《醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計方法》學習指導-標準答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 數(shù)據(jù)的描述和整理一、學習目的和要求1. 掌握數(shù)據(jù)的類型及特性；2. 掌握定性和定量數(shù)據(jù)的整理步驟、顯示方法；3. 掌握描述數(shù)據(jù)分布的集中趨勢、離散程度和分布形狀的常用統(tǒng)計量；4. 能理解并熟練掌握樣本均值、樣本方差的計算；5. 了解統(tǒng)計圖形和統(tǒng)計表的表示及意義；6. 了解用Excel軟件進行統(tǒng)計作圖、頻數(shù)分布表與直方圖生成、統(tǒng)計量的計算。二、 內(nèi)容提要（一） 數(shù)據(jù)的分類數(shù)據(jù)類型定性數(shù)據(jù)（品質(zhì)數(shù)據(jù)）定量數(shù)據(jù)定類數(shù)據(jù)（計數(shù)數(shù)據(jù)）定序數(shù)據(jù)（等級數(shù)據(jù)）數(shù)值數(shù)據(jù)（計量數(shù)據(jù)）表現(xiàn)形式類別（無序）類別（有序）數(shù)值(×÷)對應變量定類變量定序變量數(shù)值變量（

2、離散變量、連續(xù)變量）主要統(tǒng)計方法計算各組頻數(shù)，進行列聯(lián)表分析、c2檢驗等非參數(shù)方法計算各種統(tǒng)計量，進行參數(shù)估計和檢驗、回歸分析、方差分析等參數(shù)方法常用統(tǒng)計圖形條形圖，圓形圖（餅圖）直方圖，折線圖，散點圖，莖葉圖，箱形圖（二） 常用統(tǒng)計量1、描述集中趨勢的統(tǒng)計量名 稱公 式（原始數(shù)據(jù)）公 式（分組數(shù)據(jù)）意 義均值反映數(shù)據(jù)取值的平均水平，是描述數(shù)據(jù)分布集中趨勢的最主要測度值, 中位數(shù)Me中位數(shù)所在組：累積頻數(shù)超過n/2的那個最低組是典型的位置平均數(shù)，不受極端值的影響眾數(shù)Mo數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的觀察值眾數(shù)所在組:頻數(shù)最大的組測度定性數(shù)據(jù)集中趨勢，對于定量數(shù)據(jù)意義不大2、描述離散程度的統(tǒng)計量名 稱公

3、式（原始數(shù)據(jù)）公 式（分組數(shù)據(jù)）意 義極差RR = 最大值-最小值R最高組上限值最低組下限值反映離散程度的最簡單測度值，不能反映中間數(shù)據(jù)的離散性總體方差s2反映每個總體數(shù)據(jù)偏離其總體均值的平均程度，是離散程度的最重要測度值, 其中標準差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同的量綱總體標準差s樣本方差S2反映每個樣本數(shù)據(jù)偏離其樣本均值的平均程度，是離散程度的最重要測度值, 其中標準差具有與觀察值數(shù)據(jù)相同的量綱樣本標準差S變異系數(shù)CVCV=反映數(shù)據(jù)偏離其均值的相對偏差，是無量綱的相對變異性測度樣本標準誤反映樣本均值偏離總體均值的平均程度，在用樣本均值估計總體均值時測度偏差3、描述分布形狀的統(tǒng)計量名 稱公 式（原始數(shù)

4、據(jù)）公 式（分組數(shù)據(jù)）意 義偏度Sk反映數(shù)據(jù)分布的非對稱性Sk=0時為對稱；Sk >0時為正偏或右偏；Sk <0時為負偏或左偏峰度Ku（原始數(shù)據(jù)）（分組數(shù)據(jù)）反映數(shù)據(jù)分布的平峰或尖峰程度Ku=0時為標準正態(tài)；Ku0時為尖峰分布；Ku0時為扁平分布* 在分組數(shù)據(jù)公式中，mi， fi分別為各組的組中值和觀察值出現(xiàn)的頻數(shù)。三、綜合例題解析例1證明：各數(shù)據(jù)觀察值與其均值之差的平方和（稱為離差平方和）最小，即對任意常數(shù)C，有證一：設(shè) 由函數(shù)極值的求法，對上式求導數(shù)，得令 f ¢(C)=0，得唯一駐點由于，故當時f (C)y有最小值，其最小值為。證二：因為對任意常數(shù)C有故有 。四、習

5、題一解答1在某藥合成過程中，測得的轉(zhuǎn)化率（%）如下：94.3 92.8 92.7 92.6 93.3 92.9 91.8 92.4 93.4 92.692.2 93.0 92.9 92.2 92.4 92.2 92.8 92.4 93.9 92.093.5 93.6 93.0 93.0 93.4 94.2 92.8 93.2 92.2 91.892.5 93.6 93.9 92.4 91.8 93.8 93.6 92.1 92.0 90.8（1）取組距為0.5，最低組下限為90.5，試作出頻數(shù)分布表；（2）作頻數(shù)直方圖和頻率折線圖；（3）根據(jù)頻數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，計算樣本均值和樣本標準差。解：

