第一章電子線路計算

1、授課對象：授課對象：物理系碩士研究生物理系碩士研究生先修課程：先修課程：微積分，微積分，Fortran語言程序設計，語言程序設計， 計算方法初步計算方法初步教學目的：教學目的：培養(yǎng)研究生用計算機和算法語言培養(yǎng)研究生用計算機和算法語言 解決物理學專題及其應用方面的解決物理學專題及其應用方面的 數值計算課題方面的能力數值計算課題方面的能力 計算物理計算物理主要內容、基本要求及學時分配主要內容、基本要求及學時分配第一章第一章 電子線路計算（電子線路計算（3學時）學時）第二章第二章 有限差分法初步（有限差分法初步（4學時）學時）第三章第三章 偏微分方程有限差分解法（偏微分方程有限差分解法（ 2學時）學

2、時）第六章第六章 蒙特卡羅（蒙特卡羅（M-C）方法（）方法（4學時）學時）第四章第四章 常微分方程數值解法（常微分方程數值解法（4學時）學時）第五章第五章 薛定諤方程數值解法（薛定諤方程數值解法（4學時）學時）第八章第八章 分叉與混沌問題數值分析（分叉與混沌問題數值分析（24學時）學時）第九章第九章 分子動力學模擬初步（分子動力學模擬初步（24學時）學時）第七章第七章 實驗數據擬合（實驗數據擬合（2學時）學時） 本課程基本要求：本課程基本要求： 掌握基本的物理問題的計算的初步方法。掌握基本的物理問題的計算的初步方法。 計算物理計算物理本課程總學時：本課程總學時：40其中課內講課其中課內講課28

3、30學時左右。學時左右。本課程考試要求：本課程考試要求：-對于一個物理問題建立數學模，給出數學模型對于一個物理問題建立數學模，給出數學模型；-給出計算方法；給出計算方法；-給出給出Fortran程序；程序；-給出結果：圖、表及討論；給出結果：圖、表及討論；本課程考試方式：本課程考試方式：開卷，電子郵件提交；開卷，電子郵件提交；考試題目：考試題目：自選。自選。考試答題要求：考試答題要求：1、物理問題的描述、物理問題的描述2、給出物理問題數學模型、給出物理問題數學模型3、計算方法的選擇、計算方法的選擇4、差分方程、差分方程5、Fortran程序清單，包括程序清單，包括程序注釋程序注釋6、計算結果（

4、圖、表格等形式）、計算結果（圖、表格等形式）7、討論和結論、討論和結論8、電子郵件提交到：、電子郵件提交到： 主要參考書主要參考書2、Computational Physics, Nicholas J. Giordano, Prentice Hall, New Jersey, 1997.1、Numerical Analysis: A Practical Approach, M. J. Maron, Macmillan Publishing co., Inc., 1982.3、計算物理和計算機計算物理和計算機, 美美. R. 埃利希著，埃利希著， O411.24、徐崇濟編著，、徐崇濟編著，蒙特卡

5、羅方法蒙特卡羅方法，上?？茖W技術出版社，上?？茖W技術出版社，1985。5、常微分方程數值解法，南京大學數學系編，、常微分方程數值解法，南京大學數學系編，1979， O241.81.3 第一章：電子線路計算第一章：電子線路計算1 靜電勢靜電勢1.1 兩個點電荷產生的靜電勢兩個點電荷產生的靜電勢考慮空間有兩個點電荷，這時在空間處處存在由點考慮空間有兩個點電荷，這時在空間處處存在由點電荷產生的靜電勢。根據電磁學的知識，電荷產生的靜電勢。根據電磁學的知識，空間任一點的電勢為空間任一點的電勢為:2211RQRQV（1.1）其中其中1Q和和2Q分別代表兩個點電荷所帶的電量，分別代表兩個點電荷所帶的電量，1

6、R和和2R分別代表所求的點到兩個點電荷的距離。分別代表所求的點到兩個點電荷的距離。1Q所處的所處的 x 坐標為坐標為A1點，點，2Q處在處在 x 坐標的為坐標的為A2點。點。Q1Q2A1A2(x1,x2)R1R2xyIJ-101010-10圖圖 1-1 考慮考慮x-y 平面上各點的電勢。將平面分割成許多平面上各點的電勢。將平面分割成許多小方格，使小方格，使x 的變化在的變化在-10到到10之間，之間，y 的變化的變化亦在亦在-10到到10之間。之間。設：設： 21, 2, 11121, 2, 111JJyIIx（1.2）1Q和和2Q的位置與各個格點的距離的位置與各個格點的距離1R和和2R分別為

