數(shù)學(xué)行程問題公式大全及經(jīng)典習(xí)題答案

1、根本公式路程二速度X時間；路程十時間=速度； 路程寧速度=時間關(guān)鍵問題確定行程過程中的位置路程相遇路程*速度和=相遇時間 相遇路程*相遇時間 =速度和相遇問題直線甲的路程+乙的路程=總路程相遇問題環(huán)形甲的路程+乙的路程=環(huán)形周長追及問題追及時間=路程差*速度差速度差=路程差*追及時間路程差=追及時間X速度差追及問題直線距離差=追者路程-被追者路程=速度差X追及時間追及問題環(huán)形快的路程-慢的路程=曲線的周長流水問題順?biāo)谐?船速+水速X順?biāo)畷r間逆水行程=船速-水速X逆水時間順?biāo)俣?船速+水速 逆水速度=船速-水速靜水速度=順?biāo)俣?逆水速度* 2水速：順?biāo)俣饶嫠俣?2解題關(guān)鍵船在江河里航行

2、時，除了本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計 算船只的航行速度、時間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個量速度、時間、路程的關(guān) 系在這里將要反復(fù)用到此外，流水行船問題還有以下兩個根本公式：順?biāo)俣?船速+水速，1逆水速度=船速-水速.2這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時和逆流航行時船在單位時間 里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式I丨可以得到：水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速。由公式2可以得到：水速二船速

3、-逆水速度，船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個量中的任意兩個， 就可以求出第三個量。另外，船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式1和公式2，相加和相減就可以得到：船速=順?biāo)俣?逆水速度* 2，水速=順?biāo)俣?逆水速度* 2。例：設(shè)后面一人速度為x,前面得為y,開始距離為s，經(jīng)時間t后相差a米。那么x-y)t=s-a解得 t=s-a/x-y.追及路程除以速度差快速 -慢速=追及時間v1t+s=v2t(v1+v2)t=st=s/(v1+v2)一相遇問題兩個運(yùn)動物體作相向運(yùn)動或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動，隨著時間的開展，必然面對面地相遇，這類問題叫做相遇問題

4、。它的特點(diǎn)是兩個運(yùn)動物體共同走完整個路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相遇問題。相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。 它們的根本關(guān)系式如下：總路程=甲速+乙速X相遇時間 相遇時間=總路程十甲速+乙速 另一個速度=甲乙速度和-的一個速度二追及問題追及問題的地點(diǎn)可以相同如環(huán)形跑道上的追及問題，也可以不同，但方向一般是相同的。由于速 度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。根據(jù)速度差、距離差和追及時間三者之間的關(guān)系，罕用下面的公式：距離差=速度差X追及時間 追及時間=距離差*速度差 速度差=距離差*追及時間速度差 =快速-慢速 解題的關(guān)鍵是在互相關(guān)聯(lián)、互相對應(yīng)的距離差、速度

5、差、追及時間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公 式求出第三者來到達(dá)解題目的。三二、相離問題兩個運(yùn)動物體由于背向運(yùn)動而相離， 就是相離問題。 解答相離問題的關(guān)鍵是求出兩個運(yùn)動物體共同趨 勢的距離速度和。根本公式有：兩地距離=速度和X相離時間相離時間=兩地距離*速度和速度和=兩地距離十相離時間流水問題 順流而下與逆流而上問題通常稱為流水問題，流水問題屬于行程問題，仍然利用速度、時間、路程三 者之間的關(guān)系進(jìn)行解答。解答時要注意各種速度的涵義及它們之間的關(guān)系。船在靜水中行駛， 單位時間內(nèi)所走的距離叫做劃行速度或叫做劃力； 順?biāo)写乃俣冉许樍魉俣龋?逆 水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠動力順?biāo)?/p>

6、，單位時間內(nèi)走的距離叫做水流速度。各 種速度的關(guān)系如下： 1劃行速度 +水流速度 =順流速度2劃行速度 -水流速度=逆流速度3順流速度+逆流速度*2 =劃行速度4順流速度-逆流速度* 2=水流速度流水冋題的數(shù)量關(guān)系仍然是速度、 時間與距離之間的關(guān)系。即：速度X時間= 距離；距離*速度=時間; 距離*時間=速度。但是，河水是流動的，這就有順流、逆流的區(qū)別。在計算時，要把各種速度之間 的關(guān)系弄清楚是非常必要的。1每份數(shù)X份數(shù)=總數(shù)總數(shù)當(dāng)每份數(shù)二份數(shù) 總數(shù)呦數(shù)二每份數(shù)2 1倍數(shù)X咅數(shù)=幾倍數(shù) 幾倍數(shù)勻倍數(shù)=倍數(shù) 幾倍數(shù)曲數(shù)=1倍數(shù)3速度X寸間二路程路程他度=時間路程卻寸間=速度4單價X數(shù)量=總價總價

7、r單價=數(shù)量總價墩量二單價5工作效率XX作時間二工作總量 工作總量 T作效率=工作時間 工作總量 T作時間=工作效率6加數(shù)+加數(shù)=和和一個加數(shù)=另一個加數(shù)7被減數(shù)減數(shù)=差 被減數(shù)-差=減數(shù) 差+減數(shù)=被減數(shù)8因數(shù)期數(shù)二積 積個因數(shù)二另一個因數(shù)9被除數(shù)除數(shù)=商 被除數(shù)詩商=除數(shù) 商除數(shù)=被除數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計算公式1 正方形C 周長 S 面積 a 邊長周長=邊長4C=4a面積=邊長邊長S=a a2 正方體V:體積a:棱長外表積 =棱長棱長65 表=a a 6體積=棱長棱長棱長V=a aa3 長方形C周長S面積a邊長周長=(長+寬)2C=2(a+b)面積=長寬S=ab4 長方體V: 體積 s: 面積

