第五章 對策問題

1、第六章 對策問題 1 基本概念 首先，通過一個實際問題來介紹一下有關概念。 例（囚犯難題） 有A,B兩個人隱藏有被盜物品而被捕，現(xiàn)在正分別受警方審訊。此二人都清楚，如果拒不承認，現(xiàn)有的證據(jù)不足以證明他們曾經(jīng)偷盜，而只能以窩藏贓物罪被判處一年監(jiān)禁。二人都招認，將被判監(jiān)禁5年，但若有一人招供而另一人拒不招認，那么供出同伙的人將會獲得釋放，另一個將被判監(jiān)禁10年，把犯人A,B被判刑的幾種可能列表如下： 表 5-1 犯人 B 供認 不供認 犯人A 供認 不供認 5 , 5 10, 0 0 ,10 1 , 1 表中的每對數(shù)字表示根據(jù)犯人采取的行動而被判刑的年數(shù)。A,B兩犯人都希望受到最輕的處罰，但又擔心

2、對方供認，最保險的辦法是承認犯罪，這樣可以避免出現(xiàn)最壞的情況。因此二人都招認了，這樣警方就成功的取得了口供。 以這個簡單的對策為例，我們來介紹一下對策的基本要素。 （1）局中人 具有決策權的參加者。例中犯人 A,B 即為局中人。兩人（兩方）對策問題只能有兩名 局中人，屬于利害一致的參加者，可視為同一局中人。 （2）策略 局中人可采取的可行方案。策略的全體構成策略集。策略集分為有限集和無限集。 設 局 中 人A有m個 策 略 （ 或 稱 為 純 策 略 ）， 策 略 集SA=m,21, B 有 n 個策略SB=n,21。當 A 選用第 i 個策略，B 選用第 j 個策略時， ji,構成一個純局勢

3、，SA和SB中的策略可構成 m n 個純局勢。對應于ji,，把 A 的贏得記為ija，B 的贏得記為ijb可用下表表示。 表 5-2 B 的策略 1 2 j n 1 2 A 的 i 策 略 j ( a11,b11 ) ( a12,b12 ) ( a1j,b1j ) ( a1n,b1n ) ( a21,b21 ) ( a22,b22 ) ( a2j,b2j ) ( a2n,b2n ) ( ai1,bi1 ) ( ai2,bi2 ) ( aij,bij ) ( ain,bin ) ( am1,bm1) ( am2,bm2) ( amj,bmj ) ( amn,bmn) （3）支付矩陣 當純局勢ji

4、,已確定時，A 的贏得正是B 的所失，即雙方得失之和為零，此類對策稱為零和對策。此時，因ijijba略去ijb，記 mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211 稱m n為支付矩陣。 一般的，把一個對策記為G，G=SA , SB , A . (4)最優(yōu)純策略與鞍點 從前面的囚犯難題的例子中，我們看到，A,B 兩人考慮問題的出發(fā)點并非是獲得最好的結果，而是在避免最壞結果的前提下，尋求一種保險的最佳方法，這也往往是對策雙方考慮問題的通用規(guī)則。 設有一零和對策G=SA , SB , Am n ， 我們有必要對 A與 B 的最壞結果 （或最大損失）做一分析。假設 A 選擇了策略 i，從

5、損失的角度講，ijjamin便是 A 選擇 i 策略的最大損失（即最少贏得） ；再在這些損失中選取最小的損失（即最大贏得）ijjiaminmax。這樣，ijjiaminmax就表示 A 至少的贏得，注意到零和對策有ijijab，這樣ijijamaxmin便表 B 的最大損失。若 ijjiaminmaxGijijVa maxmin （5-1） 則表示 A 的至少贏得和 B 的最大損失恰好可以吻合， 此時雙方可以滿意。 稱使 （5-1）式成立的值GV為對策 G 的值。 若存在某純局勢,ji使 GiijjijVaa,maxmin （5-2） 則,ji稱為對策 G 的鞍點，支付矩陣 A 中的元素,ji

