離散數(shù)學(xué)環(huán)與域

1、2022-4-102022-4-10Ring（環(huán)） and （域）FieldsChapter 62022-4-106.1 定義及基本性質(zhì) (1) 6.1.1 環(huán) 假設(shè)假設(shè) 是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中，是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中，+和和 * 都是集合都是集合 A 上的二元運(yùn)算，如果滿足：上的二元運(yùn)算，如果滿足：（1） 是交換群（是交換群（Abel群）；群）；（2） 是半群；是半群；（3） * 對(duì)對(duì)+ 是可分配的；是可分配的；則稱則稱 是一個(gè)環(huán)是一個(gè)環(huán)(Ring)。6.1 定義及基本性質(zhì) (1) 6.1.1 環(huán)例 是一個(gè)環(huán)。是一個(gè)環(huán)。例 是一個(gè)環(huán)。是一個(gè)環(huán)。例 是一個(gè)環(huán)。是一個(gè)環(huán)。 是是Abel群。群。 是是

2、半群。群。 對(duì)對(duì)+ 是是可分配的可分配的; 整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán)例是一個(gè)環(huán)。是一個(gè)環(huán)。 模模m剩余環(huán)。剩余環(huán)。5例例 n階整數(shù)矩陣所成集合階整數(shù)矩陣所成集合 (Z)n ,關(guān)于矩陣的加法關(guān)于矩陣的加法與乘法作成一個(gè)環(huán)與乘法作成一個(gè)環(huán)n階有理數(shù)矩陣集合階有理數(shù)矩陣集合(Q)n，n階實(shí)數(shù)矩陣集合階實(shí)數(shù)矩陣集合 (R)n, 在矩陣加法與乘法運(yùn)算下也均構(gòu)成環(huán)在矩陣加法與乘法運(yùn)算下也均構(gòu)成環(huán)。例例 x的一切整（有理、實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式所成集的一切整（有理、實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式所成集合合Zx（Qx，Rx）在多項(xiàng)式加法與乘法運(yùn)）在多項(xiàng)式加法與乘法運(yùn)算下構(gòu)成環(huán)算下構(gòu)成環(huán)6例設(shè)i是虛數(shù)單位，即i 2 1，令Z（i）=a + bia

3、，bZ則 是一個(gè)環(huán)。通常稱作高斯環(huán)2022-4-106.1 定義及基本性質(zhì) (2) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì) 假設(shè)假設(shè) 是一個(gè)環(huán)。是一個(gè)環(huán)。（1）因?yàn)橐驗(yàn)槭鞘茿bel群，所以群，所以+滿足滿足結(jié)合性、交換性、消去律，結(jié)合性、交換性、消去律，中有中有單位元。單位元。 2022-4-10 約定：約定：an = a+a+a = na； 對(duì)對(duì)a,bA, (a+b)n = na+nb; am+n = am+an = (m+n)a; amn = (am)n = n(ma)。 6.1 定義及基本性質(zhì) (3) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì)2022-4-106.1 定義及基本性質(zhì) (4) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì)（2）假設(shè)假設(shè)

4、 e 是是的單位元，對(duì)的單位元，對(duì)a,b,cA有有： a * e = e * a = e (0*a=a*0=0) , +單位元0，是 的零元2022-4-106.1 定義及基本性質(zhì) (4) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì)（2）假設(shè)假設(shè) e 是是的單位元，對(duì)的單位元，對(duì)a,b,cA有有： a * b-1 = a-1 * b = (a*b)-1 例 , +單位元0，是 的零元2 3-1 = 2-1 3 = (2 3)-1 =-62022-4-106.1 定義及基本性質(zhì) (4) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì)（2）假設(shè)假設(shè) e 是是的單位元，對(duì)的單位元，對(duì)a,b,cA有有： a-1 * b-1 = a * b例 , +

5、單位元0，是的零元2-1 3-1 = 2 3 =62022-4-106.1 定義及基本性質(zhì) (4) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì)（2）假設(shè)假設(shè) e 是是的單位元，對(duì)的單位元，對(duì)a,b,cA有有： a*(b+c-1) = (a*b)+(a*c)-1 (b+ c-1) * a = (b*a)+(c*a)-16.1 定義及基本性質(zhì) (4) 6.1.2 環(huán)的性質(zhì)（2）假設(shè)假設(shè) e 是是的單位元，對(duì)的單位元，對(duì)a,b,cA有有： a * e = e * a = e 0a a00 a * b-1 = a-1 * b = (a*b)-1 a(b)(a )b (a b) a-1 * b-1 = a * b ; (a)

