第五章 對(duì)策問(wèn)題

1、第六章 對(duì)策問(wèn)題 1 基本概念 首先，通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題來(lái)介紹一下有關(guān)概念。 例（囚犯難題） 有A,B兩個(gè)人隱藏有被盜物品而被捕，現(xiàn)在正分別受警方審訊。此二人都清楚，如果拒不承認(rèn)，現(xiàn)有的證據(jù)不足以證明他們?cè)?jīng)偷盜，而只能以窩藏贓物罪被判處一年監(jiān)禁。二人都招認(rèn)，將被判監(jiān)禁5年，但若有一人招供而另一人拒不招認(rèn)，那么供出同伙的人將會(huì)獲得釋放，另一個(gè)將被判監(jiān)禁10年，把犯人A,B被判刑的幾種可能列表如下： 表 5-1 犯人 B 供認(rèn) 不供認(rèn) 犯人A 供認(rèn) 不供認(rèn) 5 , 5 10, 0 0 ,10 1 , 1 表中的每對(duì)數(shù)字表示根據(jù)犯人采取的行動(dòng)而被判刑的年數(shù)。A,B兩犯人都希望受到最輕的處罰，但又擔(dān)心

2、對(duì)方供認(rèn)，最保險(xiǎn)的辦法是承認(rèn)犯罪，這樣可以避免出現(xiàn)最壞的情況。因此二人都招認(rèn)了，這樣警方就成功的取得了口供。 以這個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)策為例，我們來(lái)介紹一下對(duì)策的基本要素。 （1）局中人 具有決策權(quán)的參加者。例中犯人 A,B 即為局中人。兩人（兩方）對(duì)策問(wèn)題只能有兩名 局中人，屬于利害一致的參加者，可視為同一局中人。 （2）策略 局中人可采取的可行方案。策略的全體構(gòu)成策略集。策略集分為有限集和無(wú)限集。 設(shè) 局 中 人A有m個(gè) 策 略 （ 或 稱 為 純 策 略 ）， 策 略 集SA=m,21, B 有 n 個(gè)策略SB=n,21。當(dāng) A 選用第 i 個(gè)策略，B 選用第 j 個(gè)策略時(shí)， ji,構(gòu)成一個(gè)純局勢(shì)

3、，SA和SB中的策略可構(gòu)成 m n 個(gè)純局勢(shì)。對(duì)應(yīng)于ji,，把 A 的贏得記為ija，B 的贏得記為ijb可用下表表示。 表 5-2 B 的策略 1 2 j n 1 2 A 的 i 策 略 j ( a11,b11 ) ( a12,b12 ) ( a1j,b1j ) ( a1n,b1n ) ( a21,b21 ) ( a22,b22 ) ( a2j,b2j ) ( a2n,b2n ) ( ai1,bi1 ) ( ai2,bi2 ) ( aij,bij ) ( ain,bin ) ( am1,bm1) ( am2,bm2) ( amj,bmj ) ( amn,bmn) （3）支付矩陣 當(dāng)純局勢(shì)ji

4、,已確定時(shí)，A 的贏得正是B 的所失，即雙方得失之和為零，此類對(duì)策稱為零和對(duì)策。此時(shí)，因ijijba略去ijb，記 mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211 稱m n為支付矩陣。 一般的，把一個(gè)對(duì)策記為G，G=SA , SB , A . (4)最優(yōu)純策略與鞍點(diǎn) 從前面的囚犯難題的例子中，我們看到，A,B 兩人考慮問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)并非是獲得最好的結(jié)果，而是在避免最壞結(jié)果的前提下，尋求一種保險(xiǎn)的最佳方法，這也往往是對(duì)策雙方考慮問(wèn)題的通用規(guī)則。 設(shè)有一零和對(duì)策G=SA , SB , Am n ， 我們有必要對(duì) A與 B 的最壞結(jié)果 （或最大損失）做一分析。假設(shè) A 選擇了策略 i，從

5、損失的角度講，ijjamin便是 A 選擇 i 策略的最大損失（即最少贏得） ；再在這些損失中選取最小的損失（即最大贏得）ijjiaminmax。這樣，ijjiaminmax就表示 A 至少的贏得，注意到零和對(duì)策有ijijab，這樣ijijamaxmin便表 B 的最大損失。若 ijjiaminmaxGijijVa maxmin （5-1） 則表示 A 的至少贏得和 B 的最大損失恰好可以吻合， 此時(shí)雙方可以滿意。 稱使 （5-1）式成立的值GV為對(duì)策 G 的值。 若存在某純局勢(shì),ji使 GiijjijVaa,maxmin （5-2） 則,ji稱為對(duì)策 G 的鞍點(diǎn)，支付矩陣 A 中的元素,ji

