第五章_剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)_角動(dòng)量守恒定律

1、第五章 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角動(dòng)量守恒定律本章內(nèi)容Contentschapter 55.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述rotation of rigidbody with a fixed axis5.4 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能5.2 角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒angular momentum andlaw of conservation of angular momentum 5.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律law of rotation of rigidbody with a fixed axiswork and energy of rotating ri

2、gidbody目的要求了解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量：了解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量：q q 、w w、a a 理解質(zhì)點(diǎn)、剛體的角動(dòng)量，角動(dòng)量定理及理解質(zhì)點(diǎn)、剛體的角動(dòng)量，角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律。會(huì)用他們來(lái)處理一些較角動(dòng)量守恒定律。會(huì)用他們來(lái)處理一些較簡(jiǎn)單的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題簡(jiǎn)單的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題掌握轉(zhuǎn)動(dòng)定律，能熟練地用他來(lái)處理一些掌握轉(zhuǎn)動(dòng)定律，能熟練地用他來(lái)處理一些較簡(jiǎn)單的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題較簡(jiǎn)單的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題了解剛體的動(dòng)能定理了解剛體的動(dòng)能定理剛體第一節(jié)5 . 1rotation of rigidbody with a fixed axis定軸轉(zhuǎn)動(dòng)描述1.角坐標(biāo)角坐標(biāo)2.角位移角位移3.角速度角速

3、度常量常量靜止勻角速變角速4.角加速度角加速度變角加速常量常量 勻角加速勻角速用矢量表示 或 時(shí)，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右手螺旋定則 的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含P并與轉(zhuǎn)軸垂直）參考參考方向方向剛體中任剛體中任一點(diǎn)一點(diǎn)例rad- -1srad- -2sradrad-1rad s-2rad s勻勻 角角 加加 速速 定定 軸軸 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng)例任意時(shí)刻的任意時(shí)刻的常量常量且且 t = 0 時(shí)時(shí) 得得由由本題知角加速度求角速度、角坐標(biāo)，屬于本題知角加速度求角速度、角坐標(biāo)，屬于前面已經(jīng)學(xué)過(guò)的積分（第二類）問(wèn)題前面已經(jīng)學(xué)過(guò)的積分（第二類）問(wèn)題得得兩邊積

4、分兩邊積分得得即即由由得得兩邊積分兩邊積分例這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中線量線量與與角量角量的基本關(guān)系的基本關(guān)系由由得得對(duì)比剛剛 體體 的的 定定 軸軸 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)直線直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)速度速度加速度加速度位移位移勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)角速度角速度角加速度角加速度角位移角位移勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第二節(jié)5 . 2angular momentum law of conservation of angular momentum 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量rOmv速度速度位矢位矢質(zhì)量質(zhì)量角角夾夾rvrvL大量天文觀測(cè)表明大量

5、天文觀測(cè)表明rmvsin常量常量行星繞日作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)服從行星繞日作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)服從大?。捍笮。篖rmvsin方向：方向：rmv()rpLrmv位矢對(duì)動(dòng)量的叉積位矢對(duì)動(dòng)量的叉積質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理由得兩平行矢量的叉乘積為零兩平行矢量的叉乘積為零即上式又是 力矩力矩其大小的操作定義，微分形式 如果各分力與如果各分力與O點(diǎn)共面，力矩只含正、反兩種方向。可設(shè)順時(shí)針為正點(diǎn)共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)法求合力矩。向，用代數(shù)法求合力矩。即即質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 對(duì)給定參考點(diǎn)對(duì)給定參考點(diǎn) 的的角動(dòng)量的時(shí)間變化率角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩所受的合外力矩等于等于積分形式例如例如， 單擺的角動(dòng)量

6、大小為單擺的角動(dòng)量大小為 L = = mvr, , v 為變量。為變量。 在在 t = = 0 時(shí)從水平位置靜止時(shí)從水平位置靜止釋放，初角動(dòng)量大小為釋放，初角動(dòng)量大小為 L0= = m v0 r = =0； 時(shí)刻時(shí)刻 t 下擺至豎直位置，下擺至豎直位置， 角動(dòng)量角動(dòng)量大小為大小為 L = = m v r 。則此過(guò)程單擺所受的沖量矩大小等于則此過(guò)程單擺所受的沖量矩大小等于 L- -L0= = m v r = = m r 2gr 。即即 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 對(duì)給定參考點(diǎn)對(duì)給定參考點(diǎn) 的的沖量矩沖量矩 等于等于 角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量由由有有稱為稱為 沖量矩沖量矩角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量積分得積分得質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)