6、(b) ab a*(b+c-1) = (a*b)+(a*c)-1 a（bc） a ba c (b+ c-1) * a = (b*a)+(c*a)-12022-4-10例例 1 ： 假 設(shè)： 假 設(shè) 是 一 個(gè) 二 階 群 ， 則是 一 個(gè) 二 階 群 ， 則是一個(gè)是一個(gè)Klein群。群。 * 記為e, 記為a, 記為b, 記為c,2022-4-10是是Klein四元群。四元群。K=e,a,b,c; “.”運(yùn)算定義如下，則運(yùn)算定義如下，則是是環(huán)環(huán)。 e c c b a c c a b b a a b a e e e * a e b c c e b 2022-4-10（2）是半群（封閉、可結(jié)合）是

7、半群（封閉、可結(jié)合） x x，y y，z z K 有有(x . y) . z=x .( y . z)若若z=e或或z=b 則則(x . y) . z=e=x .( y . z) 若若z=a或或z=c 則則(x . y) . z=x . y=x .( y . z)所以所以 是半群是半群*對(duì)對(duì).可分配可分配（1）是是Abel群群 e c c b a c c a b b a a b a e e e * a e b c c e b 2022-4-10 .對(duì)對(duì)* 是可分配是可分配(y * z) .x=( y *x).(z*x) ; x.(y * z) =(x* y).(x*z) 若若x=e或或x=b 則

8、則(y * z) .x=e=e.e=( y *x).(z*x)若若x=a或或x=c 則則(y * z) .x=y*z=( y *x).(z*x)同理：同理：x.(y * z) =(x* y).(x*z) 所以所以是是環(huán)環(huán) e c c b a c c a b b a a b a e e e * a e b c c e b 2022-4-10例例2：s是非空集合，是非空集合，P(s)是冪集，在是冪集，在P(s)上定義二元運(yùn)上定義二元運(yùn)算算和*，則則是是環(huán)環(huán)。 A+B = x | xS(xAxB)x A BA*B = A B A ，B P(s)（1）封閉，）封閉，a+a,b=b , 可結(jié)合，可結(jié)合，

9、 (a+a,b)+c=a+(a,b+c) , 可交換可交換, a+a,b=a,b+a , 單位元，單位元， 逆元，逆元，a+a= ,a自身為逆元自身為逆元, 是是abel群群（2）是半群，是半群， 可結(jié)合可結(jié)合 (a a,b) a,b,c=a (a,b a,b,c)(3) 對(duì)對(duì)+可分配可分配 a (b+a,b)=a b+a a,bS=a，b，c， P(s)=，a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c, A ，B P(s)例例3：證明任一環(huán)的同態(tài)象也是一環(huán)。證明任一環(huán)的同態(tài)象也是一環(huán)。證明證明: 設(shè)設(shè) 是一環(huán)是一環(huán),且且 是關(guān)于同態(tài)是關(guān)于同態(tài)映射映射f的同態(tài)象。的同態(tài)象。由由 是是Abel

10、群，易證群，易證 也是也是Abel群。群。是是半群，易證半群，易證 也是半群。也是半群。現(xiàn)只需證：現(xiàn)只需證： 對(duì)對(duì) 是可分配的。是可分配的。3 ,2 ,1,)(:使得,則必有相應(yīng)的),(,321321ibafaaaAfbbbii)()()()()()()()()()()()()()()()()(3121312131213121321321321321bbbbafafafafaafaafaaaafaaafaafafafafafbbb同理可證同理可證)()()(1312132bbbbbbb,)(Af因此因此 也是也是環(huán)環(huán)。2022-4-106.1 定義及基本性質(zhì) (5) 6.1.3 由 * 運(yùn)算確

