【備考指導(dǎo)】福建省2019屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考《解析幾何》

1、1 / 40福建省 2018 屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考解析幾何解析幾何在高考的考查中，內(nèi)容包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線、坐標(biāo)系與參數(shù)方程等內(nèi)容.題型涵蓋選擇、填空、解答（含選考） ，考查形式有純粹的解析幾何試題，還有蘊(yùn)含在線性規(guī)劃試題中考查直線方程、蘊(yùn)含在函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題中考查直線方程及解析幾何基本思想、蘊(yùn)含在立體幾何試題中考查的空間直角坐標(biāo)系等試題. 純粹的解析幾何試題基本保持為兩道選擇題和兩道解答題（含選考） ，或者一道選擇題一道填空題和兩道解答題（含選考） ，共 4 道題，分值為 22+10 分. 選擇與填空題常有一道較低起點(diǎn)題，另一道則為較難題或者壓軸題. 小題和解答題的第（1）問(wèn)側(cè)

2、重考查圓錐曲線的定義與基本性質(zhì)；解答題的第（2）問(wèn)，盡管可能有多種不同的呈現(xiàn)形式，但總離不開(kāi)直線與圓和圓錐曲線的位置關(guān)系這一本質(zhì)的模式或套路，且文科較多考查直線與圓的位置關(guān)系，理科較多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，也有考查圓與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題。綜觀 2017 和 2018 年，文科仍保持傳統(tǒng)做法，理科的小題卻已淡出較低起點(diǎn)題，基本定格為中等偏難和難題. 2018 年理科解答題由 20 的題位前移到 19 的題位，趨勢(shì)保持下去的可能性較大，在對(duì)文理不分科情況下數(shù)學(xué)科試題如何設(shè)置的探索過(guò)程中，文科會(huì)不會(huì)也跟著調(diào)整值得期待，這一位置的變化必將影響相對(duì)難度的調(diào)整，使得解幾解答題終將成為決勝高考的

3、重要增分點(diǎn)，應(yīng)切實(shí)引起關(guān)注！解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，由于解析幾何蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想（函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、特殊與一般思想等） ，所以通過(guò)其試題，可以有效檢測(cè)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基于高考遵循的“一核四層四翼”命題指導(dǎo)思想，復(fù)習(xí)教學(xué)要注意確立數(shù)學(xué)思想方法在問(wèn)題解決過(guò)程中的核心地位，要立足基礎(chǔ)性，以建構(gòu)體系結(jié)構(gòu)為目標(biāo)對(duì)板塊的必備知識(shí)進(jìn)行全面梳理，在提升學(xué)科關(guān)鍵能力上應(yīng)以運(yùn)算求解能力和抽象概括能力為重點(diǎn)，著力發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等核心素養(yǎng)，彰顯解析幾何獨(dú)特的分支教育價(jià)值以落實(shí)學(xué)科教學(xué)的立德樹(shù)人根本任務(wù)

4、近五年本部分考查情況如下：表 1：201年201年全國(guó)課標(biāo)卷解析幾何考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)表（理科）年份題序考查內(nèi)容20144雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離問(wèn)題.9線性規(guī)劃與邏輯用語(yǔ)交匯.10拋物線的基本性質(zhì)，與向量的坐標(biāo)運(yùn)算交匯.20（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求橢圓方程； （2）直線與橢圓位置關(guān)系（轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題）.23（1）參數(shù)方程與普通方程互化問(wèn)題； （2）參數(shù)方程的應(yīng)用（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題）.2 / 4020155雙曲線的性質(zhì)，與向量的數(shù)量積交匯.14圓與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.15線性規(guī)劃斜率型.20拋物線的切線問(wèn)題，幾何條件恒成立下的定點(diǎn)探究問(wèn)題.23直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化；直線與圓的位置關(guān)

5、系.20165雙曲線的性質(zhì)10圓與拋物線的性質(zhì).16線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題.20圓的性質(zhì)、求橢圓的方程（定義法） ，直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.23參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用.201710直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線定義的應(yīng)用.14線性規(guī)劃截距型.15圓與雙曲線，雙曲線的性質(zhì)，求離心率.20求橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.22參數(shù)方程化為普通方程（求直線與橢圓交點(diǎn)） ，參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題（點(diǎn)線距離的最值）.20188直線與拋物線的位置關(guān)系（與向量交匯）.11直線與雙曲線的位置關(guān)系.13線性規(guī)劃截距型19直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.22極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線與圓的位置關(guān)