6、a稱為矩陣的鞍點。顯然，（5-2）比（5-1）更具體化，找到了達到對策值GV的 A 策略,i與 B 的策略,j，從而稱,i與,j分別為 A 和 B 的最優(yōu)純策略。 對策 G 的鞍點，是策略的一個穩(wěn)定解。顯然，若,ji為對策 G 的鞍點，對于 A 來講，若 B 已選擇了最優(yōu)策略 ,j，A 選擇 ,i是最好的結果。選擇其他的策略,ii ,至少不能提高 A 的贏得值。 若 A 的所有對策其贏得皆小于 GV， 由 （5-2）式，A 的策略最終會轉回 ,i上。這便是穩(wěn)定的定義。下面給出一個穩(wěn)定解存在的結論。 定 理 （ 極 大 極 小 原 理 ） 一 個 零 和 對 策 有 穩(wěn) 定 解 的 充 要 條

7、件 是ijjiaminmaxijijamaxmin。 一般的，穩(wěn)定解可以不唯一。解有下列性質(zhì)： a: 無差別性：若11,ji與22,ji同為對策的解，則有2211jijiaa。 b: 可交換性：若11,ji與22,ji都是對策的解，則21,ji與12,ji也是解。 但是，在實際中有些零和問題可能是無解的，這時需要考慮混合策略。所謂混合策略就是在每次對策時作一次隨機試驗，已確定這次應選哪一種策略?；旌喜呗酝忻曰髮Ψ降墓π?。事實上，當策略的一方 A 連續(xù)的使用某策略而獲得利益時，對方 B 必察覺，從而 B 改換其策略以對付 A。因此，從獲利的角度講，對策雙方都不能連續(xù)不斷地使用某種純策略，而必

8、須考慮如何隨機地使用自己的策略，從而使對方難以捉摸。 設 對 策 的 局 中 人A有 幾 種 純 策 略 構 成 策 略 集 SA4321,，且 A 以概率4321,pppp分別取4321,。記為 432143214321ppppppppaaaaSA且1 此時，A 的按概率計算出的贏得稱為“期望贏得” 。進行混合策略的對策是，A 自然還是按最大最小原則選擇它的策略，而 B則按最小最大原則選擇自己的策略，混合策略的最優(yōu)解自然是尋求對策雙方利益得以平衡的吻合點。 （）優(yōu)超 通過實際問題，我們知道，所有有限二人零和對策總存在混合策略解。為簡化策略分析，引進優(yōu)超概念。 優(yōu)超：設支付矩陣m n=nmij

9、a ，如果 , 2 , 1,njaaijkj 則稱局中人 A 的策略優(yōu)超于策略。若不等號嚴格成立，則稱局中人 A的策略嚴格優(yōu)超于策略。 若存在優(yōu)超，則可通過將被優(yōu)超的那個純策略所對應的行劃去來簡化求解過程，同理，對局中人 B 也可進行優(yōu)超過程，從而劃去相應的列以達到求解過程的簡化。 例子 A 有兩架飛機，B又四個導彈連分別掩護通向目標的四條路線。 如果飛機沿一條路線進攻 ，則掩護該路線的導彈連必然擊落一架飛機，不過，由于重新裝彈時間長，所以僅僅能擊落一架飛機。如有飛機突防進而摧毀目標，A 的贏得為 1，否擇 A 的贏得為 0?，F(xiàn)在為雙方選擇最有策略。 （1） 建立模型 雙方的策略規(guī)定了導彈聯(lián)合

10、飛機的兵力裝備。A 的策略是： 1飛機從不同路線進入; 2_飛機從同一路線進入； B的策略是： 1-對每個路線配置一個連； 2對兩條路線個配兩個連； 3對一條路線配兩個連，為另兩條路線個配一個連； 4對一條路線配三個連，對另一條路線配一個連； 5對一條路線配四個連。 對于 1 ，1一定將兩架飛機全部擊落。而 5決不會如此。在 2和 4的情況下， 只有導彈連恰好配置在飛機選擇的兩條進入路線上兩架飛機才可能全部擊落。 因從不同四條進攻鸕鶿暗中挑選兩條，有六種組合方法。所以飛機吐蕃的機會是 5/6。在 的情況下，飛機沿著沒有設防的路線可以突破防線，而在可能進攻的路線中，有三組包含未設防路線。所以飛機

