上海市高考數(shù)學(xué)試卷文科答案與解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2012年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）1（4分）（2012上海）計算：=12i（i為虛數(shù)單位）考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：由題意，可對復(fù)數(shù)代數(shù)式分子與分母都乘以1i，再由進(jìn)行計算即可得到答案解答：解：故答案為12i點評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，解題的關(guān)鍵是分子分母都乘以分母的共軛，復(fù)數(shù)的四則運算是復(fù)數(shù)考查的重要內(nèi)容，要熟練掌握2（4分）（2012上海）若集合A=x|2x10，B=x|x|1，則AB=（，1）考點：交集及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：由題意，可先化簡

2、兩個集合A，B，再求兩個集合的交集得到答案解答：解：由題意A=x|2x10=x|x，B=x|1x1，AB=（，1）故答案為（，1）點評：本題考查交的運算，是集合中的基本題型，解題的關(guān)鍵是熟練掌握交集的定義3（4分）（2012上海）函數(shù)的最小正周期是考點：二階矩陣；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：先根據(jù)二階行列式的公式求出函數(shù)的解析式，然后利用二倍角公式進(jìn)行化簡，最后根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2T=函數(shù)的最小正周期是故答案為：點評：本題主要考查了二階行列式，以及三角函數(shù)的化簡和周期的求解，同時

3、考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題4（4分）（2012上海）若是直線l的一個方向向量，則l的傾斜角的大小為arctan（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）考點：平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：根據(jù)直線的方向向量的坐標(biāo)一般為（1，k）可得直線的斜率，根據(jù)tan=k，最后利用反三角可求出傾斜角解答：解：是直線l的一個方向向量直線l的斜率為即tan=則l的傾斜角的大小為arctan故答案為：arctan點評：本題主要考查了直線的方向向量，解題的關(guān)鍵是直線的方向向量的坐標(biāo)一般為（1，k），同時考了反三角的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5（4分）（2012上海）一個高為2的圓柱，底面周長為2，該圓柱的表面積為

4、6考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：求出圓柱的底面半徑，然后直接求出圓柱的表面積即可解答：解：因為一個高為2的圓柱，底面周長為2，所以它的底面半徑為：1，所以圓柱的表面積為S=2S底+S側(cè)=2×12×+2×2=6故答案為：6點評：本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積的求法，考查計算能力6（4分）（2012上海）方程4x2x+13=0的解是x=log23考點：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可將方程4x2x+13=0變形為（2x）22×2x3=0然后將2x看做整體解關(guān)于2x的一元二次方程即可解答：解

5、：4x2x+13=0（2x）22×2x3=0（2x3）（2x+1）=02x02x3=0x=log23故答案為x=log23點評：本題主要考差了利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)解有關(guān)指數(shù)類型的方程解題的關(guān)鍵是要將方程4x2x+13=0等價變形為（2x）22×2x3=0然后將2x看做整體再利用因式分解解關(guān)于2x的一元二次方程7（4分）（2012上海）有一列正方體，棱長組成以1為首項、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1，V2，Vn，則（V1+V2+Vn）考點：數(shù)列的極限；棱柱、棱錐、棱臺的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：由題意可得，正方體的體積=是以1為首項，以為公比的等比數(shù)，由等不數(shù)列

6、的求和公式可求解答：解：由題意可得，正方體的棱長滿足的通項記為an則=是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列則（V1+V2+vn）=故答案為：點評：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式及數(shù)列極限的求解，屬于基礎(chǔ)試題8（4分）（2012上海）在的二項式展開式中，常數(shù)項等于20考點：二項式定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：研究常數(shù)項只需研究二項式的展開式的通項，使得x的指數(shù)為0，得到相應(yīng)的r，從而可求出常數(shù)項解答：解：展開式的通項為Tr+1=x6r（）r=（1）r x62r令62r=0可得r=3常數(shù)項為（1）3=20故答案為：20點評：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是寫出展開式的通項公式

7、，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題9（4分）（2012上海）已知y=f（x）是奇函數(shù)，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，則g（1）=3考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：由題意y=f（x）是奇函數(shù)，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（1）=4，從而解出答案解答：解：由題意y=f（x）是奇函數(shù)，g（x）=f（x）+2g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4又g（1）=11+g（1）=4，解得g（1）=3故答案為：3點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)得到恒成立的等式，再利