6、系問(wèn)題.表 2：201年201年全國(guó)課標(biāo)卷解析幾何考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)表（文科）年份題序考查內(nèi)容20144雙曲線的離心率問(wèn)題.10拋物線定義的應(yīng)用問(wèn)題.11線性規(guī)劃（開(kāi)放型區(qū)域，含參）.20求軌跡方程，直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.23同理科.20155拋物線性質(zhì)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì).3 / 4015線性規(guī)劃截距型.16雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關(guān)系；最值問(wèn)題.20直線與圓的位置關(guān)系；設(shè)而不求思想；運(yùn)算求解能力.23同理科.20165橢圓的幾何性質(zhì).15直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.16線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題.20直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題.23同理科.20175直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題.7線性規(guī)劃截距型.1

7、2橢圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.20直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題.22同理科.20184橢圓性質(zhì)求離心率.14線性規(guī)劃截距型.15直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.20直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題.22同理科.一、存在的問(wèn)題及原因分析：一、存在的問(wèn)題及原因分析：（一）對(duì)解析幾何的學(xué)科地位認(rèn)識(shí)模糊，在學(xué)科內(nèi)跨分支應(yīng)用的意識(shí)不強(qiáng)（一）對(duì)解析幾何的學(xué)科地位認(rèn)識(shí)模糊，在學(xué)科內(nèi)跨分支應(yīng)用的意識(shí)不強(qiáng)不能簡(jiǎn)單地以“一大二小”認(rèn)識(shí)解析幾何在試卷中所占的分值比重。如：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選考題，也是解幾題；線性規(guī)劃試題，內(nèi)涵本質(zhì)就是解幾題；平面向量問(wèn)題、立幾中空間坐標(biāo)系下的坐標(biāo)法、向量法，本質(zhì)上也是立體幾何。還有融合在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等試題

8、中進(jìn)行考查的許多試題，或體現(xiàn)解幾知識(shí)在解決非解幾題中的應(yīng)用，或體現(xiàn)為解幾思想方法在其它分支中的滲透?！纠?1-1】 （2018 年全國(guó)卷 I 理 5）設(shè)函數(shù)32( )(1)f xxaxax，若( )f x為奇函數(shù)，則曲線( )yf x在點(diǎn)0 0（ ， ）處的切線方程為A.2yx B.yx C.2yxD.yx【評(píng)析】試題歸類(lèi)屬函數(shù)題，考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.但試題考查了解析幾何中最基本的直線方程問(wèn)題.4 / 40【例1-2】（2018年全國(guó)卷I理13） 若, x y滿(mǎn)足約束條件220,10,0.xyxyy-+ 則32zxy=+的最大值為_(kāi)【例 1-3】 （2014 年全國(guó)卷文 11）設(shè)x

9、，y滿(mǎn)足約束條件,1,xyaxy 且zxay的最小值為 7，則a （A）-5（B）3（C）-5 或 3（D）5 或-3【評(píng)析】 【例 1-2】雖歸屬不等式中的線性規(guī)劃問(wèn)題，但本質(zhì)上是直線方程的內(nèi)容. 有一定的錯(cuò)答量，主要錯(cuò)誤是誤判取得最優(yōu)解的條件.究其原因主要為：一是追求教學(xué)的所謂“短、平、快” ，把線性規(guī)劃試題的解題步驟簡(jiǎn)單地總結(jié)為“畫(huà)線、定域、求交點(diǎn)，代入、求值、選最值” ，倘若面對(duì)【例 1-3】 ，考生必將束手無(wú)策；二是沒(méi)有將其納入直線方程系統(tǒng)中進(jìn)行教學(xué)，忽視直線知識(shí)的運(yùn)用，使學(xué)生未能充分運(yùn)用直線方程系數(shù)的幾何意義進(jìn)行最優(yōu)解的分析。【例 1-4】 （2018 年全國(guó)卷 I 理 23）已知

10、( ) |1|1|f xxax=+-.（2）若(0,1)x時(shí)不等式( )f xx成立，求a的取值范圍.【評(píng)析】將含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式( )f xx等價(jià)轉(zhuǎn)換為僅含一個(gè)絕對(duì)值的不等式|1| 1ax -，然后對(duì)a分類(lèi)求解.常規(guī)的對(duì)a分類(lèi)求解有一定的難度，出錯(cuò)率較高.若能自覺(jué)地運(yùn)用解析幾何的思想方法，可以實(shí)現(xiàn)將抽象的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為直觀的幾何圖形分析問(wèn)題：考察函數(shù)y |1|ax=-的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)和1(,0)a，由圖象的對(duì)稱(chēng)性知圖象同時(shí)過(guò)點(diǎn)2(,1)a，從而得出“(0,1)x時(shí)，|1| 1ax -”等價(jià)于“21a”，從而求得02a.（二）讀題、審題、析題過(guò)程中的作圖意識(shí)不強(qiáng)，解題過(guò)程中識(shí)圖、