8、 a: 長 b: 寬 h: 高(1) 外表積 (長寬+長高+寬高)2S=2(ab+ah+bh)(2) 體積=長寬高V=abh5 三角形s 面積 a 底 h 高面積=底高吃s=ah2三角形高=面積2寧底 三角形底=面積2寧高6 平行四邊形s 面積 a 底 h 高 面積 =底高s=ah7 梯形s 面積 a 上底 b 下底 h 高面積=(上底+下底) 高吃s=(a+b) xh -28 圓形S面積C周長 n d= 直徑r=半徑(i)周長二直徑xn =2xnx徑C=n d=2n r面積二半徑x半徑xn9 圓柱體v:體積h:高s;底面積r:底面半徑c:底面周長(1) 側(cè)面積=底面周長x高(2) 外表積=側(cè)

9、面積+底面積X2體積=底面積x高4體積=側(cè)面積吃x半徑10 圓錐體v:體積h:高s;底面積r:底面半徑 體積二底面積 高七總數(shù)、份數(shù)二平均數(shù)和差問題的公式(和+差)-二大數(shù)(和差)-二小數(shù)和倍問題和-倍數(shù)一1)=小數(shù) 小數(shù)x咅數(shù)=大數(shù)(或者和-小數(shù)=大數(shù))差倍問題差-倍數(shù)一1)=小數(shù)小數(shù)xf咅數(shù)=大數(shù)(或小數(shù)+差=大數(shù))植樹問題1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形 : 如果在非封閉線路的兩端都要植樹 ,那么:株數(shù)二段數(shù)+ 1二全長-株距1全長=株距x株數(shù)一 1)株距=全長株數(shù)一 1)如果在非封閉線路的一端要植樹 ,另一端不要植樹 ,那么: 株數(shù)二段數(shù)二全長-株距全長=株距x株數(shù)株距

10、=全長株數(shù)如果在非封閉線路的兩端都不要植樹 ,那么:株數(shù)二段數(shù)1二全長-株距1全長=株距x株數(shù)+ 1)株距=全長株數(shù)+ 1)2 封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下株數(shù)二段數(shù)二全長-株距全長=株距x株數(shù)株距=全長株數(shù)盈虧問題盈+虧i兩次分配量之差二參加分配的份數(shù)大盈-小盈翎次分配量之差二參加分配的份數(shù)大虧-小虧翎次分配量之差=參加分配的份數(shù) 相遇問題相遇路程=速度和 對目遇時間 相遇時間=相遇路程iS度和 速度和=相遇路程 訝目遇時間 追及問題追及距離二速度差X追及時間 追及時間=追及距離iS度差 速度差二追及距離 也及時間 流水問題順流速度=靜水速度+水流速度逆流速度=靜水速度-水流速度靜水速

11、度=順流速度+逆流速度i 水流速度二順流速度-逆流速度i 濃度問題溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量溶質(zhì)的重量i容液的重量X100% =濃度溶液的重量X濃度=溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量i濃度二溶液的重量利潤與折扣問題利潤=售出價一本錢利潤率二利潤 城本xoo% =售出價i本錢一1xoo% 漲跌金額二本金X 張跌百分比折扣二實(shí)際售價i原售價xioo%折扣v 1 利息=本金X利率X寸間稅后利息=本金 涮率劉時間X1 20%奧數(shù)行程問題的根本公式244時間：2022年02月02日來源：互聯(lián)網(wǎng)點(diǎn)擊量:根本公式：路程=速度X時間；路程i時間=速度；路程i速度=時間 根本概念： 行程問題是研究物體運(yùn)動的，它研究

12、的是物體速度、時間、行程三者之間的關(guān)系。 關(guān)鍵問題： 確定行程過程中的位置相遇問題：速度和X相遇時間=相遇路程請寫出其他公式追擊問題：追擊時間=路程差十速度差寫出其他公式流水問題：順?biāo)谐?船速+水速X順?biāo)畷r間逆水行程=船速-水速X逆水時間順?biāo)俣?船速+水速 逆水速度=船速-水速靜水速度=順?biāo)俣?逆水速度十 2水速=順?biāo)俣饶嫠俣仁?2 流水問題： 關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動的速度，參照以上公式。過橋問題： 關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動的路程，參照以上公式。僅供參考：【和差問題公式】和+差十2=較大數(shù)；和-差十2=較小數(shù)?！竞捅秵栴}公式】和十倍數(shù)+1=一倍數(shù)；一倍數(shù)X倍數(shù)=另一數(shù)， 或 和 - 一倍數(shù)