6、a稱為矩陣的鞍點(diǎn)。顯然，（5-2）比（5-1）更具體化，找到了達(dá)到對(duì)策值GV的 A 策略,i與 B 的策略,j，從而稱,i與,j分別為 A 和 B 的最優(yōu)純策略。 對(duì)策 G 的鞍點(diǎn)，是策略的一個(gè)穩(wěn)定解。顯然，若,ji為對(duì)策 G 的鞍點(diǎn)，對(duì)于 A 來(lái)講，若 B 已選擇了最優(yōu)策略 ,j，A 選擇 ,i是最好的結(jié)果。選擇其他的策略,ii ,至少不能提高 A 的贏得值。 若 A 的所有對(duì)策其贏得皆小于 GV， 由 （5-2）式，A 的策略最終會(huì)轉(zhuǎn)回 ,i上。這便是穩(wěn)定的定義。下面給出一個(gè)穩(wěn)定解存在的結(jié)論。 定 理 （ 極 大 極 小 原 理 ） 一 個(gè) 零 和 對(duì) 策 有 穩(wěn) 定 解 的 充 要 條

7、件 是ijjiaminmaxijijamaxmin。 一般的，穩(wěn)定解可以不唯一。解有下列性質(zhì)： a: 無(wú)差別性：若11,ji與22,ji同為對(duì)策的解，則有2211jijiaa。 b: 可交換性：若11,ji與22,ji都是對(duì)策的解，則21,ji與12,ji也是解。 但是，在實(shí)際中有些零和問(wèn)題可能是無(wú)解的，這時(shí)需要考慮混合策略。所謂混合策略就是在每次對(duì)策時(shí)作一次隨機(jī)試驗(yàn)，已確定這次應(yīng)選哪一種策略。混合策略往往有迷惑對(duì)方的功效。事實(shí)上，當(dāng)策略的一方 A 連續(xù)的使用某策略而獲得利益時(shí)，對(duì)方 B 必察覺(jué)，從而 B 改換其策略以對(duì)付 A。因此，從獲利的角度講，對(duì)策雙方都不能連續(xù)不斷地使用某種純策略，而必

8、須考慮如何隨機(jī)地使用自己的策略，從而使對(duì)方難以捉摸。 設(shè) 對(duì) 策 的 局 中 人A有 幾 種 純 策 略 構(gòu) 成 策 略 集 SA4321,，且 A 以概率4321,pppp分別取4321,。記為 432143214321ppppppppaaaaSA且1 此時(shí)，A 的按概率計(jì)算出的贏得稱為“期望贏得” 。進(jìn)行混合策略的對(duì)策是，A 自然還是按最大最小原則選擇它的策略，而 B則按最小最大原則選擇自己的策略，混合策略的最優(yōu)解自然是尋求對(duì)策雙方利益得以平衡的吻合點(diǎn)。 （）優(yōu)超 通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，我們知道，所有有限二人零和對(duì)策總存在混合策略解。為簡(jiǎn)化策略分析，引進(jìn)優(yōu)超概念。 優(yōu)超：設(shè)支付矩陣m n=nmij

9、a ，如果 , 2 , 1,njaaijkj 則稱局中人 A 的策略優(yōu)超于策略。若不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱局中人 A的策略嚴(yán)格優(yōu)超于策略。 若存在優(yōu)超，則可通過(guò)將被優(yōu)超的那個(gè)純策略所對(duì)應(yīng)的行劃去來(lái)簡(jiǎn)化求解過(guò)程，同理，對(duì)局中人 B 也可進(jìn)行優(yōu)超過(guò)程，從而劃去相應(yīng)的列以達(dá)到求解過(guò)程的簡(jiǎn)化。 例子 A 有兩架飛機(jī)，B又四個(gè)導(dǎo)彈連分別掩護(hù)通向目標(biāo)的四條路線。 如果飛機(jī)沿一條路線進(jìn)攻 ，則掩護(hù)該路線的導(dǎo)彈連必然擊落一架飛機(jī)，不過(guò)，由于重新裝彈時(shí)間長(zhǎng)，所以僅僅能擊落一架飛機(jī)。如有飛機(jī)突防進(jìn)而摧毀目標(biāo)，A 的贏得為 1，否擇 A 的贏得為 0?，F(xiàn)在為雙方選擇最有策略。 （1） 建立模型 雙方的策略規(guī)定了導(dǎo)彈聯(lián)合