6、（1）所求頻數(shù)分布表：轉(zhuǎn)化率的頻數(shù)分布表轉(zhuǎn)化率分組頻數(shù)頻率累積頻率90.510.0250.02591.000.000.02591.530.0750.1092.0110.2750.37592.590.2250.6093.070.1750.77593.570.1750.9594.094.520.051.00（2）頻數(shù)直方圖：頻率折線圖：（3）由頻數(shù)分布表可得轉(zhuǎn)化率分組組中值mi頻數(shù)90.590.75191.091.25091.591.75392.092.251192.592.75993.093.25793.593.75794.094.594.252則 =(90.7592.825)2×1+

7、(91.2592.825)2×0+(94.2592.825)2×2=0.584或者 =0.76422測得10名接觸某種病毒的工人的白細胞（109/L）如下：7.1，6.5，7.4，6.35，6.8，7.25，6.6，7.8，6.0，5.95（1）計算其樣本均值、方差、標準差、標準誤和變異系數(shù)。（2）求出該組數(shù)據(jù)對應的標準化值；（3）計算其偏度。解：（1），n=10462.35樣本均值方差標準差=0.609標準誤變異系數(shù)CV=8.99%；（2）對應的標準化值公式為對應的標準化值為0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683

8、,-1.273,-1.355；（3）=0.204。3. 已知某年某城市居民家庭月人均支出分組數(shù)據(jù)如下表所示按月人均支出分組（元）家庭戶數(shù)占總戶數(shù)的比例（%）200以下2005008001000以上1.518.246.825.38.2合計100試計算（1）該市平均每戶月人均支出的均值和標準差；（2）并指出其月人均支出的中位數(shù)與眾數(shù)所在組。解：（1）由原分組數(shù)據(jù)表可得支出分組（元）組中值比例（%）200以下2005008001000以上10035065090011001.518.246.825.38.2則 ； （2）由原分組數(shù)據(jù)表可得支出分組（元）比例（%）累積比例（%）200以下20050080

9、01000以上1.518.246.825.38.21.519.766.591.8100中位數(shù)所在組，即累積比例超過50的那個最低組，即為500組。眾數(shù)所在組是頻數(shù)即比例最大的組，也是500組。4設(shè)x1, x2, ，xn和y1, y2, ，yn為兩組樣本觀察值，它們有下列關(guān)系： i=1,2,n其中a、b為常數(shù)且b0，求樣本均值與及樣本方差和之間的關(guān)系。解：。五、思考與練習（一）填充題1 統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以分為 數(shù)據(jù)、 數(shù)據(jù)、 數(shù)據(jù)、據(jù)等三類，其中 數(shù)據(jù)、 數(shù)據(jù)屬于定性數(shù)據(jù)。2 常用于表示定性數(shù)據(jù)整理結(jié)果的統(tǒng)計圖有 、 ；而 、 、 、 等是專用于表示定量數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律的統(tǒng)計圖。3. 用于數(shù)據(jù)整理和統(tǒng)

10、計分析的常用統(tǒng)計軟件有 等。4. 描述數(shù)據(jù)集中趨勢的常用測度值主要有 、 、 和 等，其中最重要的是 ；描述數(shù)據(jù)離散程度的常用測度值主要有 、 、 、 等，其中最重要的是 、 。（二）選擇題1. 各樣本觀察值均加同一常數(shù)c后( )A樣本均值不變，樣本標準差改變 B樣本均值改變，樣本標準差不變C兩者均不變 D. 兩者均改變2關(guān)于樣本標準差，以下哪項是錯誤的（ ）。A反映樣本觀察值的離散程度 B度量了數(shù)據(jù)偏離樣本均值的大小C反映了均值代表性的好壞 D不會小于樣本均值3比較腰圍和體重兩組數(shù)據(jù)變異度大小宜采用（ ）A變異系數(shù)（CV） B方差（S2） C極差（R） D標準差（S）（三）計算題1. 在某次

11、實驗中，用洋地黃溶液分別注入10只家鴿內(nèi)，直至動物死亡。將致死量折算至原來洋地黃葉粉的重量。其數(shù)據(jù)記錄為（單位：mg/kg）97.3，91.3，102，129，92.8，98.4，96.3，99.0，89.2，90.1試計算該組數(shù)據(jù)的樣本均值、方差、標準差、標準誤和變異系數(shù)。六、思考與練習參考答案（一）填充題1. 定類，定序，數(shù)值，定類，定序2. 條形圖、圓形圖；直方圖、頻數(shù)折線圖、莖葉圖、箱形圖3. SAS、SPSS、Excel4. 均值、眾數(shù)、中位數(shù)，均值，極差、方差、標準差、變異系數(shù)，方差、標準差（二）選擇題1. B； 2.D；3.A（三）計算題1均值98.54、方差132.27、標準差

