以九年級全體女生的平均身高約是160厘米（2）這10名女生的身高的中位數是161厘米，眾數是162厘米（3）先將九年級中身高為162厘米的所有女生挑選出來作為參加旗隊的女生，如此進行下去，直至挑選到30人為止（三）測量設計題例3圖7一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖7所示，其中背水面的整個坡面是長為90米、寬為5米的矩形. 現需將其整修并進行美化，方案如下： 將背水坡AB的坡度由10.75改為1； 用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地種草與栽花 求整修后背水坡面的面積； 如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，那么種植花草至少需要

44、多少元？解： 作AEBC于E 原來的坡度是10.75， 設AE4k，BE3k， AB5k，又 AB5米，k1，則AE4米 設整修后的斜坡為，由整修后坡度為1，有，30 8米 . 整修后背水坡面面積為908720米2 將整修后的背水坡面分為9塊相同的矩形，則每一區(qū)域的面積為80米2 解法一： 要依次相間地種植花草，有兩種方案：第一種是種草5塊，種花4塊，需要205802548016000元；第二種是種花5塊，種草4塊，需要204802558016400元 應選擇種草5塊、種花4塊的方案，需要花費16000元 解法二： 要依次相間地種植花草，則必然有一種是5塊，有一種是4塊，而栽花的成本是每平方米

45、25元，種草的成本是每平方米20元， 兩種方案中，選擇種草5塊、種花4塊的方案花費較少 即：需要花費205802548016000元 2. 如圖2221，河邊有一條筆直的公路，公路兩側是平坦的草地在數學活動課上，老師要求測量河對岸B點到公路的距離，請你設計一個測量方案.要求：公路圖2-2-21列出你測量所使用的測量工具；畫出測量的示意圖，寫出測量的步驟；用字母表示測得的數據，求出B點到公路的距離. 解： 本例屬于測量問題的方案設計題. 測角器、尺子；ACDB公路圖2-2-22 測量示意圖見圖2222；測量步驟：在公路上取兩點C、D，使BCD、BDC為銳角；用測角器測出BCDa，BDCb；用尺子

46、測得CD的長，記為m米；計算求值解：設B到CD的距離為x米，作BACD于點A，在CAB中，xCAtana，在DAB中，xADtanb，CA，ADCAADm，m，xm（四）圖形設計題例4 為創(chuàng)建綠色校園，學校決定對一塊正方形的空地進行種植花草，現向學生征集設計圖案圖案要求只能用圓弧在正方形內加以設計，使正方形和所畫的圖弧構成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形種植花草部分用陰影表示請你在圖、圖、圖中畫出三種不同的的設計圖案提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖、圖只能算一種解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一（滿分8分） 第二講 開放性問題一知識網絡梳理

47、教育部于1999、2000年接連印發(fā)的關于初中畢業(yè)、升學考試改革的指導意見中明確要求，數學試題應設計一定的“開放性問題”此后，開放型試題成為各地中考的必考試題所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結論不確定的數學問題，常見的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結論，對激發(fā)學習興趣、培養(yǎng)想像、擴散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型開放型試題重在開發(fā)思維，促進創(chuàng)新，提高數學素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點考題觀察、實驗、猜想、論證是科學思維方法，是新課標思維能力新添的內容，學習中應重視并應用開放題是中考題多樣化和時代發(fā)展要求的產物，

48、單一的題型和測試目標限制了考生應用知識解決實際問題的能力，不利于激發(fā)學生的創(chuàng)造性開放性試題能為考生提供更大的考慮問題的空間，在解題途徑方面也是多樣的，這樣的試題是十分有利于考生發(fā)揮水平的，也有利于考生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結構的多樣性，它是開放題的目標；思維的多向性，它是開放題的實質；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實踐；內涵的發(fā)展性，它是開放題的認識過程開放或結論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵學生多角度、多側面、多層次地思考問題，有助于充分調動學

49、生的潛在能力題型1條件開放與探索條件開放探索題的明確特征是缺少確定的條件，問題所需補充的條件不是得出結論的必要條件，所需補充的條件不能由結論推出題型2結論開放與探索給出問題的條件，讓解題者根據條件探索相應的結論，并且符合條件的結論往往呈現多樣性，或者相應的結論的“存在性”需要解題者進行推斷，甚至要求解題者探求條件在變化中的結論，這些問題都是結論開放性問題它要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發(fā)現規(guī)律，得出結論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維和所學基本知識的應用能力 題型3解題方法的開放與探索策略開放性問題，一般指解題方法不惟一或解題途徑不明確的問題，這類問題要求解題者不墨守成規(guī)，善于

50、標新立異，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案和過程二、知識運用舉例（一）條件開放例1 .如圖，已知，在ABC和DCB中，ACDB，若不增加任何字母與輔助線，要使ABCDCB，則還需增加一個條件是_DCB 例2圖 解：答案不惟一.如：ABDC；ACBDBC；ADRt例2如圖，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點（1）如果_ ，則DECBFA（請你填上能使結論成立的一個條件）；（2）證明你的結論分析：這是一道探索條件、補充條件的開放型試題，解決這類問題的方法是假設結論成立，逐步探索其成立的條件解：（1）AECF（OEOF；DEAC；BFAC；DEBF等等） （2）四邊形ABCD是矩

51、形，ABCD，ABCD，DCEBAF 又AECF，ACAEACCF，AFCE，DECBAF說明：考查了矩形的性質及三角形全等的判定例3 已知：MAN30，O為邊AN上一點，以O為圓心，2為半徑作O，交AN于D，E兩點，設ADx （1）如圖（1）當x取何值時，O與AM相切；（2）如圖（2）當x為何值時，O與AM相交于B，C兩點，且BOC90【解答】（1）在圖（1）中，當O與AM相切時，設切點為F連結OF，則OFAM，在RtAOF中，MAN30，OFOA2（x2），x2，當x2時，O與AM相切（2）在圖（2）中，過點O作OHBC于H當BOC90時，BOC是等腰直角三角形，BC2，OHBC，BHCH

52、，OHBC在RtAHO中，A30，OHOA，（x2），x22當x22時，O與AM相交于B，C兩點，且BOC90【點評】解答這類問題往往是把結論反過來當條件用，本例利用了圓的切線性質和垂徑定理，構造特殊直角三角形，使問題得以求解（二）、結論開放例1如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，D為垂足由以上兩個條件可得_(寫出一個結論)解：12或BDDC或ABDACD等例2如圖，Ol與O2相交于點A、B，順次連結0l、A、02、B四點，得四邊形01A02B （1）根據我們學習矩形、菱形、正方形性質時所獲得的經驗，探求圖中的四邊形有哪 些性質?(用文字語言寫出4條性質)性質1_； 性質2_；性質3_；性質

53、4_（2）設O1的半徑為尺，O2的半徑為r(Rr)，0l，02的距離為d當d變化時， 四邊形01A02B的形狀也會發(fā)生變化要使四邊形01A02B是凸四邊形(把四邊形的任一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線同一旁的四邊形)則d的取值范圍是_解：（1）是開放性問題，答案有許多，如：性質1：相交兩圓連心線垂直公共弦；性質2：相交兩圓連心線平分公共弦；性質3：線段01A線段01B；性質4：線段02B線段02A；性質5：01A0201B02；等等（2）實質是相交兩圓的d與Rr的關系，應為RrdRr例3已知矩形ABCD和點P，當點P在邊BC上任一位置（如圖所示）時，易證得結論：PA2PC2PB2PD2，請你探究：當P點分別在圖、圖中的位置時，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數量