7、：分別為：22222211)()(yAxRyAxR（1.3）公式（公式（1.2）和（）和（1.3）代入公式（）代入公式（1.1）可以求得各格點的靜電勢?？梢郧蟮酶鞲顸c的靜電勢。相應的程序為相應的程序為: DIMENSION V（21，21）10 READ（*，100）A1，A2，Q1，Q2 IF（Q1. EQ. 0. 0. OR. Q2. EQ. 0. 0）STOP WRITE（*，101）A1，A2，Q1，Q2 DO 40 J=1，21 Y=11-J DO 40 I=1，21 X=I-11 R1=SQRT（X-A1）*2+Y*Y） R2=SQRT（X-A2）*2+Y*Y） R1=R1+0.0

8、0001 ! avoid zero R2=R2+0.00001 V（K，J）=Q1/R1+Q2/R240 CONTINUE WRITE（*，102）(V(K，J)，I=1，21）J=1，21） GO TO 10100 FORMAT（4F10.5） 101 FORMAT（3HA1=，F10.5，4H A2=，F10.5， $ 4H Q1=， F10.5，4H Q2=，F10.5）102 FORMAT（21F5.2/1X/） ENDStartQ1, Q2,A1,A2J=1,2,3,.21I=1,2,3,.21Y=11-JX=I-11Cal. R1, R2, VWrite the results 圖

9、圖1-2計算流程圖計算流程圖1.2 帶電金屬絲產生的靜電勢帶電金屬絲產生的靜電勢定積分的近似計算定積分的近似計算一根帶有電荷的金屬絲，它在空間將產生一個一根帶有電荷的金屬絲，它在空間將產生一個靜電勢場，根據電磁學知識，靜電勢場，根據電磁學知識，空間任一點的電勢空間任一點的電勢V 是是:線長rdqV（1.4）方法：將金屬絲分成方法：將金屬絲分成n段，在第段，在第i段所帶的電量為段所帶的電量為 ，iq， 離開所求電勢點的距離為離開所求電勢點的距離為 。ir 于是該點的電勢可寫為：于是該點的電勢可寫為： niiirqV1（1.5） 如果金屬絲分段分得很密，取其極限，（如果金屬絲分段分得很密，取其極限

10、，（1.5）式就變成（式就變成（1.4式）。式）。 為了計算（為了計算（1.4）式的電勢，選一個坐標系，）式的電勢，選一個坐標系，使金屬絲處在使金屬絲處在x 軸上，并將坐標軸的原點取在軸上，并將坐標軸的原點取在金屬絲的中點，則金屬絲的一端金屬絲的中點，則金屬絲的一端x= -A，另一端另一端x= A。如圖。如圖1-3所示：所示： XY-AAdx(x0,y0)r圖圖 1-3 求帶電金屬絲的電勢求帶電金屬絲的電勢 金屬絲上金屬絲上dx段的電荷段的電荷dq可表示為可表示為dxxdq)(（1.6） 其中其中)(x距離距離r指從點（指從點（x，0）到點（）到點（x0，y0）的間距，即）的間距，即是是x點的

11、線電荷密度。點的線電荷密度。2020)(yxxr（1.7） 將公式（將公式（1.6）和（）和（1.7）代入（）代入（1.4）式，得到）式，得到AAyxxdxxyxV2/1202000)()(),(（1.8） 定積分的近似數值解定積分的近似數值解引入符號引入符號f(x) 2/12020)()()(yxxxxf（1.9） AAdxxfV)(（1.10） 可畫出可畫出xxf)(圖，如圖圖，如圖1-4所示所示 f(x)xxif(xi)-AA0圖圖1-4 矩形近似矩形近似將將x 的變化區(qū)間的變化區(qū)間-A到到A間隔分成等間隔的間隔分成等間隔的N-1段，段，即即x1，x2，xN，x1= -A，xN =A。于

