函數(shù)的凹凸性與作圖

1、第五節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、曲線的凸性一、曲線的凸性曲線的凸性與函數(shù)作圖 第三三章 二、漸近線二、漸近線三、函數(shù)的作圖三、函數(shù)的作圖AB定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,12,(0,1)xxI (1) 若恒有若恒有1212(1)()(1) () ,fxxf xf x則稱則稱的)(xf圖形是圖形是下凸的下凸的; 或稱或稱f (x)為為I上的上的下凸函數(shù)。下凸函數(shù)。yox2x1x221xx 一、曲線的凸性一、曲線的凸性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 弦在弧的上方；切線在曲線的下方。弦在弧的上方；切線在曲線的下方。(2

2、) 若恒有若恒有1212(1)()(1) () ,fxxf xf x則稱則稱的)(xf圖形是圖形是上凸的上凸的; 或稱或稱f (x)為為I上的上的上凸函數(shù)。上凸函數(shù)。弦在弧的下方；切線在曲線的上方。弦在弧的下方；切線在曲線的上方。下凸也稱為凸，上凸也稱為凹。下凸也稱為凸，上凸也稱為凹。yox1x221xx 2x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義1 ：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有若恒有1212()()(),22xxf xf xf 則稱則稱的)(xf圖形是圖形是下凸的下凸的; （弦在弧的上方，或切線在曲線下方弦在

3、弧的上方，或切線在曲線下方）(2) 若恒有若恒有1212()()(),22xxf xf xf 則稱則稱的)(xf圖形是圖形是上凸的上凸的 . （弦在弧的下方，或切線在曲線上方弦在弧的下方，或切線在曲線上方）等價(jià)定義：等價(jià)定義：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 關(guān)于函數(shù)凹凸性的判定關(guān)于函數(shù)凹凸性的判定, 有下面的結(jié)論：有下面的結(jié)論：定理定理1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間在區(qū)間I上可導(dǎo)，則上可導(dǎo)，則 f 在區(qū)間在區(qū)間I上下凸上下凸（上凸）的充要條件是（上凸）的充要條件是f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上單調(diào)增加（減少）上單調(diào)增加（減少）證明：證明：1212(,),(,),xxIxx

4、x 令令221,xxxx 則則112211,(1)xxxxxxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 必要性：必要性：12( )(1)f xfxx若若f 是下凸函數(shù)，由定義有是下凸函數(shù)，由定義有12()(1) ()f xf x 1121( )()()(1) ()()f xf xf xf xf x 21(1)()()f xf x 21111(1)()()( )()f xf xf xf xxxxx 2121()()f xf xxx 221,xxxx 112211,(1)xxxxxxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2212()( )()() (

5、1) ()f xf xf xf xf x 21()()f xf x 21222()()()( )f xf xf xf xxxxx 2121()()f xf xxx 221,xxxx 112211,(1)xxxxxxx 12121212( )()()()()( )f xf xf xf xf xf xxxxxxx令令12,xxxx得：得：12()()fxfx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 充分性：充分性：設(shè)設(shè)( )fx 單調(diào)增加，單調(diào)增加， 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)( )f x分別在區(qū)間分別在區(qū)間12(, )( ,)xxx x和和上用拉格朗日中值定理得：存在上用拉格朗日中值定理得

6、：存在12(, )( ,)xxx x 和和使使得得11( )()( )f xf xfxx 22()( )( )f xf xfxx 2211()( )( )()xxf xf xf xf xxx 1( )( )1f xf x 12( )()(1) ().f xf xf x 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是下凸的內(nèi)圖形是下凸的 ;)(xf(2) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是上凸的內(nèi)圖形是上凸的 .)(xf證證:,21Ixx利用一階泰勒公式可得利用一