12、11.501、標準誤3.637、變異系數(shù)11.67%。第二章 隨機事件與概率一、學習目的和要求1. 掌握事件等的基本概念及運算關(guān)系；2. 熟練掌握古典概率及計算；3. 理解統(tǒng)計概率、主觀概率和概率的公理化定義；4. 熟練掌握概率的加法公式、乘法公式及計算；5. 理解并掌握條件概率與事件獨立性的概念并進行計算；6. 掌握并應用全概率公式和貝葉斯公式進行計算。二、內(nèi)容提要（一）基本概念概 念符 號概率論的定義集合論的含義隨機試驗（試驗）E具有以下特征的觀測或試驗：1試驗在相同的條件下可重復地進行2試驗的所有結(jié)果事先已知，且不止一個3每次試驗恰好出現(xiàn)其中之一，但試驗前無法預知到底出現(xiàn)哪一個結(jié)果。樣本

13、空間W試驗所有可能結(jié)果組成的集合，即所有基本事件的全體全集基本事件（樣本點）w試驗的每個不可再分的可能結(jié)果，即樣本空間的元素元素隨機事件（事件）A試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果，是由基本事件組成的樣本空間的子集子集必然事件W在試驗中一定發(fā)生的事件全集不可能事件Æ在試驗中一定不發(fā)生的事件，不含任何基本事件空集（二）事件間的關(guān)系關(guān) 系符 號概率論的定義集合論的含義包含AB事件A的發(fā)生必然導致事件B的發(fā)生A是B的子集相等A=BAB而且BAA與B相等和(并) A+B(AB)事件A與B中至少有一個事件發(fā)生A與B的并積(交)AB(AB)事件A與B同時發(fā)生A與B的交差AB事件A發(fā)生同時B不發(fā)生A

14、與B的差互不相容AB=Æ事件A與B不可能同時發(fā)生A與B不相交對立事件A不發(fā)生A的補集(余集)（三）事件的運算規(guī)律運算律公 式交換律A+B=B+A，AB=BA結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)，(AB)C=A(BC)分配律(A+B)C=AC+BC，A+(BC)=(A+B)(A+C)差積轉(zhuǎn)換律對立律A=Æ，A+=德·摩根對偶律，（四）概率的定義類 型定 義 公 式古典概率P(A)=統(tǒng)計概率P(A) = p ()公理化定義(基本性質(zhì))對樣本空間中任意事件A對應的一個實數(shù)P(A)，滿足公理1（非負性）：0P(A)1公理2（規(guī)范性）：P(W)1， P(Æ)0公理

15、3（可加性）：若A1,A2, ,An, 兩兩互不相容，P(A1+A2+An+)= P(A1)+ P(A2)+ + P(An)+ 則稱P(A)為隨機事件A的概率。（五）概率的計算公式名 稱計算公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)若A、B互不相容（AB=Æ）：P(A+B)=P(A)+P(B)對立事件公式P(A)=1P()；P() =1P(A)事件之差公式P(AB)= P(A)P(AB)若BÌA, P(AB)= P(A)P(B)條件概率公式, (P(A)>0)乘法公式若P(A)>0, P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)>0, P(AB

16、)=P(B)P(A|B)當P(A1A2An-1)>0時，有P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1)獨立事件公式A、B相互獨立：P(AB)=P(A)P(B)A1, A2, , An相互獨立：P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An)全概率公式若A1, A2, , An為完備事件組*，對事件B逆概率公式（貝葉斯公式）若A1, A2, , An為完備事件組*，P(B)>0*完備事件組A1, A2, , An1. A1, A2, , An互不相容且P(Ai)>0(i=1, 2, , n)；2. A1+A2+An= W三

17、、綜合例題解析例1 從某魚池中取100條魚，做上記號后再放入該魚池中。現(xiàn)從該池中任意捉來50條魚，發(fā)現(xiàn)其中有兩條有記號，問池內(nèi)大約有多少條魚？解：設(shè)池內(nèi)大約有n條魚，令A=從池中捉到有記號魚則從池中捉到有記號魚的概率P(A)=由統(tǒng)計概率的定義知，它近似于捉到有記號魚的頻率fn (A) =，即解之得n=2500，故池內(nèi)大約有2500條魚。 例2 口袋里有兩個伍分、三個貳分和五個壹分的硬幣，從中任取五個，求總值超過一角的概率。解一：令A=總值超過一角，現(xiàn)將從10個硬幣中任取5個的每種取法作為每個基本事件，顯然本例屬于古典概型問題，可利用組合數(shù)來解決。所取5個硬幣總值超過一角的情形，其幣值由大到小可

