（精心整理）高中數(shù)學專題講解排列組合及二項式定理

1、排列組合及二項式定理【基本知識點】1二項式系數(shù)的性質(zhì)： 展開式的二項式系數(shù)是，可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（）（2）增減性與最大值： 當是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值（3）各二項式系數(shù)和：，令，則 【常見考點】一、可重復(fù)的排列求冪法：重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是在正確判斷哪個底數(shù)，哪個是指數(shù)。（1）有4名學生報名參加數(shù)學、物理、化學競賽，每人限報一科，有多少

2、種不同的報名方法？（2）有4名學生參加爭奪數(shù)學、物理、化學競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？（3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？【解析】：（1）（2） （3）2 相鄰問題捆綁法： 題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列.（4）五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 【解析】：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當于4人的全排列，種（5）3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 間接法 6位同學

3、站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有， 種高考資源網(wǎng) 其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有288 3 相離問題插空法 ： 元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是 【解析】：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種（7） 書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有 種不同的插法（具體數(shù)字作答）【解析】： （8）馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的

4、二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？【解析】：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.四元素分析法（位置分析法）：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。（9）2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 （ ） 高考資源網(wǎng) A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種【解析】： 方法一： 從后兩項工作出發(fā)

5、，采取位置分析法。 方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A. （10）1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？【解析】： 老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學在其余4個位置上有種方法；所以共有種。.五多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。高考資源網(wǎng) （11） 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種（12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數(shù)為（A）（B） （C）（D） （13）

6、8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？【解析】 ：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.高考資源網(wǎng) （2）答案：C（3）看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.六定序問題縮倍法（等幾率法）：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.（14）五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（ ）高考資源網(wǎng) 【解析】 ：在的右邊與在的左邊排法

7、數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種（15）書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法？高考資源網(wǎng) 【解析】 ：法一： 法二：七標號排位問題（不配對問題） 把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.（16） 將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ）A、6種 B、9種 C、11種 D、23種高考資源網(wǎng) 【解析】 ：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方

8、法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有331=9種填法，選.（17）編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是（ ） A 10種 B 20種 C 30種 D 60種 答案：B八不同元素的分配問題（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法（18）有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？高考資源網(wǎng) （1） 分成1本、2本、3本三組；（2） 分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；（3） 分成每組都是2本的三個組；（4） 分給甲、乙、丙三人，每個人2本；（5） 分給5人每人至少1本

9、?！窘馕觥?：（1） （2） （3） （4） （5）（19） 四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？【解析】：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種.九相同元素的分配問題隔板法：（20）把20個相同的球全放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不少于其編號數(shù)，則有多少種不同的放法？【解析】：向1，2，3號三個盒子中分別放入0，1，2個球后還余下17個球，然后再把這17個球分成3份，每份至少一球，運用隔板法，共有種。高考資源網(wǎng) （21）10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，

10、有多少種不同分配方案？【解析】：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.高考十排數(shù)問題（注意數(shù)字“0”）高考資源網(wǎng) （22）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）A、210種 B、300種 C、464種 D、600種【解析】：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選.十一染色問題：涂色問題的常用方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;（2）根據(jù)相對區(qū)

11、域是否同色分類討論;高考資源網(wǎng) （3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題。（23）將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是_.【解析一】滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。(1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。(2)若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中

12、另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。(3)若恰用五種顏色染色，有種染色法高考資源網(wǎng) 綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。【答案】420.十二 幾何中的排列組合問題:（24）已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有 條 【解析】： 圓上的整點有： 12 個 其中關(guān)于原點對稱的有4 條 不滿則條件 切線有 ，其中平行于坐標軸的有14條 不滿則條件 66-4+12-14=60 答案:60【練習】1、4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（A）12種 （B）24種 （C）30種

13、 （D）36種【解析】分兩類：取出的1本畫冊，3本集郵冊，此時贈送方法有種；取出的2本畫冊，2本集郵冊，此時贈送方法有種?？偟馁浰头椒ㄓ蟹N?！敬鸢浮緽2、正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有（ ）A20B15C12D10【解析】先從5個側(cè)面中任意選一個側(cè)面有種選法，再從這個側(cè)面的4個頂點中任意選一個頂點有種選法，由于不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，所以除去這個側(cè)面上、相鄰側(cè)面和同一底面上的共8個點，還剩下2個點，把這個點和剩下的兩個點連線有種方法，但是在這樣處理的過程中剛好每一條對角線重復(fù)了一次，所

14、以最后還要乘以所以這個正五棱柱對角線的條數(shù)共有,所以選擇A.3、的展開式中的常數(shù)項是 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：令，于是展開式中的常數(shù)項是故選C4、已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等，則 【答案】解：的通項為，的展開式中的系數(shù)是,的通項為，的展開式中的系數(shù)是 ，.5、已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則 【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。6、若，則 的值為 答案47、已知，則= -8 8、對任意的實數(shù)，有，則的值是（ B ）A3 B6 C9 D219、設(shè)是的一個排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個數(shù)稱為

15、的順序數(shù)（）如：在排列6，4， 5， 3，2，1中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0則在1至8這八個數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時滿足 8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為( C )A48 B96 C144 D19210、若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有A.120個 B.80個 C.40個 D. 20個【答案】C11、現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有A24種 B30種 C36種

16、D48種【答案】D12、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（ ）A24 B30 C36 D42 【答案】C13.從8名女生4名男生中，選出3名學生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為 ;【答案】11214、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.（A）（B）（C）（D）誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A.錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.15、高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.（A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）