2020年江蘇版高考數(shù)學(xué)3.3導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用及綜合應(yīng)用

1、3.3導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用及綜合應(yīng)用挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用及綜合應(yīng)用1. 實際問題中的 最值問題2. 函數(shù)綜合問題的探究2016 江蘇,17導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用幾何體的體積2016 江蘇,20函數(shù)的綜合問題探究2018 江蘇,17函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用三角函數(shù)的應(yīng)用分析解讀導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是江蘇高考的必考內(nèi)容. 考 查 學(xué) 生 分 析 問 題 的 能力及學(xué)生數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng).煉技法【方法集訓(xùn)】方法一 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立、存在性問題的方法(2019 屆江蘇啟東檢測)設(shè)函數(shù) f(x)=al

2、nx+xbx(a胡)，曲線 y=f(x)在點(1, f(1)處的切線斜率為 0.求b;若存在 X。羽，使得 f(x0)0, f(x)在(1,+上單調(diào)遞增 所以存在 x01,使得f(x0)的充要條件為 f(1) ,即仆,解得-1a-1.2若_va1,故當(dāng) x 一 時，f (x)0,即 f(x)在 上單調(diào)遞減在 上單調(diào)遞增.所以存在 xo1,使得 f(xo)一的充要條件為 f 一 ,所以不合題意 .3若a1,則f(1)=-1=1.綜上,a 的取值范圍是(-一-1,一-1) U(1,+ g ).方法二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法(2018 江蘇鎮(zhèn)江期末)已知 b0,且 b1,函數(shù) f(x)=ex+

3、bx,其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù).(1) 對滿足 b0,且 b#1 的任意實數(shù) b,證明函數(shù) y=f(x)的圖象經(jīng)過唯一定點；(2) 如果關(guān)于 x 的方程 f(x)=2 有且只有一個解，求實數(shù) b 的取值范圍.解析假設(shè) y=f(x)過定點(xoy。)，則 yo=+對任意 b0,且 b 護(hù)恒成立.令 b=2 得 y0=+；令 b=3 得屮=+,所以 =，-=1,解得唯一解 x=0,所以 y0=2,所以函數(shù) y=f(x)的圖象經(jīng)過唯一定點(0,2).(2)令 g(x)=f(x)-2=ex+bx-2,則 g(x)為 R 上連續(xù)函數(shù),且 g(0)=0,則方程 g(x)=0 存在一個解.(i) 當(dāng) b1

4、 時,g(x)為增函數(shù)，此時 g(x)=0 只有一解.(ii)當(dāng) 0b0,0v-1,ln b0,令 h(x)=1+ - ln b,h(x)為增函數(shù).所以當(dāng) xq-g,x。)時,h(x)0,所以 g(x)0,所以 g(x)0,g(x)為增函數(shù).所以 g(x)極小=g(x0),又 g(x)的定義域為 R,所以 g(x)min=g(x。).1若 x0,g(x)在(-g,x0)上為減函數(shù),g(x)0.所以 xqx0,ln 2)時,g(x)至少存在另外一個零點，矛盾.2若 xv0,g(x)在(X0,+g)上為增函數(shù),g(x)0,所以 g(x)在 (logb2,x0)上存在另一個解，矛盾.3當(dāng) xo=lo

5、 _(-ln b)=0,則-In b=1,解得 b=_,此時方程為 g(x)=ex+_-2=0,由得，只有唯一解 x=0,滿足條件.綜上，當(dāng) b1 或 b=-時，方程 f(x)=2 有且只有一個解.方法三 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法(2018 江蘇淮安、宿遷期中)將 2 張邊長均為 1 分米的正方形紙片分別按甲、乙兩種方式剪裁并廢棄陰影 部分.(1) 在圖甲的方式下，剩余部分恰能完全覆蓋某圓錐的表面，求該圓錐的母線長及底面半徑；(2) 在圖乙的方式下，剩余部分能完全覆蓋一個長方體的表面，求長方體體積的最大值.解析(1)圖甲對應(yīng)的圓錐如圖丙，設(shè)圓錐母線 PA=L 分米,圓錐底面半徑 OA

