不可約多項(xiàng)式的判定及應(yīng)用(黃嘉盛)課件

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上不可約多項(xiàng)式的判定及應(yīng)用摘 要多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)的重要組成部分，而不可約多項(xiàng)式是多項(xiàng)式中重要的概念. 本文主要對有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判別方法進(jìn)行整理歸納, 較為系統(tǒng)的給出不可約多項(xiàng)式的判定方法。對于一般的不可約多項(xiàng)式的判定有Eisenstein判別法、Kronecker判別法、Perron判別法、Browm判別法等。研究了各判定方法的等價(jià)和包含關(guān)系。此外，我們還給出了不可約多項(xiàng)式的一些應(yīng)用。關(guān)鍵詞不可約多項(xiàng)式；判定方法；應(yīng)用 2. 不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)2.1 整除的概念設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，對于中任意兩個(gè)多項(xiàng)式與，其中，一定有中的多項(xiàng)式，存在，使得成立，其中或者，

2、并且這樣的，是唯一決定的。定義2.1 數(shù)域P上的多項(xiàng)式稱為能整除，如果有數(shù)域P上的多項(xiàng)式使等式=成立，我們用“|”表示整除，用“”表示不能整除。定理2.1 對于數(shù)域P上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式,其中,|的充分必要條件是除的余式為零。證明: 如果= 0那么=,即|。反過來，如果|，那么=+0，即= 0。注1: 帶余除法中必須不為零。下面介紹整除性的幾個(gè)常用性質(zhì):（1） 如果|,|,那么，其中為非零常數(shù)。（2）如果|,|，那么|（整除的傳遞性）。（3） |,|，那么|，其中是數(shù)域P上任意多項(xiàng)式。2.2 本原多項(xiàng)式若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)互素， 那么叫做一個(gè)本原多項(xiàng)式。2.3 有理數(shù)域上多項(xiàng)式的等價(jià)設(shè)有理

3、數(shù)域上的一個(gè)多項(xiàng)式， 若的系數(shù)不全是整數(shù)，那么以系數(shù)分母的一個(gè)公倍數(shù)乘就得到一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。顯然，多項(xiàng)式與在有理數(shù)域上同時(shí)可約或同時(shí)不可約。2.4 多項(xiàng)式的不可約相關(guān)概念在中學(xué)我們學(xué)過一些具體方法，把一個(gè)多項(xiàng)式分解為不能再分的因式的乘積，但并沒有深入探討和討論這個(gè)問題，并沒有嚴(yán)格地論證它們是否真的不可再分，所謂不可再分的概念，其實(shí)不是絕對的，而是相對于系數(shù)的數(shù)域而言，有例如下把進(jìn)行分解，可分解為但這是相對于有理數(shù)域而言的，對于實(shí)數(shù)域來說還可分進(jìn)一步為而在復(fù)數(shù)域上，還可以再進(jìn)一步分解為由此可見，必須明確系數(shù)域后，所謂的不可再分，才有確切的涵義。在下面的討論中，仍然須選定一個(gè)數(shù)域P作為系數(shù)域，數(shù)

4、域P上多項(xiàng)環(huán)P中多項(xiàng)式的因式分解相關(guān)的不可約定義如下定義2.4.1 數(shù)域P上的次數(shù)1的多項(xiàng)式稱為域P上的不可約多項(xiàng)式，如果它不能表示成數(shù)域P上兩個(gè)次數(shù)比的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積。我們要談的多項(xiàng)式的不可約性問題的相關(guān)事實(shí)如下（1）一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式;（2）一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴于系數(shù)域的;（3）不可約多項(xiàng)式與任一多項(xiàng)式之間只能是有兩種關(guān)系，或者或者，事實(shí)上，如果，那么或者是1，或者是，當(dāng)= 時(shí)，就有。2.5 有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的定義 如果是有理數(shù)域上次數(shù)大于零的多項(xiàng)式且不能表示成有理數(shù)域上兩個(gè)次數(shù)比它低的多項(xiàng)式的乘積， 則稱為有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式。3. 有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的