11、成功路線的機會是 1/2。 對于 1，2不可能將兩架飛機擊落，2能成功的在四條路線種的兩條設防，所以飛機成功的機會是 1/2。3，4，5，只能保衛(wèi)一條路線，所以飛機突防的機會是 3/4。 （1） 求解 從上面得到支付矩陣 4/34/34/32/1116/52/16/50 從支付矩陣中可以看到，3優(yōu)超于4和5，劃去4和5，可得到簡化了的支付矩陣 4/32/112/16/50 1 若 A的最佳策略是 （x,1-x） ,則對于1， A的贏得是 3/4 5/6 0+(1-x)=1-x C 對于2,A的贏得是 5/6x+1/2(1-x)=1/2+1/3x 1/2 1/2 對于3,A的贏得是 1/2x+3

12、/4(1-x)=3/4-1/4x 把每種贏得作為 x 的函數(shù)畫出，得到圖 5-1。 從圖 5-1 可知，A的最大最小贏得為 maxmin(1-x,1/2+1/3x,3/4-1/4x) 其中，min(1-x,1/2+1/3x,3/4-1/4x)極為折線 ACB,C 電為折線的最高點， 及 C 點為 A在混合策略意義下的最大最小值。令 1- x=5/6x+1/2(1-x) 得 x=3/8 即 A 按概率（3/8，5/8）來分布決策,所得的最大最小贏得 V=5/8. 計算 B的決策概率分布也可類似上述過程求得，即計算 B的各種贏得在畫出贏得圖，最終求得最大值和最小值當采用 3/8 和 5/8 來選擇

13、策略1 和2 是，B 選擇1 和2 的損失皆為-V=-5/8,B使用3 的損失為-21/32。因此，B將放棄使用3 的策略。 設 B選擇策略的概率分布位（y,1-y,0,0,0）,若使混合策略有最優(yōu)解，應有 0y+5/6(1-y)=V a=5/8 y=1/4 從上述過程來看，對于 A，應以 3/8 的概率選擇 1,以 5/8 的概率選擇 2,對于 B,應以 1/4 的概率選擇 1，1/4 的概率選擇 2. 層次分析法模型 將問題所包含的因素分層，可以劃分為最高層、中間層、最底層。最高層表示解決問題的目的。中間層表示實現(xiàn)總目標而采取的各種政策，一般分有策略層、約束層、準則層等。最底層是用于解決問

14、題的各種措施、方案等。當某個層次包括因素較多時將該層次再劃分為若干子層。下面舉一個例子。 某研究所現(xiàn)有三個科研課題，限于人力及物力，只能研究一個課題。有三個須考慮的因素（1）科研成果貢獻大?。ò▽嵱脙r值和科學意義）； （2）客體的可行性（包括客體的難以程度研究周期及資金）; (3)人材的培養(yǎng)。 在這些因素的影響下，如何選擇課題？ 利用層次分析建立層次結構模型（圖 5-3） 合理選擇課題 成果貢獻 1B 人才培養(yǎng) 2B 課題可行性 3B 實用價值1C 科學意義2C 難易程度3C 研究周期 研究資金5C 課題 1 課題 2 課題 3 2.構造判斷矩陣 注意到，很多諸如社會、人文及日常生活等實際問

15、題，其因素通常不易定量的測量。人們只能根據(jù)自己的經(jīng)驗及知識進行判斷，而當比較的因素較多時，這種判斷將很難做到準確。一種簡單的思想是：先不把所有的因素放在一起進行比較，而是兩兩比較從而提高判斷的準確性。 考慮到 ija與 jia的實際意義，我們要求成對的比較判斷矩陣A 滿足 (1) 0ija, jiijaa1 , 2 , 1,iji, n, j=1,2,，n （2）iia=1，I=1,2, n 稱滿足條件（1）與（2）的矩陣 A 為正互反矩陣。 描述因素互相影響大小的ija的取值也作某種規(guī)定性的量化。我們在描述事物的好壞強弱時往往用相等、較強、強、很強、絕對強來表示差別程度，正象我們往往用優(yōu)秀、