11、用圖能力有待提高（二）讀題、審題、析題過(guò)程中的作圖意識(shí)不強(qiáng)，解題過(guò)程中識(shí)圖、用圖能力有待提高強(qiáng)化作圖意識(shí)，有時(shí)只要把握住圖形的主要特征畫(huà)出示意圖形、有時(shí)科學(xué)規(guī)范地畫(huà)出比較準(zhǔn)確的圖形是研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，作圖的過(guò)程是讀題、審題理解題意與探究解題思路的過(guò)程【例 2-1】 （2018 年全國(guó)卷 I 理 11）已知雙曲線22:13xCy-=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為,M N若OMN為直角三角形，則MN =A32B3C2 3D4【評(píng)析】邊讀題、邊作圖，將試題中的有關(guān)信息匯集于圖形中，利用雙曲線及其漸近線的對(duì)稱(chēng)性，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的解直角三角形（有一個(gè)銳角為3

12、0o）問(wèn)題，從而極大地減少運(yùn)算量.【例 2-2】 （2016 全國(guó)卷 I 理 20）設(shè)圓222150 xyx的圓心為 A，直線 l 過(guò)點(diǎn) B（1，0）且與 x 軸5 / 40不重合，l 交圓 A 于 C，D 兩點(diǎn)，過(guò) B 作 AC 的平行線交 AD 于點(diǎn) E （I）證明EAEB為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E 的軌跡方程【評(píng)析】由于作圖潦草、沒(méi)有使用尺規(guī)作圖、不夠精確，導(dǎo)致難以發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵的幾何特征信息識(shí)圖、用圖能力差，沒(méi)有從圖形中發(fā)現(xiàn)ACAD，以及BEDE究其原因在于課堂教學(xué)作圖環(huán)節(jié)缺失，教師多用手工繪制草圖、缺乏對(duì)圖形中幾何特征與數(shù)量關(guān)系的細(xì)致量化分析建議教師注意使用尺規(guī)規(guī)范作圖，示范指導(dǎo)如何結(jié)合作圖過(guò)程讀

13、題、理解題意，如何將試題信息匯集于圖，如何用圖思考、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的方法，并要求學(xué)生當(dāng)堂作圖練習(xí)要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)全國(guó)卷盡量不給圖的特點(diǎn)，所給的練習(xí)，不給圖形，要求學(xué)生通過(guò)審題自己作圖，結(jié)合圖形從整體角度理解題意尋找解題思路（三）解析幾何的幾何問(wèn)題本質(zhì)意識(shí)和利用圓錐曲線定義研究相關(guān)問(wèn)題的意識(shí)不強(qiáng)（三）解析幾何的幾何問(wèn)題本質(zhì)意識(shí)和利用圓錐曲線定義研究相關(guān)問(wèn)題的意識(shí)不強(qiáng)解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題. 由于試題內(nèi)容本來(lái)就是幾何問(wèn)題，研究問(wèn)題的方法當(dāng)然可以在幾何方法和代數(shù)方法中合理地選擇. 例如：定義是數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的起點(diǎn)，圓錐曲線的定義蘊(yùn)含了豐富的幾何內(nèi)涵，對(duì)問(wèn)題的理解與思考具有深刻的意義，所以運(yùn)

14、用定義中蘊(yùn)含的幾何特征進(jìn)行解題，經(jīng)常是有效的解題思路【例 3-1】 （2016 年全國(guó)卷 I 理 20）設(shè)圓222150 xyx的圓心為 A，直線 l 過(guò)點(diǎn) B（1，0）且與 x軸不重合，l 交圓 A 于 C，D 兩點(diǎn)，過(guò) B 作 AC 的平行線交 AD 于點(diǎn) E （I）證明EAEB為定值，并寫(xiě)出點(diǎn) E 的軌跡方程【解答】圓的方程可化為22116xy的圓心為1,0A ，半徑為 4；動(dòng)點(diǎn) C，D 落在圓上，滿(mǎn)足4ACAD； （點(diǎn)在圓上，根據(jù)圓的定義有4ACAD）等腰三角形ACD中，/ /BEACBEDE；4AEEDAEBE；由題設(shè)得( 1,0)A ，(1,0)B，| 2AB ，由橢圓定義可得點(diǎn)E

15、的軌跡方程為：22143xy（0y ） （4AEEB根據(jù)定義知點(diǎn)E的軌跡是橢圓）6 / 40【評(píng)析】 未能從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的位置關(guān)系角度理解問(wèn)題， 去探究目標(biāo)“證明AEEB為定值”的證明思路，未能結(jié)合定義預(yù)判可能的軌跡類(lèi)型，從而沒(méi)能聯(lián)系已有的幾何條件尋找突破口究其原因在于研究求軌跡方程這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有養(yǎng)成優(yōu)先站在“觀察發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中不變的幾何關(guān)系”的角度探究問(wèn)題的意識(shí)；沒(méi)有養(yǎng)成“定義”的應(yīng)用意識(shí)，未能從圓錐曲線的定義審視動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的不變的幾何關(guān)系，選擇簡(jiǎn)便的方法實(shí)現(xiàn)幾何條件代數(shù)化建議復(fù)習(xí)教學(xué)中凡涉及軌跡問(wèn)題，均需先回顧梳理各種方法，結(jié)合問(wèn)題背景比較、優(yōu)化方法；強(qiáng)調(diào)要在大問(wèn)題（圓錐曲線的定義與