11、定的幾種環(huán)（1）在環(huán)在環(huán) 中，如果中，如果 是含幺是含幺半群，并且半群，并且 e 是單位元，則稱是單位元，則稱 e 為環(huán)的單位為環(huán)的單位元。這時(shí)稱元。這時(shí)稱 A 為有為有單位元的環(huán)單位元的環(huán)（有有/含幺環(huán)含幺環(huán)）。）。如果元素如果元素 a 在在 中有逆元，則在含有單中有逆元，則在含有單位元的環(huán)中，該元素的逆也稱為環(huán)中元素的逆。位元的環(huán)中，該元素的逆也稱為環(huán)中元素的逆。 6.1 定義及基本性質(zhì) (6) 6.1.3 由 * 運(yùn)算確定的幾種環(huán)（2）如果環(huán)中只含有一個(gè)元素，此時(shí)該元素如果環(huán)中只含有一個(gè)元素，此時(shí)該元素應(yīng)該是應(yīng)該是 中的單位元，當(dāng)然也是中的單位元，當(dāng)然也是 中的零元，所以這種環(huán)稱為中的零

12、元，所以這種環(huán)稱為零環(huán)零環(huán)。環(huán)環(huán) A 稱為零環(huán)稱為零環(huán). 24定理設(shè)定理設(shè)A為有單位元的環(huán)，且不只含一個(gè)元素，為有單位元的環(huán)，且不只含一個(gè)元素， 則則(加法單位元，加法單位元， 乘法單位元乘法單位元)證明若，則證明若，則 a A，a = a a .故故A只含一個(gè)元素，矛盾只含一個(gè)元素，矛盾 以后提到有單位元的環(huán)時(shí)，總指非零環(huán)以后提到有單位元的環(huán)時(shí)，總指非零環(huán)因此因此總成立總成立例例3：全體整數(shù)按普通加法和普通乘法構(gòu)成有單位元的：全體整數(shù)按普通加法和普通乘法構(gòu)成有單位元的環(huán)。全體偶數(shù)按普通加法和普通乘法構(gòu)成環(huán)，但無(wú)單位環(huán)。全體偶數(shù)按普通加法和普通乘法構(gòu)成環(huán)，但無(wú)單位元。元。摸摸m的全體剩余類構(gòu)成

13、什么環(huán)？的全體剩余類構(gòu)成什么環(huán)？ 如：如：是一個(gè)環(huán)；是一個(gè)環(huán)； 是一個(gè)環(huán)。是一個(gè)環(huán)。實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體按普通加法和普通乘法構(gòu)成什么環(huán)？實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體按普通加法和普通乘法構(gòu)成什么環(huán)？全體全體n階方陣按矩陣的加法和乘法構(gòu)成什么環(huán)？階方陣按矩陣的加法和乘法構(gòu)成什么環(huán)？（3）設(shè)設(shè) 是環(huán)，當(dāng)是環(huán)，當(dāng) 是可交換半是可交換半群時(shí)，稱群時(shí)，稱 是是可交換環(huán)可交換環(huán)。設(shè)A為有的環(huán)，aA，如果a在A， 中有逆元，則稱a為A中的可逆元并把a(bǔ)在半群A， 中的逆元的逆元，稱為a在環(huán)A中的逆元，用a -1表示有的環(huán)A中所有可逆元在乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群（？），該群記為A*，并稱為環(huán)A的乘法群. 6.1 定義及基本性質(zhì)

14、2022-4-106.2.1 零因子 設(shè)設(shè) 是環(huán)，如果存在是環(huán)，如果存在 a,bA，這里這里 a ，b ，但但 a * b = ，則稱則稱 a 為為 A 中的左零因子，中的左零因子，b 為為 A 中的右零因子，中的右零因子，左、右零因子統(tǒng)稱為零因子。左、右零因子統(tǒng)稱為零因子。 6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 (1) 6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 (2) 6.2.1 零因子例如：例如：是一個(gè)環(huán)。其中是一個(gè)環(huán)。其中,+4,4 的運(yùn)算表如下：的運(yùn)算表如下： 3 2 1 3 2 1 0 0 0 +4 1 2 3 1 2 3 2 3 0 3 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 2 3 1