13、 =另一數(shù)?！静畋秵栴}公式】差十倍數(shù)-1=較小數(shù)；較小數(shù)X倍數(shù)=較大數(shù)， 或 較小數(shù) +差 =較大數(shù)?！酒骄鶖?shù)問題公式】總數(shù)量十總份數(shù)=平均數(shù)?！疽话阈谐虇栴}公式】平均速度X時間=路程；路程十時間=平均速度； 路程十平均速度=時間?！痉聪蛐谐虇栴}公式】 反向行程問題可以分為“相遇問題二人從兩地出發(fā)，相向而行和“相離問題兩人背向而行兩種。這兩種題，都可用下面的公式解答：速度和X相遇離時間 =相遇離路程；相遇離路程十速度和=相遇離時間；相遇離路程*相遇離時間=速度和?！就蛐谐虇栴}公式】追及拉開路程十速度差=追及拉開時間；追及拉開路程十追及拉開時間=速度差；速度差X追及拉開時間=追及拉開路程?！玖?/p>

14、車過橋問題公式】橋長+列車長十速度=過橋時間；橋長+列車長十過橋時間=速度；速度X過橋時間=橋、車長度之和?！拘写瑔栴}公式】1一般公式：靜水速度船速 +水流速度水速 =順?biāo)俣龋?船速 -水速 =逆水速度；順?biāo)俣?逆水速度十2=船速；順?biāo)俣?逆水速度十2=水速。 2兩船相向航行的公式：甲船順?biāo)俣?+乙船逆水速度 =甲船靜水速度 +乙船靜水速度 3兩船同向航行的公式：后前船靜水速度 - 前后船靜水速度 =兩船距離縮小拉大速度。 求出兩船距離縮小或拉大速度后，再按上面有關(guān)的公式去解答題目。思維調(diào)查卷時間：30分鐘總分：100分基分20： 得分： 試卷說明：本卷共 6題，要求簡單明了寫出解答過

15、程，最后的結(jié)果請?zhí)钤谠囶}的橫線上。1. 甲、乙兩人同時同地同向出發(fā)，沿環(huán)行跑道勻速跑步，如果出發(fā)時乙的速度是甲的倍，當(dāng)乙第一次追上甲時,甲的速度立即提高 丄，而乙的速度立即減少 -，并且乙第一次追上甲的地點(diǎn)與第二次追上甲的地點(diǎn)相距較短45距離100米，那么這條環(huán)行跑道的周長是 米;解：設(shè)甲原來的速度是1個單位，那么乙原來的速度是個單位，甲后來的速度是個單位，乙后來的速度是2個單位。設(shè)第一次甲跑了 x圈時被乙追上，那么此時乙跑了x+1圈；被追上后甲又跑了y圈再次被乙追上，那么乙又跑了y+1圈。禾U用兩次甲乙跑的時間相等列方程:Cx x 112.51.2522解得：x 2,y1233如圖，假設(shè)兩人

16、從A出發(fā)逆時針跑，那么第一次乙在B點(diǎn)追上甲，第二次在點(diǎn)。因為B、C相距100米，所以環(huán)形跑道的周長為100 3300 米。C點(diǎn)追上甲A、B、C是圓周的三等分y y 12. 兩塊手表走時一快一慢，快表每 9小時比標(biāo)準(zhǔn)表快3分鐘，慢表每7小時比標(biāo)準(zhǔn)表慢3分鐘?，F(xiàn)在把快表指示 時間調(diào)成是8:15，慢表指示時間調(diào)成 8:31，那么兩表第一次指示的相同時刻是:;答案：5： 223. 一艘船在一條河里 5個小時往返2次，第一小時比第二小時多行 4千米，水速為2千米/小時，那么第三小時 船行了千米；解：首先判斷出開始是順流。在第 1小時和第2小時這兩個相等的時間內(nèi)，速差是 4,路程差也是4，那么得到第1 小

17、時正好是走一個順流的長度。由于第1個小時在順?biāo)畷r走的才是一個全長，那么第4小時肯定是逆水。具體行駛情況如圖。再者，第2小時和第3小時逆行的路程都是 4,那么它們順行的路程也必須相等，故第3小時的最終時刻到全長的中點(diǎn)。最后，比擬第3小時和第3小時行駛的情況：設(shè)全長為2a千米，船在靜水中的速度為每小時x千米。a 4 2a 4 2ax 2 x 2 x 2 x 2解得a= 10千米。4.小明早上從家步行到學(xué)校，走完一半路程時，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本丟在家里，隨即騎車去給小明送書，追 上時，小明還有 -的路程未走完，小明隨即上了爸爸的車，由爸爸送往學(xué)校。這樣，10了 5分鐘到學(xué)校，小明從家到學(xué)校全部步行

18、需要-，與小明的爸爸走 的時間相同，所以他們的速度比是:10 10-的路程，那么小明就多用1032 ，從家到學(xué)校的路程是70.分鐘;小明就比單獨(dú)步行提早解：小明走丄10 2行，爸爸騎車都走明的速度是1405分鐘，設(shè)速度的一份為31,所用時間是1 70710X,那么-1023-分鐘。3=7: 2,1032x 7x10接下來如果小明步35,x，所以小140行程問題下【老師寄語】：解行程問題要會讀題，一遍快速歸類瀏覽；二遍逐句解讀整理；三遍回頭尋找誤解。最終要學(xué)會“紙上談兵。陳拓一、環(huán)行運(yùn)動：1. 男、女兩名運(yùn)發(fā)動同時同向從環(huán)形跑道上A點(diǎn)出發(fā)跑步，每人每跑完一圈后到達(dá) A點(diǎn)會立即調(diào)頭跑下一圈。跑第一