16、幾何圖形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系）下研究幾何性質(zhì)；加強(qiáng)邏輯嚴(yán)密的課堂推演與條理清晰的試題剖析（四）缺乏對(duì)幾何條件代數(shù)化（坐標(biāo)化）方法策略的深入研究（四）缺乏對(duì)幾何條件代數(shù)化（坐標(biāo)化）方法策略的深入研究解析幾何就是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題2017 年起，選考部分刪除平面幾何選講 ，并不意味著消弱平幾要求，而是完全可以在三角、解幾、立幾、向量等試題中實(shí)現(xiàn)對(duì)平幾的考查功能. 在解幾試題中，對(duì)題目所給的幾何條件何時(shí)代數(shù)化、如何代數(shù)化（坐標(biāo)化）很值得研究，充分運(yùn)用幾何直觀、使用幾何推理，可以有效減少運(yùn)算的繁雜程度【例 4-1】 （唐山 2017）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線2222:10,0 xyabab

17、的左焦點(diǎn)，,A B分別為的左、 右頂點(diǎn)，P為上一點(diǎn)， 且PFx軸， 過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M， 與y軸交于點(diǎn)E，直線BM與y軸交于點(diǎn)N，若2OEON，則的離心率為A3B2C32D43【解答】從試題中的關(guān)鍵條件2OEON出發(fā)，因?yàn)槿c(diǎn)均在 y 軸上，從坐標(biāo)關(guān)系角度加以理解，從而引入關(guān)聯(lián)參數(shù)實(shí)現(xiàn)幾何條件代數(shù)化：設(shè)點(diǎn)0,0, 2NtEt，則直線:12xylat，直線:1xyBMat，聯(lián)立即可得：3 ,4Mat，3ca ，答案：A7 / 40【評(píng)析】本題顯然是從 2016 年全國(guó)卷理 11 演變過(guò)來(lái)的題中的幾何條件（2OEON，MPF）的轉(zhuǎn)化與使用是關(guān)鍵無(wú)從下手、找不到該幾何條件與探究目標(biāo)的聯(lián)

18、系或結(jié)合點(diǎn)是主要原因究其原因是未能認(rèn)真分析幾何圖形，思考幾何關(guān)系的形成過(guò)程（相關(guān)點(diǎn)E、N由何而來(lái)，如何求得）以及從動(dòng)態(tài)的角度理解幾何條件（2OEON） ，未能從求離心率的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題中各個(gè)幾何量間的聯(lián)系本題是動(dòng)態(tài)的、需要一個(gè)參變量，可以設(shè)0,Nt，也可以設(shè)(, )Mc t大凡兩直線上的交點(diǎn)或者動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，代數(shù)上多結(jié)合幾何條件或設(shè)點(diǎn)或列方程，進(jìn)而用方程思想求解問(wèn)題，而求離心率，多是從幾何圖形中抽象相關(guān)性質(zhì)并轉(zhuǎn)化為, ,a b c有關(guān)的等量關(guān)系或是方程（組） 建議必須依題構(gòu)圖，結(jié)合曲線的性質(zhì)從題意與圖形中抽象出關(guān)鍵的幾何特征，并以簡(jiǎn)潔的代數(shù)形式加以呈現(xiàn)，從而轉(zhuǎn)化為待求目標(biāo)關(guān)系式進(jìn)行變形演算【原題】

19、（2016 年全國(guó)卷理 11） 已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， F 是橢圓 C：22221(0)xyabab的左焦點(diǎn)，A，B 分別為 C 的左，右頂點(diǎn)P 為 C 上一點(diǎn)，且PFx軸過(guò)點(diǎn) A 的直線 l 與線段PF交于點(diǎn) M，與 y軸交于點(diǎn) E若直線 BM 經(jīng)過(guò) OE 的中點(diǎn)，則 C 的離心率為A13B12C23D34解答：如圖可得，在AOE中：MFacOEa， （1）在BMF中：ONaMFac， （2）2OEON，12MF ONaacOEMFaca，化簡(jiǎn)得13ca8 / 40（五）缺乏對(duì)算法、算理、算式的分析，靈活地選擇算法以簡(jiǎn)化運(yùn)算的意識(shí)有待加強(qiáng)（五）缺乏對(duì)算法、算理、算式的分析，靈活地選擇算法以簡(jiǎn)