15、2 3 1 2 3 2 0 2 3 2 1 4是否有零因子？是否有零因子？242=0在中有零因子？中有零因子？263=02022-4-106.2 整環(huán)、除環(huán)和域 (2) 6.2.1 零因子例如例如 是一個(gè)環(huán)。其中是一個(gè)環(huán)。其中,+5,5 的運(yùn)算表如下：的運(yùn)算表如下：000000000512312312324131444043204221無(wú)零因子。無(wú)零因子。30例對(duì)于剩余環(huán)例對(duì)于剩余環(huán)Zm，m，m ，證明證明 若若m不是不是素?cái)?shù)，則素?cái)?shù)，則Zm中必存在零因子中必存在零因子證明證明：Zm中的零元為因?yàn)橹械牧阍獮橐驗(yàn)閙不是素?cái)?shù)不是素?cái)?shù)，故存在故存在整數(shù)整數(shù)n1，n2，使使mn1n2，n1n2m因此因

16、此 n1，n2，但但n1mn2. 即即n1，n2是是Zm的一對(duì)零因子的一對(duì)零因子 31例用例用 (R)2表示階實(shí)數(shù)矩陣集合，表示階實(shí)數(shù)矩陣集合， 表示矩陣的表示矩陣的加法與乘法，則加法與乘法，則 (R)2， 是一個(gè)環(huán)。是一個(gè)環(huán)。 000010000001存在一對(duì)零因子存在一對(duì)零因子。6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 2022-4-106.2 整環(huán)、除環(huán)和域 6.2.1 零因子 當(dāng)一個(gè)環(huán)中不含有零因子時(shí)，稱它為無(wú)零因子環(huán)。即對(duì)當(dāng)一個(gè)環(huán)中不含有零因子時(shí)，稱它為無(wú)零因子環(huán)。即對(duì)任意的任意的 a,bA，若若 a * b = ，則必有則必有 a = 或或 b = 。定理定理1 1： 設(shè)設(shè) 是無(wú)零因子的環(huán)，則是無(wú)零

17、因子的環(huán)，則 * 在在 A 上消去律成上消去律成立。立。a*c=b*c 或c*a=c*b 得 a=b ;反之亦然。反之亦然。33證明證明設(shè)設(shè)R中無(wú)零因子，中無(wú)零因子， c0, ， 如果如果 acbc，則則 acbc， （ab）c. 由于由于c，R中無(wú)零因子，故中無(wú)零因子，故 ab,即即a b. 同理同理cacb ab ;反之，設(shè)環(huán)反之，設(shè)環(huán)R中乘法消去律成立，中乘法消去律成立，若若R中有零因子中有零因子a，b，使得，使得 ab a，由消去律得由消去律得 b，矛盾，矛盾故故R中必?zé)o零因子中必?zé)o零因子 6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 2022-4-106.2 整環(huán)、除環(huán)和域 6.2.2 整環(huán) 設(shè)設(shè) 是是無(wú)

18、零因子無(wú)零因子環(huán)環(huán)，并且是并且是可交換可交換的的含含幺幺環(huán)環(huán)，則稱它為整環(huán)。則稱它為整環(huán)。 即即 是環(huán)，并且是環(huán)，并且 有單位元，有單位元，* 運(yùn)算可交換，對(duì)運(yùn)算可交換，對(duì) a,b A，若，若 a*b = ，則必有，則必有 a = 或或 b = 。2022-4-106.2 整環(huán)、除環(huán)和域 例例4：全體有理數(shù)按普通加法和普通乘法構(gòu)成無(wú)零因子的交：全體有理數(shù)按普通加法和普通乘法構(gòu)成無(wú)零因子的交換環(huán)，所以是整環(huán)。換環(huán)，所以是整環(huán)。全體實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)？全體實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)？36例例 整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán)Z， 是一個(gè)整環(huán)，是一個(gè)整環(huán)，高斯環(huán)高斯環(huán)Zi， 是一個(gè)整環(huán)是一個(gè)整環(huán)例例 若若p是一個(gè)素?cái)?shù)，則是一個(gè)素?cái)?shù)，則Zp，p

19、，p 是一個(gè)整環(huán)是一個(gè)整環(huán)（若（若ipj=，則ij，因而因而 pij故故pi 或或 pj，i 或或 j）Zn，n，n 是整環(huán) n為素?cái)?shù) 6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 例例4：s是集合，是集合，P(s)是冪集，在是冪集，在P(s)上定義二上定義二元運(yùn)算元運(yùn)算和*，則則不是整環(huán)。不是整環(huán)。 A+B = x | x S (x A x B) x A BA B = A B因?yàn)橐驗(yàn)?S 是是 中的單位元，并且中的單位元，并且S，若若 S1是是S的任意真子集的任意真子集（S1 S ）,并且并且S1， 則則S2 = S-S1 但是但是S1 S2 =S1 S2=所以所以中含有中含有一對(duì)一對(duì)零因子零因子S1,S2。故故