19、圈時，男運(yùn)發(fā)動平均每秒跑5米，女運(yùn)發(fā)動平均每秒跑 3米。此后男運(yùn)發(fā)動平均每秒跑 3米，女運(yùn)發(fā)動平均每秒跑2米。二人前兩次相遇點(diǎn)相距88米按跑道上最短距離，那么這條跑道長 米；解：因為第一圈時男運(yùn)發(fā)動的速度是女運(yùn)發(fā)動的5倍，所以男運(yùn)發(fā)動跑完第一圈后，女運(yùn)發(fā)動剛剛跑到？全長的位35置。這時男運(yùn)發(fā)動調(diào)頭和女運(yùn)發(fā)動以相同的速度相向而行，所以第一次相遇點(diǎn)在距A點(diǎn)1全長處。5下面討論第二次相遇點(diǎn)的位置，在第二次相遇前，男運(yùn)發(fā)動已經(jīng)跑完第二圈，男運(yùn)發(fā)動跑第二圈的速度與女運(yùn)發(fā)動第一圈的速度相同，所以在男運(yùn)發(fā)動跑完第二圈時，女運(yùn)發(fā)動跑第二圈的時間恰好等于男運(yùn)發(fā)動跑第一圈的時間，而女運(yùn)發(fā)動跑第二圈的速度是男運(yùn)發(fā)動

20、跑第一圈速度的-，所以女運(yùn)發(fā)動剛好跑到距 A點(diǎn)-的位置，此時男女運(yùn)發(fā)55動相向運(yùn)動，男運(yùn)發(fā)動的速度為3m/s，女運(yùn)發(fā)動的速度為 2m/s。這樣第二次相遇點(diǎn)距 A點(diǎn)。兩次相遇點(diǎn)間的距251914111411離為總?cè)L的- 一。所以兩點(diǎn)在跑道上的最短距離為全長的一1一。而這段距離又為88米。所以88亠-52525252525=200 米。2. 在一圈300米的跑道上，甲、乙、丙 3人同時從起跑線出發(fā)，按同一方向跑步，甲的速度是6千米/小時，乙的速度是30千米/小時，丙的速度是千米/小時，分鐘后3人跑到一起， 小時后三人同時回到出發(fā)點(diǎn)；7分析：我們注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢者跑的路程差應(yīng)是

21、300的整數(shù)倍；如果都同時回到出發(fā)點(diǎn)，那么每人跑的路程都是 300的整數(shù)倍。同時注意到此題的單位不統(tǒng)一，首先換算單位，然后利用求兩個分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法可以解決問題。解：1先換算單位：甲的速度是6000 100米/分鐘；乙的速度是30000 500米/分鐘；丙的速度是 型00 60米607 6075 60/分鐘。2設(shè)t分鐘3人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分別是100t米、t米、60t米。路程差都777是300的整數(shù)倍。而t 300,30LJ,30LJ I5,3 7,色厶 遁，所以第一次3人跑到一起的時間是105分402008022422鐘。3設(shè)k分鐘3人同時回到起點(diǎn)，那么3人跑的路程分別

22、是100t米、竺上米、60t米。每個路程都是300的整數(shù)7300 300 7 30021倍。而t 300,30-7,300 3, 21,5105，所以3人同時回到起點(diǎn)的時間是 105分鐘。100 500 605評注：求幾個分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法是：所有分子的最小公倍數(shù)作分子，所有分母的最大公約數(shù)作分母得到的分?jǐn)?shù)。3. 某體育館有兩條周長分別為150米和250米的圓形跑道如圖，甲、乙倆個運(yùn)發(fā)動分別從兩條跑道相距最遠(yuǎn)的兩個端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)跑到兩圓的交匯點(diǎn)C時，就會轉(zhuǎn)入到另一個圓形跑道，且在小跑道上必須順時針跑，在大跑道上必須逆時針跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，當(dāng)乙第5次與甲相遇時，所用

23、時間是秒。分析：此題如果按原來的圖形思考，會是非常麻煩的事，需要分段計算，然后找到周期，這樣沒有細(xì)心的計算是很難解決問題的?，F(xiàn)在我們注意到在小圓上是順時針，在大圓上是逆時針，如果這兩個圓能擰開就是一個在周長400米的大圓上的不同起點(diǎn)同時的追及問題，題目一下子變得非常簡單了。解：根據(jù)分析，甲在 A處，乙在B處，相距200米同時同向而行，乙速較快，第一次追上甲要多跑 200米，以后每 追上一次乙都要比甲多跑 400米，那么第五次乙追上甲時， 比甲多跑400X4+200 = 1800米，需要的時間是1800+ 5 -4= 1800 秒。評注：當(dāng)一個問題按試題指引的方向比擬復(fù)雜時，有時可以換一個角度得

24、以使試題簡化，而題目本身并沒有實(shí)質(zhì)上 的變化，這是解決數(shù)學(xué)問題經(jīng)常用到的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。4. 如圖，正方形 ABCD是一條環(huán)行公路。汽車在 AB上時速是90千米，在 BC上的時速是120千米，在CD上的時速是60千米，在DA上的時速是80 千米。從CD上一點(diǎn)P,同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇。如果從PC的中點(diǎn)M，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N相遇。那么竺；NB12解：設(shè)正方形的邊長為720千米，那么AB上行駛的時間是720 + 90 8 小時,BC上行駛的時間是720+ 120 6 小時,分析：對于正方形的路線，每邊長是相同的，由于反向開出的兩輛車，不管走什 樣的路