20、化運(yùn)算的意識(shí)有待加強(qiáng)有效運(yùn)算、簡(jiǎn)便運(yùn)算是求解解析幾何問(wèn)題必須重視的環(huán)節(jié)，包括如何設(shè)元、如何設(shè)方程、如何整體代換、如何化簡(jiǎn)等【例 5-1】 （2018 年全國(guó)卷 I 理 8）設(shè)拋物線 C：24yx的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)( 2,0)且斜率為23的直線與 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，則FM FN A. 5B. 6C. 7D. 8【評(píng)析】由1212122()4FM FNx xxxy y ，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）求解，運(yùn)算量比較大. 原因在于強(qiáng)化的解題訓(xùn)練形成套路化、模式化，未能根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)靈活處理.其實(shí)，本題由方程聯(lián)立22(2),34 .yxyx，消元整理得：，此時(shí)應(yīng)發(fā)現(xiàn)極易直接求解交點(diǎn)坐標(biāo)，求解出的坐

21、標(biāo)直接代入計(jì)算，相比利用根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）求解簡(jiǎn)單.【例 5-2】 （2017 年全國(guó)卷理 10）已知 F 為拋物線 C：2=4yx的焦點(diǎn)，過(guò) F 作兩條互相垂直的直線1l，2l，直線1l與 C 交于 A、B 兩點(diǎn)，直線2l與 C 交于 D、E 兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10解一：設(shè)直線AB的方程：1xty， （這樣設(shè)方程減少一次的平方運(yùn)算）并聯(lián)立拋物線方程得：2440yty，12124 ,4yyt y y，221122()444ABxxt yyt， （弦過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，選用公式減少運(yùn)算）因?yàn)?l，2l通過(guò)焦點(diǎn)且互相垂直，則同理得2144CDt， （互相垂

22、直，將t換成1t即可，不必重復(fù)運(yùn)算）224| 8416ABDEtt9 / 40解二：熟記二級(jí)結(jié)論，簡(jiǎn)化運(yùn)算（過(guò)拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式22|sinpAB）解答：設(shè)直線的傾斜角為，則22|sinpAB，2222|cossin ()2ppDE，所以2211| 4()cossinABDE21616sin 2.【評(píng)析】解題時(shí)將所求量|AB|+|DE|孤立的理解兩條含參的動(dòng)弦長(zhǎng)之和，感到運(yùn)算量大，沒(méi)信心求解，只是瞎猜結(jié)果究其原因在于沒(méi)能先從計(jì)算求解方法上用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)兩條含參的動(dòng)弦長(zhǎng)的區(qū)別與聯(lián)系（方法公式相同，斜率互為負(fù)導(dǎo)數(shù)） ，從而不懂得用等價(jià)代換的思想簡(jiǎn)化運(yùn)算建議不能只是談思路方法， 應(yīng)通過(guò)課堂師生共

23、同演算的體驗(yàn)， 增加實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)， 進(jìn)行算法算理的指導(dǎo) 在涉及求有關(guān)過(guò)一點(diǎn)的兩條斜率不同的直線的交點(diǎn)坐標(biāo)或弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，往往只需計(jì)算其中的一類(lèi)交點(diǎn)坐標(biāo)或弦長(zhǎng)，另一類(lèi)只需等價(jià)代換結(jié)果中的參數(shù)即可【例 5-3】 （2015 年全國(guó)卷理 20）已知橢圓222:9(0)Cxymm，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M（）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值； （略）（）若l過(guò)點(diǎn)(,)3mNm，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說(shuō)明理由【解答】 （）如圖，設(shè)直線OP斜率存在且小于 0，設(shè)直線OP：0，b0）的右

24、頂點(diǎn)為 A，以 A 為圓心， b為半徑作圓A， 圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、 N兩點(diǎn) 若MAN=60， 則C的離心率為_(kāi)解析：如圖所示，MAN 為等腰三角形，OAa，ANAMb，因?yàn)?0MAN，所以32APb，222234OPOAPAab所以2232tan34bAPOPab，25 / 40又因?yàn)閠anba，所以223234bbaab，解得223ab所以2212 31133bea【評(píng)析】本題主要考查以離心率為背景的雙曲線的概念與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是：合理構(gòu)建符合題意的圖像，挖掘幾何性質(zhì)，從中轉(zhuǎn)化抽象出參數(shù), ,a b c的等量關(guān)系式；注意用好雙曲線中與參數(shù)有關(guān)的幾個(gè)不變量： （1）雙曲線的焦點(diǎn)

25、到漸近線的距離是b； （2）雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離是abc （3）本題從特殊值角度令關(guān)聯(lián)基本量2b ，則可大幅度減小計(jì)算量（二）面積最值：（二）面積最值：【例 13】 （2016 年全國(guó)卷理 20）已知橢圓 E:2213xyt的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為(0)k k 的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA（1）當(dāng)4t ，AMAN時(shí)，求AMN的面積；（2）當(dāng)2 AMAN時(shí)，求k的取值范圍解析： （1）解法一：當(dāng)4t 時(shí)，由于AMAN，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知1AMk，所以221432xyyx，得22234+21207+16 +4=0 xxxx，所以47MAxx又2Ax ，所以27Mx