7、量守恒根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 若若則則即即常矢量常矢量 若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力的方向始終通過(guò)參考點(diǎn)，其角動(dòng)量守恒。如行星若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力的方向始終通過(guò)參考點(diǎn)，其角動(dòng)量守恒。如行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，以及微觀粒子中與此類似的運(yùn)動(dòng)模型，服從角動(dòng)量守恒定律。繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，以及微觀粒子中與此類似的運(yùn)動(dòng)模型，服從角動(dòng)量守恒定律。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 所受的合外力對(duì)某參考點(diǎn)所受的合外力對(duì)某參考點(diǎn) 的力矩的力矩 為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量為常量（即時(shí)間變化為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量為常量（即時(shí)間變化率率 為為零）。零）。開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律可以證明應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律可以證明開普勒第二

8、定律開普勒第二定律行星與太陽(yáng)的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積行星與太陽(yáng)的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積證明 時(shí)刻時(shí)刻 m 對(duì)對(duì) O 的角動(dòng)量大小為的角動(dòng)量大小為因行星受的合外力總指向太陽(yáng)，角動(dòng)量因行星受的合外力總指向太陽(yáng)，角動(dòng)量 守恒。守恒。瞬間瞬間位矢掃過(guò)的微面積位矢掃過(guò)的微面積則則常量常量故，故，位矢在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等位矢在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等即即（稱為掠面速率）（稱為掠面速率）剛體的角動(dòng)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸0.75直桿勻直細(xì)

9、桿對(duì)中垂軸的勻直細(xì)桿對(duì)中垂軸的勻直細(xì)桿對(duì)端垂勻直細(xì)桿對(duì)端垂軸的軸的質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)心新軸質(zhì)心軸平行移軸定理平行移軸定理對(duì)對(duì)新新軸軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量新軸新軸對(duì)心軸的平移量對(duì)心軸的平移量例如：例如：時(shí)時(shí)代入可得代入可得端圓盤勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的球體其中其中 可看成是許多半徑不同的共可看成是許多半徑不同的共軸簿圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸簿圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 dI 的疊加。的疊加。 距距 O 為為 y 、半徑為、半徑為 r 、微厚為、微厚為 dy 的簿圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的簿圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的密度密度常用

10、公式LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直盤面轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直盤面22I =m R123I =m L1轉(zhuǎn)軸通過(guò)端點(diǎn)與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過(guò)端點(diǎn)與棒垂直剛體的角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理剛體角動(dòng)量守恒由由剛體所受合外力矩剛體所受合外力矩若若則則即即知知回轉(zhuǎn)儀萬(wàn)萬(wàn)向向支支架架回轉(zhuǎn)儀定向原理基基 座座回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體 （轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）使其以角速度使其以角速度 高速旋轉(zhuǎn)高速旋轉(zhuǎn)受合外力矩為零受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。軸摩擦及空氣阻力很小。角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒常矢量常矢量其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向

11、若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響而不會(huì)受基座改向的影響轉(zhuǎn)臺(tái)角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變小則變大，變大，乘積乘積保持不變保持不變，變大則變大則變小。變小。收臂收臂大大小小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂張臂大大小小滑冰花花 樣樣 滑滑 冰冰收臂大小張臂張臂大大小小先使自己先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)收臂收臂大大小小角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變小則變大，變大，乘積乘積保持不變保持不變，變大則變大則變小。變小。共軸系統(tǒng)共軸系統(tǒng)共軸系統(tǒng)若若外外則則常矢量常矢量輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與

12、人系統(tǒng)輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)輪輪人臺(tái)人臺(tái)初態(tài)初態(tài)全靜全靜初初人沿某一轉(zhuǎn)人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子向撥動(dòng)輪子輪輪末態(tài)末態(tài)人臺(tái)人臺(tái)輪輪輪輪末末人臺(tái)人臺(tái)人臺(tái)人臺(tái)初初得得人臺(tái)人臺(tái)人臺(tái)人臺(tái)輪輪輪輪導(dǎo)致人臺(tái)導(dǎo)致人臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)反向轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)畫直升機(jī)直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用兩個(gè)對(duì)用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干（支奴干 CH47)用用 尾尾 漿漿（美洲豹（美洲豹 SA300）（ 海豚海豚 ）例A A、B B兩輪共軸兩輪共軸A A 以以 w wA A 作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)兩輪嚙合后兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w wABAB 以以A A、B B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩

13、后，系為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。初態(tài)角動(dòng)量初態(tài)角動(dòng)量末態(tài)角動(dòng)量末態(tài)角動(dòng)量得得例以子彈和棒為系統(tǒng)以子彈和棒為系統(tǒng)擊入階段擊入階段子彈擊入木棒瞬間子彈擊入木棒瞬間，系統(tǒng)在系統(tǒng)在鉛直位置，受合鉛直位置，受合外力矩為零外力矩為零，角動(dòng)量守恒。，角動(dòng)量守恒。該瞬間之始該瞬間之始該瞬間之末該瞬間之末彈彈棒棒彈彈棒棒彈嵌于彈嵌于棒棒子彈子彈擺擺最最大大轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角木棒木棒上擺階段上擺階段子彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，子彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，非保守內(nèi)力的功為零，由系統(tǒng)動(dòng)能定理非保守內(nèi)力的功為零，由系統(tǒng)動(dòng)能定理外力（重外力（重力）的功力）的功

