五年級(jí)全套(上下冊(cè))名校奧數(shù)教程教案及試題(含答案)

1、五年級(jí)全套（上下冊(cè)）名校奧數(shù)教程教案及 試題（含答案）文第一講數(shù)的整除問題數(shù)的整除問題，內(nèi)容豐富，思維技巧性強(qiáng)。它是小學(xué)數(shù) 學(xué)中的重要課題，也是小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的內(nèi)容之一。一、基本概念和知識(shí)1.整除約數(shù)和倍數(shù)例如：15 + 3=5, 63 + 7=9一般地，如a、b、c為整數(shù)，b0,且a+b=c,即整數(shù) a除以整除b,除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就 說，a能被b整除。記作b | a.否則，稱為a不能被b整除， 記作ba。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就 叫做a的約數(shù)。 例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3 是15的約數(shù)；63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。 2.數(shù)的 整除

2、性質(zhì)性質(zhì)1:如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也 能被c整除。 即：如果c | a, c | b,那么c | o 例如： 如果2 | 10, 2 | 6,那么2 | , 并且2 | o性質(zhì)2:如果b與c的積能整除a,那么b與c都能整 除a.即：如果bc | a,那么b | a, c | a。性質(zhì)3:如果b、c都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b 與c的積能整除a。 即：如果b I a, c | a,且=1,那么 bc | a。 例如：如果 2 | 28, 7 | 28,且=1, 那么 | 28。性質(zhì)4：如果c能整除b, b能整除a,那么c能整除a。 即：如果c | b, b I a,那么c

3、I a。文例如：如果3 | 9, 9 | 27,那么3 | 27。3.數(shù)的整除特征能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是 偶數(shù)的整數(shù)，必能被 2整除；另一方面，能被 2整除的數(shù)， 其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù).下面“特征”含義相似。能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位是 0或5。能被3整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3整除。 能被4整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4整除。例如：1864=1800+64,因?yàn)?00是4與25的倍數(shù)，所以1800 是4與25的倍數(shù).又因?yàn)? | 64,所以1864能被4整除.但 因?yàn)?564,所以1864不能被25整除

4、.能被8整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8整除。 例 如：29375=29000+375,因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所 以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25 | 375,所以29375 能被125整除.但因?yàn)?375,所以829375。能被11整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)。例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25,偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8+6+4+2=20.因?yàn)?520 = 5,又因?yàn)?15,所以11123456789。再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)？解：這個(gè)數(shù)

5、的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：-=0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11 | 0.因此13574 是11的倍數(shù)。能被7整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被7整除。例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？文解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù).因?yàn)?059-282 = 777,又 7 | 777,所以 7 | 1059282.因此 1059282 是 7 的 倍數(shù)。 再例如：判斷3546725能否被13整除？解：把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù).因?yàn)?3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?821 2 =

6、 819,又 13 | 819,所以 13 | 2821 ,進(jìn)而 13 | 3546725.二、例題解：: 45=539 o根據(jù)整除“性質(zhì) 2”可知，y可取0或5。，滿足條件的六位數(shù)是 519930或919935。例2李老師為學(xué)校一共買了 28支價(jià)格相同的鋼筆，共 付人民幣9口.2 口元.已知口處數(shù)字相同，請(qǐng)問每支鋼筆多少 元？ 解：9口.2 口元=9口2口分 28 =437。根據(jù)整除“性質(zhì) 2”可知 4 和7均能整除9口2口。4 | 2口可知口處能填0或4或8。因?yàn)?9020, 79424,所以口處不能填 0和4;文因?yàn)? | 9828,所叫口處應(yīng)該填 8。 又; 9828分二元 + 28=

7、 答：每支鋼筆元。個(gè)條件的整數(shù)。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征可知：1+2+3+4+5的和與5a之差應(yīng)是11的倍數(shù)，即11 | .或11 |。但是 155a=5,5a15=5,又=1,因此 111 或 11 |。 又 .a是數(shù)位上的數(shù)字。，a只能取09。所以只有a=3才能滿足11 |或11 | , 即當(dāng)a=3時(shí)， 11 | 155a。符合題意的整數(shù)只有 1323334353?；ゲ幌嗤?，且它能被11整除，你能找到一個(gè)符合條件的整數(shù)嗎？解：: 91=7313,且=1。文根據(jù)一個(gè)數(shù)能被7或13整除的特征可知:因?yàn)?1, = 1 ,所以7, 13也就是7, 13,因此，用一次性質(zhì)，就去掉了兩組;反復(fù)使用