6、=r 分米,則有 L+r+_r= 一, 一X2nL=2nr,解得 L=- ,r= 一-該圓錐的母線長為 一-分米,底面半徑為一-分米.圖乙剩余部分覆蓋的長方體如圖丁所示，設(shè)其同一頂點處的三條棱長分別為a,b,c,貝 U2(a+b)=1,b+c=1 ? a=-b,c=1-b,32長方體體積 V=abc=- b(1-b)=b -b+b-.令 g(b)=b3-b24b-,則 g(b)=3b2-3b+-,令 g(b)=0, 得 b=.T0b0,b 時,g(b)0).則年總產(chǎn)值為 4kx800(4sin0cos0+cos0)+3k X1600(cos0-sin0cos0)=8 000k(sin0cos0

7、+cos0),0-.設(shè) f(0)=sin0cos0+cos0,0-.則 f (0)=cos20-sin20-sin0=-(2sin20+sin0-1)=-(2sin0-1)(sin0+1),令 f (0)=0,得0,當(dāng)0-時,f (0)0,所以 f(0)為增函數(shù)；當(dāng)0 - -時，f (0)0,所以 f(0)為減函數(shù)，因此，當(dāng)0=-時，f(0)取到最大值.答:當(dāng)0=-時,能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.名師點睛 用0表示 OE 和 EC,就能求出矩形 ABCD 及三角形 CPD 的面積，求定義域時抓住 N、G 關(guān)于 OK 對稱得到/GOK 的正弦值，從而求得 sin0的范圍.(2)先構(gòu)造函數(shù)，

8、再用導(dǎo)數(shù)求最值，求導(dǎo)時，交代0的范圍，判斷 f (0)的符號，再確定 f(0)的單調(diào)性，就能 得到最大值，從而解決問題.2.(2016 江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1BGD1,下部的形狀是正四棱柱 ABCD-ABC1D(如圖所示),并要求正四棱柱的高 OO 是正四棱錐的高 PO 的 4 倍.(1) 若 AB=6m,PO=2 m,則倉庫的容積是多少？(2) 若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m,則當(dāng) PO 為多少時，倉庫的容積最大？解析 由 PO=2 知 OO=4PC=8.因為 A1B1=AB=6,所以正四棱錐P-AIBGD的體積23V錐=P0=-

9、X6 x2=24(m );正四棱柱ABCD-ABCID的體積V柱=ABoO=$X8=288(m3).3所以倉庫的容積 V=V錐+V柱=24+288=312(m).(2)設(shè) AiB=a(m),POi=h(m),則 0h6,OiO=4h.連接 0B.因為在 RtOBi中,0i+P =P所以一 +h2=36,即 a2=2(36-h2).于是倉庫的容積V=V柱+V錐=a24h4a2h=_a2hj(36h-h3),0h6,從而 V=(36-3h2)=26(12-h2).令 V=0,得 h=2 一或 h=-2_(舍).當(dāng) 0h0,V 是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng) 2_h6 時,V0,b0,a胡,b胡).(1)設(shè) a=

10、2,b=-.1求方程 f(x)=2 的根;2若對于任意 x取,不等式 f(2x)沏f(x)-6 恒成立，求實數(shù) m 的最大值;若 0a1,函數(shù) g(x)=f(x)-2有且只有 1 個零點，求 ab 的值.解析因為 a=2,b=-，x a-X所以 f(x)=2 +2.1方程 f(x)=2, 即 2x+2-x=2,亦即(2x)2-2x2+1=0,所以(2x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x=0.2由條件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2.因為 f(2x)紋 nf(x)-6 對于 x 取恒成立，且 f(x)0,所以 m- 對于 x 取恒成立.而-=f(x)