25、況，到相遇的時候走的時間相同，故可以把每邊設(shè)成速度的倍數(shù)，轉(zhuǎn)化成 間來解題。720+ 80 9小時。那么行駛一周的總時間是8+6+12+9 35CD上行駛的時間是 720+ 60 12小時，DA上行駛的時間是 小時。從CD上一點(diǎn)P,同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇，相當(dāng)于從 AB中點(diǎn)同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們在 CD上一點(diǎn)P相遇，每輛車都行駛 35 + 2 = 17.5小時，DP 4 9 4.5小時，PM上的時間為12 4.5 + 2 3.75小時。同樣得到 AN 9 0.25小時，NB上的時間為8 - 0.25= 7.75小時。AN、NB上的速度相同，故路程比 就等于時間比。即

26、空空丄。NB 7.7531DP上的時間。同時注意到把邊評注：此題要把握住從起點(diǎn)到終點(diǎn)的時間和從終點(diǎn)到起點(diǎn)的時間相同，很容易求得 長設(shè)成速度的最小公倍數(shù)解題可以簡化計算。二、時鐘問題：5. 早上8點(diǎn)多的時候上課鈴響了，這時小明看了一下手表。過了大約1小時下課鈴響了，這時小明又看了一下手表，覺察此時時針和分針的位置正好與上課鈴響時對調(diào)，那么上課時間是時分。分析：8點(diǎn)多上課，下課是 9點(diǎn)多，兩次的時針應(yīng)是在 8- 9與9- 10之間，這樣可以初步判斷出上課時間是&點(diǎn)45分到8: 50,下課時間是9: 40到9: 45之間。再利用分針與時針?biāo)俣鹊年P(guān)系即可轉(zhuǎn)化成環(huán)形上的行程問題。解：有分析可以知道，分針

27、和時針走的總路程是整個圓周，設(shè)分針?biāo)俣葹?,那么時針?biāo)俣葹?丄，分針每小時走1260個小格，設(shè)8與時針的夾角為x格，9與分針的夾角為y格，根據(jù)時間相同列方程組：x45 y1112x 4。所以上課的時間為40+ 444 分鐘。y40 x 14314314311126. 一只舊鐘的分針和時針每 65分鐘標(biāo)準(zhǔn)時間的65分鐘重合一次，這只鐘在標(biāo)準(zhǔn)時間的1天快或慢分鐘；5分析：我們標(biāo)準(zhǔn)鐘每65 標(biāo)準(zhǔn)分鐘時針、分針重合一次。舊鐘每65分鐘重合一次。顯然舊鐘快。此題的難點(diǎn)在于11從舊鐘兩針的重合所耗用的65標(biāo)準(zhǔn)分鐘推算出舊鐘時針或分針的旋轉(zhuǎn)速度每標(biāo)準(zhǔn)分鐘旋轉(zhuǎn)多少格進(jìn)而推算出舊鐘的針24標(biāo)準(zhǔn)小時旋轉(zhuǎn)多少格，它

28、與標(biāo)準(zhǔn)鐘的針用 24標(biāo)準(zhǔn)小時所走的格數(shù)的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標(biāo)準(zhǔn)鐘快 的時間讀數(shù)。1 一 、解：設(shè)舊鐘分針每標(biāo)準(zhǔn)分鐘走 x格。那么，每走1格用一標(biāo)準(zhǔn)分鐘。如用復(fù)合單位表示：舊鐘分針?biāo)俣葹閤 (格/標(biāo)x準(zhǔn)分)。舊鐘分針走60格時針走5格，時針?biāo)俣瓤偸欠轴樀?，所以舊鐘時針?biāo)俣葹?2丄x (格/標(biāo)準(zhǔn)分)。每次重合12耗用65標(biāo)準(zhǔn)分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了時針60格，列方程:1(1 衲 65 60,x12 1213 11標(biāo)準(zhǔn)時間一天有 60X24= 1440標(biāo)準(zhǔn)分，一天內(nèi)舊鐘分針走的格數(shù)為:魚2 X50 X24。但是我們只須求出舊鐘13 1112 1212 12分針比標(biāo)準(zhǔn)鐘分針多走了多少格

29、，即減去1440個(標(biāo)準(zhǔn)鐘的)格，所以有X30 X4 - 60 X4 =(13 1113 11144-14360 24 “ 10 扶1) X0 X?4=X50 X24= 10(舊鐘格)13 1113 1114310這里一定要明白，這 10只是舊鐘上顯示的多走的格數(shù)，也是舊鐘的非標(biāo)準(zhǔn)分鐘數(shù)，并非標(biāo)準(zhǔn)的分鐘數(shù)。14310答：這只舊鐘在標(biāo)準(zhǔn)時間一天內(nèi)快10分鐘。(按舊鐘上的時間)1437. 一個特殊的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動的角度為成差數(shù)列遞增?，F(xiàn)在可以設(shè)定指針第一秒轉(zhuǎn)動的角度a a為整數(shù)，以及相鄰兩秒轉(zhuǎn)動的角度差1度，如果指針在第一圈內(nèi)曾經(jīng)指向過180度的位置，那么a最小可以被設(shè)成 ，這