10、飛機(jī)的兵力裝備。A 的策略是： 1飛機(jī)從不同路線進(jìn)入; 2_飛機(jī)從同一路線進(jìn)入； B的策略是： 1-對(duì)每個(gè)路線配置一個(gè)連； 2對(duì)兩條路線個(gè)配兩個(gè)連； 3對(duì)一條路線配兩個(gè)連，為另兩條路線個(gè)配一個(gè)連； 4對(duì)一條路線配三個(gè)連，對(duì)另一條路線配一個(gè)連； 5對(duì)一條路線配四個(gè)連。 對(duì)于 1 ，1一定將兩架飛機(jī)全部擊落。而 5決不會(huì)如此。在 2和 4的情況下， 只有導(dǎo)彈連恰好配置在飛機(jī)選擇的兩條進(jìn)入路線上兩架飛機(jī)才可能全部擊落。 因從不同四條進(jìn)攻鸕鶿暗中挑選兩條，有六種組合方法。所以飛機(jī)吐蕃的機(jī)會(huì)是 5/6。在 的情況下，飛機(jī)沿著沒(méi)有設(shè)防的路線可以突破防線，而在可能進(jìn)攻的路線中，有三組包含未設(shè)防路線。所以飛機(jī)

11、成功路線的機(jī)會(huì)是 1/2。 對(duì)于 1，2不可能將兩架飛機(jī)擊落，2能成功的在四條路線種的兩條設(shè)防，所以飛機(jī)成功的機(jī)會(huì)是 1/2。3，4，5，只能保衛(wèi)一條路線，所以飛機(jī)突防的機(jī)會(huì)是 3/4。 （1） 求解 從上面得到支付矩陣 4/34/34/32/1116/52/16/50 從支付矩陣中可以看到，3優(yōu)超于4和5，劃去4和5，可得到簡(jiǎn)化了的支付矩陣 4/32/112/16/50 1 若 A的最佳策略是 （x,1-x） ,則對(duì)于1， A的贏得是 3/4 5/6 0+(1-x)=1-x C 對(duì)于2,A的贏得是 5/6x+1/2(1-x)=1/2+1/3x 1/2 1/2 對(duì)于3,A的贏得是 1/2x+3

12、/4(1-x)=3/4-1/4x 把每種贏得作為 x 的函數(shù)畫(huà)出，得到圖 5-1。 從圖 5-1 可知，A的最大最小贏得為 maxmin(1-x,1/2+1/3x,3/4-1/4x) 其中，min(1-x,1/2+1/3x,3/4-1/4x)極為折線 ACB,C 電為折線的最高點(diǎn)， 及 C 點(diǎn)為 A在混合策略意義下的最大最小值。令 1- x=5/6x+1/2(1-x) 得 x=3/8 即 A 按概率（3/8，5/8）來(lái)分布決策,所得的最大最小贏得 V=5/8. 計(jì)算 B的決策概率分布也可類似上述過(guò)程求得，即計(jì)算 B的各種贏得在畫(huà)出贏得圖，最終求得最大值和最小值當(dāng)采用 3/8 和 5/8 來(lái)選擇

13、策略1 和2 是，B 選擇1 和2 的損失皆為-V=-5/8,B使用3 的損失為-21/32。因此，B將放棄使用3 的策略。 設(shè) B選擇策略的概率分布位（y,1-y,0,0,0）,若使混合策略有最優(yōu)解，應(yīng)有 0y+5/6(1-y)=V a=5/8 y=1/4 從上述過(guò)程來(lái)看，對(duì)于 A，應(yīng)以 3/8 的概率選擇 1,以 5/8 的概率選擇 2,對(duì)于 B,應(yīng)以 1/4 的概率選擇 1，1/4 的概率選擇 2. 層次分析法模型 將問(wèn)題所包含的因素分層，可以劃分為最高層、中間層、最底層。最高層表示解決問(wèn)題的目的。中間層表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而采取的各種政策，一般分有策略層、約束層、準(zhǔn)則層等。最底層是用于解決問(wèn)