7、階泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x221xx )()(2fxf221xx )(f 221xx )(2x221xx !2)(2f 22)(x221xx 兩式相加兩式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx )()(21ff ,0)(時(shí)當(dāng) xf),(2)()(21fxfxf221xx 說(shuō)明說(shuō)明 (1) 成立成立;(2)(f 221xx )(1x221xx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)上有二階導(dǎo)數(shù)證畢證畢例例1. 判斷曲線判斷曲線4xy 的凸性的凸性.解解:,43xy 2

8、12xy 時(shí)，當(dāng)0 x;0 y,0時(shí)x, 0 y故曲線故曲線4xy 在在),(上是下凸的上是下凸的.xyo機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2. 判斷曲線判斷曲線3yx 的凸性的凸性.解解:23,yx 6yx 0 x 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，0 ;y 0 x 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，0,y 故曲線故曲線4xy 在在(, 0內(nèi)是上凸的內(nèi)是上凸的.在在(0 ,)內(nèi)是下凸的內(nèi)是下凸的.曲線凸性的分界點(diǎn)稱為曲線凸性的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn)定義定義2：設(shè)：設(shè)0( )( ),f xC IxI 是是內(nèi)的點(diǎn)，如果曲線在點(diǎn)內(nèi)的點(diǎn)，如果曲線在點(diǎn) 00,()xf x的左右兩側(cè)凸性相反，則稱點(diǎn)的左右兩側(cè)凸性相反，則

9、稱點(diǎn) 00,()xf x為此曲線的拐點(diǎn)為此曲線的拐點(diǎn).注意：拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，不能說(shuō)注意：拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，不能說(shuō)0 x是拐點(diǎn)。是拐點(diǎn)。與極值點(diǎn)不一樣。與極值點(diǎn)不一樣。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例3. 求曲線求曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn). 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此點(diǎn)因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線為曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn) .oxy下凸下凸上凸上凸機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義根據(jù)拐點(diǎn)的定義, 可

10、得可得拐點(diǎn)的判別法拐點(diǎn)的判別法如下如下:若曲線若曲線)(xfy ,0連續(xù)在點(diǎn)x0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 兩側(cè)兩側(cè)異號(hào)異號(hào),0 x則點(diǎn)則點(diǎn))(,(00 xfx是曲線是曲線)(xfy 的一個(gè)拐點(diǎn)的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凸性不變則曲線的凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 求拐點(diǎn)的步驟見(jiàn)教材求拐點(diǎn)的步驟見(jiàn)教材P162.xxy24362 )(3632xx例例4. 求曲線求曲線14334xxy的上（下）凸區(qū)間及拐點(diǎn)的上（下）凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解:1) 求求y ,121223xxy2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)求拐

11、點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令令0 y得得,03221xx對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)3) 列表判別列表判別271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在故該曲線在)0,(),(32及及下凸下凸,向上凸向上凸 , 點(diǎn)點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及及),(271132均為拐點(diǎn)均為拐點(diǎn).上在),0(32下凸下凸下凸下凸上凸上凸機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 32) 1 , 0(),(271132例例5：證明不等式：證明不等式1()() (0,0,1)22nnnxyxyxyxy n證明：設(shè)證明：設(shè)( ) (0,1)nf tttn則則1( ),nf tnt2( )(1),

12、nftn nt當(dāng)當(dāng)0,1tn( )0ft時(shí)，有時(shí)，有即上述即上述 f（t）為下凸函數(shù)，）為下凸函數(shù)， 于是對(duì)任意于是對(duì)任意0,0 xy有：有：1()() 22nnnxyxy例例5.4 例例5.52xy 無(wú)漸近線無(wú)漸近線 .點(diǎn)點(diǎn) M 與某一直線與某一直線 L 的距離趨于的距離趨于 0,二、二、 曲線的漸近線曲線的漸近線定義定義3 . 若曲線若曲線 C上的點(diǎn)上的點(diǎn)M 沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)時(shí),則稱直線則稱直線 L 為為曲線曲線C 的的漸近線漸近線 .例如例如, 雙曲線雙曲線12222byax有漸近線有漸近線0byax但拋物線但拋物線或?yàn)榛驗(yàn)椤翱v坐標(biāo)差縱坐標(biāo)差”NLbxkyM

