直線與圓問題研究

1、直線與圓問題研究直線與圓問題研究杭州第十四中學(xué)杭州第十四中學(xué) 馬茂年馬茂年與圓有關(guān)的一些問題與圓有關(guān)的一些問題圓的定義圓的定義 為為定定值值為為定定點(diǎn)點(diǎn)為為動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)ROPRPO,11 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-x0)2+(y-y0)2=R2圓心：圓心：C(x0,y0) ,半徑：半徑：R)(sincos00為參數(shù)參數(shù)方程RyyRxx圓心在原點(diǎn)的圓方程圓心在原點(diǎn)的圓方程x2+y2=R2 , C(0,0) , 半徑半徑R)(sincos:為為參參數(shù)數(shù)參參數(shù)數(shù)方方程程 RyRx切點(diǎn)為切點(diǎn)為(x1,y1)的切線方程的切線方程:x1x+y1y=R2切點(diǎn)為切點(diǎn)為(Rcos,Rsin)的切線方的切線方程程

2、:xcos+ysin=R21kRkxyk的切線方程已知斜率為圓心在原點(diǎn)的圓方程圓心在原點(diǎn)的圓方程 x2+y2=R2 , C(0,0) , 半徑半徑R 切點(diǎn)弦切點(diǎn)弦:自點(diǎn)自點(diǎn)(x0,y0)引曲線的兩切引曲線的兩切線線,其切點(diǎn)的連線稱為點(diǎn)其切點(diǎn)的連線稱為點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于此曲關(guān)于此曲線的切點(diǎn)弦線的切點(diǎn)弦.圓心在原點(diǎn)的圓方程：圓心在原點(diǎn)的圓方程： x2+y2=R2 , C(0,0) , 半徑半徑R 點(diǎn)點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于圓關(guān)于圓x2+y2=R2的切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為弦方程為:x0 x+y0y=R2 .圓的一般方程圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0FEDrEDC42221,2,2半徑圓心 =D

3、2+E2-4F，當(dāng)，當(dāng)0時(shí)，方程表示時(shí)，方程表示實(shí)圓；實(shí)圓； 0時(shí)，表示點(diǎn)圓；時(shí)，表示點(diǎn)圓； 0時(shí)，時(shí)，表示虛圓表示虛圓(無軌跡）。無軌跡）。圓的一般方程圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=00F2yyE2xxDyyxx:y,x111111的切線方程切點(diǎn)為FEyDxyxPP:,P,y,xP002020101000長為切線切點(diǎn)為引圓之切線自根軸與共軸圓束根軸與共軸圓束 到兩不同心的已知圓到兩不同心的已知圓 x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)的切線長相等的點(diǎn)的軌跡稱為此圓的根的切線長相等的點(diǎn)的軌跡稱為此圓的根軸軸.共根軸的圓束稱為共軸圓束共根軸的圓束稱為共軸圓束.根軸方程根軸

4、方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.共軸圓束方程共軸圓束方程: x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (-1).問題（問題（1）直線與圓位置關(guān)系探求直線與圓位置關(guān)系探求題組（題組（1）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系例例1 直線直線m：x=1，圓，圓C：x2+y2=1， 位置關(guān)系。位置關(guān)系。例例2 直線直線m：y=2，圓，圓C：x2+y2=4， 位置關(guān)系。位置關(guān)系。相切相切相切相切問題（問題（1） 直線與圓位置關(guān)系探求直線與圓位置關(guān)系探求題組（題組（2）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系）：試確定下列直線與圓

5、的位置關(guān)系例例3 直線直線m：x=2，圓，圓C：x2+y2=1， 位置關(guān)系。位置關(guān)系。例例4 直線直線m：y=4，圓，圓C：x2+y2=4， 位置關(guān)系。位置關(guān)系。相離相離相離相離問題（問題（1） 直線與圓位置關(guān)系探求直線與圓位置關(guān)系探求題組（題組（3）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系例例5 直線直線m：x=2，圓，圓C：x2+y2=16， 位置關(guān)系。位置關(guān)系。例例6 直線直線m：y=3，圓，圓C：x2+y2=25， 位置關(guān)系。位置關(guān)系。相交相交相交相交問題（問題（1） 直線與圓位置關(guān)系探求直線與圓位置關(guān)系探求題組（題組（4）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系）：試確定