30、種情況下指針第一次恰好回到出發(fā)點(diǎn)是從開始起第 秒。解：對于滿足條件的 a，即存在1個自然數(shù) n,使得a+(a+1)+(a+2)+ +(a+ n 1)=180，即(2a+ n 1)n=360。顯然a越小時，2a+ n 1與n的差越小。又 2a+ n 1與n的奇偶性不同，于是可推出n=15, a=5。故a最小可以被設(shè)成5。在這種情況下指針第一次恰好回到出發(fā)點(diǎn)時，即5+6+7+ n=360k k是整數(shù)，n 5，所以n+5 (n 4)能被720整除。注意到n 4 n +5(mod3)，所以n 4和n+5是3的倍數(shù)。又n+5與n 4的奇偶性不同，故有一個是16的倍數(shù)。且 n+5與n 4中有1個是5的倍數(shù)

31、。于是得出滿足條件的最小的n是100。時間為96秒。三、流水行船問題：8. 某人乘坐觀光游船沿河流方向從A港到B港前行。發(fā)現(xiàn)每隔 40分鐘就有一艘貨船從后面追上游船，每隔20分鐘就會有一艘貨船迎面開過。A、B兩港之間貨船發(fā)出的間隔時間相同，且船在靜水中的速度相同，均是水速的7倍。那么貨船的發(fā)出間隔是 分鐘；分析：對于直線上汽車與行人的迎面相遇和背后追及這個類型的問題是多見的，這里要注意順?biāo)c逆水的不同。解：設(shè)貨車在靜水中的速度為6，那么水速為1，游船的速度為 X,時間間隔為t，那么在追及的情況下的間隔為30 X(6+1) (x+1) (6+1) X 迎面相遇情況下的間隔為20 X(6 1)+(

32、x+1) (6 1) X,解得 t= 720/29 分鐘。評注：這里要注意與路面上的情況不同的是發(fā)車的時間間隔相同時候，在順?biāo)c逆水的間隔路程就不同了，就是這 樣出錯的。9. 有一地區(qū)，從 A到B為河流，從B到C為湖。正常情況下，A到B有水流，B到C為靜水。有一人游泳，他 從A游到B,再從B游到C用3小時；回來時，從 C游到B，再從B到A用6小時。特殊情況下，從 A到B、 從B到C水速一樣，他從 A到B，再到C用小時，在在這種情況下，從 C到B再到A用小時；解：設(shè)BC為1份，AB為x份，貝U AB占總體的亠 ,BC占總體的，根據(jù)特殊情況下，從 A到B、從B到Cx 1x 1水速一樣，他從A到B，

33、再到C用小時，速度相同，時間的比等于路程的比， 得到關(guān)于時間的等式 經(jīng) 竺 2.5.x 1 x 1這樣得到其它兩個條件的等式:2.5x0.5x 35.5x 3而要求的算式是5.5x 3x 15.5x 3這樣知道在BC上逆水時的時間為一x，靜水時所用時間為 0.5x 3，順?biāo)畷r所用時間為 蘭，所以在BCx 1x 1x 1上逆水、靜水、順?biāo)畷r的速度比為:1一 ：丄，由于三者是公差為水速的等差數(shù)列，所以得到等式:5.5x 30.5x 32.52x 13， x .0.5x 3 5.5x 3 2.525.5x 3所以 55 x4.5 3 7.5.x 1 x 1答：在特殊情況下，從C到B再到A用小時。BC

34、上的三種速度是一個等差數(shù)列。評注：此題的關(guān)系十分復(fù)雜，把四個條件都用時間表示出來，然后尋找在10. A地位于河流的上游，B地位于河流的下游，每天早上，甲船從 A地、乙船從B地同時出發(fā)相向而行。從12月1號開始，兩船都裝上了新的發(fā)動機(jī)，在靜水中的速度變?yōu)樵瓉淼谋叮@時兩船的相遇地點(diǎn)與平時相比變化了 1千米。由于天氣的原因，今天12月6號的水速變?yōu)槠綍r的 2倍，那么今天兩船的相遇地點(diǎn)與12月2號相比，將變化千米；分析：對于流水行船問題，注意水速的影響，水中相遇時，速度的和不變；解：設(shè)開始甲船在靜水中中速度為V甲，乙船在靜水中速度為 V乙，水速為V水，相遇時間為to21開始時相遇時間為tt 1.5=

35、 21，根據(jù)兩次相遇點(diǎn)相距1千米，甲兩次的路程差為1千米，列方程，3222222t1.5V甲2V水1.5V甲V水=1 , tV 水=3，從而t1.5V甲2V水1.5V甲V水tV水32千米；333333評注：從題目結(jié)論可以看出，路程的變化與甲、乙速度無關(guān)，只與水速的變化有關(guān)； 四、綜合行程：11. 司機(jī)每天按規(guī)定時間開車從工廠到廠長家接廠長。一天廠長提前了1小時出門，沿路先步行，而司機(jī)晚出發(fā)了4分鐘，途中接到廠長，結(jié)果廠長早到廠8分鐘，那么開車速度與廠長步行速度的比是 ；分析：此題給的是時間的關(guān)系。要知道，相同的路程下，路程比等于時間的反比。解：司機(jī)晚出發(fā)4分鐘，又早到8分鐘，那么相當(dāng)于少用 4