16、良好、中、及格、不及格大體區(qū)分考試的成績一樣。一般地，ija的取值為 1，3，5，7，9。見表 511。 相等 較強 強 很強 絕對強 ija 1 3 5 7 9 若對成對的事物的差別判斷介于上述 5 個數(shù)之間，則ija的取值為 2，4，6，8。如果需要用 1 到 9 之外的數(shù)，那么可根據(jù)情況先將因素聚類進行類比，再比較每一類中的元素，從而避免用 1 到 9 以外的數(shù)字。這樣選值也是符合心理學理論的，因為 72 個因素得逞對比教師心理學的極限， 多于 9 個的因素的比較將超出人的判斷力。 在前面的例子中，準則層 B對目標層 Z 的判斷矩陣 A（記 ZB）可根據(jù)實際情況適當選取成如下形式 1 2

17、 3 1 2 3 1 3 1 31 1 31 1 3 1 3層次單排序及其一致性檢驗我們注意到，在判斷矩陣 A 的構造中，ija中選值僅注意了jx與ix對目標層 Z 影響的比例。而在確定矩陣的各個元素ija時，所用的判斷標準可能并不統(tǒng)一。例如，212a僅表示1x對z的影響是2x對z 的影響的 2 倍，223a又表示2x對z 的影響是3x對z的影響的2倍， 按常理推論，1x對 z 的影響便是3x對z 的影響的4倍， 即413a。但由于各種實際因素及主觀傾向的干擾， 在判斷1x與3x對z的影響時， 極可能使413a，這便產(chǎn)生了判斷矩陣 A 的元素在確定時的標準不統(tǒng)一。因此，我們對矩陣 A 必須進行

18、一致性檢驗以盡量減少這種人為主觀上的不統(tǒng)一， 從而使最終的結果趨于合理。 首先給出一致陣的概念。 如果正互反矩陣 A 滿足 ikjkijaaa nkji, 2 , 1, 則 A 稱為一致陣。 我們不加證明地給出一致陣的如下性質(zhì)： （1）1,1ijjiijaaa nkji, 2 , 1,； （2）A 的轉置TA也是一致陣； （3）A 的每一行均為任意指定的一行的正倍數(shù)，從而 rank(A)=1； （4）A 的最大特征根nmax，其余的特征根皆為零； （5）若max對應的特征向量為TnwwwW,21，則jiijwwa ，nji, 2 , 1,。 顯然，若在確定判斷矩陣的各個元素時皆保持相同的比較標

19、準，則最終形成的判斷矩陣 A 應為嚴格的一致陣。驗證nmijaA是一致陣的充要條件是其最大特征根nmax。一旦判斷矩陣 A 為一致矩陣時，由性質(zhì)（5） ，ix對目標z影響的排序便可由max對應的特征向量的元素iw來確定。實際過程往往將特征向量 W 標準化再根據(jù)各個 iw的大?。☉獮檎担﹣泶_定ix的排序。此過程稱為層次單排序。 然而，對于一般的問題，尤其當考慮的因素較多時，很難保證判斷矩陣 A 為一致性，因此在計算判斷矩陣 A 最大特征根max之前，需檢驗矩陣 A 的一致性程度。令 1maxnnCI 稱 CI 為一致性指數(shù)。顯然，0CI時，A 為一致陣?？梢宰C明，CI 越大，A 的不一致程度越

20、嚴重。 當然，對于一個具體的矩陣 A 來講，很難說其一致性指數(shù) CI 到底是很大或很小。A L Saaty 針對上述定義的不嚴格性，提出用平均隨機一致性指標 RI 檢驗判斷矩陣 A 是否具有滿意的一致性。 RI 是這樣選取的：對于固定的n，隨機構造正互反矩陣 A，其中 ija是從 1，2，9，21，31，91中隨機抽取的，此時 A是最不一致的。取充分大的子樣得到 A的最大特征值的平均值 k，定義 1nnkRI 令 RICICR 則 CR 稱為隨機一致性比率。 一般地，當1 . 0CR時，認為 A 具有滿意的一致性，否則必須重新調(diào)整判斷矩陣 A，直至其具有滿意的一致性。此時計算出的最大特征值所對

21、應的特征向量，經(jīng)過標準化后，才可以作為層次單排序的權值。 4層次總排序及其一致性檢驗 計算同一層次所有因素對于總目標相對重要性的排序權值的過程稱為層次總排序。此過程是從最高層到最低層逐層進行的，它是這樣進行的：設上一層次 A 包含m個因素1A，2A，mA，它的層次總排序權值分別為1a，2a，ma，下一層次 B 包含n個因素1B，2B，nB， 它們對于jA的層次單排序權值分別記為jb1，jb2， ，njb（當kB與jA無聯(lián)系時0kjb） ，此時 B 層總排序權值就可由下表 5-12 給出。 表 5-12 1A 2A mA 層次 A 層次 B 1a 2a ma B層次總排序權值 1B 11b 12