8、性質(zhì)996次，最后轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被7以及13整除，當(dāng)且僅當(dāng)能被 7以及13整除又 91的倍數(shù)中小于1000的只有9134=364的百位數(shù)字是3,，二364例5在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字， 組成一個(gè)六位數(shù)， 使它 能分別被3、4、5整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能的小。5整除，所以它應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：文第一，數(shù)字和是3的倍數(shù)。第三，末位數(shù)字c是0或5。又能被4整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)不可能是5。，c只能取O.因而b只能取自O(shè), 2, 4, 6, 8中之一。 a + b除以3余2°為滿足題意“數(shù)值盡可能小”，只需取a=0, b=2o要求的六位數(shù)是 8650200分析 26=2313。，y 可能取 0、2

9、、4、5、6、8。文當(dāng)y=0時(shí)。= 7313x+9x+13 + 6根據(jù)整除“性質(zhì)1”，有13 | 9x+6o經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x=8時(shí)，13 | 9x + 6,.當(dāng)y=0時(shí)，符合題意的六位數(shù)是 8199100所以 13 整除 9x + 62,即 13 | 9x+4o經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x=1時(shí)，13 | 9x+4。.當(dāng)y=2時(shí)，符合題意的六位數(shù)是 119912。 同理，當(dāng)y = 4時(shí)，13 | 9x + 6-4 , 即 13 | 9x+2o經(jīng)試驗(yàn)可知當(dāng) x=7時(shí)，13 | 9x+2o .當(dāng)y=4時(shí)，符 合題意的六位數(shù)是 719914。 同理，當(dāng)y=6時(shí)，13 | 9x + 66。 即 13 | 9x

10、.文二當(dāng)y=6時(shí)，找不到符合題意的六位數(shù)。同理，當(dāng)y=8 時(shí)，13 | 9x+6-8 , 即 13 | 9x-2。經(jīng)試驗(yàn)只有當(dāng)x = 6時(shí)，13 | 9x-2 o.當(dāng)y=8時(shí)，符合題意的六位數(shù)是 619918。答：滿足本題條件的六位數(shù)共有819910、119912、719914和619918四個(gè)。習(xí)題一樣的五位數(shù)。4 .將自然數(shù)1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重復(fù)寫下去組成一個(gè)1993位數(shù)，試問：這個(gè)數(shù)能否被 3整除？5 .一本陳年老賬上記著：72只桶，共元.這里口處 字跡已不清.請(qǐng)把口處數(shù)字補(bǔ)上，并求桶的單價(jià)。6 .證明：任意一個(gè)三位數(shù)連著寫兩次得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)一定能同時(shí)被

11、7、11、13整除.習(xí)題一解答OO文、32550、 3285007 .解：1 + 2+3+ 9=45, 3 | 45, 又，1993 除以 9余4。，這個(gè)1993位數(shù)的最末 4位數(shù)字是 1234 o ;1+2+3+4=10, 310o，這個(gè)1993位數(shù)不能被3整除。8 . 為3、2共元，每只桶元。所以，這個(gè)六位數(shù)一定能同時(shí)被7、11、13整除.文9 2講 質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)一、基本概念和知識(shí)1.質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了 1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。一個(gè)數(shù)除了 1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。要特別記住：1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2.質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是莫個(gè)數(shù)

12、的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示由來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例：把30分解質(zhì)因數(shù)。解：30=23335。其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù)。又如12 = 23233 = 2233, 2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)。二、例題例1三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是 210,求這三個(gè)數(shù). 解: 210=2333537.可知這三個(gè)數(shù)是 5、6和7。例2兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是 40,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？ 解：把40表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有三種形 式： 40=17+23=11 +29=3+37。V 17323 = 391 >11329= 319 >3337= 111 o ，

13、所求的 最大值是391。答：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的最大乘積是391 o文例3自然數(shù)123456789是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？解：123456789是合數(shù)。因?yàn)樗擞屑s數(shù)1和它本身外，至少還有約數(shù)3,所以它是一個(gè)合數(shù)。例4連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？解：如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個(gè)質(zhì)數(shù)。如果這連續(xù)的九個(gè)自然中最小的不小于3,那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有5個(gè).這5個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)個(gè)位數(shù)是 5,因而5是這個(gè)奇數(shù)的一個(gè)因數(shù)， 即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù).這樣，至多另4個(gè)奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有4個(gè)質(zhì)數(shù)。例5把5、6、7、14、15

14、這五個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù) 的乘積相等。解：V5=55 7=7, 6=233, 14=237, 15=335,這些數(shù)中質(zhì)因數(shù)2、3、5、7各共有2個(gè)，所以如把14放在第一組，那么 7和6只能放在第二組，繼而 15只 能放在第一組，則5必須放在第二組。 這樣 14315=210=53637。這五個(gè)數(shù)可以分為 14和15, 5、6和7兩組。例6有三個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大6,另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是42560.求這三個(gè)自然數(shù)。分析先大概估計(jì)一下，30330330=27000,遠(yuǎn)小于=64000,遠(yuǎn)大于42560.因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在 3040之 間。 解：42560=263537

