九年級(jí)上數(shù)學(xué)第一單元一元二次方程

1、第一講:一元二次方程和用配方法解一元二次方程一、一元二次方程1.一元二次方程的概念：等號(hào)兩邊都是整式， 只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù) 是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程的一般形式：ax2 bx c = 0（a = 0）2ax:二次項(xiàng)a:二次項(xiàng)系數(shù)bx: 一次項(xiàng)b:一次項(xiàng)系數(shù)c: 常數(shù)項(xiàng)注:兀二次方程應(yīng)冋時(shí)滿足三條（1 ） 是整式;（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是 2；（4）二次項(xiàng)的系數(shù)不為 0。例 1：下列方程中，關(guān)于X的一元二次方程是（）A.（x1）（x 2） =1B.x2=0c. ax2bx c = 0D.3x2-2xy-5y2二

2、0 x例 2:把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)（1）（ 2t+3）2-2 （t-5 ）2=41(2)例3:關(guān)于 x 的方程（m -1）x2 （m 1）x 3m 2 = 0,當(dāng) m_時(shí)為一元一次方程；當(dāng)時(shí)為一元二次方程。3. 一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。例 4:（17 年元調(diào) 第 1 題）在數(shù) 1 , 2, 3 和 4 中，是方程x2+x 12 = 0 的根的為（A. 1.B. 2.C . 3.D. 4.例 5：已知 1 是關(guān)于x的一元二次方程m -1 x2 x 1 = 0的

3、一個(gè)根，則m的值是4.關(guān)于一元二次方程根的重要結(jié)論（1 ）若a，b，c=O，則一元二次方程ax2bx 0（a廠0）必有一個(gè)根是x = 1；反之 也成立，即若x =1是一元二次方程ax2bx 0（a = 0）的一個(gè)根，那么a b c = 0。（2） 若a - b c = 0，則一元二次方程ax2bx 0（a = 0）必有一個(gè)根是x = -1；a-b c=0。（3） 若c = 0，則一元二次方程ax2bx0（a = 0）必有一個(gè)根是x = 0；反之也成立，即若x = 0是一元二次方程ax2bx0（a = 0）的一個(gè)根，那么c = 0。例 6：若方程ax2bx c = 00）中，a, b, c滿足a

4、 b 0和a-b，c= 0，則方程的根是（）（A） 1，0（ B）-1，0（ C） 1，-1（ D）無法確定例 7：一元二次方程ax2bx 0（- 0）的一個(gè)根是 1，且a、b滿足等式b = a -22 -a -1,求此一元二次方程例 8已知關(guān)于x的方程（m-1）x2-（2m-1）x，m=0（1 ）若是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值。（2）若是關(guān)于x的一元二次方程，求m的取值范圍。二、解一元二次方程1.用直接開平方法解一元二次方程（1）形如（x a）2二b（b -0）的一元二次方程適用于直接開方法，其根為x - -a二b。(2)直接開平方法的步驟為：2先把方程化成(x a) = b的形式，再開

5、平方。例 9:解方程：(2x-1)2=52. 用配方法解一元二次方程(1 )理論依據(jù)：利用完全平方公式a2_ 2ab b2= (a _ b)2，把一元二次方程轉(zhuǎn)化2為(x a) = b(b _ 0)的形式，再用直接開方法求方程的解。(2) 用配方法解一元二次方程的步驟1如果一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)a不是 1,就先將方程兩邊同除以a，使方程的二次項(xiàng)系數(shù)化 1 ；2把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊3湊完全平方，常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。4如果右邊是非負(fù)實(shí)數(shù)，用直接開方法解出方程的解。例 10：( 15 年元調(diào) 第 8 題)用配方法解方程 x2+10X+9 =0，下列變形正確的是()2 2 2 2A. (

6、x+5) =16. B . (x+10) =91. C . (x-5) =34. D . (x+10) =1093. 用配方法的應(yīng)用(1)用配方法解方程例 11:用配方法解方程：(1)x2-4x，1=0(2)2x2-4x=6求字母的值例 12：已知a2+b2+ 4a- 2b+ 5 = 0，則 3a2+ 5b2-4 的值為2 2例 13：若代數(shù)式9x kxy y表示一個(gè)完全平方式，則k的值為(3)證明字母相等2 2 2例 14：已知 a、b、c 是厶ABC的三邊，且滿足a b c - ab - be - ac = 0,判斷這個(gè)三角形的形狀.2 2 2 2例15：已知3(a +b +c )= (a

7、 +b + c)，求證：a = b = c比較大小2 2 2 2例 16：若代數(shù)式M =10a b - 7a 8, N = a b 5a 1,則M-N的值()A. 一定是負(fù)數(shù)B.一定是正數(shù)C.一定不是負(fù)數(shù)D.一定不是正數(shù)例 17：已知a、b滿足等式x =a2 b220,y =4 2b_a,則x,y的大小關(guān)系是()A. x _ yB. x _ yC. x： ：yD.x y(5)證明代數(shù)式非負(fù)例 18：mi+n2+4m-2n+5=0，求 3mi+5n2-4的值例 19:求證：不論X為何值，多項(xiàng)式2x -4x-1的值總比x -6x-6的值大(6)求代數(shù)式的最值(求最大值或最小值，必須將它們化成y =

8、 a x b2 c的形式，然后再判斷，當(dāng) a 0 時(shí)，它有最小值 c;當(dāng) av0 時(shí)，它有最大值 c.)例 20：利用配方法求y =2x2-4x -7的最大值或最小值.2例 21：求多項(xiàng)式x 3x -1的最小值例 22：求多項(xiàng)式-2x25x，3的最大值(7 )證明完全平方數(shù)例 23：已知 9x2+ 18(n 1)x+ 9n2+n是完全平方式，求常數(shù)n的值.第一講：課后習(xí)題一、選擇題1. 下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是()A.(x -1)(x2) =1B.x2 = 0C. ax2bx c = 0D.3x2- 2xy - 5y2= 0 x2. (16 年元調(diào) 第 1 題)將方程x2_8x=10