14、題的各種措施、方案等。當(dāng)某個(gè)層次包括因素較多時(shí)將該層次再劃分為若干子層。下面舉一個(gè)例子。 某研究所現(xiàn)有三個(gè)科研課題，限于人力及物力，只能研究一個(gè)課題。有三個(gè)須考慮的因素（1）科研成果貢獻(xiàn)大?。ò▽?shí)用價(jià)值和科學(xué)意義）； （2）客體的可行性（包括客體的難以程度研究周期及資金）; (3)人材的培養(yǎng)。 在這些因素的影響下，如何選擇課題？ 利用層次分析建立層次結(jié)構(gòu)模型（圖 5-3） 合理選擇課題 成果貢獻(xiàn) 1B 人才培養(yǎng) 2B 課題可行性 3B 實(shí)用價(jià)值1C 科學(xué)意義2C 難易程度3C 研究周期 研究資金5C 課題 1 課題 2 課題 3 2.構(gòu)造判斷矩陣 注意到，很多諸如社會(huì)、人文及日常生活等實(shí)際問(wèn)

15、題，其因素通常不易定量的測(cè)量。人們只能根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)及知識(shí)進(jìn)行判斷，而當(dāng)比較的因素較多時(shí)，這種判斷將很難做到準(zhǔn)確。一種簡(jiǎn)單的思想是：先不把所有的因素放在一起進(jìn)行比較，而是兩兩比較從而提高判斷的準(zhǔn)確性。 考慮到 ija與 jia的實(shí)際意義，我們要求成對(duì)的比較判斷矩陣A 滿足 (1) 0ija, jiijaa1 , 2 , 1,iji, n, j=1,2,，n （2）iia=1，I=1,2, n 稱滿足條件（1）與（2）的矩陣 A 為正互反矩陣。 描述因素互相影響大小的ija的取值也作某種規(guī)定性的量化。我們?cè)诿枋鍪挛锏暮脡膹?qiáng)弱時(shí)往往用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng)來(lái)表示差別程度，正象我們往往用優(yōu)秀、

16、良好、中、及格、不及格大體區(qū)分考試的成績(jī)一樣。一般地，ija的取值為 1，3，5，7，9。見(jiàn)表 511。 相等 較強(qiáng) 強(qiáng) 很強(qiáng) 絕對(duì)強(qiáng) ija 1 3 5 7 9 若對(duì)成對(duì)的事物的差別判斷介于上述 5 個(gè)數(shù)之間，則ija的取值為 2，4，6，8。如果需要用 1 到 9 之外的數(shù)，那么可根據(jù)情況先將因素聚類進(jìn)行類比，再比較每一類中的元素，從而避免用 1 到 9 以外的數(shù)字。這樣選值也是符合心理學(xué)理論的，因?yàn)?72 個(gè)因素得逞對(duì)比教師心理學(xué)的極限， 多于 9 個(gè)的因素的比較將超出人的判斷力。 在前面的例子中，準(zhǔn)則層 B對(duì)目標(biāo)層 Z 的判斷矩陣 A（記 ZB）可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選取成如下形式 1 2

17、 3 1 2 3 1 3 1 31 1 31 1 3 1 3層次單排序及其一致性檢驗(yàn)我們注意到，在判斷矩陣 A 的構(gòu)造中，ija中選值僅注意了jx與ix對(duì)目標(biāo)層 Z 影響的比例。而在確定矩陣的各個(gè)元素ija時(shí)，所用的判斷標(biāo)準(zhǔn)可能并不統(tǒng)一。例如，212a僅表示1x對(duì)z的影響是2x對(duì)z 的影響的 2 倍，223a又表示2x對(duì)z 的影響是3x對(duì)z的影響的2倍， 按常理推論，1x對(duì) z 的影響便是3x對(duì)z 的影響的4倍， 即413a。但由于各種實(shí)際因素及主觀傾向的干擾， 在判斷1x與3x對(duì)z的影響時(shí)， 極可能使413a，這便產(chǎn)生了判斷矩陣 A 的元素在確定時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一。因此，我們對(duì)矩陣 A 必須進(jìn)行

18、一致性檢驗(yàn)以盡量減少這種人為主觀上的不統(tǒng)一， 從而使最終的結(jié)果趨于合理。 首先給出一致陣的概念。 如果正互反矩陣 A 滿足 ikjkijaaa nkji, 2 , 1, 則 A 稱為一致陣。 我們不加證明地給出一致陣的如下性質(zhì)： （1）1,1ijjiijaaa nkji, 2 , 1,； （2）A 的轉(zhuǎn)置TA也是一致陣； （3）A 的每一行均為任意指定的一行的正倍數(shù)，從而 rank(A)=1； （4）A 的最大特征根nmax，其余的特征根皆為零； （5）若max對(duì)應(yīng)的特征向量為TnwwwW,21，則jiijwwa ，nji, 2 , 1,。 顯然，若在確定判斷矩陣的各個(gè)元素時(shí)皆保持相同的比較標(biāo)