8、用所得的恒等式通過賦值求函數(shù)值10（4分）（2012上海）滿足約束條件|x|+2|y|2的目標(biāo)函數(shù)z=yx的最小值是2考點：簡單線性規(guī)劃菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：作出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=yx可得y=x+z，則z為直線在y軸上的截距，解決越小，z越小，結(jié)合圖形可求解答：解：作出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示由于z=yx可得y=x+z，則z為直線在y軸上的截距，截距越小，z越小結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線y=x+z過C時z最小，由可得C（2，0），此時Z=2最小故答案為：2點評：借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定11（

9、4分）（2012上海）三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項目的比賽，若每人只選擇一個項目，則有且僅有兩人選擇的項目相同的概率是（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）考點：古典概型及其概率計算公式；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計分析：先求出三個同學(xué)選擇的所求種數(shù)，然后求出有且僅有兩人選擇的項目完全相同的種數(shù)，最后利用古典概型及其概率計算公式進(jìn)行求解即可解答：解：每個同學(xué)都有三種選擇：跳高與跳遠(yuǎn)；跳高與鉛球；跳遠(yuǎn)與鉛球三個同學(xué)共有3×3×3=27種有且僅有兩人選擇的項目完全相同有××=18種其中表示3個同學(xué)中選2個同學(xué)選擇的項目，表示從三種組合

10、中選一個，表示剩下的一個同學(xué)有2種選擇故有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是=故答案為：點評：本題主要考查了古典概型及其概率計算公式，解題的關(guān)鍵求出有且僅有兩人選擇的項目完全相同的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題12（4分）（2012上海）在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取值范圍是1，4考點：平面向量數(shù)量積的運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：先以所在的直線為x軸，以所在的直線為x軸，建立坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，根據(jù)兩個點的位置得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出兩個向量的數(shù)量積，根據(jù)動點的位置得到自變量的取值范圍，做出函數(shù)的范圍，即要求得數(shù)量積的范圍

11、解答：解：以所在的直線為x軸，以所在的直線為x軸，建立坐標(biāo)系如圖，AB=2，AD=1，A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），設(shè)M（2，b），N（x，1），b=，=（2，），=，1，即14故答案為：1，4點評：本題主要考查平面向量的基本運算，概念，平面向量的數(shù)量積的運算，本題解題的關(guān)鍵是表示出兩個向量的坐標(biāo)形式，利用函數(shù)的最值求出數(shù)量積的范圍，本題是一個中檔題目13（4分）（2012上海）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、C（1，0），函數(shù)y=xf（x）（0x1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為考點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：

12、計算題；壓軸題分析：先利用一次函數(shù)的解析式的求法，求得分段函數(shù)f（x）的函數(shù)解析式，進(jìn)而求得函數(shù)y=xf（x）（0x1）的函數(shù)解析式，最后利用定積分的幾何意義和微積分基本定理計算所求面積即可解答：解：依題意，當(dāng)0x時，f（x）=2x，當(dāng)x1時，f（x）=2x+2f（x）=y=xf（x）=y=xf（x）（0x1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為S=+=x3+（+x2）=+=故答案為：點評：本題主要考查了分段函數(shù)解析式的求法，定積分的幾何意義，利用微積分基本定理和運算性質(zhì)計算定積分的方法，屬基礎(chǔ)題14（4分）（2012上海）已知，各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1，an+2=f（an），若a2010

13、=a2012，則a20+a11的值是考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：根據(jù)，各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1，an+2=f（an），可確定a1=1，a7=，利用a2010=a2012，可得a2010=（負(fù)值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得結(jié)論解答：解：，各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1，an+2=f（an），a1=1，a7=，a2010=a2012，a2010=（負(fù)值舍去），由a2010=得a2008=依次往前推得到a20=a20+a11=故答案為：點評：本題主要考查數(shù)列的概念、組成和性質(zhì)、同時考查函數(shù)的概念理解條件an+2=f（an），是解決問題的關(guān)鍵

