2021年高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)講義第7章74基本不等式及其應(yīng)用

1、§7.4根本不等式及其應(yīng)用最新考綱考情考向分析1.了解根本不等式的證明過程2.會(huì)用根本不等式解決簡單的最大(小)值問題.主要考查利用根本不等式求最值常與函數(shù)、解析幾何、不等式相結(jié)合考查，作為求最值的方法，常在函數(shù)、解析幾何、不等式的解答題中考查，難度為中檔.1根本不等式：(1)根本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同號)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等號成立的條件均為ab.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，那么a，b的

2、算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，根本不等式可表達(dá)為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用根本不等式求最值問題x>0，y>0，那么(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值.(簡記：和定積最大)概念方法微思考1假設(shè)兩個(gè)正數(shù)的和為定值，那么這兩個(gè)正數(shù)的積一定有最大值嗎提示不一定假設(shè)這兩個(gè)正數(shù)能相等，那么這兩個(gè)數(shù)的積一定有最大值；假設(shè)這兩個(gè)正數(shù)不相等，那么這兩個(gè)正數(shù)的積無最大值2函數(shù)yx的最小值是2嗎提示不是因?yàn)楹瘮?shù)yx的定義域是x|x0，當(dāng)x<0時(shí)，y<0，所以函數(shù)yx無

3、最小值題組一思考辨析1判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉盎颉?#215;)(1)函數(shù)f (x)cosx，x的最小值等于4.(×)(2)“x>0且y>0是“2的充要條件(×)(3)(ab)24ab(a，bR)()(4)假設(shè)a>0，那么a3的最小值為2.(×)題組二教材改編2設(shè)x>0，y>0，且xy18，那么xy的最大值為()A80B77C81D82答案C解析x>0，y>0，即xy281，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，(xy)max81.3假設(shè)把總長為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，那么矩形場地的最大面積是_m2.答案25解析設(shè)

4、矩形的一邊為xm，面積為ym2，那么另一邊為×(202x)(10x)m，其中0<x<10，yx(10x)225，當(dāng)且僅當(dāng)x10x，即x5時(shí)，ymax25.題組三易錯(cuò)自糾4“x>0是“x2成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)x>0時(shí)，x22.因?yàn)閤，同號，所以假設(shè)x2，那么x>0，>0，所以“x>0是“x2成立的充要條件，應(yīng)選C.5假設(shè)函數(shù)f (x)x(x>2)在xa處取最小值，那么a等于()A1B1C3D4答案C解析當(dāng)x>2時(shí)，x2>0，f (x)(x2)

5、2224，當(dāng)且僅當(dāng)x2(x>2)，即x3時(shí)取等號，即當(dāng)f (x)取得最小值時(shí)，x3，即a3，應(yīng)選C.6假設(shè)正數(shù)x，y滿足3xy5xy，那么4x3y的最小值是()A2B3C4D5答案D解析由3xy5xy，得5，所以4x3y(4x3y)·(492)5，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y1時(shí)，“成立，故4x3y的最小值為5.應(yīng)選D.利用根本不等式求最值命題點(diǎn)1配湊法例1 (1)0<x<1，那么x(43x)取得最大值時(shí)x的值為_答案解析x(43x)·(3x)(43x)·2，當(dāng)且僅當(dāng)3x43x，即x時(shí)，取等號(2)x<，那么f (x)4x2的最大

6、值為_答案1解析因?yàn)閤<，所以54x>0，那么f (x)4x23231，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，取等號故f (x)4x2的最大值為1.(3)函數(shù)f (x)(x<1)，那么()Af (x)有最小值4Bf (x)有最小值4Cf (x)有最大值4Df (x)有最大值4答案A解析f (x)(x1)2.因?yàn)閤<1，所以x1<0，(x1)>0，所以f (x)224，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)，即x2時(shí)，等號成立故f (x)有最小值4.命題點(diǎn)2常數(shù)代換法例2假設(shè)正數(shù)m，n滿足2mn