20、 不是整環(huán)不是整環(huán)。 A ，B P(s)2022-4-10例例5：證明證明 是一個(gè)整環(huán)，其中運(yùn)算是一個(gè)整環(huán)，其中運(yùn)算 和和 定義如定義如下下圖。圖。 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 例例6：設(shè)設(shè) ,都是環(huán)，都是環(huán)，A1 A2 是環(huán)是環(huán)的直積定義為：的直積定義為：A1 A2 =|a A1,b A2。在在 A1 A2 上定義運(yùn)算上定義運(yùn)算 和和 如下：如下：對(duì)任意的對(duì)任意的, A1 A2，則，則 = =證明：證明： （1）構(gòu)成環(huán)；構(gòu)成環(huán)； （2）若）若 A1,A2 都是有單位元的環(huán)，則都是有單位元的環(huán)，則 A1 A2也是嗎？也是嗎？ （3）若）若 A1,A2 都是無(wú)

21、零因子的環(huán)，則都是無(wú)零因子的環(huán)，則 A1 A2也是嗎？也是嗎？2022-4-106.2 整環(huán)、除環(huán)和域 6.2.3 除環(huán)、域除除環(huán) 假設(shè)假設(shè) 是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中，是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中，+和和 * 都是集合都是集合 A 上的二元運(yùn)算，如果滿足：上的二元運(yùn)算，如果滿足：（1） 是交換群（是交換群（Abel群）；群）；（2）是群；是群；（3） * 對(duì)對(duì)+ 是可分配的；是可分配的；則稱則稱 是一個(gè)是一個(gè)除除環(huán)。環(huán)。2022-4-106.2 整環(huán)、除環(huán)和域 域域 假設(shè)假設(shè) 是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中，是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中，+和和 * 都是集合都是集合 A 上的二元運(yùn)算，如果滿足：上的二元運(yùn)算，如果滿足：（1

22、） 是交換群（是交換群（Abel群）；群）；（2）也也是交換群（是交換群（Abel群）群） ；（3） * 對(duì)對(duì)+ 是可分配的；是可分配的；則稱則稱 是一個(gè)是一個(gè)域域。42除環(huán),域的另一表示設(shè)設(shè)R是一個(gè)有的環(huán)，是一個(gè)有的環(huán)， , 如果如果 ， 是一個(gè)群，則稱是一個(gè)群，則稱R為除環(huán)，為除環(huán)，如果如果 ， 是一個(gè)可交換群，則稱是一個(gè)可交換群，則稱R為域?yàn)橛?RRRR（）有單位元的環(huán)（）有單位元的環(huán)R是除環(huán)是除環(huán)（）有單位元的環(huán)（）有單位元的環(huán)R是域是域 R是交換環(huán)是交換環(huán),且且R中非零元素中非零元素 均可逆均可逆R中非零元的逆元都存在中非零元的逆元都存在R構(gòu)成乘法群構(gòu)成乘法群 R* = R 043例

23、例 Q， ，R， 均是域，分別稱為有均是域，分別稱為有理數(shù)域和實(shí)數(shù)域理數(shù)域和實(shí)數(shù)域6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 ,|22QQbabaQ 2例例 令令 ; ，為通常數(shù)的加法和為通常數(shù)的加法和乘法，則乘法，則 ， 是域是域分析：分析： Q，是交換群；是交換群； Q-0， 是交換群是交換群對(duì)可分配，所以是域?qū)煞峙?，所以是域分析：分析?R ，是交換群；是交換群； R -0， 是交換群是交換群對(duì)可分配，所以是域?qū)煞峙洌允怯?4定理2：設(shè)設(shè)R是一個(gè)無(wú)零因子的有限環(huán)，且是一個(gè)無(wú)零因子的有限環(huán)，且R，則，則R必必 為為除環(huán)除環(huán)6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 證明需要證明證明需要證明R-0， 為群為群由于由于R，故