26、，所以212144222749AMNS 解法二：設(shè)點(diǎn)00M xy，且MN交x軸于點(diǎn)D 因?yàn)锳MAN，且AMAN，所以MDAD，MDAD由2200+143xy，得2001232xy又0022ADxx ，所以20012322xx，解之得02x 或27所以127AD ，所以211214422749AMNS（2）設(shè)直線xmya，1mk，at則222222233013xmyamyaa yaxya，222360maymay，所以2263Mmayma； 同理222266313Namanya mam26 / 40因?yàn)? AMAN，所以2222226162 1133mamammama m223332113222

27、1mmamm，所以312 2km，【評(píng)析】解決圓錐曲線中最值、范圍問(wèn)題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量， 其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問(wèn)題， 這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況靈活處理（三）定點(diǎn)問(wèn)題：（三）定點(diǎn)問(wèn)題：【例 14】 （2017 福建省質(zhì)檢）已知點(diǎn)1,0F，直線:1l x ，直線l垂直l于點(diǎn)P，線段PF的垂直平分線交l于點(diǎn)Q（1）求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；（2）已知點(diǎn)1,2H，過(guò)F且與x軸不垂直的直線交C于,A

28、 B兩點(diǎn)，直線,AH BH分別交l于點(diǎn),M N，求證：以MN為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn)【解析】 （1）依題意得QPQF，即Q到直線:1l x 的距離與到點(diǎn)F的距離相等，所以點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線設(shè)拋物線方程為22(0)ypx p，則2p ，即點(diǎn)Q的軌跡C的方程是24yx（2）由題意可設(shè)直線:10AB xmym，代入24yx，得2440ymy，設(shè)221212,44yyAyBy，則12124 ,4yym y y ；又1,2H，設(shè)直線,AH BH的斜率分別為12,k k，則12122212122244,221144yykkyyyy，設(shè)1,1,MNMyNy，27 / 40令1x ，得1112

29、28222Myyyy，同理，得222228222Nyyyy，從而12121212121242422 2244244422244244MNy yyyyymy yyyy yyym ；12882222MNyyyy12114822yy12121284424yyy yyy8 4444244mm 4m 又以MN為直徑的圓的方程為：210MNxyyyy，即2210MNMNyyyyyyx，即224230 xxyym ，令220230yxxy ，解得3x 或1x ，從而以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)3,0和1,0【評(píng)析】該類(lèi)問(wèn)題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)、定值等問(wèn)題的證明難

30、度較大定點(diǎn)、定值問(wèn)題是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值化解這類(lèi)問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量（四）定值問(wèn)題：（四）定值問(wèn)題：【例15】（2018年全國(guó)卷I理19） 19. 設(shè)橢圓22:12xCy+=的右焦點(diǎn)為F， 過(guò)F的直線l與C交于,A B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB=.解析：當(dāng)l與x軸

31、重合時(shí)，0oOMAOMB=.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，知OMAOMB=.當(dāng)l與x軸既不重合、也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為1122(1), ( ,), (,)yk xA x yB xy=-，則122,2x x-12Bm1Cm1Dm23直線 l1：x2ay10 和 l2：2axy10(aR)的位置關(guān)系是A互相平行B互相垂直C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D關(guān)于直線 yx 對(duì)稱(chēng)4直線 x2y5 50 被圓 x2y22x4y0 截得的弦長(zhǎng)為A1B2C4D4 65如果直線(m2)x(m23m2)ym2 與 y 軸平行，則 mA1 或2B1C1 或 2D26若圓心在 x 軸上，半徑長(zhǎng)為 5的圓 C 位于 y 軸左側(cè)，且

32、與直線 x2y0 相切，則圓 C 的方程是A(x5)2y25B(x5)2y25C(x 5)2y25D(x 5)2y257已知圓 C：x2y24x4y100，則圓 C 上的點(diǎn)到直線 xy140 的最大距離與最小距離的差是A36B18C6 2D5 28已知一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 y24x 上，其中一個(gè)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積是A1693B16273C24 3D48 39設(shè)雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)兩焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) Q 為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn) F1作F1QF2的平分線的垂線，垂足為 P，則 P 點(diǎn)的軌跡是A橢圓的一部分B雙曲線的一部分C拋物線的一部分D

33、圓的一部分10已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為 F(3，0)，過(guò)點(diǎn) F 的直線交橢圓 E 于 A，B 兩點(diǎn)若 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則 E 的方程為31 / 40A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y29111過(guò)點(diǎn)( 2，0)引直線 l 與曲線 y 1x2相交于 A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB 的面積取最大值時(shí)，直線 l 的斜率等于A33B33C33D 312如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓 C1：x24y21 與雙曲線 C2的公共焦點(diǎn)，A，B 分別是 C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形 AF1BF2為矩形，則C2的離心