5、判定方法3.1 Eisenstein判別法在高等代數(shù)中，Eisenstein判別法是最為經(jīng)典和著名的，也是現(xiàn)行有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式判定判定方法中最為實(shí)用的。而人們長久以來的研究衍生出了許多不同的方法。3.1.1直接判別法定理3.1.1 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，其中，設(shè)存在一個(gè)素?cái)?shù)，使得 不整除，整除（）但不整除，那么多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。3.1.2 間接判別法對于分圓多項(xiàng)式不能直接應(yīng)用 Eisenstein判別法，可以做適當(dāng)?shù)淖冃沃蟊憧梢詰?yīng)用了。在學(xué)習(xí)的過程中，面對此類問題，因?yàn)槠湎禂?shù)較高，不能用定義法去判定。我們所學(xué)的也只有Eisenstein判別法，但不能直接運(yùn)用?？紤]到多項(xiàng)式的等價(jià)

6、，對多項(xiàng)式我們可以做適當(dāng)代換，這樣產(chǎn)生了 Eisenstein判別法的間接判別法。定理3.1.2 有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的充分必要條件是: 對于任意的有理數(shù)和，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。例1 證明在Q上不可約。證明: 取，則不整除1，整除4,6,2，不整除2由 Eisenstein判別法知在Q上不可約，因此在Q上不可約。3.1.3 其他派生出的判別法這種由Eisenstein判別法派生出的方法與Eisenstein判別法相類似，能夠用來判定Eisenstein判別法所不能判定的一類有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式。定理3.1.3 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果存在一個(gè)素?cái)?shù)，使整除常數(shù)項(xiàng)但整除其他

7、各項(xiàng)系數(shù)且不整除最高次數(shù)項(xiàng)系數(shù)，那么多項(xiàng)式在有理數(shù)上不可約。例2下列多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約？； (2) ； ，為奇素?cái)?shù)；，為整數(shù).解: (1) 令，則有取素?cái)?shù)=2，由于21,2 | 2,但是2故由Eisenstein判別法可知，在有理數(shù)上不可約，從而=在有理數(shù)域上也不可約。(2) 取素?cái)?shù)=2,則21,2 | -8,2 | 12，但是2故由Eisenstein判別法可知，該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上也不可約。(3) 令，代入=,得取素?cái)?shù)=3。由于31,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是3，故由Eisenstein判別法可知，在有理數(shù)上不可約，從而在有理

8、數(shù)域上也不可約。(4) 令,代入=,得由于是素?cái)?shù)，且,，故由Eisenstein判別法可知，在有理數(shù)上不可約，從而在有理數(shù)域上也不可約。（5）令，代入 =得取素?cái)?shù)=2，由于21，又2 | 4,2 | 6,2|(4k+4)，2 | (4k+2)，但(4k+2)，故由Eisenstein判別法可知，在有理數(shù)上不可約，從而在有理數(shù)域上也不可約。3.2 Kronerker判別法定理3.2.1 設(shè)，這里為有理數(shù)域。則在有限步下能分解成不可約多項(xiàng)式的乘積。 （只考慮整系數(shù)多項(xiàng)式的情形）例3 證明在上不可約。證明：取，則從而的因子是0，的因子是1，的因子是1，故令應(yīng)用插值多項(xiàng)式：由帶余除法可知，不整除，不整

9、除，所以在Q上不可約。3.3 Perron判別法定理3.3.1 設(shè)是多項(xiàng)式，如果，則在Q上不可約。例4 證明在Q上不可約證明：該題不滿足艾森斯坦判別法，但其為整系數(shù)多項(xiàng)式，滿足Perron判別法的條件，由題意可知，所以據(jù)Perron判別法可知該多項(xiàng)式在Q上不可約。3.4 Brown判別法定理3.4.1 設(shè)是次整系數(shù)多項(xiàng)式，令表示中1的個(gè)數(shù)，表示中的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，如果，則在Q上不可約。例5 證明在Q上不可約證明：故所以多項(xiàng)式在Q上不可約。3.5 多項(xiàng)式無有理因式判別法定理3.5.1 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若沒有次數(shù)小于和等于的有理因式，并且存在素?cái)?shù)，使：（1）至少不整除中的一個(gè)（2）（3）那么，在