18、根據(jù)其中有2個伍分、有1個伍分和沒有伍分來考慮。則=0.5。解二：本例也可以先計算其對立事件=總值不超過一角考察5個硬幣總值不超過一角的情形，其幣值由小到大先根據(jù)壹分硬幣、貳分硬幣的不同個數(shù)來計算其有利情形的組合數(shù)。則=0.5或 =0.5例3 將n個人等可能地分配到N（nN）間房中去，試求下列事件的概率：（1）A=某指定的n間房中各有一人；（2）B=恰有n間房，其中各有一人；（3）C=某指定的房中恰有m（mn）個人。解：把n個人等可能地分配到N間房中去，由于并沒有限定每一間房中的人數(shù)，故是一可重復的排列問題，這樣的分法共有Nn種。（1）對事件A，對指定的n間房，第一個人可分配到該n間房的任一間

19、，有n種分法；第二個人可分配到余下的n1間房中的任一間，有n1種分法，以此類推，得到A共含有n!個基本事件，故（2）對事件B，因為n間房沒有指定，所以可先在N間房中任意選出n間房（共有種選法），然后對于選出的某n間房，按照上面的分析，可知B共含有·n！個基本事件，從而（3）對于事件C，由于m個人可從n個人中任意選出，故有種選法，而其余nm個人可任意地分配到其余的N1間房中，共有(N1)n-m種分配法，故C中共含有·(N1)n-m個基本事件，因此注意：可歸入上述“分房問題”來處理的古典概型的實際問題非常多，例如：（1）生日問題：n個人的生日的可能情形，這時N=365天（n36

20、5）；（2）乘客下車問題：一客車上有n名乘客，它在N個站上都停，乘客下車的各種可能情形；（3）印刷錯誤問題：n個印刷錯誤在一本有N頁的書中的一切可能的分布（n不超過每一頁的字符數(shù)）；（4）放球問題：將n個球放入N個盒子的可能情形。值得注意的是，在處理這類問題時，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不能顛倒。例4（1994年考研題）設(shè)A，B為兩事件，且P(A)=p，P(AB)=，求P(B)。解：由于現(xiàn)因為P(AB)=，則又P(A)=p，故。 注意：事件運算的德·摩根律及對立事件公式的恰當應用。例5 設(shè)某地區(qū)位于河流甲、乙的交匯處，而任一何流泛濫時，該地區(qū)即被淹沒。已知某時期河流甲、乙

21、泛濫的概率分別為0.2和0.3，又當河流甲泛濫時，“引起”河流乙泛濫的概率為0.4，求（1）當河流乙泛濫時，“引起”河流甲泛濫的概率；（2）該時期內(nèi)該地區(qū)被淹沒的概率。解：令A=河流甲泛濫，B=河流乙泛濫由題意知 P(A)=0.2，P(B)=0.3，P(B|A)=0.4再由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.2×0.4=0.08，則（1）所求概率為 （2）所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) =0.2+0.30.08=0.42。例6 設(shè)兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P(A)。解：由題設(shè)可知

22、因為A和B相互獨立，則P(AB) = P(A)P(B)，再由題設(shè)可知，又因為 ，即 P(AB) = P(BA)，由事件之差公式得則有P(A) = P(B)，從而有故有即 。例7（1988年考研題） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應為0，0.8，0.1和0.1，一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率。解：由于玻璃杯箱總共有三類，分別含0，1，2只殘次品。而售貨員取的那一箱可以是這三類中的任一箱，顧客是在售貨員取

23、的一箱中檢查的，顧客是否買下這一箱是與售貨員取的是哪一類的箱子有關(guān)系的，這類問題的概率計算一般可用全概率公式解決，第二問是貝葉斯公式也即條件概率問題。首先令 A=顧客買下所查看一箱；B=售貨員取的箱中恰好有i件殘次品，i=0，1，2。顯然，B0，B1，B2構(gòu)成一組完備事件組。且（1）由全概率公式，有（2）由逆概率公式，得注意：本題是典型的全概率公式與貝葉斯公式的應用。例8（小概率事件原理）設(shè)隨機試驗中某事件A發(fā)生的概率為，試證明，不論>0如何小，只要不斷獨立重復地做此試驗，事件A遲早會發(fā)生的概率為1。證：令 Ai=第i次試驗中事件A發(fā)生, i=1,2,3,由題意知，事件A1, A2, ,

24、 An, 相互獨立且P(Ai)=e，i=1,2,3,，則在n次試驗中事件A發(fā)生的概率P()=1P()=1 當n+, 即為事件A遲早會發(fā)生的概率P()=1。四、習題二解答1考察隨機試驗：“擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)”。如果設(shè)i=擲一枚骰子所出現(xiàn)的點數(shù)為i , i=1,2,6試用i來表示該試驗的基本事件、樣本空間和事件A =出現(xiàn)奇數(shù)點和事件B=點數(shù)至少是4。解：基本事件：0，1，2，3，4，5，6。樣本空間= 0，1，2，3，4，5，6。事件A=1，3，5；B=4，5，6。2用事件A、B、C表示下列各事件：（1）A出現(xiàn)，但B、C不出現(xiàn)； （2）A、B出現(xiàn)，但C不出現(xiàn)；（3）三個都出現(xiàn)；（4）三個