34、率是A. 2B. 3C.32D.62（二）填空題：本大題共（二）填空題：本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分把答案填在題中橫線上分把答案填在題中橫線上13直線 l1過(guò)點(diǎn)(2，0)且傾斜角為 30，直線 l2過(guò)點(diǎn)(2，0)且與直線 l1垂直，則直線 l1與直線 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)14已知圓 C：x2y26x80，若直線 ykx 與圓 C 相切，且切點(diǎn)在第四象限，則 k_15 拋物線 x22py(p0)的焦點(diǎn)為 F， 其準(zhǔn)線與雙曲線x23y231 相交于 A， B 兩點(diǎn)， 若ABF 為等邊三角形，則 p_16設(shè) A1，A2是橢圓x29y241 的長(zhǎng)軸左、右頂點(diǎn)，P1，

35、P2是垂直于 A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線 A1P1與 A2P2的交點(diǎn)P 的軌跡方程為_(kāi)（三）解答題：本大題共（三）解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17(10 分)已知兩直線 l1：xysin10 和 l2：2xsiny10，試求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.18 （12 分）已知圓 C：x2+y24x6y+12=0，點(diǎn) A(3,5).（1）求過(guò)點(diǎn) A 的圓的切線方程；（2）O 點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié) OA，OC，求AOC 的面積 S.19(12 分)已知直線 l：mx(m21)y4m，mR，

36、圓 C：x2y28x4y160.直線 l 能否將圓 C 分割成弧長(zhǎng)的比值為12的兩段圓?。繛槭裁?？32 / 4020 (12 分)如圖所示， 已知OFQ 的面積為S， 且OFFQ1， 設(shè)|OF|c， S144c.若以 O 為中心，F(xiàn) 為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求|OQ|最小時(shí)此雙曲線的方程21(12 分)如圖，拋物線 E：y24x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為 A.點(diǎn) C 在拋物線 E 上，以 C 為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓 C 與準(zhǔn)線 l 交于不同的兩點(diǎn) M，N.(1)若點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為 2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圓 C

37、的半徑22(12 分)已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和等于 6.(1)求橢圓 E 的方程；(2)如圖，設(shè)橢圓 E 的上、下頂點(diǎn)分別為 A1，A2，P 是橢圓上異于 A1，A2的任意一點(diǎn)，直線 PA1，PA2分別交 x 軸于點(diǎn)N， M， 若直線 OT 與過(guò)點(diǎn) M， N 的圓 G 相切， 切點(diǎn)為 T. 證明：線段 OT 的長(zhǎng)為定值附：附：圓錐曲線過(guò)關(guān)練習(xí)參考答案圓錐曲線過(guò)關(guān)練習(xí)參考答案一一、選擇題選擇題：本大題共本大題共 12 小題小題，每小題每小題 5 分分，共共 60 分分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題只有一項(xiàng)是

38、符合題目要求的目要求的1過(guò)點(diǎn)(1，1)，且與直線 yx1 平行的直線方程為Axy0Bxy0Cxy20Dxy20解：所求直線斜率為1，由點(diǎn)斜式得 y1(x1)，即 xy20.故選 C.2雙曲線 x2y2m1 的離心率大于 2的充分必要條件是33 / 40Am12Bm1Cm1Dm23直線 l1：x2ay10 和 l2：2axy10(aR)的位置關(guān)系是A互相平行B互相垂直C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D關(guān)于直線 yx 對(duì)稱(chēng)解：a0 時(shí)，12a(2a)1，l1l2；a0 時(shí)，l1：x1，l2：y1，l1l2.綜上知，故選 B.4直線 x2y5 50 被圓 x2y22x4y0 截得的弦長(zhǎng)為A1B2C4D4 6解：易知圓

39、的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)25，圓心為(1，2)，半徑 r 5，則圓心(1，2)到直線 x2y5 50 的距離 d|145 5|51，弦長(zhǎng) l2 r2d24.故選 C.5如果直線(m2)x(m23m2)ym2 與 y 軸平行，則 mA1 或2B1C1 或 2D2解：直線與 y 軸平行，m23m20，解得 m1 或2.當(dāng) m1 時(shí)，直線方程為 x1；當(dāng) m2 時(shí)，方程(m2)x(m23m2)ym2 不表示直線，舍去綜上知 m1.故選 B.6若圓心在 x 軸上，半徑長(zhǎng)為 5的圓 C 位于 y 軸左側(cè)，且與直線 x2y0 相切，則圓 C 的方程是A(x5)2y25B(x5)2y25C(x 5)2