10、有理數(shù)域上不可約。定理3.5.2 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若沒有次數(shù)小于和等于的有理因式，并且存在素?cái)?shù)，使：（1）至少不整除中的一個(gè)（2）（3）那么，在有理數(shù)域上不可約。這種方法在應(yīng)對沒有不小于二次的有理因式的判定時(shí)，因?yàn)槠湫枰?jì)算機(jī)計(jì)算來得到，所以在此種情況下，沒有克羅奈克的方法更加的簡便。3.6 模約化處理判定法定理3.6.1 ，是素?cái)?shù)，其中，則在中不可約。定理3.6.2 ，是素?cái)?shù)，其中，則在中不可約。定理3.6.3 ，是素?cái)?shù)，其中，則在中不可約。定理3.6.4 ，是素?cái)?shù)，其中，無理想根，則在中不可約。例6判斷以下多項(xiàng)式在中是否可約:解：（1）其中,由定理2.5.1, 在中不可約.（2）其中

11、，由定理2.5.3，在中不可約.（3），5整除其余各項(xiàng)系數(shù)，其中，因?yàn)榈南禂?shù)全為正數(shù)，所以的有理根只可能為負(fù)數(shù)，設(shè)是的有理根，則，所以均不是整式，所以無有理根，由定理2.5.4，在中不可約。4. 兩類特殊不可約多項(xiàng)式的判定4.1 奇次不可約多項(xiàng)式的判定 定理4.1.1 對于整系數(shù)奇次多項(xiàng)式 若存在素?cái)?shù)使得 （1） （2） （3） （4）那么，在有理數(shù)域上不可約。4.2 系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式的判定 定理4.2.1 已知是系數(shù)為1的多項(xiàng)式。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上可約；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如果為合數(shù)，在上可約，如果為素?cái)?shù)，在上不可約。推論4.2.2 已知是系數(shù)在的多項(xiàng)式 。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上可約； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如

12、果為合數(shù)，在上可約，如果為素?cái)?shù)，在上不可約。推論4.2.3已知是系數(shù)在的多項(xiàng)式 。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上可約；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如果為合數(shù)，在上可約。5. 不可約多項(xiàng)式的應(yīng)用5.1 不可約多項(xiàng)式在重因式中的應(yīng)用定義5.1.1 不可約多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式的重因式，如果，而。如果，那么根本不是的因式；如果，那么稱為的單因素；如果，那么稱為的重因式。如果的標(biāo)準(zhǔn)分解式為那么分別是的重，重，重因式。定理5.1.2 如果不可約多項(xiàng)式是的重因式，那么它是微商的重因式。推論5.1.3 如果不可約多項(xiàng)式是的重因式，那么是的因式，但不是的因式。推論5.1.4 不可約多項(xiàng)式是的重因式的充分必要條件為是與的公因式。作為重因式的概念定

13、義的基礎(chǔ)，不可約多項(xiàng)式的應(yīng)用從此可見一斑。5.2 不可約多項(xiàng)式在多項(xiàng)式互素中的應(yīng)用定理5.2.1 中兩個(gè)多項(xiàng)式互素的充要條件是有中的多項(xiàng)式使。定理5.2.2 如果,且,那么。例7 證明：如果，那么解：假設(shè)，則一定存在不可約多項(xiàng)式使得|和|又因?yàn)椴豢杉s，則有|或|這樣或，與條件矛盾。所以例8 設(shè)都是多項(xiàng)式，而且。求證：。解:假設(shè)，則存在不可約多項(xiàng)式，使得和,又因?yàn)椴豢杉s，故存在，使得,則有這與條件矛盾，故例9 證明：如果，那么。解: 假設(shè)，則存在不可約多項(xiàng)式使得和又因?yàn)椴豢杉s，則有|或|。不妨設(shè)|，由|和可得：|所以，|，|同時(shí)成立，即：這與條件矛盾，故有。6. 結(jié) 論 本文通過相關(guān)資料的收集與整理，對有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定方法做了整理和歸納。對一般的多項(xiàng)式給出了克羅內(nèi)克（Kronecker）判別法、艾森斯坦(Eisenstein)判別法、Perron判別法、Brown判別法、沒有有理因式的判別法、模約化判別法(為素?cái)?shù))。其中艾森斯坦(Eisenstein)判別法是最為經(jīng)典實(shí)用的方法，也是現(xiàn)行課本中的判別法。但有其一定的局限性。 對于克羅內(nèi)克（Kronecker）判別法，其大多依賴于計(jì)算機(jī)，實(shí)用不大。Perron判別法和Brown判別法為國外引進(jìn)方法，我國數(shù)學(xué)學(xué)者在其有一定的研究基礎(chǔ)。模約化判別法(為素?cái)?shù))是我國提出來的應(yīng)用抽象代數(shù)知識對多項(xiàng)