19、準(zhǔn)，則最終形成的判斷矩陣 A 應(yīng)為嚴(yán)格的一致陣。驗(yàn)證nmijaA是一致陣的充要條件是其最大特征根nmax。一旦判斷矩陣 A 為一致矩陣時(shí)，由性質(zhì)（5） ，ix對(duì)目標(biāo)z影響的排序便可由max對(duì)應(yīng)的特征向量的元素iw來(lái)確定。實(shí)際過(guò)程往往將特征向量 W 標(biāo)準(zhǔn)化再根據(jù)各個(gè) iw的大?。☉?yīng)為正值）來(lái)確定ix的排序。此過(guò)程稱為層次單排序。 然而，對(duì)于一般的問(wèn)題，尤其當(dāng)考慮的因素較多時(shí)，很難保證判斷矩陣 A 為一致性，因此在計(jì)算判斷矩陣 A 最大特征根max之前，需檢驗(yàn)矩陣 A 的一致性程度。令 1maxnnCI 稱 CI 為一致性指數(shù)。顯然，0CI時(shí)，A 為一致陣。可以證明，CI 越大，A 的不一致程度越

20、嚴(yán)重。 當(dāng)然，對(duì)于一個(gè)具體的矩陣 A 來(lái)講，很難說(shuō)其一致性指數(shù) CI 到底是很大或很小。A L Saaty 針對(duì)上述定義的不嚴(yán)格性，提出用平均隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 檢驗(yàn)判斷矩陣 A 是否具有滿意的一致性。 RI 是這樣選取的：對(duì)于固定的n，隨機(jī)構(gòu)造正互反矩陣 A，其中 ija是從 1，2，9，21，31，91中隨機(jī)抽取的，此時(shí) A是最不一致的。取充分大的子樣得到 A的最大特征值的平均值 k，定義 1nnkRI 令 RICICR 則 CR 稱為隨機(jī)一致性比率。 一般地，當(dāng)1 . 0CR時(shí)，認(rèn)為 A 具有滿意的一致性，否則必須重新調(diào)整判斷矩陣 A，直至其具有滿意的一致性。此時(shí)計(jì)算出的最大特征值所對(duì)

21、應(yīng)的特征向量，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后，才可以作為層次單排序的權(quán)值。 4層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值的過(guò)程稱為層次總排序。此過(guò)程是從最高層到最低層逐層進(jìn)行的，它是這樣進(jìn)行的：設(shè)上一層次 A 包含m個(gè)因素1A，2A，mA，它的層次總排序權(quán)值分別為1a，2a，ma，下一層次 B 包含n個(gè)因素1B，2B，nB， 它們對(duì)于jA的層次單排序權(quán)值分別記為jb1，jb2， ，njb（當(dāng)kB與jA無(wú)聯(lián)系時(shí)0kjb） ，此時(shí) B 層總排序權(quán)值就可由下表 5-12 給出。 表 5-12 1A 2A mA 層次 A 層次 B 1a 2a ma B層次總排序權(quán)值 1B 11b 12

22、b mb1 mjjjba11 2B 21b 22b mb2 mjjjba12 nB 1nb 2nb nmb mjnjjba1 層次總排序也要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)是從高層到低層進(jìn)行的。設(shè)B 層中的某些因素對(duì)jA單排序的一致性指標(biāo)為jCI， 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為jRI，則 B層總排序隨機(jī)一致性比率 CR 為： mjjjmjjjRIaCIaCR11 當(dāng)1 . 0CR時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性。 實(shí)例實(shí)例 合理分配資金 某工廠有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)，要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用。可供選擇的方案有：以獎(jiǎng)金名義發(fā)給職工；擴(kuò)建集體福利設(shè)施；引進(jìn)新技術(shù)、新設(shè)備等。為進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展，如何合理使用這筆利潤(rùn)？

23、（1）分析與建模 上述三個(gè)方案的目的都是為了更好地調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性，提高企業(yè)技術(shù)水平和改善職工物質(zhì)生活，都是為了促進(jìn)企業(yè)更大發(fā)展，因此可利用層次分析來(lái)建模。整個(gè)結(jié)構(gòu)模型如圖 5-4。 （2）求解 構(gòu)造判斷矩陣 Z-C 合理利用企業(yè)利潤(rùn) 調(diào)動(dòng)職工積極性 C1 提高企業(yè)技術(shù)水平 C2 改善職工生活條件 C3 發(fā)獎(jiǎng)金 P1 擴(kuò)建福利事業(yè) P2 引進(jìn)新設(shè)備 P3 目標(biāo)層 Z 準(zhǔn)則層 C 措施層 P Z C1 C2 C3 W C1 C2 C3 1 5 3 1/5 1 1/3 1/3 3 1 0.105 0.637 0.258 求解 Z-C 的特征值，易解出038. 3max，從而 TW258. 0 ,