6、下列直線與圓的位置關(guān)系例例7 直線直線m：x+y=1，圓，圓C：x2+y2=1， 位置關(guān)系。位置關(guān)系。例例8 直線直線m：x+y= ，圓，圓C：x2+y2=1， 位置關(guān)系。位置關(guān)系。相交相交相切相切2問題（問題（1） 直線與圓位置關(guān)系探求直線與圓位置關(guān)系探求題組（題組（5）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系例例9 直線直線m：xcos+ysin=1，R，圓圓 C：x2+y2=1，位置關(guān)系。，位置關(guān)系。拓廣：若拓廣：若A=（x，y） xcos+ysin=1，R，則，則 CuA =。相切相切（x，y）x2+y21問題（問題（1） 直線與圓位置關(guān)系探求直線與圓位置關(guān)系探求

7、題組（題組（6）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系）：試確定下列直線與圓的位置關(guān)系例例10 點(diǎn)點(diǎn)M（x0，y0）是圓）是圓x2+y2=a2（a0）內(nèi)不）內(nèi)不為圓心的一點(diǎn)，則直線為圓心的一點(diǎn)，則直線m：x0 x+y0y=a2，與該圓的，與該圓的位置關(guān)系是。位置關(guān)系是。拓廣拓廣：（：（1）點(diǎn)點(diǎn)M（x0，y0）是圓）是圓x2+y2=a2（a0）上）上一點(diǎn)，則一點(diǎn)，則 直線與圓的位置關(guān)系為直線與圓的位置關(guān)系為 。（2）點(diǎn)）點(diǎn)M（x0，y0）是圓）是圓x2+y2=a2（a0）外一點(diǎn)，）外一點(diǎn)，則則 直線與圓的位置關(guān)系為直線與圓的位置關(guān)系為 。相離相離相切相切相交相交小結(jié)提高小結(jié)提高直線與圓直線與圓位置關(guān)系位

8、置關(guān)系定定 義義理理 解解判判 斷斷核心概念核心概念方法方法(步驟步驟)知識(shí)知識(shí)方法方法思想思想總結(jié)（一）：直線與圓總結(jié)（一）：直線與圓把直線方程代入圓的方程把直線方程代入圓的方程得 到 一 元得 到 一 元 二 次 方 程二 次 方 程計(jì)計(jì) 算算 判判 別別 式式 0, 直直 線線 與與 圓圓 相相 交交 = 0, 直直 線線 與與 圓圓 相相 切切 R, 直直 線線 與與 圓圓 相相 離離 d = R, 直直 線線 與與 圓圓 相相 切切 d R, 直直 線線 與與 圓圓 相相 交交問題（問題（2）動(dòng)圓圓心軌跡問題動(dòng)圓圓心軌跡問題題組（題組（7）：試求同時(shí)與定直線）：試求同時(shí)與定直線m和定

9、圓和定圓C都相切的都相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程動(dòng)圓圓心的軌跡方程例例2 直線直線m：x=0，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動(dòng)圓圓心軌跡方程為。動(dòng)圓圓心軌跡方程為。例例1 直線直線m：x=-2，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動(dòng)圓圓心軌跡方程為。動(dòng)圓圓心軌跡方程為。例例3 直線直線m：x=2，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動(dòng)圓圓心軌跡方程為。動(dòng)圓圓心軌跡方程為。問題（問題（2）動(dòng)圓圓心軌跡問題動(dòng)圓圓心軌跡問題題組（題組（7）：試求同時(shí)與定直線）：試求同時(shí)與定直線m和定圓和定圓C都相切的都相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程動(dòng)圓圓心的軌跡方程例例1 直線直線m：x=-2，圓，圓C：（