12、是最簡單的近似為于是最簡單的近似為NiiixxfV1)(（1.11） 其中其中xNAxi12 求（求（1.10）式的積分值就是求曲線下的面積。）式的積分值就是求曲線下的面積?？捎媒品椒ㄇ笄€下的面積可用近似方法求曲線下的面積.從幾何角度看，相當于圖從幾何角度看，相當于圖1-4中用中用矩形矩形面積面積代替代替實際曲線下的面積實際曲線下的面積。顯見，這不是一。顯見，這不是一個很好的近似。將個很好的近似。將x分段分得細一些可提高分段分得細一些可提高近似程度，但是這將加大計算的工作量。近似程度，但是這將加大計算的工作量。 矩形近似矩形近似梯形近似梯形近似改進的一個方法是梯形近似改進的一個方法是梯形近

13、似 111)()(21NiiixxfxfVxxfxxfxxfxxfN)(21)()()(21321NiNixxfxfxxf11)()(21)(（1.12） 原來公式（原來公式（1.11）中為）中為ix，因為等分的原因，因為等分的原因，x用梯形近，似近似程度好一些。用梯形近，似近似程度好一些。與下標與下標i無關，所以省略而變?yōu)闊o關，所以省略而變?yōu)?。將公式（將公式（1.12）改寫成）改寫成NiiixxfcV1)(（1.13） 21, 1,21321Ncccc其中其中 拋物線近似拋物線近似=辛普生（辛普生（Smpson）公式）公式 進一步改進的方法是用拋物線作近似，進一步改進的方法是用拋物線作近似

14、，用拋物線來代替實際的曲線。這時要將用拋物線來代替實際的曲線。這時要將X 的變化范圍分成的變化范圍分成偶數偶數等分。在拋物等分。在拋物線近似下求解電勢的表達式可寫為線近似下求解電勢的表達式可寫為16 , 4 , 2113)()(4)(NiiiixxfxfxfV（1.14） 其中其中N為奇數，求和對為奇數，求和對偶數偶數進行。進行。 如果將公式（如果將公式（1.14）稍加整理可得）稍加整理可得 xxfcVNiii1)(（1.15） 其中其中ic的值為的值為31343254323431154321NNccccccc（1.16） 辛普生（辛普生（Smpson）公式推導）公式推導設曲線上有三點設曲線上

15、有三點 ， ，)(,(11xfx)(,(22xfx)(,(33xfx ，若有一條拋物線通過這三點，若有一條拋物線通過這三點，則這條拋物線可表示為：則這條拋物線可表示為：)()()(3121321xxxxxxxxxfy)()()(3212312xxxxxxxxxf)()()(2313213xxxxxxxxxf（1.17） 由于其中的由于其中的)(),(),(321xfxfxf和和x1，x2，x3是已知的常數值，因此公式（是已知的常數值，因此公式（1.17）總可以整理成總可以整理成 ：CBxAxy2其中其中A、B 和和C是相應的系數，應該有如下性質：是相應的系數，應該有如下性質： 當當x=x1時，

16、代入（時，代入（1.17）式，有）式，有y=f(x1)當當x=x2時，代入（時，代入（1.17）式，有）式，有y=f(x2)當當x=x3時，代入（時，代入（1.17）式，有）式，有y=f(x3)對（對（3.17）式進行積分，下限?。┦竭M行積分，下限取x1，上限取，上限取x3，得到，得到31)()(4)(313212xxxxfxfxfydxV其中其中)(21132312xxxxxxx V2是通過最初三點的拋物線下面積，是通過最初三點的拋物線下面積，用來近似實際用來近似實際曲線下的面積。曲線下的面積。 類似地，對通過曲線上三點類似地，對通過曲線上三點),(,(33xfx，)(,(44xfx，)(,

17、( ,55xfx的拋物線進行積分，的拋物線進行積分， 積分限從積分限從x3到到x5，得到，得到 xxfxfxfV)()()(315434依此類推，可以得到任意一項的積分表示為依此類推，可以得到任意一項的積分表示為xxfxfxfViiii)()(4)(3111將全部將全部Vi 相加，得到公式（相加，得到公式（1.14）的普遍表示，即）的普遍表示，即)()(4)(414NNxfxfxf)(2)(4)(3321xfxfxfxVNiiixxfc1)(其中系數其中系數ci與（與（1.16）式的表示一樣。）式的表示一樣。帶電金屬絲產生的電勢的數值計算帶電金屬絲產生的電勢的數值計算采用采用拋物線拋物線近似計