24、637. 0 ,105. 0 由公式得 019. 0CI 033. 0CR 構(gòu)造判斷矩陣 PC 1、PC 2及PC 3： C1 P1 P2 W C2 P2 P3 W C3 P1 P2 W P1 P2 1 1/3 3 1 0.75 0.25 P2 P3 1 5 1/5 1 0.167 0.833 P1 P2 1 1/2 2 1 0.667 0.333 按公式解出上述三個(gè)矩陣的max，分別為2，2，2；max對(duì)應(yīng)的特征向量分別為： T25. 0 ,75. 0，T833. 0 ,167. 0，T333. 0 ,667. 0 易算出它們的CI 都為零，CR 也全為零。 寫(xiě)出各方案對(duì)促進(jìn)企業(yè)發(fā)展的層次總

25、排序權(quán)值表 5-13。 表 5-13 C1 C2 C3 層次Z 層次 P 0.105 0.637 0.258 層次 P 的總排序權(quán)值 P1 P2 P3 0.75 0.25 0 0 0.167 0.833 0.667 0.333 0 0.251 0.218 0.531 按公式算出層次 P 的總排序權(quán)值，寫(xiě)于上表右側(cè)。 （3）檢驗(yàn) 總排序一致性檢驗(yàn)： 3100258. 00637. 00105. 0jjjCIaCI 從而1 . 00 CR （4）結(jié)論 從第 3 部分中可知，層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性。所以合理利用利潤(rùn)。所考慮的三種方案相對(duì)優(yōu)先排序?yàn)椋?3P優(yōu)于 1P， 1P優(yōu)于 2P。利潤(rùn)分配

26、比例為 3P占 53.1%， 1P占 25.1%， 2P占 21.8%。 從上述例子看出，主要是計(jì)算判斷矩陣的最大特征值和特征向量。由于判斷矩陣中的ija是比較粗糙的，所以，可以近似計(jì)算最大特征值和特征向量。 抗災(zāi)決策抗災(zāi)決策 根據(jù)水情資料,某地汛期出現(xiàn)評(píng)水水情的概率為0.7,出現(xiàn)高水水情的概率為0.2,出現(xiàn)洪水水情的概率為0.1.位于江邊的某工地對(duì)其大型施工設(shè)備擬定三個(gè)處置方案: (1) 運(yùn)走,需支付運(yùn)費(fèi)18萬(wàn)元. (2) 修堤壩保護(hù),需支付修壩費(fèi)5萬(wàn)元. (3) 不做任何防范,不需任何支出. 若采用方案(1),那么無(wú)論出現(xiàn)任何水情都不會(huì)遭受損失;若采用方案(2),則僅當(dāng)發(fā)生洪水時(shí),因堤壩沖

27、垮而損失600萬(wàn)元的設(shè)備;若采用方案(3),那么當(dāng)出現(xiàn)平水位時(shí)不遭受損失,發(fā)生高水位時(shí)損失部分設(shè)備100萬(wàn)元,發(fā)生洪水時(shí)損失設(shè)備600萬(wàn)元.根據(jù)上述條件,選擇最佳決策方案.又設(shè)發(fā)生洪水的概率能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào),試對(duì)出現(xiàn)評(píng)水水位和高水水位的概率進(jìn)行靈敏度分析. (1) 假設(shè) (1) 通過(guò)比較各方案的效益期望值的大小來(lái)評(píng)定方案的優(yōu)劣,損失最小為最佳方案. (2) 把每個(gè)行動(dòng)方案都看作離散隨機(jī)變量,其取值就是改方案對(duì)應(yīng)于各自然狀態(tài)的效益值. (2)模型的建立 把各種情況用決策樹(shù)表示(圖 5-2),其中 表示決策點(diǎn),從它引出的分支枝稱為方案分枝,分枝的數(shù)目就是方案的個(gè)數(shù). 表示機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn),從它引出的分枝稱為概