10、：（x-2）2+y2=4， 動(dòng)圓圓心軌跡方程為動(dòng)圓圓心軌跡方程為。y2=12（x+1）或）或 y2=4（x-1）問題（問題（2）動(dòng)圓圓心軌跡問題動(dòng)圓圓心軌跡問題題組（題組（7）：試求同時(shí)與定直線）：試求同時(shí)與定直線m和定圓和定圓C都相切的都相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程動(dòng)圓圓心的軌跡方程例例2 直線直線m：x=0，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動(dòng)圓圓心軌跡方程為動(dòng)圓圓心軌跡方程為。y2=8x（x0）或）或y=0（x0，x2）問題（問題（2）動(dòng)圓圓心軌跡問題動(dòng)圓圓心軌跡問題題組（題組（7）：試求同時(shí)與定直線）：試求同時(shí)與定直線m和定圓和定圓C都相切的都相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程動(dòng)圓圓心的軌跡方

11、程例例3 直線直線m：x=2，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動(dòng)圓圓心軌跡方程為動(dòng)圓圓心軌跡方程為。y2=-4（x-3）（）（x2）或）或 y2=4（x-1）（）（x2）小結(jié)提高小結(jié)提高動(dòng)點(diǎn)軌跡動(dòng)點(diǎn)軌跡定定 義義理理 解解求求 法法核心概念核心概念步驟步驟知識(shí)知識(shí)方法方法思想思想總結(jié)（三總結(jié)（三) 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的的要點(diǎn)要點(diǎn) 1. 根據(jù)題目所給條件根據(jù)題目所給條件,建立建立等等量關(guān)系量關(guān)系并討論動(dòng)點(diǎn)并討論動(dòng)點(diǎn)軌跡范圍軌跡范圍； 2. 化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程,應(yīng)考慮是否要加應(yīng)考慮是否要加以條件限制或者加以補(bǔ)充以條件限制或者加以補(bǔ)充,而后確而后確定軌跡；定軌跡； 3. 考慮問題要考

12、慮問題要全面全面，做到，做到仔細(xì)認(rèn)真仔細(xì)認(rèn)真； 4. 題目中出現(xiàn)題目中出現(xiàn)字母字母表示數(shù)時(shí)表示數(shù)時(shí),應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)字母字母加以討論加以討論; 5. 如果題目中要求如果題目中要求動(dòng)點(diǎn)的軌跡動(dòng)點(diǎn)的軌跡,則在解答中除了求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方則在解答中除了求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程外程外,還需要指明這個(gè)方程所表示的還需要指明這個(gè)方程所表示的曲線形狀、位置和大小曲線形狀、位置和大小。如果題目。如果題目中要求動(dòng)點(diǎn)的中要求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程軌跡方程，那么只須，那么只須求出軌跡方程即可。求出軌跡方程即可。 求曲線方程的一般求曲線方程的一般步驟步驟1.1.建建立適當(dāng)?shù)淖⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M M的坐標(biāo)的坐標(biāo)( (x x，

13、y)y)；2.2.寫寫出適合條件出適合條件p p的的點(diǎn)點(diǎn)M M的集合的集合P=M|p(M);P=M|p(M);3.3.用坐標(biāo)用坐標(biāo)表示表示條件條件p(M)p(M)，列出方程，列出方程f(xf(x，y)=0y)=0；4.4.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)方程；方程；5.5.證明證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。上的點(diǎn)。 求與圓求與圓(x 2)2 + y2 = 9相切且與相切且與y軸相軸相切的動(dòng)圓圓心軌跡方程。切的動(dòng)圓圓心軌跡方程。（答案：（答案：y2=10 x+5，y2=-2x+5）拓展提高拓展提高1. 試求過定點(diǎn)且與定圓相切的動(dòng)圓試求過定點(diǎn)且與定圓相切的動(dòng)圓 圓心軌跡。圓心軌跡。2. 試求同時(shí)與兩定圓相切的動(dòng)圓圓試求同時(shí)與兩定圓相切的動(dòng)圓圓心軌跡。心軌跡。1、閱讀作業(yè)：閱讀作業(yè)：通讀教材通讀教材(講義講義)直線與圓有關(guān)的概直線與圓有關(guān)的概 念和知識(shí)點(diǎn)念和知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到復(fù)習(xí)和鞏固達(dá)到復(fù)習(xí)和鞏固。2、書面作業(yè)：書面作業(yè)：見下見下 頁。頁。3、彈性作業(yè)彈性作業(yè)： 上上 課講解中的課講解中的三種情