25、中至少有一個出現(xiàn)；（5）三個中至少有兩個出現(xiàn)；（6）三個都不出現(xiàn)；（7）只有一個出現(xiàn)；（8）不多于一個出現(xiàn)；（9）不多于兩個出現(xiàn)。解：（1） （2） （3） （4）或A+B+C或 （5） （6）或W(A+B+C)或（7） （8） （9）或WABC或 3從52張撲克牌中，任取4張，求這四張花色不同的概率。解：現(xiàn)將從52張撲克牌中任取4張的每種取法作為每個基本事件，其結(jié)果與順序無關(guān)，故可用組合數(shù)來解決該古典概型問題。4在一本標準英語詞典中共有55個由兩個不同字母組成的單詞，現(xiàn)從26個英文字母中任取兩個字母排成一個字母對，求它恰是上述字典中單詞的概率。解：現(xiàn)將從26個英文字母中任取兩個字母件的每種取

26、法作為每個基本事件，其結(jié)果與順序有關(guān)，故可用排列數(shù)來解決該古典概型問題。5某產(chǎn)品共20件，其中有4件次品。從中任取3件，求下列事件的概率。（1）3件中恰有2件次品；（2）3件中至少有1件次品；（3）3件全是次品；（4）3件全是正品。解：現(xiàn)將從20件產(chǎn)品中任取3件的每種取法作為每個基本事件，其結(jié)果與順序無關(guān)，故可用組合數(shù)來解決該古典概型問題。（1）；（2）或；（3）；（4）。6房間里有10個人，分別佩戴著110號的紀念章，現(xiàn)等可能地任選三人，記錄其紀念章號碼，試求：（1）最小號碼為5的概率；（2）最大號碼為5的概率。解：設(shè)A=任選三人中最小號碼為5，B=任選三人中最大號碼為5 （1）對事件A，所

27、選的三人只能從510中選取，而且5號必定被選中。； （2）對事件B，所選的三人只能從15中選取，而且5號必定被選中。7某大學學生中近視眼學生占22%，色盲學生占2%，其中既是近視眼又是色盲的學生占1%?，F(xiàn)從該校學生中隨機抽查一人，試求：（1）被抽查的學生是近視眼或色盲的概率；（2）被抽查的學生既非近視眼又非色盲的概率。解：設(shè) A=被抽查者是近視眼，B=被抽查者是色盲；由題意知，P(A)=0.22，P(B)= 0.02，P(AB)= 0.01，則（1）利用加法公式，所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.22+0.020.01=0.23；（2）所求概率為P()=P()=1P(A

28、+B)=10.23 =0.77。注意：上述計算利用了德·摩根對偶律、對立事件公式和（1）的結(jié)果。8設(shè)P(A)=0.5，P(B)=0.3且P(AB)=0.l。求：（1）P(A+B)；（2）P(+B)。解：（1）P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.5+0.30.1=0.7；（2）P(+B)= P()+P(B)P(B)=1P(A)+P(B)P(BA)=1P(A) +P(B)P(B) P(AB)= 1P(A) + P(AB)=10.5+0.1=0.6。注意：上述計算利用了加法公式、差積轉(zhuǎn)換律、對立事件公式和事件之差公式。9假設(shè)接受一批藥品時，檢驗其中一半，若不合格品不超過2，則接

29、收，否則拒收。假設(shè)該批藥品共100件，其中有5件不合格，試求該批藥品被接收的概率。解：設(shè) A=50件抽檢藥品中不合格品不超過1件，據(jù)題意，僅當事件A發(fā)生時，該批藥品才被接收，故所求概率為。10設(shè)A,B為任意兩個事件，且P(A)0，P(B)0。證明：（1）若A與B互不相容，則A和B不獨立；（2）若 P(B|A)=P(B|)，則A和B相互獨立。證明：（1）用反證法。假定A和B獨立，因為已知A與B互不相容，則AB=Æ，P(AB)= P(Æ)=0故 P(A) P(B)= P(AB)=0但由已知條件P(A)0，P(B)0得P(A) P(B)>0，由此導出矛盾，所以若A與B互不相

30、容，則A和B不獨立。 （2）由已知P(B|A)=P(B|)，又，則 即 P(AB)1P(A) = P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(AB)P(A) = P(A)P(B)P(A)P(AB)故 P(AB) = P(A)P(B)這即A和B相互獨立。（2）又證：由已知P(B|A)=P(B|)即 P(B|A)1P(A) = P(B)P(AB)P(B|A)P(B|A)P(A) = P(B)P(AB)P(B|A)P(AB) = P(B)P(AB)P(B|A) = P(B)這即A和B相互獨立。11已知P(A)=0.1，P(B)=0.3，P(A | B)=0.2，求：（1）P(AB)；（2）P(AB)；（