14、，本題綜合性強，運算量較大，屬于中高檔試題二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）15（5分）（2012上海）若i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根，則（）Ab=2，c=3Bb=2，c=1Cb=2，c=1Db=2，c=3考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算；復(fù)數(shù)相等的充要條件菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：由題意，將根代入實系數(shù)方程x2+bx+c=0整理后根據(jù)得數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于實數(shù)a，b的方程組，解方程得出a，b的值即可選出正確選項解答：解：由題意1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=01+2i2+b+bi+c=0，即，解得b=2，c=3故選D點評：本題考查復(fù)數(shù)相等的充要條

15、件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，能根據(jù)它得到關(guān)于實數(shù)的方程，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基本計算題16（5分）（2012上海）對于常數(shù)m、n，“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：常規(guī)題型分析：先根據(jù)mn0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓；這里可以利用舉出特值的方法來驗證，再看方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓，根據(jù)橢圓的方程的定義，可以得出mn0，即可得到結(jié)論解答：解：當(dāng)mn0時，方程mx2+ny2=1的曲線不一定是橢圓，例如

16、：當(dāng)m=n=1時，方程mx2+ny2=1的曲線不是橢圓而是圓；或者是m，n都是負(fù)數(shù)，曲線表示的也不是橢圓；故前者不是后者的充分條件；當(dāng)方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓時，應(yīng)有m，n都大于0，且兩個量不相等，得到mn0；由上可得：“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的必要不充分條件故選B點評：本題主要考查充分必要條件，考查橢圓的方程，注意對于橢圓的方程中，系數(shù)要滿足大于0且不相等，本題是一個基礎(chǔ)題17（5分）（2012上海）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，則ABC的形狀是（）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D不能確定考點：三角形的形狀判斷菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：三

17、角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：利用正弦定理將sin2A+sin2Bsin2C，轉(zhuǎn)化為a2+b2c2，再結(jié)合余弦定理作出判斷即可解答：解：在ABC中，sin2A+sin2Bsin2C，由正弦定理=2R得，a2+b2c2，又由余弦定理得：cosC=0，0C，C故ABC為鈍角三角形故選A點評：本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18（5分）（2012上海）若（nN*），則在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（）A16B72C86D100考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；綜合題；壓軸題分析：由于sin0，sin0，sin0，sin=0，sin0，sin

18、0，sin=0，可得到S10，S130，而S14=0，從而可得到周期性的規(guī)律，從而得到答案解答：解：sin0，sin0，sin0，sin=0，sin0，sin0，sin=0，S1=sin0，S2=sin+sin0，S8=sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin0，S120，而S13=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S10，S16=S20，S27=S13=0，S28=S14=0，S14n1=0，S14n=0（nN*），在1，2，100中，能被14整除的共7項，在S1，S2，

19、S100中，為0的項共有14項，其余項都為正數(shù)故在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是86故選C點評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，通過分析sin的符號，找出S1，S2，S100中，S14n1=0，S14n=0是關(guān)鍵，也是難點，考查學(xué)生分析運算能力與冷靜堅持的態(tài)度，屬于難題三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）19（12分）（2012上海）如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點，已知BAC=，AB=2，PA=2，求：（1）三棱錐PABC的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）考點：異面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題

20、：常規(guī)題型；綜合題分析：（1）首先根據(jù)三角形面積公式，算出直角三角形ABC的面積：SABC=，然后根據(jù)PA底面ABC，結(jié)合錐體體積公式，得到三棱錐PABC的體積；（2）取BP中點E，連接AE、DE，在PBC中，根據(jù)中位線定理得到DEBC，所以ADE（或其補角）是異面直線BC、AD所成的角然后在ADE中，利用余弦定理得到cosADE=，所以ADE=arccos是銳角，因此，異面直線BC與AD所成的角的大小arccos解答：解：（1）BAC=，AB=2，SABC=×2×=又PA底面ABC，PA=2三棱錐PABC的體積為：V=×SABC×PA=；（2）取BP中