36、 8 12分鐘時間接廠長到廠，又知道司機(jī)來回的時間是 相等的，故司機(jī)去的時候少用 12 2 = 6分鐘。而司機(jī)這6分鐘走的路程是廠長步行的路程，廠長走這段路的時間應(yīng) 該是早出發(fā)的1小時加上司機(jī)遇到廠長時少用的 6分鐘，共66分鐘。根據(jù)分析，相同的路程情況下，司機(jī)的速度 與廠長步行的速度比是 66： 6= 11： 1 o評注：不要認(rèn)為司機(jī)6分鐘的路程是廠長1小時的路程，而是要加上司機(jī)去的時候少用的6分鐘，想一想，為什么？12. 某路公交線共有30站含始發(fā)站和終點(diǎn)站，車站間隔2.5千米，某人騎摩托車以 300米/分的速度從始發(fā)站沿公交線出發(fā)，差100米到下一站時，公交總站開始發(fā)車， 每2分鐘一輛，

37、公交速度500米/分,每站?？?分鐘， 那么一路上摩托車會被公共汽車從后追上并超過 次；摩托車從始至終不停，公交車到終點(diǎn)即停解：摩托車與總站相距 2400米的時候，第一輛車開始發(fā)車，它與摩托車超過9次，第二輛超過8次，第三輛超過2次，共計19次；13. 甲、乙兩人分別從 A、B兩地同時出發(fā)，4小時后在某處相遇；如果甲每小時多走千米，而乙比甲提前24分鐘出發(fā)，那么相遇時仍在此處。如果甲比乙晚48分鐘出發(fā)，乙每小時少走千米，也能在此相遇，那么A、B兩地之間的相距千米；分析：此題的關(guān)鍵是三次相遇的地點(diǎn)相同，然后考慮各自的時間和速度的變化。解：假設(shè)甲乙4小時相遇在C處，當(dāng)甲每小時多行千米時，要走相同的

38、路程，那么時間就少用604小時，實(shí)際所A C Q O用時間是4=小時，那么甲原來的速度是 13.5千米/小時；當(dāng)乙每小時少走千米，那么走相同的路程要多用48600.8小時，實(shí)際所用的時間是=小時，那么乙原來的速度是2.5 4.80.815千米/小時。所以A、B兩地的距離0.4是13.5+15用=114 千米。解法設(shè)甲的速度是x千米/小時，乙的速度是y千米/小時，那么甲乙的路程分別是4x千米、4y千米。那么4x4y24x9x 1.5y60x1.5104x 484y6yx 60y2.55y 2.5所以A、B兩地的距離是x 13.5y 1513.5+15X4= 114 千米。評注：這里注意到乙多走的

39、24分鐘，相當(dāng)于甲少走了24分鐘，速度增加，時間減少，路程不變的情況。了 10分鐘，轎車追上公共汽車時， 當(dāng)貨車追上公共汽車時，貨車行駛了 程組：22 分鐘30*7 = 42 , 4X5+ 2= 22,轎車行駛了 30分鐘，而公共汽車只行駛了50分鐘，公共汽車行駛了 36分鐘50T= 71, 5X5 + 1 = 36，可以得到方10v110V2a(1)30 V122v33a(2)50 V236v32a(3)31X2得:35 v210v1k而得至U v1 : v2 : v323: 22:3018V3轎車貨車公共汽車2a1X3 2得：v2： v3 22:30評注：此題涉及到三個對象的運(yùn)動，要弄清各

40、自的運(yùn)動情況是理清解題思路的關(guān)鍵，同時注意到公共汽車是有間歇 的行駛，雖然時間有那么多，而實(shí)際行駛的需要換算。15. A、B、C三地依次分布在由西向東的同一條道路上，甲、乙、丙分別從A、B、C同時出發(fā)，甲、乙向東，丙向西；乙，丙在距離 B地18千米處相遇，甲，丙在B地相遇，而當(dāng)甲在 C地追上乙時，丙已經(jīng)走過B地32千米，那么，AC間的路程是 千米；思路：三人有時間相同的路程，使用比例，路程比等于速度比； 解：如圖設(shè)a、b ；1V 乙: V 丙=18： b；2V 甲: V丙=32+a：18+b；3V 甲: V 乙: V 丙 = 50+a+b： 18+b： 50+b； 由、可知 V 甲:V 乙:V

41、 丙32+ab: 18(18+b): b(18+b), 從而 V 甲：V 乙: V 丙=18 50+a+b： 18(18+b): 18 50+b32 a b 18 50 a b b 18 b 18 50 b32乙C丙14. 有轎車、貨車、公共汽車各一輛在一條公路上行駛，公共汽車在最前面，轎車在最后面，公共汽車與貨車的車距是貨車與轎車車距的 2倍。轎車追上貨車的時間為10分鐘，再過20分鐘追上公共汽車，又過20分鐘，貨車也追上公共汽車，其中公共汽車每走5分鐘就?？寇囌疽淮危看瓮Ａ?分鐘，那么轎車、貨車、公共汽車行駛速度比為：；a,那么轎車追上貨車時，各自行駛解：如圖設(shè)轎車、貨車、公共汽車的速度

42、分別為V|, v2, v3,轎車和貨車的距離為a 40b 30，所以AC間距離為40+32+18+30=120千米行程問題上練習(xí)題1. 甲、乙二人分別從圓形跑道的直徑兩端點(diǎn)同時出發(fā)以勻速反向繞此圓形路線 運(yùn)動，當(dāng)乙走了 100米后，二人第一次相遇，在甲差60米走完一周時又第二次相遇，如果兩個人同向出發(fā)，那么甲第一次追上乙時距離他的出發(fā)點(diǎn)有米；解：第一次相遇時兩人共走了半個圓周，從開始到第二次相遇兩人共走了三倍的 半圓周，那么乙走了 100X3 = 300米，它恰好是半圓周的多 60米，這樣圓周長是300- 60X = 480 米。乙走100米時，甲走了 240 100= 140米，這相當(dāng)于兩人