31、3）P(B|A)；（4）P()；（5）P()。解：（1）P(AB)= P(B) P(A | B)=0.3×0.2=0.06；（2）P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.1+0.30.06=0.34；（3）；（4）P()=P(AB)=P(A)P(AB)=0.10.06=0.04；（5）。12某種動物活到12歲的概率為0.8，活到20歲的概率為0.4，問現(xiàn)年12歲的這種動物活到20歲的概率為多少？解：設(shè)A=該動物活到12歲，B=該動物活到20歲；由題意知P(A)=0.8，P(B)=0.4顯然該動物“活到20歲”一定要先“活到12歲”，即有BÌA，且AB=B，則所求概率

32、是條件概率。13甲、乙、丙三人各自獨立地去破譯一密碼，他們能譯出該密碼的概率分別是1/5，2/3，1/4，求該密碼被破譯的概率。解：設(shè) A=甲譯出該密碼，B=乙譯出該密碼，C=丙譯出該密碼.由題意知，A，B，C相互獨立，而且P(A)=1/5，P(B)=2/3，P(C)=1/4則密碼被破譯的概率為P(A+B+C)=1=1=0.8或 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+ P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+ P(C)P(A) P(B)P(A) P(C)P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C)=。14有甲乙兩批種籽，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩

33、批種籽中各任意抽取一粒，求下列事件的概率：（1）兩粒種籽都能發(fā)芽；（2）至少有一粒種籽能發(fā)芽；（3）恰好有一粒種籽能發(fā)芽。解：設(shè) A=甲種籽能發(fā)芽, B=乙種籽能發(fā)芽則由題意知，A與B相互獨立，且有P(A)=0.8，P(B)=0.7，則所求概率為（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56；（2）P(A+B) =1P()=1P()=1=10.2×0.3=0.96；（3）P()=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38。15設(shè)甲、乙兩城的通訊線路間有n個相互獨立的中繼站，每個中繼站中斷的概率均為p，試求：（1）甲、乙兩城間通訊中斷的概率；（

34、2）若已知p=0.005，問在甲、乙兩城間至多只能設(shè)多少個中繼站，才能保證兩地間通訊不中斷的概率不小于 0.95？解：設(shè)Ak=第k個中繼站通訊中斷, k=1,2,n，則A1, A2, , An相互獨立，而且有P(Ak)=p, k=1,2,n。（1）所求概率為P(A1+ A2+ An)=1P()=1P()=1=11(1p)n；（2）設(shè)甲、乙兩城間至多只能設(shè)n個中繼站，由題意，應滿足P()=(1p)n0.95，即 (10.005)n0.950.995n0.95nlog0.9950.95=ln0.95/ln0.995=10.233故n=10，即甲、乙兩城間至多只能設(shè)10個中繼站。16在一定條件下，每

35、發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機的概率是0.6，現(xiàn)有若干門這樣的炮獨立地同時發(fā)射一發(fā)炮彈，問欲以99%的把握擊中飛機，至少需要配置多少門這樣的炮？解：設(shè)至少需要配置n門炮。再設(shè)Ak=第k門炮擊中飛機, k=1,2,n，則A1, A2, , An相互獨立，而且有P(Ak)=0.6, k=1,2,n。由題意，應有P(A1+ A2+ An)= 1P()=1=110.4 n0.99即 0.4 n0.01，則有nlog0.40.01=ln0.01/ln0.4=5.026故n=6，因此至少需要配置6門炮。17甲袋中有3只白球，7只紅球，15只黑球；乙袋中10只白球，6只紅球，9只黑球?，F(xiàn)從兩袋中各取一球，求兩球顏色相

36、同的概率。解：設(shè)以A1、A2、A3分別表示從甲袋中任取一球為白球、紅球、黑球；以B1、B2、B3分別表示從乙袋中任取一球為白球、紅球、黑球。則所求兩球顏色相同的概率為P(A1B1+ A2B2+ A3 B3)= P(A1)P(B1)+ P( A2)P(B2)+ P(A3)P( B3)。18在某地供應的某藥品中，甲、乙兩廠的藥品各占65%、35%，且甲、乙兩廠的該藥品合格率分別為90%、80%，現(xiàn)用A1、A2分別表示甲、乙兩廠的藥品，B表示合格品，試求：P(A1)、P(A2)、P(B|A1)、P(B|A2)、P(A1B)和P(B)。解：由題中已知條件可得P(A1)=0.65，P(A2)=0.35，