18、算空間電勢，考慮平面情況，設近似計算空間電勢，考慮平面情況，設A為金屬絲的半長度，金屬絲處在為金屬絲的半長度，金屬絲處在x= -A到到x=A的的X 軸上軸上N為金屬絲的分割數，為金屬絲的分割數，N為奇數，即格點數目。為奇數，即格點數目。x0，y0代表所求電勢點的坐標代表所求電勢點的坐標電荷密度為常數cyxxcxf,)(2/1202014 , 214 , 2113)()(4)(NiiNiiiiVxxfxfxfV要求電勢要求電勢V必須先求一組必須先求一組)(ixf的數值，然后得到的數值，然后得到iV值，求和得到值，求和得到V。DIMENSION F（101）10 READ（*，40）A，C，X0，

19、Y0，N IF（N. GT. 101. OR. N. LT. 3）STOP IF(N. EQ. 2*(N/2) STOP ！ 判斷奇、偶數判斷奇、偶數 H=2.0*A/FLOAT (N-1) ！計算步長計算步長 X=-A V=0.0 DO 20 I=1, N F(I)=C/SQRT (X-X0) *2+Y0*Y0) ！ 函數值函數值20 X=X+H源程序：源程序： DO 30 J=2, N-1, 230 V=V+(F(j-1)+4.0*F(j)+F(j+1)*H/3.0 WRITE (*, 50) V, X0, Y0 GO TO 1040 FORMAT (4F10.5, I4)50 FORMA

20、T (8X, 2HV=, 7X, 3HX0=, 7X, ￥ 3HY0=/3F10.5) END討論討論：將積分區(qū)間：將積分區(qū)間2A分成分成N-1等分，等分，每段長都是每段長都是2A/（N-1），這種計算方法），這種計算方法稱為稱為定步長定步長的辛普生方法。根據實際問的辛普生方法。根據實際問題對精度的要求以及計算所需的時間，題對精度的要求以及計算所需的時間，可以選擇可以選擇N 及步長及步長H 的大小。的大小。 變步長變步長辛普生近似計算辛普生近似計算計算步驟：計算步驟：第一次把區(qū)間第一次把區(qū)間-A，A分成分成2等分，等分，積分得到近似值標記為積分得到近似值標記為S1；第二次把前面的每等分再分成第

21、二次把前面的每等分再分成2等分，等分，結果區(qū)間就分成了結果區(qū)間就分成了 等分，等分，積分得到的近似值標記為積分得到的近似值標記為S2；即每次把分點加密一倍，計算積分的近似值。即每次把分點加密一倍，計算積分的近似值。對于相鄰相次計算得到的近似值對于相鄰相次計算得到的近似值Sn和和Sn+1，我們，我們考察差值考察差值D：22時當時當1111111nnnnnnnSSSSSSSD（1.18） 當當D的絕對值小于給定的精確度的絕對值小于給定的精確度E時，時，以以Sn+1作為積分的近似值，把結果輸出；作為積分的近似值，把結果輸出；否則，繼續(xù)將分點加密一倍，否則，繼續(xù)將分點加密一倍，計算積分的近似值，直到滿

22、足計算積分的近似值，直到滿足ED 為止。為止。1.3 RC回路中電容器放電的研究回路中電容器放電的研究歐勒法應用歐勒法應用1、可以用計算機來研究計算、可以用計算機來研究計算RC 回路中電容器放電情回路中電容器放電情 況。考慮一個電路：由電阻況。考慮一個電路：由電阻R、電容、電容C 和開關和開關S 組成組成 2、開始時電容、開始時電容C上已充有電荷量上已充有電荷量Q 0， 當開關當開關S 接通以后，電容器接通以后，電容器C 就進行放電，就進行放電， 我們考察電容器上的電荷隨時間的變化規(guī)律。我們考察電容器上的電荷隨時間的變化規(guī)律。 問題的描述：問題的描述：3、由于電路中沒有其它外加電壓，所以電阻、

23、由于電路中沒有其它外加電壓，所以電阻R上的電壓上的電壓 RV和電容器上的電壓和電容器上的電壓CV兩者加起來為零，即兩者加起來為零，即0RCVV(1.19) 根據歐姆定律根據歐姆定律dtdQRIRVR(1.20) 根據電容器的定義根據電容器的定義CQVC(1.21)將將(1.20)式和式和(1.21)式代入式代入(1.19)式，得到式，得到0dQQRdtC(1.22)這是電荷這是電荷Q 隨時間變化方程式，是一階常微分方程，隨時間變化方程式，是一階常微分方程，可整理成可整理成dQQdtT (1.23) 其中其中TRC稱為稱為RC回路的回路的時間常數時間常數， 當回路中的電阻當回路中的電阻R 和電容