28、率分枝.一條概率分枝代表一種狀態(tài),標(biāo)有相應(yīng)發(fā)生的概率. 表示末梢節(jié)點(diǎn),右邊的數(shù)字代表各個(gè)方案在不同狀態(tài)下的效益值.在決策樹(shù)上的計(jì)算是從右往左的,遇到機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn),就計(jì)算該點(diǎn)期望值,將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)上方,遇到?jīng)Q策點(diǎn),比較各方案分枝的效益期望值,決定優(yōu)劣.淘汰的打上:”+”號(hào),余下的為最佳方案,其效益期望值標(biāo)在決策點(diǎn)旁 運(yùn)走 -18 萬(wàn)元 不發(fā)生洪水 0.9 -5 萬(wàn)元 發(fā)生洪水 0.1 -605 萬(wàn)元 平水位 0.7 0 高水位 0.2 -100 萬(wàn)元 發(fā)生洪水 0.1 -600 萬(wàn)元 . 圖 5-2 (3) 求解 我們用 E 表示數(shù)學(xué)期望,則有 (1) E(B)=0.9(-5)+0.1(-605)=

29、-65(萬(wàn)元) (2) E(C)=0.70+0.2(-100)+0.1(-600)=-80(萬(wàn)元) (3) 另一期望值為-18 萬(wàn)元. 在第一級(jí)決策點(diǎn) A 處進(jìn)行比較可知,運(yùn)走的是最佳決策方案,其效益期望值為-18 萬(wàn). (4)穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定性是各類實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常要考慮的,它主要考察通過(guò)建模得到的問(wèn)題的解對(duì)原問(wèn)題的一些初始數(shù)據(jù)變化的依賴程度.我們知道,由于測(cè)量?jī)x器的不精確及人類不能控制的一些因素,在試驗(yàn)中所測(cè)量的數(shù)據(jù)總會(huì)有些偏差.如果較小的測(cè)量誤差不會(huì)引起解的較大誤差,這種解是可以信賴的.反之,如果初始值較小的誤差會(huì)帶來(lái)解的”大幅度振蕩”,那么,即使數(shù)學(xué)模型建立的再合理,其解也可能于真實(shí)的結(jié)果

30、相差甚遠(yuǎn),從而使建模過(guò)程變得毫無(wú)意義.因此,分析模型最終的解對(duì)一些原始值微小變化的靈敏程度是每個(gè)模型必須考慮的問(wèn)題,有時(shí),穩(wěn)定性分析也稱為靈敏度分析.根據(jù)客觀問(wèn)題不同,穩(wěn)定性的意義及穩(wěn)定性分析的方法也有所不同. 在本例中一旦初始數(shù)據(jù)(如概率,運(yùn)費(fèi)等)發(fā)生變化,將會(huì)引起效益期望值E(B), E(C)的變化,從而極有可能引起最佳決策方案選擇上的改變.相比較而言,出現(xiàn)各種水情的概率較之于運(yùn)費(fèi)及損失費(fèi)等各種費(fèi)用更容易產(chǎn)生誤差.為簡(jiǎn)化起見(jiàn),下面假設(shè)在不發(fā)生洪水的情況下,并不考慮運(yùn)走施工設(shè)備的方案,針對(duì)出現(xiàn)平水位和高水位的概率進(jìn)行穩(wěn)定性分析.首先引入概念:使各行動(dòng)方案具有相同效益期望值的自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率

31、稱為轉(zhuǎn)折概率. 設(shè)出現(xiàn)平水水情的概率為,這出現(xiàn)高水水情的概率為1-,令 -5=0. + (1-)(-100) =0.95 =0.95 即為使采取方案2 的期望效益值與采取方案 3 的期望效益值相同的轉(zhuǎn)折概率.可以驗(yàn)證,當(dāng)出現(xiàn)平水位的概率大于0.95 時(shí),方案3 為最佳方案;當(dāng)出現(xiàn)平水位的概率小于0.95 時(shí),方案2 為最佳方案,這也正是轉(zhuǎn)折概率的含義.同時(shí),我們也看到,當(dāng)我們預(yù)測(cè)的平水位概率接近 0.95 時(shí),將給選則方案帶來(lái)極大的不穩(wěn)定因素.例如,若=0.94990.95,雖然概率變化極小,選擇方案卻發(fā)生了變化,此時(shí)我們將選則方案3. 5.4 合作對(duì)策模型 一般來(lái)講， 從事某一活動(dòng)的各方若能