14、外外上擺末動(dòng)能上擺末動(dòng)能上擺初動(dòng)能上擺初動(dòng)能其中其中聯(lián)立解得聯(lián)立解得例聯(lián)立解得聯(lián)立解得0.5771.861其中其中 球、棒相碰球、棒相碰瞬間瞬間在鉛垂位置，在鉛垂位置，系統(tǒng)受合外系統(tǒng)受合外力矩為零力矩為零，角動(dòng)量守恒。，角動(dòng)量守恒。剛要碰時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量剛要碰時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量剛碰過(guò)后系統(tǒng)角動(dòng)量剛碰過(guò)后系統(tǒng)角動(dòng)量球球棒棒球球棒棒彈碰階段彈碰階段彈碰過(guò)程能量守恒彈碰過(guò)程能量守恒 滿足什么條件時(shí)，小球（視滿足什么條件時(shí)，小球（視為質(zhì)點(diǎn)）擺至鉛垂位置與棒彈碰而為質(zhì)點(diǎn)）擺至鉛垂位置與棒彈碰而小球恰好靜止。直棒起擺角速度小球恰好靜止。直棒起擺角速度勻質(zhì)直棒與單擺勻質(zhì)直棒與單擺小球的質(zhì)量相等小球的質(zhì)量相等兩者共面共

15、轉(zhuǎn)軸兩者共面共轉(zhuǎn)軸水水平平靜靜止止釋釋放放靜靜懸懸彈碰彈碰忽略摩擦忽略摩擦對(duì)擺球、直棒系統(tǒng)對(duì)擺球、直棒系統(tǒng)小球下擺階段小球下擺階段從水平擺到彈碰即將開始，從水平擺到彈碰即將開始，由動(dòng)能定理得由動(dòng)能定理得第三節(jié)5 . 3law of rotation of rigidbody with a fixed axis剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律引言質(zhì)質(zhì) 點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律的運(yùn)動(dòng)定律或或剛體平動(dòng)剛體平動(dòng)F = m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合加速度合加速度有力矩作用時(shí)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？有力矩作用時(shí)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？轉(zhuǎn)動(dòng)定律由由得得或或即即應(yīng)用 勻直細(xì)勻直細(xì)桿一端為桿一端為軸水平靜軸水平靜止釋放，止釋放，

16、求求例aRm1m2m輪軸無(wú)摩擦輪軸無(wú)摩擦輕繩不伸長(zhǎng)輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑輪繩不打滑aG1G2a aa a轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)線線- -角角復(fù)合運(yùn)動(dòng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)m1+ m2+ 聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得m1m2a=gm21g = m1 ( g + a ) = m2 ( g a )m1 gm2 g例Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力恒力F滑輪角加速度滑輪角加速度 a a細(xì)繩線加速度細(xì)繩線加速度 a（A）純轉(zhuǎn)動(dòng)純轉(zhuǎn)動(dòng)（B） 復(fù)合運(yùn)動(dòng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)例m= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mRm1m2m物體從靜止開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪的物體從靜止開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪的 轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)方程m1m2m

17、復(fù)合運(yùn)動(dòng)，復(fù)合運(yùn)動(dòng)，和和分別應(yīng)用牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律分別應(yīng)用牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律m1 g FT1 = m1aFT2 m2 g = m2a( FT1 FT2 ) R = Ia a及及 a = Ra aI = mR221得得a a =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量常量(m1-m2)g(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故故由由R(m1+ m2+ m 2)2 (rad)tG1G2a aaa例短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)q qq q兩勻兩勻直細(xì)桿直細(xì)桿地面地面兩者瞬時(shí)角加速度之比兩者瞬時(shí)角加速度之比213q q1q q1321根據(jù)第

18、四節(jié)5 . 4work and energy of rotating rigidbody力矩的功亦稱力矩的元功亦稱力矩的元功力力的元功的元功做的總功做的總功其瞬時(shí)功率其瞬時(shí)功率轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能I得得該質(zhì)元的動(dòng)能該質(zhì)元的動(dòng)能剛體中任一質(zhì)元?jiǎng)傮w中任一質(zhì)元 的速率的速率對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I力矩的功算例撥動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小撥動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小粗粗 糙糙 水水 平平 面面轉(zhuǎn)軸平放一圓盤平放一圓盤圓盤受總摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩 轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功總摩擦力矩總摩擦力矩 Mr 是是各微環(huán)帶摩擦元力矩各微環(huán)帶摩擦元力矩 d dMMr r 的積分的積分環(huán)帶面積環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩環(huán)帶受摩擦力矩得得剛體的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理