24、和電容C 給定時，也完全確定了。給定時，也完全確定了。 直接對直接對(1.23)積分，得到積分，得到/0t TQQ e(1.24) 其中其中Q0是是t = 0時電容器上的電荷。時電容器上的電荷。 上面的結果是微分方程的嚴格解。上面的結果是微分方程的嚴格解。微分方程也可以用數值計算進行近似求解。微分方程也可以用數值計算進行近似求解。 歐勒法歐勒法類似公式類似公式(1.23)的一階微分方程，在物理學中經常的一階微分方程，在物理學中經常遇到，例如力學中的方程遇到，例如力學中的方程:( , )dxV x tdt(1.25) 其中其中 x 表示位置，表示位置，( , )V x t是速度是速度. 對任意的

25、一階微分方程，都可用對任意的一階微分方程，都可用歐勒法歐勒法近似求解。近似求解。 (1.23)式一般可寫為式一般可寫為( , )dQQf Q tdtT 1()( )( , )()( )( , )(, )nnnQ ttQ tf Q ttQ ttQ tf Q ttQQf Q tt歐勒法歐勒法的實質是用的實質是用差分差分 ()( )QQ ttQ ttt來代替微分來代替微分 dtdQ/于是于是(1.23)式變?yōu)槭阶優(yōu)?()( )QQ ttQ tQtT 或或 ()( )dQQ ttQ ttdt(1.26)( )()( )( )Q tQ ttQ tQQ ttT具體計算具體計算: 設設 01,10,1QTR

26、Ct 1nnnQQQtT第一步的計算第一步的計算0110.110QQtT 100.9QQQ表示經過時間表示經過時間1t以后，電荷量變?yōu)橐院?，電荷量變?yōu)?.9。第二步的計算第二步的計算10.90.0910QQtT 210.81QQQ同樣計算可以得到同樣計算可以得到Q 隨時間變化的值。與嚴格解析解隨時間變化的值。與嚴格解析解(1.24)式的計算結果比較式的計算結果比較:近似近似 1.0 0.9 0.81 0.729 0.656 0.590嚴格嚴格 1.0 0.907 0.818 0.740 0.670 0.606通常：通常：t1、 間隔取得越小，兩者越接近，但間隔取得越小，兩者越接近，但 t取小時

27、要到達同一時刻計算量要加大。取小時要到達同一時刻計算量要加大。2、隨著時間增加，歐勒法得到的近似值與精確值、隨著時間增加，歐勒法得到的近似值與精確值 之間的誤差越來越大。之間的誤差越來越大。誤差分析：誤差分析： 將歐勒近似計算和泰勒級數展開對比將歐勒近似計算和泰勒級數展開對比: 23232311()( )()()23!dQd Qd QQ ttQ ttttdtdtdt (1.27) 從從(1.27)式可得式可得22()( )2QQ ttQ tdQt d Qttdtdt所以，在所以，在t時間間隔內，時間間隔內， 用用Qt代替代替dQdt的誤差是：的誤差是： 22()2QdQt d QEOtdtdt

28、(1.28)對對歐勒法歐勒法而言，而言，Q是是()( )dQQ ttQ ttdt兩者比較可見，由歐勒法計算得到的結果其誤差是兩者比較可見，由歐勒法計算得到的結果其誤差是2()Ot(1.29) 相對泰勒級數展開而言，歐勒法的近似計算是相對泰勒級數展開而言，歐勒法的近似計算是一階精度一階精度。 程序注釋：程序注釋：RC為時間常數為時間常數Q1為電荷量的嚴格值為電荷量的嚴格值Q2為電荷量的近似值為電荷量的近似值DT為時間間隔為時間間隔N為時間間隔的數目為時間間隔的數目初始條件初始條件T =0時，帶電荷時，帶電荷Q =1。 1 READ（*，100）RC，DT，N IF（N，LE.0）STOP WRI