22、b mb1 mjjjba11 2B 21b 22b mb2 mjjjba12 nB 1nb 2nb nmb mjnjjba1 層次總排序也要進行一致性檢驗。檢驗是從高層到低層進行的。設B 層中的某些因素對jA單排序的一致性指標為jCI， 平均隨機一致性指標為jRI，則 B層總排序隨機一致性比率 CR 為： mjjjmjjjRIaCIaCR11 當1 . 0CR時，認為層次總排序結果具有滿意的一致性。 實例實例 合理分配資金 某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要由領導決定如何利用?？晒┻x擇的方案有：以獎金名義發(fā)給職工；擴建集體福利設施；引進新技術、新設備等。為進一步促進企業(yè)發(fā)展，如何合理使用這筆利潤？

23、（1）分析與建模 上述三個方案的目的都是為了更好地調(diào)動職工勞動積極性，提高企業(yè)技術水平和改善職工物質(zhì)生活，都是為了促進企業(yè)更大發(fā)展，因此可利用層次分析來建模。整個結構模型如圖 5-4。 （2）求解 構造判斷矩陣 Z-C 合理利用企業(yè)利潤 調(diào)動職工積極性 C1 提高企業(yè)技術水平 C2 改善職工生活條件 C3 發(fā)獎金 P1 擴建福利事業(yè) P2 引進新設備 P3 目標層 Z 準則層 C 措施層 P Z C1 C2 C3 W C1 C2 C3 1 5 3 1/5 1 1/3 1/3 3 1 0.105 0.637 0.258 求解 Z-C 的特征值，易解出038. 3max，從而 TW258. 0 ,

24、637. 0 ,105. 0 由公式得 019. 0CI 033. 0CR 構造判斷矩陣 PC 1、PC 2及PC 3： C1 P1 P2 W C2 P2 P3 W C3 P1 P2 W P1 P2 1 1/3 3 1 0.75 0.25 P2 P3 1 5 1/5 1 0.167 0.833 P1 P2 1 1/2 2 1 0.667 0.333 按公式解出上述三個矩陣的max，分別為2，2，2；max對應的特征向量分別為： T25. 0 ,75. 0，T833. 0 ,167. 0，T333. 0 ,667. 0 易算出它們的CI 都為零，CR 也全為零。 寫出各方案對促進企業(yè)發(fā)展的層次總

25、排序權值表 5-13。 表 5-13 C1 C2 C3 層次Z 層次 P 0.105 0.637 0.258 層次 P 的總排序權值 P1 P2 P3 0.75 0.25 0 0 0.167 0.833 0.667 0.333 0 0.251 0.218 0.531 按公式算出層次 P 的總排序權值，寫于上表右側。 （3）檢驗 總排序一致性檢驗： 3100258. 00637. 00105. 0jjjCIaCI 從而1 . 00 CR （4）結論 從第 3 部分中可知，層次總排序結果具有滿意的一致性。所以合理利用利潤。所考慮的三種方案相對優(yōu)先排序為： 3P優(yōu)于 1P， 1P優(yōu)于 2P。利潤分配

26、比例為 3P占 53.1%， 1P占 25.1%， 2P占 21.8%。 從上述例子看出，主要是計算判斷矩陣的最大特征值和特征向量。由于判斷矩陣中的ija是比較粗糙的，所以，可以近似計算最大特征值和特征向量。 抗災決策抗災決策 根據(jù)水情資料,某地汛期出現(xiàn)評水水情的概率為0.7,出現(xiàn)高水水情的概率為0.2,出現(xiàn)洪水水情的概率為0.1.位于江邊的某工地對其大型施工設備擬定三個處置方案: (1) 運走,需支付運費18萬元. (2) 修堤壩保護,需支付修壩費5萬元. (3) 不做任何防范,不需任何支出. 若采用方案(1),那么無論出現(xiàn)任何水情都不會遭受損失;若采用方案(2),則僅當發(fā)生洪水時,因堤壩沖