13、xyoC)(xfy Pxyo機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1. 水平與鉛直漸近線水平與鉛直漸近線若若,)(limbxfx則曲線則曲線)(xfy 有水平漸近線有水平漸近線.by )(x或若若,)(lim0 xfxx則曲線則曲線)(xfy 有垂直漸近線有垂直漸近線.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲線求曲線211xy的漸近線的漸近線 .解解:2)211(limxx2 y為水平漸近線為水平漸近線;,)211(lim1xx1 x為垂直漸近線為垂直漸近線.21機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 斜漸近線斜漸近線有則曲線)(xfy 斜漸近線斜

14、漸近線.bxky)(x或若若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(x或)(x或例例2. 求曲線求曲線3223xxxy的漸近線的漸近線 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有鉛直漸近線所以有鉛直漸近線3x及及1x又因又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy為曲線的斜漸近線為曲線的斜漸近線 .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)

15、目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 312 xy三、函數(shù)的作圖三、函數(shù)的作圖步驟步驟 :1. 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域 ,期性期性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn)求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn)確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形 .為為 0 和不存在和不存在的點(diǎn)的點(diǎn) ;并考察其對(duì)稱性及周并考察其對(duì)稱性及周機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例3. 描繪描繪22331xxy的圖形的圖

16、形.解解: 1) 定義域?yàn)槎x域?yàn)? ),(無(wú)對(duì)稱性及周期性無(wú)對(duì)稱性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(極大極大)(拐點(diǎn)）拐點(diǎn)）32(極小極小)4)xy133220機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1231例例4. 描繪方程描繪方程044)3(2yxyx的圖形的圖形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定義域?yàn)槎x域?yàn)?, 1 ( , ) 1 ,(2) 求關(guān)鍵點(diǎn)求關(guān)鍵點(diǎn))3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy

17、42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判別曲線形態(tài)判別曲線形態(tài)00(極大極大)(極小極小)4) 求漸近線求漸近線,lim1yx為鉛直漸近線為鉛直漸近線無(wú)定義無(wú)定義機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1x又因又因xyxlim,4141k即即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx

18、45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn)xy049241為斜漸近線為斜漸近線4541xy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）繪圖）繪圖(極大極大)(極小極小)斜漸近線斜漸近線1x鉛直漸近線鉛直漸近線4541xy特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)11302) 1( 4) 3(2xxy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2無(wú)定義無(wú)定義xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241例5. 描繪函數(shù)21y22xe的圖形. 解: 1) 定義域?yàn)? ),(圖形對(duì)稱于 y 軸.2)

19、求關(guān)鍵點(diǎn) y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))(極大極大)(拐點(diǎn)拐點(diǎn))0limyx0y為水平漸近線5) 作圖4) 求漸近線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 曲線)(1122xxeey(A) 沒(méi)有漸近線；(B) 僅有水平漸近線；(C) 僅有鉛直漸近線；(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示提示:;111lim22xxxee

20、2211lim0 xxxeeD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1 ,0上上,0)( xf則則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或或) 1 ()0(ff的大小順序是的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用利用)(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加 ,) 10()()0() 1 (fff及及B2. 設(shè)在設(shè)在機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 P168 1（3，6）；2 ; 3； 5（1，3）6（3，4）；7（2）作業(yè)作業(yè)第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 求笛卡兒葉形線求笛卡兒葉形線yxayx333的漸近線的漸近線 . 解解: 令令 y = t x , 代入原方程得曲線的參數(shù)方程代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :x,133ttay3213tta, 1tx時(shí)當(dāng)因因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1 ()1 (312limtttttata所以笛卡兒葉