37、P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.8，P(A1B)= P(A1)P(B|A1)= 0.65×0.9=0.585，P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.65×0.9+0.35×0.8=0.865。19某地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，其所轄的三個小區(qū)A1，A2，A3的人口比例為974，據(jù)統(tǒng)計資料，甲種疾病在這三個小區(qū)的發(fā)病率依次為4，2，5，求該地甲種疾病的發(fā)病率。解：設(shè)以A1、A2、A3表示病人分別來自小區(qū)A1、A2、A3，以B表示患甲種疾病。則由題意知P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=0.004，P(B|A

38、2)=0.002，P(B|A3)=0.005，則該地甲種疾病的發(fā)病概率為P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=3.5。20若某地成年人中肥胖者（A1）占有10，中等者（A2）占82，瘦小者（A3）占8，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為20，10，5。（1）求該地成年人患高血壓的概率；（2）若知某人患高血壓病，他最可能屬于哪種體型？解：設(shè)B=該地成年人患高血壓，則由題意知P(A1)=0.10，P(A2)=0.82，P(A3)=0.08，P(B|A1)=0.20，P(B|A2)=0.10，P(B|A3)=0.05， （1）該地成

39、年人患高血壓的概率為P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=0.106；（2）若已知某人患高血壓病，他屬于肥胖者（A1）、中等者（A2）、瘦小者（A3）體型的概率分別為P(A1|B)= P(A2|B)= P(A3|B)= 因為 P(A2|B)> P(A1|B) >P(A3|B)故若知某人患高血壓病，他最可能屬于中等體型。21三個射手向一敵機射擊，射中概率分別為0.4，0.6和0.7。若一人射中，敵機被擊落的概率為0.2；若兩人射中，敵機被擊落的概率為0.6；若三人射中，則敵機必被擊落。（1）求敵機被擊落的概率；（2）已知敵機被擊

40、落，求該機是三人擊中的概率。解：設(shè)A1、A2、A3分別表示第一個射手、第二個射手、第三個射手射中敵機；B0、B1、B2、B3分別表示無人射中、一人射中、兩人射中、三人射中敵機；C表示敵機被擊落。則A1、A2、A3相互獨立，且由題意可得P(A1)=0.4，P(A2)=0.6，P(A3)=0.7P(B0)= P()=P() P() P()= 0.6×0.4×0.3=0.072P(B1)= P()=0.4×0.4×0.3+0.6×0.6×0.3+0.6×0.4×0.7=0.324P(B2)= P()=0.4×0

41、.6×0.3+0.6×0.6×0.7+0.4×0.4×0.7=0.436P(B3)= P()=P(A1) P(A2) P(A3)= 0.4×0.6×0.7=0.168P(C|B0)=0，P(C|B1)=0.2，P(C|B2)=0.6，P(C|B3)=1（1）敵機被擊落的概率為P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)=0×0.072+0.2×0.324+0.6×0.436+1×0.168=0.4944； （2）所求概

42、率為P(B3|C)=。五、思考與練習 （一）填充題 1若P(A)=0.3，P(B)=0.6，則（1）若A和B獨立，則P(A+B)= ， P(BA)= ；（2）若A和B互不相容，則P(A+B)= ，P(BA) = ；（3）若A Ì B，則 P(A+B)= ，P(BA)= 。2. 如果A與B相互獨立，且P(A)= P(B)= 0.7，則P()= 。3在4次獨立重復試驗中，事件A至少出現(xiàn)1次的概率為，則在每次試驗中事件A出現(xiàn)的概率是 。 （二）選擇題1. 下列說法正確的是（ ）A. 任一事件的概率總在(0,1)之內(nèi) B. 不可能事件的概率不一定為0C. 必然事件的概率一定為1 D. 以上均

43、不對。2以A表示事件“甲種藥品暢銷，乙種藥品滯銷”，則其A的對立事件為（ ） A. 甲，乙兩種藥品均暢銷 B. 甲種藥品滯銷，乙種藥品暢銷 C. 甲種藥品滯銷” D. 甲種藥品滯銷或乙種藥品暢銷3. 有100張從1到100號的卡片，從中任取一張，取到卡號是7的倍數(shù)的概率為（ ）A. B. C. D. 4. 設(shè)A和B互不相容,且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. P(B|A)>0 B. P(A)=P(A|B) C. P(A|B)=0 D. P(AB)=P(A)P(B) （三）計算題1設(shè)=1，2，3，4，5，6，7，A=2，3，4，B=3，4，5。試求下列