32、通力合作， 通?？梢垣@得比個(gè)人單干更大的總效益（或更小的開(kāi)支。這里尋求的不是 112 的等式，而是獲得 112 的效果。當(dāng)然，這種合作的基礎(chǔ)便是合作各方應(yīng)合理地分配效益。 如何合理地分配效益便是本節(jié)n人合作對(duì)策所介紹的問(wèn)題。 設(shè)有一n人的集合nI, 2 , 1，其元素是合作的可能參加者。 （1）對(duì)每一子集IS ，對(duì)應(yīng)地可以確定一個(gè)實(shí)數(shù) SV，其值的實(shí)際意義為：如果 S 中的人參加此項(xiàng)合作，則此合作的總獲利數(shù)為 SV。 SV滿足下列性質(zhì)： 0V（空集 表示無(wú)人參加合作） ； 2121SVSVSSV。當(dāng)21SS 時(shí)，將具有此性質(zhì)的 SV稱為 I 的特征函數(shù)。 性質(zhì)是很關(guān)鍵的，否則，如果兩個(gè)集團(tuán)合作

33、的獲利比單干的總和還少，這種合作便毫無(wú)意義。 （2）定義合作結(jié)果 SV的分配為 VVVVn,21，其中 Vi表示第i人在這種合作下分配到的獲利。 V稱為合作對(duì)策。 合理分配原則為 V應(yīng)滿足 合作獲利對(duì)每人的分配與此人的標(biāo)號(hào)無(wú)關(guān)； niiIVV1； （5-9） 若對(duì)所有包含i的子集iS 有 SViSV，則 0Vi； 若此n人同時(shí)進(jìn)行兩項(xiàng)互不影響的合作，則兩則合作的分配也應(yīng)互不影響；每人的分配額即兩項(xiàng)合作單獨(dú)進(jìn)行時(shí)應(yīng)分配數(shù)的和。 對(duì)性質(zhì)我們稍加說(shuō)明。顯然， SVisV表示從獲利的角度講，合作有 i參與和沒(méi)有i參與是一樣的，即i對(duì)合作沒(méi)有貢獻(xiàn)，故其效益分配 0Vi。 可以證明滿足這 4 個(gè)性質(zhì)的合作

34、對(duì)策 V的唯一存在的，而且，這樣的 V可按下面的公式給出： niiSVSVSWVSiSi, 2 , 1 （5-10） 其中iS是 I 中包含 i的一切子集所構(gòu)成的集合，S表示 S 中的元素個(gè)數(shù)，記 !1nSnSSW （5-11） （5-10）式理解起來(lái)也不難。公式中 iSVSV項(xiàng)即表示 i參與 S 的合作對(duì)獲利的貢獻(xiàn)， Vi不過(guò)是將 i的所有貢獻(xiàn)按某種權(quán)加起來(lái)。不難看出，合作對(duì)策能夠?qū)崿F(xiàn)的基礎(chǔ)之一是對(duì)每個(gè)參加者，合作獲得應(yīng)不少于單干時(shí)的獲利（或合作時(shí)的開(kāi)支不大于單干時(shí)的開(kāi)支） 。用數(shù)學(xué)式子表示，即對(duì)每一Ii，須滿足 iVVi。易證， （5-10）式中的 Vi滿足該條件。 合作對(duì)策分擔(dān)費(fèi)用問(wèn)題

35、有三個(gè)位于某河流同旁的城鎮(zhèn) A,B,C(見(jiàn)圖)。 20 河 38 圖中單位： （公里） 城 C 城 B 城 A 三城的污水必須經(jīng)處理后方能排入河中，三城可單獨(dú)建立污水處理廠，也可以通過(guò)管道輸送合作建廠。假設(shè)污水只能由上游送往下游。 用 Q 表示污水量，單位為 m3/s 表示管道長(zhǎng)度，單位為公里，則有經(jīng)驗(yàn)公式： 建廠費(fèi)用：C1=730Q712. 0 (千元) 管道費(fèi)用：C2=6.6Q51. 0L(千元) 已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為 QA=5m3/S, QB=3m3/S, QC=5m3/S,問(wèn)三城鎮(zhèn)怎樣處理污水可使總開(kāi)支最小，又每一城鎮(zhèn)負(fù)擔(dān)的費(fèi)用應(yīng)為多少？ （1） 分析 通過(guò)分析，此問(wèn)題中三城鎮(zhèn)處理污水可有 5 種方案： 每城各建一處理廠； 城 A,城 B 各建一個(gè)，城 C 單建（A,B 城合作建于 B 處） ； 城 A 單建，城 B，城 C 合作建廠（B,C 城合作建于 C 處） ； 城 A,城 C 合建，城 B 單建（城 A,城 C 合作建于 C 處）; 三城合建一廠（建于 C 處）. (2)建模與求解 運(yùn)用公式 C1=730Q712. 0,C2=6.6Q51. 0L 可以算出各方案所需的總投資 額為：方案6200 千元；方案5800 千元；方案5950 千元；方案6230 千元；方案5560 千元。 比較一下可知三城合作總投資額為最少，因此