27、垮而損失600萬元的設備;若采用方案(3),那么當出現(xiàn)平水位時不遭受損失,發(fā)生高水位時損失部分設備100萬元,發(fā)生洪水時損失設備600萬元.根據(jù)上述條件,選擇最佳決策方案.又設發(fā)生洪水的概率能夠準確預報,試對出現(xiàn)評水水位和高水水位的概率進行靈敏度分析. (1) 假設 (1) 通過比較各方案的效益期望值的大小來評定方案的優(yōu)劣,損失最小為最佳方案. (2) 把每個行動方案都看作離散隨機變量,其取值就是改方案對應于各自然狀態(tài)的效益值. (2)模型的建立 把各種情況用決策樹表示(圖 5-2),其中 表示決策點,從它引出的分支枝稱為方案分枝,分枝的數(shù)目就是方案的個數(shù). 表示機會節(jié)點,從它引出的分枝稱為概

28、率分枝.一條概率分枝代表一種狀態(tài),標有相應發(fā)生的概率. 表示末梢節(jié)點,右邊的數(shù)字代表各個方案在不同狀態(tài)下的效益值.在決策樹上的計算是從右往左的,遇到機會節(jié)點,就計算該點期望值,將結果標在節(jié)點上方,遇到?jīng)Q策點,比較各方案分枝的效益期望值,決定優(yōu)劣.淘汰的打上:”+”號,余下的為最佳方案,其效益期望值標在決策點旁 運走 -18 萬元 不發(fā)生洪水 0.9 -5 萬元 發(fā)生洪水 0.1 -605 萬元 平水位 0.7 0 高水位 0.2 -100 萬元 發(fā)生洪水 0.1 -600 萬元 . 圖 5-2 (3) 求解 我們用 E 表示數(shù)學期望,則有 (1) E(B)=0.9(-5)+0.1(-605)=

29、-65(萬元) (2) E(C)=0.70+0.2(-100)+0.1(-600)=-80(萬元) (3) 另一期望值為-18 萬元. 在第一級決策點 A 處進行比較可知,運走的是最佳決策方案,其效益期望值為-18 萬. (4)穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定性是各類實際問題經(jīng)常要考慮的,它主要考察通過建模得到的問題的解對原問題的一些初始數(shù)據(jù)變化的依賴程度.我們知道,由于測量儀器的不精確及人類不能控制的一些因素,在試驗中所測量的數(shù)據(jù)總會有些偏差.如果較小的測量誤差不會引起解的較大誤差,這種解是可以信賴的.反之,如果初始值較小的誤差會帶來解的”大幅度振蕩”,那么,即使數(shù)學模型建立的再合理,其解也可能于真實的結果

30、相差甚遠,從而使建模過程變得毫無意義.因此,分析模型最終的解對一些原始值微小變化的靈敏程度是每個模型必須考慮的問題,有時,穩(wěn)定性分析也稱為靈敏度分析.根據(jù)客觀問題不同,穩(wěn)定性的意義及穩(wěn)定性分析的方法也有所不同. 在本例中一旦初始數(shù)據(jù)(如概率,運費等)發(fā)生變化,將會引起效益期望值E(B), E(C)的變化,從而極有可能引起最佳決策方案選擇上的改變.相比較而言,出現(xiàn)各種水情的概率較之于運費及損失費等各種費用更容易產(chǎn)生誤差.為簡化起見,下面假設在不發(fā)生洪水的情況下,并不考慮運走施工設備的方案,針對出現(xiàn)平水位和高水位的概率進行穩(wěn)定性分析.首先引入概念:使各行動方案具有相同效益期望值的自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率

31、稱為轉折概率. 設出現(xiàn)平水水情的概率為,這出現(xiàn)高水水情的概率為1-,令 -5=0. + (1-)(-100) =0.95 =0.95 即為使采取方案2 的期望效益值與采取方案 3 的期望效益值相同的轉折概率.可以驗證,當出現(xiàn)平水位的概率大于0.95 時,方案3 為最佳方案;當出現(xiàn)平水位的概率小于0.95 時,方案2 為最佳方案,這也正是轉折概率的含義.同時,我們也看到,當我們預測的平水位概率接近 0.95 時,將給選則方案帶來極大的不穩(wěn)定因素.例如,若=0.94990.95,雖然概率變化極小,選擇方案卻發(fā)生了變化,此時我們將選則方案3. 5.4 合作對策模型 一般來講， 從事某一活動的各方若能