24、，故R-0非空，非空，又，又，R中不含零因子，故中不含零因子，故R-0對(duì)對(duì) 封閉，封閉，從而從而 R-0 ， 必構(gòu)成半群，必構(gòu)成半群， 且由定理知，在該半群中消去律成立，從而且由定理知，在該半群中消去律成立，從而 R-0 ， 是一個(gè)滿足消去律的有限半群，故必為群是一個(gè)滿足消去律的有限半群，故必為群45推論有限整環(huán)必為域推論有限整環(huán)必為域?yàn)槭裁矗繛槭裁?？由于由于Zp是一個(gè)有限整環(huán)，知是一個(gè)有限整環(huán)，知Zp為域（這個(gè)域稱為素域）為域（這個(gè)域稱為素域）推論若推論若p為素?cái)?shù)為素?cái)?shù)，則則Zp，p，p 為域?yàn)橛?.2 整環(huán)、除環(huán)和域 定理的推論。定理的推論。 設(shè)設(shè)P為素?cái)?shù)，則代數(shù)系統(tǒng)為素?cái)?shù)，則代數(shù)系統(tǒng) 為

25、域?yàn)橛?pppZp 對(duì)對(duì)p滿足分配率滿足分配率,pp所以所以 滿足滿足交換交換律。律。所以所以 滿足結(jié)合律滿足結(jié)合律。,pp又有又有 ( ) ()( )( )pppppppabcabcabcabacabacabac證明證明:因?yàn)閷?duì)任意的因?yàn)閷?duì)任意的 , , pabcZ ( ) ()() ( ) ppppppabcab cab ca bca bcabc有有 ( ) ()() ( ) ppppppabcabcabcabcabcabc又有又有 ppababbaba ppaba bb aba又又因?yàn)閷?duì)因?yàn)閷?duì)0是關(guān)于是關(guān)于 的幺元；對(duì)任意的的幺元；對(duì)任意的 ， 是其逆元。是其逆元。p paZppaZ,p

26、pZ所以所以 是是abel群，群， 是交換環(huán)。是交換環(huán)。,pppZ由由 運(yùn)算的定義可知運(yùn)算的定義可知1是關(guān)于是關(guān)于 的幺元。的幺元。pp而且對(duì)于而且對(duì)于 , pabZ若若 則則p|ab,因?yàn)橐驗(yàn)镻是素?cái)?shù)，所以必有是素?cái)?shù)，所以必有p|a 或或p|b 0paaab即即a=0或或b=0,那么那么 中沒(méi)有零因子，中沒(méi)有零因子， ,pppZ所以所以, 是整環(huán)。而且為有限整環(huán)。是整環(huán)。而且為有限整環(huán)。,pppZ所以所以, 是域。是域。,pppZ48設(shè)設(shè)F是一個(gè)域，若是一個(gè)域，若b，可將，可將b1寫成寫成 ，b1 a（或（或ab1 ）寫成）寫成 ，在這種記號(hào)下，有以下性質(zhì)成立，在這種記號(hào)下，有以下性質(zhì)成立（

27、）設(shè)（）設(shè)b，d，則，則 ad bc（）設(shè)（）設(shè)b，d，則，則 .b1abdcbabdbcaddcba6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 49（）設(shè)b，d，則.（）設(shè)b，c，d，則. bdacdcbabcaddcba/6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 解：域：解：域：是Abel群， 也是Abel群(1)A=x|x 0 0,x Z Z沒(méi)有加法逆元，所以不是域沒(méi)有加法逆元，所以不是域 整環(huán)整環(huán)除環(huán)除環(huán)域域不一定不一定:條件條件1不一定：條件不一定：條件2不一定不一定:條件條件4不一定不一定:條件條件3一定一定一定一定整環(huán)、除環(huán)和域 6.2 整環(huán)、除環(huán)和域 6.2.3整環(huán)、域例例 證明：域一定是整環(huán)，域一定是除環(huán)。證明：

28、域一定是整環(huán)，域一定是除環(huán)。 是是域。域。則則(1)(1)是是AbelAbel群；群；(2)(2)A-e, 也是也是AbelAbel群；群；(3)(3)* *對(duì)對(duì)+ +可可分配分配是否滿足構(gòu)成整環(huán)的條件：是否滿足構(gòu)成整環(huán)的條件： (1)(1)是是AbelAbel群；群；(2)(2)A, 是半群（封閉、可結(jié)合）是半群（封閉、可結(jié)合）, ,且含幺元、無(wú)零因子、且含幺元、無(wú)零因子、可交換?？山粨Q。A-e, 是是AbelAbel群，所以群，所以A, 封閉、可結(jié)合，含幺元；封閉、可結(jié)合，含幺元；且且* *可交換可交換A, 無(wú)零因子。無(wú)零因子。若存在零因子即若存在零因子即a a e,be,b e e 但但