40、y25D(x 5)2y25解：設(shè)圓的方程為(xa)2y25(a 5)，依題意圓心(a，0)到直線 x2y0 的距離等于 5，即|a|5 5，得 a5，圓的方程為(x5)2y25.故選 A.7已知圓 C：x2y24x4y100，則圓 C 上的點(diǎn)到直線 xy140 的最大距離與最小距離的差是A36B18C6 2D5 2解：圓 C 的方程可化為(x2)2(y2)218，圓心 C(2，2)，半徑 r3 2.易知圓心 C 到直線 xy140 的距離為 d|2214|25 23 2，直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2r6 2.故選 C.8已知一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 y24x

41、 上，其中一個(gè)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積是A1693B16273C24 3D48 334 / 40AOB 是正三角形，|OA|AB|，即y2142y21|2y1|，解之得 y2148.SAOB34|2y1|2 3y2148 3.故選 D.9 設(shè)雙曲線x2a2y2b21(a0， b0)兩焦點(diǎn)為 F1， F2， 點(diǎn) Q 為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)， 過(guò)焦點(diǎn) F1作F1QF2的平分線的垂線，垂足為 P，則 P 點(diǎn)的軌跡是A橢圓的一部分B雙曲線的一部分C拋物線的一部分D圓的一部分解： 設(shè)點(diǎn) Q 在雙曲線的右支上(如圖)， 延長(zhǎng) QF2， 交 F1P 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M， 連接 OP， 則有|QM|Q

42、F1|，P 為 F1M 的中點(diǎn)，|PO|12|F2M|12(|QM|QF2|)12(|QF1|QF2|)a，且 P 點(diǎn)不能落在 x 軸上，故 P 點(diǎn)的軌跡是圓的一部分故選 D.10已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為 F(3，0)，過(guò)點(diǎn) F 的直線交橢圓 E 于 A，B 兩點(diǎn)若 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則 E 的方程為A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解：設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x21a2y21b21，x22a2y22b21，兩式相減得x21x22a2y21y22b20，依題意知 x1x22，y1y2

43、2，代入上式得y1y2x1x2b2a2，由此可得直線 AB 的方程為 yb2a2(x3)，將點(diǎn)(1，1)代入得b2a212，又由橢圓的性質(zhì)知 a2b2c29，解得 a218，b29，橢圓 E 的方程為x218y291.故選 D.11過(guò)點(diǎn)( 2，0)引直線 l 與曲線 y 1x2相交于 A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB 的面積取最大值時(shí)，直線 l 的斜率等于35 / 40A33B33C33D 3k0，b0)，由題意知 F1( 3，0)，F(xiàn)2( 3，0)，二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上13直線 l1過(guò)點(diǎn)(2，0)且傾斜角為 30，直線 l2過(guò)

44、點(diǎn)(2，0)且與直線 l1垂直，則直線 l1與直線 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解：由題意得直線 l1的方程為 y33(x2)，由 l2l1得直線 l2的斜率為 3，直線 l2的方程為 y 3(x2)聯(lián)立y33（x2） ，y 3（x2） ，得x1，y 3，即直線 l1與直線 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 3)故填(1， 3)36 / 4014已知圓 C：x2y26x80，若直線 ykx 與圓 C 相切，且切點(diǎn)在第四象限，則 k_解：圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，圓心(3，0)，半徑 r1.要使直線 ykx 與圓 C 相切，且切點(diǎn)在第四象限，只須k0)的焦點(diǎn)為 F， 其準(zhǔn)線與雙曲線x23y231 相交于

45、 A， B 兩點(diǎn)， 若ABF 為等邊三角形，則 p_解：設(shè)點(diǎn) B 在雙曲線的右支上，AB 的中點(diǎn)為 C，由題意知|CF|p，ABF 為等邊三角形，|BC|CF|tan3033p，從而點(diǎn) B 的坐標(biāo)為33p，p2 .又點(diǎn) B 在雙曲線x23y231 上，p29p2121，得 p6 或6(舍去)故填 6.16設(shè) A1，A2是橢圓x29y241 的長(zhǎng)軸左、右頂點(diǎn)，P1，P2是垂直于 A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線 A1P1與 A2P2的交點(diǎn)P 的軌跡方程為_(kāi)解：設(shè) P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x1，y1)，易求 A1(3，0)，A2(3，0)，則直線 A1P1的方程為 yy1x13(x3)，直線 A2P2的方程為 yy1x13(x3)，由得 y2y21x219(x29)點(diǎn) P1在橢圓上，x219y2141，得 y214（x219）9，即y21x21949.把代入整理得x29y241，這就是點(diǎn) P 的軌跡方程故填x29y241.三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17(10 分)已知兩直線 l1：xysin10 和 l2：2xsiny10，試求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解：(1)由12sinsin11，得 sin22.37 / 40由 sin22，得k4(kZ)k4(kZ)時(shí)，l1l2.18 （12 分