7、1，那么的最小值為()A32B3C22D3答案A解析因?yàn)?mn1，那么·(2mn)33232，當(dāng)且僅當(dāng)nm，即m，n1時(shí)等號成立，所以的最小值為32，應(yīng)選A.命題點(diǎn)3消元法例3x>0，y>0，x3yxy9，那么x3y的最小值為_答案6解析方法一(換元消元法)由得x3y9xy，因?yàn)閤>0，y>0，所以x3y2，所以3xy2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y，即x3，y1時(shí)取等號，即(x3y)212(x3y)1080，令x3yt，那么t>0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值為6.方法二(代入消元法)由x3yxy9，得x，所以x3y3y3(1y)6261266，當(dāng)且

8、僅當(dāng)3(1y)，即y1，x3時(shí)取等號，所以x3y的最小值為6.思維升華 (1)前提：“一正“二定“三相等(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用根本不等式(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1代換的方法；三是消元法跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·天津)設(shè)x>0，y>0，x2y4，那么的最小值為_答案解析2.x>0，y>0且x2y4，42(當(dāng)且僅當(dāng)x2，y1時(shí)取等號)，2xy4，22.(2)(2022·景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)假設(shè)直線l：axby20(a>0，b>0)過點(diǎn)(1,2)，當(dāng)取

9、最小值時(shí)直線l的斜率為()A2B.C.D2答案A解析因?yàn)橹本€l過點(diǎn)(1,2)，所以a2b20，即1，所以·4，當(dāng)且僅當(dāng)，即a1，b時(shí)取等號，所以斜率2，應(yīng)選A.根本不等式的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1根本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題例4設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，其前n項(xiàng)和是Sn，假設(shè)a1d1，那么的最小值是_答案解析ana1(n1)dn，Sn，所以，當(dāng)且僅當(dāng)n4時(shí)取等號，所以的最小值是.命題點(diǎn)2求參數(shù)值或取值范圍例5不等式(xy)9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，那么正實(shí)數(shù)a的最小值為()A2B4C6D8答案B解析不等式(xy)9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，只要求(xy)的最小值大于或等于9，1aa2

10、1，當(dāng)且僅當(dāng)yx時(shí)，等號成立，a219，2或4(舍去)，a4，即正實(shí)數(shù)a的最小值為4，應(yīng)選B.思維升華求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用根本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍跟蹤訓(xùn)練2 (1)函數(shù)f (x)ax2bx(a>0，b>0)的圖象在點(diǎn)(1，f (1)處的切線的斜率為2，那么的最小值是()A10B9C8D3答案B解析由函數(shù)f (x)ax2bx，得f(x)2axb，由函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(1，f (1)處的切線斜率為2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)等號成立，所以的最小值

11、為9，應(yīng)選B.(2)在ABC中，A，ABC的面積為2，那么的最小值為()A.B.C.D.答案C解析由ABC的面積為2，所以SbcsinAbcsin2，得bc8，在ABC中，由正弦定理得22，當(dāng)且僅當(dāng)b2，c4時(shí)，等號成立，應(yīng)選C.根本不等式的實(shí)際應(yīng)用例6 (1)(2022·江蘇)某公司一年購置某種貨物600噸，每次購置x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，那么x的值是_答案30解析一年的總運(yùn)費(fèi)為6×(萬元)一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用的和為萬元因?yàn)?x2240，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x30時(shí)取得等號，所以當(dāng)x30

12、時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小(2)某人準(zhǔn)備在一塊占地面積為1800m2的矩形地塊中間建三個(gè)矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1m的小路(如下列圖)，大棚總占地面積為Sm2，其中ab12，那么S的最大值為_答案1568解析由題意可得xy1800，b2a，x>3，y>3，那么yab33a3，所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)18083xy18083x×18081808218082401568，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x40，y45時(shí)等號成立，S取得最大值，所以當(dāng)x40，y45時(shí)，S取得最大值為1568.思維升華利用根本不等式求解實(shí)際問題時(shí)，先根據(jù)實(shí)際問題抽象出目標(biāo)函

13、數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用根本不等式求得函數(shù)的最值跟蹤訓(xùn)練3某工廠建造一個(gè)無蓋的長方體貯水池，其容積為4800m3，深度為3m如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，要使水池總造價(jià)最低，那么水池底部的周長為_m.答案160解析設(shè)水池底面一邊的長度為xm，那么另一邊的長度為m，由題意可得水池總造價(jià)f (x)150×120240000720(x>0)，那么f (x)720240000720×2240000720×2×40240000297600，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x40時(shí)，f (x)有最小值297