29、TE（*，101）RC，DT，N T=0 Q1=1 ！ 精確數值精確數值 Q2=1 ！近似解近似解 DO 10 I=1，N T=T+DT DQ=-Q2*DT/RC Q2=Q2+DQ Q1=EXP（-T/RC） WRITE（*，102）T，Q1，Q210 CONTINUE GO TO 1 100 FORMAT（2F10.5，I5） FORMAT（3HRC=，F10.5，4H DT=， ￥ F10.5， 3H N=， I5/ ￥5X, 1HT, 8X, 2HQ1, 8X, 2HQ2/)102 FORMAT (3F10.5) END1.4 RLC電路中的放電現象電路中的放電現象改進歐勒法改進歐勒法R

30、LC串聯電路串聯電路: 電路由電阻電路由電阻 R、電感、電感 L、電容、電容 C、開關開關 S 和外加電壓和外加電壓 , 組成。組成。 aV求：求：當開關當開關S合上以后電路中的電流將隨時間發(fā)生變化合上以后電路中的電流將隨時間發(fā)生變化 解：解： 根據基爾霍夫第二定律，電路中的外電壓根據基爾霍夫第二定律，電路中的外電壓aV等于電路內各元件的電壓之和，于是有等于電路內各元件的電壓之和，于是有 RLCaVVVV(1.30) 其中其中RV為電阻為電阻R上的電壓，上的電壓，RVIRLV為電感為電感L上的電壓，上的電壓，LdIVLdtCV為電容為電容C上的電壓，上的電壓，CQVCI 為電流，為電流，Q 為

31、電容器上的電荷。將這些表示代入為電容器上的電荷。將這些表示代入(1.30)式，得到：式，得到： adIQLIRVdtC(1.31) 據據(1.31)及及dQIdt(1.31)式兩邊對時間求微商式兩邊對時間求微商22adVd IdIILRdtdtCdt(1.33) 它它等價等價于兩個一階的微分方程于兩個一階的微分方程(1.31)式和式和(1.32)式。式。 (1.32) 初始條件：初始條件： 0t 時：時： 0I=0，0Q=1如果用如果用歐勒近似歐勒近似進行計算，則：進行計算，則： 111nnnnnnnntttdQQQtdtdIIItdt(1.34)其中其中ndQdt和和ndIdt的值可應用的值

32、可應用(1.31)式和式和(1.32)nQ和和nI求得。例如：求得。例如：式由式由已知已知的的(1.34)式表示歐勒法，具體運算過程為：式表示歐勒法，具體運算過程為：設設 t = 0時：時： 000,1,1IQt 運用運用(1.34)式，當式，當n = 0時：時：0ndtdQ0ndtdI和和 的值由的值由(1.31)式和式和(1.32)式來確定。式來確定。1001001 0 11110() 1aadQQQtdtVVdIIItdtLLCLLC 然后代入然后代入(1.31)式和式和(1.32)計算出：計算出：1ndtdQ1ndtdI和和 的值；的值；代入（代入（2-34）計算出）計算出Q2和和I2

33、：2111211111111()()aaaaVdQQQtIdtLLCVVVdIRIItdtLLCLCLLLCL 依次類推依次類推.可得任意時刻可得任意時刻1nQ和和1nI的值。的值。 計算流程：計算流程：1、設、設 t = 0時：時： 000,1,1IQt 2、由、由(1.31)式和式和(1.32)計算出計算出,0ndtdQ0ndtdI3、由、由(1.34)計算出計算出Q1, I1. 4、然后，回到、然后，回到2、計算出、計算出,1ndtdQ1ndtdI歐勒法是一級精度，為更精確，可采用歐勒法是一級精度，為更精確，可采用改進歐勒法：改進歐勒法：討論：討論：1112112nnnnnnnntttd

34、QQQtdtdIIItdt(1.35)其中其中12ndQdt和和12ndIdt分別為分別為12121nnndtdQdtdQdtdQ12121nnndtdIdtdIdtdI(1.36a)(1.36b)與與(1.34)式的歐勒法比較式的歐勒法比較, 是用是用12ndQ ttdt來代替來代替 .( )ndQ tdt12ndQ ttdt是用是用nt時刻時刻的微商進行平均來替代。的微商進行平均來替代。ntt時刻和時刻和 對電流對電流I 的情況也類同。的情況也類同。 可以將可以將(1.34)式和式和(1.35)式寫成統一的形式式寫成統一的形式tttnn1(1.37a)tdtdQdtdQQQnnnn1121tdtdIdtdIIInnnn1121(1.37b)(1.37c)