44、事件:（1）；（2）+B。2某城市的電話號話由0，1，2，9這10個數(shù)字中任意8個數(shù)字組成，試求下列電話號碼出現(xiàn)的概率：（1）數(shù)字各不相同的電話號碼（事件A）；（2）不含2和7的電話號碼（事件B）；（3）5恰好出現(xiàn)兩次的電話號碼（事件C）。3一部五卷的文集，按任意次序放到書架上去，試求下列事件的概率： （1）第一卷出現(xiàn)在兩邊； （2）第一卷及第五卷出現(xiàn)在兩邊； （3）第一卷或第五卷出現(xiàn)在兩邊； （4）第三卷正好在正中。4電路由電池A與兩個并聯(lián)的電池B、C串聯(lián)而成，設(shè)電池A、B、C是否損壞相互獨立，且它們損壞的概率依次為0.3，0.2，0.2，求電路發(fā)生間斷的概率。5. 設(shè)一醫(yī)院藥房中的某種藥品

45、是由三個不同的藥廠生產(chǎn)的，其中一廠、二廠、三廠生產(chǎn)的藥品分別占1/4、1/4、1/2。已知一廠、二廠、三廠生產(chǎn)藥品的次品率分別是7%，5%，4%。現(xiàn)從中任取一藥品，試求（1）該藥品是次品的概率；（2）若已知任取的藥品是次品，求該次品是由三廠生產(chǎn)的概率。6盒中放有12個乒乓球，其中有9個球是新球。第一次比賽從盤中任取3個來用，比賽后仍放回盒中；第二次比賽時又從盒中任取3個。（1）求第二次取出的球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。六、思考與練習參考答案 （一）填充題1. （1）0.72，0.42；（2）0.9，0.6；（3）0.6，0.32. 0.0

46、9 3. （二）選擇題1. C； 2. D； 3. A； 4 .C （三）計算題1. =1, 5，6, 7，=1, 2，6, 7，則（1）=1, 6, 7；（2）+B=1，3，4，5，6，72（1）（2）（3）3. （1）=0.4；（2）=0.1；（3）=0.7；或=0.7；或=0.7（4）=0.24已知 P()=0.3，P()=0.2，P()=0.2 且A、B、C相互獨立 則所求概率P()=P()+P()P()= P()+P()P()P()P()P()=0.3+0.2×0.20.3×0.2×0.2=0.3285. 令A=該藥品是次品；Bk=藥品是由k廠生產(chǎn)的，k

47、=1，2，3。由題意知 P(B1)=0.25, P(B2)=0.25，P(B3)=0.5，P(A|B1)=0.07，P(A|B2)=0.05，P(A|B3)=0.04，（1）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|P2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =0.07×0.25+0.05×0.25+0.04×0.50=0.05（2）6令Ak=第一次比賽任取3球中有k個新球，k=0，1，2，3；B=第二次取出的球都是新球。由題意得 P(Ak)=， P(B|Ak)=，k=0，1，2，3。（1）（2）=0.238第三章 隨機變量及其分布一、 學習目的和要求1. 理解

48、隨機變量及其分布函數(shù)的概念；2. 熟練掌握離散型、連續(xù)型隨機變量的分布及性質(zhì)；3. 熟練掌握常用數(shù)字特征：數(shù)學期望E(X)和方差D(X)及其性質(zhì)；4. 熟練掌握二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等的性質(zhì)及概率計算；5. 了解隨機變量函數(shù)的分布；6. 了解隨機向量及分布函數(shù)的概念、性質(zhì)；7. 掌握離散型隨機向量和連續(xù)型隨機向量及其分布；8. 掌握二維隨機向量的數(shù)字特征；9. 了解契比曉雪夫不等式和大數(shù)定律及其意義；10. 掌握中心極限定理及其應用；11. 了解用Excel計算二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等常用分布的概率。二、內(nèi)容提要（一）隨機變量及常用分布1. 離散型隨機變量及常用分布名 稱定 義性質(zhì)

49、或背景備 注分布律PX=xk=pk，k=1,2, 或Xx1 x2 xk Pp1 p2 pk 1. pk 0，k=1,2,2. 0-1分布PX=1=p, PX=0=q，或X0 1Pq p二項分布n=1的特例：B(1,p)( 一重貝努里試驗)EX=pD(X)=pq二項分布B(n,p)PX= k= ， k=0,1, ,nX為n重貝努里試驗中A事件發(fā)生的次數(shù)EX=np D(X)=npq泊松分布P(l)PX=k=，k0,1,2, , l>0是常數(shù)二項分布泊松近似公式(lnp) (n很大，p較小) EX=l D(X)= l超幾何分布PX=k= k=1,2,min(M,n)無放回產(chǎn)品抽樣試驗當N+時，時， EX= 2. 連續(xù)型隨機變量及常用分布名 稱定 義性質(zhì)或背景備 注密度函數(shù)f(x)對任意a<b有Pa<Xb=1. f(x)02. 3. 對任意常數(shù)a，有PX= a=0等價定義：對X的分布函數(shù)有F(x)=,x+正態(tài)分布N (m, s2)f (x) = <x<+Pa<Xb=E(X)=mD(X)= s2標準正態(tài)分布N (0, 1)j(x) = <x<+1. F(x)=1F(x)2. F(x)可查表計算其中F(