11、+ 壟- =4,且-=4,所以故實數(shù) m 的最大值為 4.因為函數(shù) g(x)=f(x)-2 只有 1 個零點，而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以 0 是函數(shù) g(x)的唯一零點.因為 g(x)=axln a+bxln b,又由 0a1 知 In a0,所以 g(x)=0 有唯一解 x=lo.令 h(x)=g(x), 貝 U h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2,從而對任意 x R,h(x)0,所以 g(x)=h(x) 是(-，+ 上的單調(diào)增函數(shù).于是當(dāng) xq- s ,x。)時,g(x)g(x。)=0.因而函數(shù) g(x)在(-s,x。

12、)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x,+s)上是單調(diào)增函數(shù).下證 x0=.若 X00,則 X00,于是 g -2=0,且函數(shù) g(x)在以一和 loga2為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在一和 loga2 之間存在 g(x)的零點，記為 X1.因為 0a1,所以 loga20.又-0,所以 X10,同理可得，在一和 logb2 之間存在 g(x)的非 0 的零點，矛盾.因此,x0=0.于是-一=1,故 ln a+ln b=0, 所以 ab=1.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用及綜合應(yīng)用1.(2015 課標(biāo)I改編,12,5 分)設(shè)函數(shù) f(x)=eX(2x-1)-ax+a,其中

13、a1,若存在唯一的整數(shù) X。使得 f(x。)0,則 a的取值范圍是_ .答案2.(2018 課標(biāo)全國I理,21,12 分)已知函數(shù) f(x)= _-x+aln x.討論 f(x)的單調(diào)性；若 f(x)存在兩個極值點 xi,X2,證明：_:_2,令 f (x)=0,得 x= -或 x=-.當(dāng) x - U - 時，f (x)0.所以 f(x)在一-,- 單調(diào)遞減，在 - - -單調(diào)遞增.由(1)知，f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng) a2.由于 f(x)的兩個極值點 x1,x2滿足 x2-ax+1=0,所以 X1X2=1,不妨設(shè) X11,由-=-1+a-=-2+a- =-2+a-,所以- a-2 等價

14、于 _-x2+2ln X20.設(shè)函數(shù) g(x)= -x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+ g)單調(diào)遞減，又 g(1)=0,從而當(dāng) X 1,+g時,g(x)0,以x2+2ln X20,即-a-2.3.-(2018 課標(biāo)全國山文,21,12 分)已知函數(shù) f(x)=.(1)求曲線 y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程；證明：當(dāng) a 羽時，f(x)+e 丸.解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.(1)f - ,f (0)=2.因此曲線 y=f(x)在(0,-1)處的切線方程是 2x-y-仁 0.、/2,x+1、-x般 x +x-1+e )e .令 g(x)=x2+x-1+ex+1

15、,則 g(x)=2x+1+e 當(dāng)x-1時,g(x)-1時,g(x)O,g(x)單調(diào)遞增.所以 g(x)刊(-1)=0.因此 f(x)+e 丸.方法總結(jié)構(gòu)造函數(shù)證明不等式的策略：(1)轉(zhuǎn)化為 f(x)述(C 為常數(shù))型，證明 f(x)min或臨界值大于或等于C.轉(zhuǎn)化為 f(x)刊(x) 型,利用導(dǎo)數(shù)判斷 f(x),g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù) f(x)、g(x)的最值或臨界值，用原不等式成立的充分條件證明.轉(zhuǎn)化為 f(a)+g(a)芳(b)+g(b)型，構(gòu)造函數(shù) h(x)=f(x)+g(x), 利用 h(x)單調(diào)性及 a,b 的大小證明.4.(2018 課標(biāo)全國U理,21,12 分)已知函數(shù)

16、f(x)=ex-ax2.(1)若 a=1,證明：當(dāng) x 丸時,f(x) 1;若 f(x)在(0,+a)只有一個零點，求 a.2_x解析 當(dāng) a=1 時，f(x) 1 等價于(x+1)e -1切.2x設(shè)函數(shù) g(x)=(x +1)e -1,2x2 x則 g(x)=-(x-2x+1)e =-(x-1) e .當(dāng) x 胡時,g(x)1.設(shè)函數(shù) h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+ )只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+ )只有一個零點.(i)當(dāng) a 切時,h(x)0,h(x)沒有零點；(ii) 當(dāng) a0 時,h(x)=ax(x-2)e-x.當(dāng) x (0,2)時,h(x)0.所以 h(x)