14、600，此時(shí)另一邊的長度為40(m)，因此，要使水池的總造價(jià)最低，水池底部的周長應(yīng)為160m.1函數(shù)f (x)的最小值為()A3B4C6D8答案B解析f (x)|x|24，當(dāng)且僅當(dāng)x±2時(shí)，等號成立，應(yīng)選B.2假設(shè)x>0，y>0，那么“x2y2的一個(gè)充分不必要條件是()AxyBx2yCx2且y1Dxy或y1答案C解析x>0，y>0，x2y2，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號故“x2且y1是“x2y2的充分不必要條件應(yīng)選C.3(2022·如皋期末)假設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足xy6x4，那么的最小值為()A4B8C16D32答案B解析實(shí)數(shù)x，y滿足xy

15、6x4，x，y>0，那么y6268，當(dāng)且僅當(dāng)y1，x時(shí)取等號的最小值為8.4假設(shè)a>0，b>0，lgalgblg(ab)，那么ab的最小值為()A8B6C4D2答案C解析由lgalgblg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，那么有1，所以ab(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號成立，所以ab的最小值為4，應(yīng)選C.5函數(shù)f (x)ex在點(diǎn)(0，f (0)處的切線為l，動(dòng)點(diǎn)(a，b)在直線l上，那么2a2b的最小值是()A4B2C2D.答案D解析由題意得f(x)ex，f (0)e01，kf(0)e01.切線方程為y1x0，即xy10，

16、ab10，ab1，2a2b222，應(yīng)選D.6. 幾何原本 卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如下列圖圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OFAB，設(shè)ACa，BCb，那么該圖形可以完成的無字證明為()A.(a>0，b>0)Ba2b22(a>0，b>0)C.(a>0，b>0)D.(a>0，b>0)答案D解析由ACa，BCb，可得圓O的半徑r，又OCOBBCb，那么FC2OC2OF2，再根據(jù)題圖知FOFC，即，當(dāng)且僅當(dāng)ab

17、時(shí)取等號應(yīng)選D.7設(shè)x，y均為正數(shù)，且xyxy100，那么xy的最小值是_答案6解析由xyxy100，得x1，xy1y26，當(dāng)且僅當(dāng)1y，即x4，y2時(shí)，等號成立8函數(shù)y(x>1)的最小值為_答案22解析x>1，x1>0，y(x1)222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，等號成立9(2022·吉林梅河口二中模擬)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)S7S53(a4a5)，那么4a3的最小值為_答案4解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，S7S5a7a63(a4a5)，q23.4a34a34a324，當(dāng)且僅當(dāng)4a3，即a3，a7時(shí)等號成立4a3的最小值為4.1

18、0(2022·天津)假設(shè)a，bR，ab>0，那么的最小值為_答案4解析a，bR，ab>0，4ab24，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號故的最小值為4.11正數(shù)a，b滿足ab2，求的最小值解·.當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)取等號所以的最小值為.12x>0，y>0，且2x5y20.(1)求ulgxlgy的最大值；(2)求的最小值解(1)x>0，y>0，由根本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時(shí)，等號成立因此有解得此時(shí)xy有最大值10.ulgxlgylg(xy)lg101.當(dāng)x5，y2時(shí)，ulgxlgy有最大值1.(2)x>0，y>0，·，由解得當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)，等號成立的最小值為.13在ABC中，點(diǎn)P滿足2，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在直線分別交于點(diǎn)M，N，假設(shè)m，n(m>0，n>0)，那么m2n的最小值為()A3B4C.D.答案A解析，M，P，N三點(diǎn)共線，1，m2n(m2n)23，當(dāng)且僅當(dāng)mn1時(shí)等號成立14(2022·北京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)abc3，且a，b，c都是正數(shù)(1)求證：；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的不等式x2mx2a2b2c2對所有滿足題設(shè)條件的正實(shí)數(shù)a，b，c恒成立如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由(1