15、319=2533= 32335338要求的三個(gè)自然數(shù)分別是32、35和38。例7有3個(gè) 自然數(shù) a、b、c.已知 a3b=6, b3c=15。文例3自然數(shù)123456789是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？ 解：123456789是合數(shù)。因?yàn)樗擞屑s數(shù)1和它本身外，至少還有約數(shù) 3,所 以它是一個(gè)合數(shù)。例4連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？解：如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個(gè)質(zhì)數(shù)。如果這連續(xù)的九個(gè)自然中最小的不小于3,那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有5個(gè).這5個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)個(gè)位數(shù)是5,因而5是這個(gè)奇數(shù)的一個(gè)因數(shù)，即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù).這樣，至多另4個(gè)

16、奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有4個(gè)質(zhì)數(shù)。例5把5、6、7、14、15這五個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù) 的乘積相等。 解：V5=55 7=7, 6=233, 14=237, 15=335, 這些數(shù)中質(zhì)因數(shù)2、3、5、7各共有2個(gè)，所以如把14放在第一組，那么 7和6只能放在第二組，繼而 15只 能放在第一組，則5必須放在第二組。 這樣 14315=210=53637。這五個(gè)數(shù)可以分為 14和15, 5、6和7兩組。例6有三個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大6,另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是42560.求這三個(gè)自然數(shù)。分析先大概估計(jì)一下，30330330=27000,遠(yuǎn)小于=64000,遠(yuǎn)

17、大于42560.因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在 3040之 間。 解：42560=263537319=2533= 32335338要求的三個(gè)自然數(shù)分別是32、35和38。例7有3個(gè)自然數(shù) a、b、c.已知 a3b=6, b3c=15。文第一講數(shù)的整除問題數(shù)的整除問題，內(nèi)容豐富，思維技巧性強(qiáng)。它是小學(xué)數(shù) 學(xué)中的重要課題，也是小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的內(nèi)容之一。一、基本概念和知識(shí)1.整除約數(shù)和倍數(shù)例如：15 + 3=5, 63 + 7=9一般地，如a、b、c為整數(shù)，b0,且a+b=c,即整數(shù) a除以整除b,除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就 說，a能被b整除。記作b | a.否則，稱為a不能被b整除， 記作

18、ba。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就 叫做a的約數(shù)。例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)；63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。 2.數(shù)的 整除性質(zhì)性質(zhì)1:如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除即：如果c | a, c | b,那么c |例如:如果2 | 10, 2 | 6,那么2 | ,并且2 |性質(zhì)2:如果b與c的積能整除a,那么b與c都能整 除a.即：如果bc | a,那么b I a, c | a。性質(zhì)3:如果b、c都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b 與c的積能整除a。 即：如果b I a, c | a,且=1,那么 bc | a。 例如：如果 2

19、| 28, 7 | 28,且=1, 那么 | 28。性質(zhì)4：如果c能整除b, b能整除a,那么c能整除a。 即：如果c | b, b I a,那么c | a。文例如：如果3 | 9, 9 | 27,那么3 | 27。3.數(shù)的整除特征能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是 0、2、4、6、8 的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是 偶數(shù)的整數(shù)，必能被 2整除；另一方面，能被 2整除的數(shù)， 其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù).下面“特征”含義相似。能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位是 0或5。能被3整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3整除。 能被4整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4整除。例如：1864=1800+

20、64,因?yàn)?00是4與25的倍數(shù)，所以1800 是4與25的倍數(shù).又因?yàn)? | 64,所以1864能被4整除.但 因?yàn)?564,所以1864不能被25整除.能被8整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8整除。 例如：29375=29000+375,因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25 | 375,所以29375能被125整除.但因?yàn)?375,所以829375。能被11整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)。例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25,偶數(shù)位上

21、的數(shù)字之和是8+6+4+2=20.因?yàn)?520 = 5,又因?yàn)?15,所以11123456789。再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)？解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：-=0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11 | 0.因此13574 是11的倍數(shù)。能被7整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被7整除。例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？文解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù).因?yàn)?059-282 = 777,又 7 | 777,所以 7 | 1059282.因此 1059282 是 7 的 倍數(shù)。 再例如：判斷3546725能否被13整除？解：把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù).因?yàn)?3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?821 2 = 819,又 13 | 819,所以 13 | 2821 ,進(jìn)而