29、a a* *b=eb=e，則有則有a a* *b=e=ab=e=a* *e e 由消去率的由消去率的b b=e(=e(矛盾矛盾) )域一定是整環(huán)，但整環(huán)不一定是域。域一定是整環(huán)，但整環(huán)不一定是域。 整環(huán)不一定是域。因?yàn)檎h(huán)不一定是域。因?yàn)橹胁灰欢ūＷC任意元素的逆元存在也就是說(shuō)不一定構(gòu)成Abel群。滿足什么條件的整環(huán)是域滿足什么條件的整環(huán)是域? （1）A-e中任意元素的逆元都存在的整環(huán)是域整環(huán)是域 或者(條件條件4 ?) （2）可交換的除環(huán)是域是域(條件條件3) 條件條件4 ? 有限整環(huán)必是域。有限整環(huán)必是域。56域的特征域的特征 素域素域 定義設(shè)F是一個(gè)域，S F，若S在F的加法與乘法運(yùn)算下也

30、構(gòu)成域，則稱S為F的子域，F(xiàn)為S的擴(kuò)域（或擴(kuò)張）若S是F的子域，則S，是F，的子群，故S，S*， 是F*， 的子群（其中，S*S，F(xiàn)*F），因此有 S F的任意的任意子域必含子域必含F(xiàn)的的（加法幺元），（加法幺元）， （乘法幺元）（乘法幺元）57域的特征域的特征 素域素域 定理設(shè)F， 是一個(gè)域，則：（）在加法群F，中，每個(gè)非零元都具有同樣的周期（階）（）如果F，中非零元素的周期為有限數(shù)p，則p必為素?cái)?shù)58若若p=5為素?cái)?shù)為素?cái)?shù)，則則Z5，5，5 為域?yàn)橛蛉菀卓闯鋈菀卓闯鯶5中非零元的加法周期為中非零元的加法周期為5，其它非，其它非零元素的周期零元素的周期|2|=|3|=|4|=5若若p=7為素

31、數(shù)，則為素?cái)?shù)，則Z7，7，7 為域?yàn)橛蛉羧魀=6不為素?cái)?shù)，則不為素?cái)?shù)，則Z6，6，6 為環(huán)為環(huán) |2|=3,|3|=259域的特征域的特征 素域素域 證明：（1）aF，設(shè)a，用e表示F的單位元（+/*？），則：naaaa eaeaea（eee）a（ne）a由于a，且域中無(wú)零因子，故 若：na( an=0)（ne）ane( en=0)故，a的加法周期與單位元e的周期相同 60（）設(shè)F中非零元素的周期為有限數(shù)p，則p 如果P不為素?cái)?shù)即 ppp，ppp，則 pe（p1p2）ep1（p2e）(p1e)(p2e)由pe知 (p1e)(p2e) ，由于域F中無(wú)零因子， 因此(p1e)或(p2e) ， e的

32、周期為p或p與e的周期為p矛盾故p必為素?cái)?shù) 域的特征域的特征 素域素域 61定義設(shè)F， 是一個(gè)域，若F，中非零元的周期為有限數(shù)p，則稱域F的特征為p若F，中非零元的周期為，則稱域F的特征為 域F的特征或者為素?cái)?shù)或者為域的特征域的特征 素域素域 62例設(shè)p是素?cái)?shù)，則模p剩余類環(huán)Zp是一個(gè)域，Zp的特征為p證明容易看出Zp中單位元的加法周期為p，故知Zp的特征為p例有整數(shù)域Z的特征為證明因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，nn故的加法周期為，故Z的特征為63定理S是F的子域，則S與F具有相同的特征證明：S與F的運(yùn)算相同，具有相同的，1,64定理n元有限域的特征必為素?cái)?shù)p，且pn證明若F是n元有限域，則F，是n階群，又因?yàn)?，1都在群F，中