32、通力合作， 通?？梢垣@得比個人單干更大的總效益（或更小的開支。這里尋求的不是 112 的等式，而是獲得 112 的效果。當然，這種合作的基礎便是合作各方應合理地分配效益。 如何合理地分配效益便是本節(jié)n人合作對策所介紹的問題。 設有一n人的集合nI, 2 , 1，其元素是合作的可能參加者。 （1）對每一子集IS ，對應地可以確定一個實數(shù) SV，其值的實際意義為：如果 S 中的人參加此項合作，則此合作的總獲利數(shù)為 SV。 SV滿足下列性質(zhì)： 0V（空集 表示無人參加合作） ； 2121SVSVSSV。當21SS 時，將具有此性質(zhì)的 SV稱為 I 的特征函數(shù)。 性質(zhì)是很關鍵的，否則，如果兩個集團合作

33、的獲利比單干的總和還少，這種合作便毫無意義。 （2）定義合作結果 SV的分配為 VVVVn,21，其中 Vi表示第i人在這種合作下分配到的獲利。 V稱為合作對策。 合理分配原則為 V應滿足 合作獲利對每人的分配與此人的標號無關； niiIVV1； （5-9） 若對所有包含i的子集iS 有 SViSV，則 0Vi； 若此n人同時進行兩項互不影響的合作，則兩則合作的分配也應互不影響；每人的分配額即兩項合作單獨進行時應分配數(shù)的和。 對性質(zhì)我們稍加說明。顯然， SVisV表示從獲利的角度講，合作有 i參與和沒有i參與是一樣的，即i對合作沒有貢獻，故其效益分配 0Vi。 可以證明滿足這 4 個性質(zhì)的合作

34、對策 V的唯一存在的，而且，這樣的 V可按下面的公式給出： niiSVSVSWVSiSi, 2 , 1 （5-10） 其中iS是 I 中包含 i的一切子集所構成的集合，S表示 S 中的元素個數(shù)，記 !1nSnSSW （5-11） （5-10）式理解起來也不難。公式中 iSVSV項即表示 i參與 S 的合作對獲利的貢獻， Vi不過是將 i的所有貢獻按某種權加起來。不難看出，合作對策能夠實現(xiàn)的基礎之一是對每個參加者，合作獲得應不少于單干時的獲利（或合作時的開支不大于單干時的開支） 。用數(shù)學式子表示，即對每一Ii，須滿足 iVVi。易證， （5-10）式中的 Vi滿足該條件。 合作對策分擔費用問題

35、有三個位于某河流同旁的城鎮(zhèn) A,B,C(見圖)。 20 河 38 圖中單位： （公里） 城 C 城 B 城 A 三城的污水必須經(jīng)處理后方能排入河中，三城可單獨建立污水處理廠，也可以通過管道輸送合作建廠。假設污水只能由上游送往下游。 用 Q 表示污水量，單位為 m3/s 表示管道長度，單位為公里，則有經(jīng)驗公式： 建廠費用：C1=730Q712. 0 (千元) 管道費用：C2=6.6Q51. 0L(千元) 已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為 QA=5m3/S, QB=3m3/S, QC=5m3/S,問三城鎮(zhèn)怎樣處理污水可使總開支最小，又每一城鎮(zhèn)負擔的費用應為多少？ （1） 分析 通過分析，此問題中三城鎮(zhèn)處理污水可有 5 種方案： 每城各建一處理廠； 城 A,城 B 各建一個，城 C 單建（A,B 城合作建于 B 處） ； 城 A 單建，城 B，城 C 合作建廠（B,C 城合作建于 C 處） ； 城 A,城 C 合建，城 B 單建（城 A,城 C 合作建于 C 處）; 三城合建一廠（建于 C 處）. (2)建模與求解 運用公式 C1=730Q712. 0,C2=6.6Q51. 0L 可以算出各方案所需的總投資 額為：方案6200 千元；方案5800 千元；方案5950 千元；方案6230 千元；方案5560 千元。 比較一下可知三城合作總投資額為最少，因此