21、點E，連接AE、DE，PBC中，D、E分別為PC、PB中點DEBC，所以ADE（或其補角）是異面直線BC、AD所成的角在ADE中，DE=2，AE=，AD=2cosADE=，可得ADE=arccos（銳角）因此，異面直線BC與AD所成的角的大小arccos點評：本題給出一個特殊的三棱錐，以求體積和異面直線所成角為載體，考查了棱柱、棱錐、棱臺的體積和異面直線及其所成的角等知識點，屬于基礎(chǔ)題20（14分）（2012上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范圍；（2）若g（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0x1時，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）（x1，2）的

22、反函數(shù)考點：函數(shù)的周期性；反函數(shù)；對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：（1）應(yīng)用對數(shù)函數(shù)結(jié)合對數(shù)的運算法則進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性和反函數(shù)知識進(jìn)行求解解答：解：（1）f（12x）f（x）=lg（12x+1）lg（x+1）=lg（22x）lg（x+1），要使函數(shù)有意義，則由解得：1x1由0lg（22x）lg（x+1）=lg1得：110，x+10，x+122x10x+10，由，得：（2）當(dāng)x1，2時，2x0，1，y=g（x）=g（x2）=g（2x）=f（2x）=lg（3x），由單調(diào)性可知y0，lg2，又x=310y，所求反函數(shù)是y=310x，x0，lg2點評：本

23、題考查對數(shù)的運算以及反函數(shù)與原函數(shù)的定義域和值域相反等知識，屬于易錯題21（14分）（2012上海）海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處，如圖，現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)t小時后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t（1）當(dāng)t=0.5時，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo)，若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？考點：圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：應(yīng)用題分析：（1）t=

24、0.5時，確定P的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程中，可得P的縱坐標(biāo)，利用|AP|=，即可確定救援船速度的大小和方向； （2）設(shè)救援船的時速為v海里，經(jīng)過t小時追上失事船，此時位置為（7t，12t2），從而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到結(jié)論解答：解：（1）t=0.5時，P的橫坐標(biāo)xP=7t=，代入拋物線方程中，得P的縱坐標(biāo)yP=32分由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時4分由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向為北偏東arctan 弧度6分（2）設(shè)救援船的時速為v海里，經(jīng)過t小時追上失事船，此時位置為（7t，12t2）由vt=，整理得10分因為，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時

25、等號成立，所以v2144×2+337=252，即v25因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船14分點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與運用選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題22（16分）（2012上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：2x2y2=1（1）設(shè)F是C的左焦點，M是C右支上一點，若，求點M的坐標(biāo)；（2）過C的左焦點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；（3）設(shè)斜率為k（）的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OPOQ考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；直線與圓的位置關(guān)系；雙曲線的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

26、專題：計算題；綜合題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）求出雙曲線的左焦點F的坐標(biāo)，設(shè)M（x，y），利用|MF|2=（x+）2+y2，求出x的范圍，推出M的坐標(biāo)（2）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸近線的交點，然后求出平行四邊形的面積（3）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，通過直線PQ與已知圓相切，得到b2=k2+1，通過求解=0證明POOQ解答：解：（1）雙曲線C1：的左焦點F（），設(shè)M（x，y），則|MF|2=（x+）2+y2，由M點是右支上的一點，可知x，所以|MF|=2，得x=，所以M（）（2）左焦點F（），漸近線方程為：y=±x過F與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+

27、），即y=，所以，解得所以所求平行四邊形的面積為S=（3）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，因直線PQ與已知圓相切，故，即b2=k2+1，由，得（2k2）x22bkxb21=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=由式可知，故POOQ點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，點到直線的距離的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力23（18分）（2012上海）對于項數(shù)為m的有窮數(shù)列an，記bk=maxa1，a2，ak（k=1，2，m），即bk為a1，a2，ak中的最大值，并稱數(shù)列bn是an的控制數(shù)列，如1，3，2，5，5的控制數(shù)列是1，3，3，5，5（1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列an的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫出所有的an（2）設(shè)bn是an的控制數(shù)列，滿足ak+bmk+1=C（C為常數(shù)，k=1，2，m），求證：bk=ak（k=1，2，m）（3）設(shè)m=100，常數(shù)a（，1），an=an2n，bn是an的控制數(shù)列，求（b1a1）+（b2a2）