43、的速度，兩人同向出發(fā)時，甲要比乙多走半個圓周就追上乙，需要的時間是 240+ 140 100= 6個半圓周，這時甲走了6X140 = 840米，480X2 840= 120米，因此甲第一次追上乙時距離他的出發(fā)點(diǎn)有120米。2. 某工廠的計時鐘走慢了，分針70分鐘與時針重合一次，李師傅按照慢鐘工作8小時，工廠規(guī)定超時工資比原工資多倍，李師傅原工資為每小時3元，這天工廠應(yīng)付李師傅超時工資 元；分析：首先要把這個慢表的1小時轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)時間的1小時。解：在慢表中，70分鐘分針和時針重合一次，而標(biāo)準(zhǔn)時間是720分鐘分針和時針重合一次。那么慢表中的8小時在11標(biāo)準(zhǔn)時間中是 70X3+Z?0，超出的時間是

44、70X8+720 8,由于超出的每小時的工資是3X=元，那么超時工資11 11就是70X8+720 8=兀。11評注：設(shè)分針的速度是 1,那么時針的速度是 ，再設(shè)x分時針和分針重合，分針比時針多走60個格，故有121720(1 )x 60,x分鐘。12113. 江上有甲、乙兩個碼頭，相距15千米，甲碼頭在乙碼頭的上游。一艘貨船和一艘游船同時分別從甲碼頭和乙碼頭出發(fā)向下游行駛。5小時后貨船追上游船。又行駛了1小時，貨船上有一物品落入江中，6分鐘后貨船上的人發(fā)現(xiàn)并掉轉(zhuǎn)船頭去找，找到時恰好又和游船相遇。那么游船在靜水中的速度為每小時千米；解：1貨船比游船每小時快 15+5 = 3千米，當(dāng)相遇后1小時

45、，游船與貨船的距離是1X3= 3千米，當(dāng)貨船返回到物品時的時間還是 6分鐘，那么游船船走 6X2= 12分鐘時，那么游船12分鐘的順?biāo)烦碳由县洿嫠?6分鐘的路 程恰好是貨船6分鐘順?biāo)烦碳由?3千米的路程，即12 V乙V水 V甲V水=色 V甲V水3,解得V乙=1560 60 60千米/小時。評注：注意到當(dāng)一個物體從一個船上掉入水中，那么船是順?biāo)俣龋矬w是水速，相當(dāng)于船在靜水中的速度；而返回尋找物體時，船是逆水速度，物體還是水速，兩者速度和還是船在靜水中速度。即船來回的時間是相同的。4. 某校和某工廠之間有一條公路，該校下午2時派車去該廠接某勞模來校作報告，往返需用1小時。這位勞模在下午1

46、時便離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的汽車，便立刻上車駛向?qū)W校，在下午2時40分到達(dá)。那么汽車速度是勞模步行速度的 倍；解：汽車走單程需要 60/2=30分鐘，實(shí)際走了 40/2=20分鐘的路程，說明相遇時間是2： 20, 2點(diǎn)20分相遇時，勞模走了 60+20=80分鐘，這段距離汽車要走30-20=10分鐘，所以車速/勞模速度=80/10=8答：汽車速度是勞模步行速度的8倍。5. 甲、乙兩人同時從 A、B兩地出發(fā)，甲每分鐘行 80米，乙每分鐘行60米，兩人在途中 C點(diǎn)相遇。如果甲晚出發(fā)7分鐘，兩人在途中 D處相遇，且A、B中點(diǎn)E到C、D兩點(diǎn)的距離相等，那么 A、B兩地間距離為 米；解：甲晚出

47、發(fā)7分鐘，相當(dāng)于乙先走 7分鐘，這7分鐘，乙走 A 1II B 了DEC60 7= 420米，如果是甲乙和走這段路程，那么需要420 + 80 + 60= 3分鐘，那么第二次比第一次相遇的時間差是7- 3= 4分鐘，4分鐘乙走了 CD，那么CD = 4X60= 240米，第一次兩人的路程差是240米，速度差是 80- 60=20米/分鐘，那么第一次相遇的時間是240吃0= 12分鐘，所以 A、B兩地的距離是12 80 + 60= 1680米。6. 某人騎摩托車以300米/分的速度從始發(fā)站沿公交線出發(fā)，在行駛 2400米時，恰好有一輛公共汽車總始發(fā)站出發(fā)，公交速度500米/分，每站停靠3分鐘，兩站之間要行駛5分鐘，那么一路上摩托車會與公共汽車遇見 次；解：摩托車與總站相距 2400米的時候，遇見10次。7. 一輛客車和一輛面包車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)相向而行。客車每小時行駛32千米，面包車每小時行駛40千米，兩車分別到達(dá)乙地和甲地后，立即返回出發(fā)地點(diǎn)，返回時的速度，客車每小時增加8千米，面包車每小時減少5千米。兩次相遇處相距 70千米，那么面包車比客車早返回出發(fā)地 小時；面包峑第一次緡事H二決相豪I 1B點(diǎn)解：客車與面包車速度比為 32 : 40 4: 5,設(shè)AB為1,那么AC 4 ,9CB 5，當(dāng)面包車到達(dá)A，客車距B點(diǎn)54