17、在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+a)單調(diào)遞增.故 h(2)=1- 一是 h(x)在0,+a的最小值.1若 h(2)0,即 a_,h(x)在(0,+a)沒有零點；2若 h(2)=0,即 a=_,h(x)在(0,+a)只有一個零點；(2)當(dāng) a時,f(x)+e3若 h(2)_,由于 h(0)=1, 所以 h(x)在(0,2)有一個零點.x 2由(1)知,當(dāng) x0 時,e x ,所以 h(4a)=1-=1-1-=1-_0.故 h(x)在(2,4a)有一個零點.因此 h(x)在(0,+a有兩個零點.綜上，f(x)在(0,+只有一個零點時，a=_.方法總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，可以先構(gòu)造函數(shù)，然

18、后對構(gòu)造的新函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求岀最值，進(jìn)而得岀相應(yīng)的含參不等式，從而求岀參數(shù)的取值范圍；也可以先分離變量，再構(gòu)造 函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.具體地，可畫岀函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)岀函數(shù)極值點、最值點的位置求解.這種用數(shù)形結(jié) 合思想分析問題的方法，可以使問題有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).5.(2018 天津理,20,14 分)已知函數(shù) f(x)=ax,g(x)=logaX,其中 a1.(1)求函數(shù) h(x)=f(x)-xln a 的單調(diào)區(qū)間；若曲線 y=f(x)在點(x1, f(x1)處的切線

19、與曲線 y=g(x)在點(x2,g(x2)處的切線平行，證明X1+g(X2)=-;證明當(dāng) a-時,存在直線 l,使 I 是曲線 y=f(x)的切線，也是曲線 y=g(x)的切線.解析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)與方程思想、化歸思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力(1)由已知,h(x)=ax-xln a,有 h(x)=axln a-ln a.令 h(x)=0,解得 x=0.由 a1,可知當(dāng) x 變化時,h(x),h(x)的變化情況如下表：X(-a,0)0(0,+a)h(x)-0+h(x)極小值/所以函數(shù)

20、h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+a).(2)證明:由 f (x)=axln a,可得曲線 y=f(x)在點(X1, f(x1)處的切線斜率為ln a.由 g(x)= ,可得曲線 y=g(x)在點(x2,g(x2)處的切線斜率為因為這兩條切線平行，故有 ln a=,即 X2(ln a)2=1.兩邊取以 a 為底的對數(shù),得 logaX2+X1+2logn a=,所以 X1+g(x2)=- .證明：曲線 y=f(x)在點(x1,)處的切線 11：y- 曲線 y=g(x)在點(X2,logaX?)處的切線 I2：y-logaX2=(x-x2).ln a (x-x1).要證明當(dāng)

21、 a 時,存在直線 I,使 I 是曲線 y=f(x)的切線，也是曲線 y=g(x)的切線，只需證明當(dāng) ah時，存在 Xiq-s,+s),x2耳0,+s),使得 11與 12重合.即只需證明當(dāng) a 時，方程組有解.由得 X2=-，代入，得 -x1In a+xi+一+-=0.因此,只需證明當(dāng) ah時,關(guān)于 xi的方程存在實數(shù)解.設(shè)函數(shù) u(x)=a -xa In a+x+一+-,即要證明當(dāng) a 時，函數(shù) y=u(x)存在零點.u(x)=1-(Ina)2xaX,可知 xq-巴 0)時,u(x)0;xqo,+時,u(x)單調(diào)遞減，又u(0)=10,u=1-0,使得 u(x0)=0,即 1-(In a) X0=0.由此可得 u(x)在(-s,X0)上單調(diào)遞增，在(X0,+s)上單調(diào)遞減.u(x)在 X=X0處取得極大值 u(x0).因為 a；故 In In ah-1, 所以 u(x