9、化為一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)系數(shù)為 1，一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是()A. 8、一 10B. 8、10C. 8、一 10D. 8、103. 若ax2-5x 3 = 0是關(guān)于x的一元二次方程，則不等式3a 6 0的解集是()1A.a占 一2B .a -2C .a -2且a = 0D .a24. 用配方法將二次三項(xiàng)式a2-4a+5 變形，結(jié)果是()2 2 2 2A .( a-2) +1 B .(a+2) -1 C .(a+2) +1 D .( a-2) -15. 不論 x、y 為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式 x2+y2+2x-4y+7 的值()A.總不小于 2 B.總不小于 7C.可為任何實(shí)數(shù)D .可

10、能為負(fù)數(shù)二、填空題6. 用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：2 2 2 21、x +6x+_= (x+);_ 、x 5x+ _=(x );、x2+ x+二(x+ _)2;、x2 9x+ _=(x _ )27. 若方程(m2-1)x2+x+m=0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則m 的取值范圍是8. 已知x22xy y2-6x -6y 0，則x y的值為29.若x -2(m-3)x，9是一個(gè)多項(xiàng)式的平方，則m=10.若代數(shù)式9x2kxy y2表示一個(gè)完全平方式，則k的值為三、解答題11.解方程：x2+2x -3=0(15 年元調(diào) 第 17 題)12.當(dāng)a,b為何值時(shí)，多項(xiàng)式a2+ 2ab+ 2b2+ 6b+ 18 有

11、最小值？并求出這個(gè)最小值.213.已知關(guān)于 x 的方程(m 3)xm Jx=5 是一元二次方程，求 m 的值.225多項(xiàng)式x-xy y-2x y2的值永遠(yuǎn)大于或等于15.如果關(guān)于 x 的一元二次方程 a (1+x2) +2bx c (1 x2) =0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么以a, b, c 為三邊的厶 ABC 是什么三角形？請(qǐng)說明理由.16.對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+ 4x+ 9 進(jìn)行配方得x2+ 4x+ 9 = (x+m)2+n.(1)求m n的值；當(dāng)x為何值時(shí)x2+ 4x+ 9 有最小值？并求最小值.x2 5x+ 3= 0 （17 年元調(diào)第 17 題）14.求證：不論x、y為何值,o.第

12、二講：用公式法解一元二次方程2 2元二次方程根的判別式：一般地，式子b 4ac叫做方程ax 5x7 = 09 = 0)根的判別式，通常用希臘字母厶表示它，即厶二b2_4ac.(1) 厶0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,-b VS-b Vb2-4ac x二一=2abx = 2a丄x2(m2)x + m2= 04(1 )有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m 的取值范圍；(2) 當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，求 m 的最大整數(shù)解例 2：當(dāng)m為何值時(shí)，方程x2- (2m 2)x m20(1) 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3) 沒有實(shí)數(shù)根2a例 1 :已知關(guān)于x的一元二次方程(2)& =0，方程有

13、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,二、用公式法解一元二次方程(演示推導(dǎo)過程，做筆記)(1)定義：對(duì)于ax2bx c = 0(a廠0)有-b Vi-b Vb2-4acx二- 二-2(其中a=0，b 4ac_0)(2)用公式法解一元二次方程的一般步驟為：1把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c 的值(注意符號(hào))；2求出判別式代二b24ac的值，判斷根的情況。3在乜二汀A的前提下，把 a、b、c 的值代入公式(1)X2-3X-1=0(2)2x2-3x 1=0(3)X2-5、_2X2=0(4)6x2+x- 35=0三、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用(1)不解一元二次方程，判斷根的情況例 4:不解方程，判斷下列方程的根的

14、情況：2 2(1) 2x +3x - 4=0(2)ax+bx=0(a 工 0)(2) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3) 沒有實(shí)數(shù)根；2 2 2(3)x +2mx+m?仁0(4)16x + 9 =24x(2)根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍或化簡(jiǎn)求值例 5:k 的何值時(shí)？關(guān)于 x 的一元二次方程 x2- 4x+k - 5=0.(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；-b Vi-b Vb2-4c例 3:用公式法解方程:例 6:已知關(guān)于 x 的方程X2+2 ( m+1 x+mf+5=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)|1-m|+|m-2|(3)根據(jù)判別式判斷三角形的形狀例 7:已知：a、b、cABC 的三邊，當(dāng)

15、m0 時(shí)，關(guān)于X的方程c(x2m) b(x2_m)一2.、max = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。求證ABC 為 Rt ABC例 8：已知關(guān)于X的方程X2- ( 2k+1)x+k2+k=0(1) 求證：方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2) 若厶 ABC 的兩邊 AB AC 的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊 是等腰三角形時(shí)，求 k 的值。(4) “結(jié)合 0”確定字母的取值范圍例 9:若關(guān)于X的方程 kx2 2X 1 = 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k 的取值范圍是()A.k 1B. k 1 且 k 工 0C. kv1D. kv1 且 k 工 0ck例 10:關(guān)于X的方程 kx2+(k+2)x+=0 有兩個(gè)不

16、相等的實(shí)數(shù)根，4(1) 求 k 的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù) k 使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于 0？若存在求出 k 的值； 不存在說明理由。BC 的長(zhǎng)為 5.當(dāng)厶 ABC(5) 判別式與隱含條件相結(jié)合例 11：已知關(guān)于 x 的一元二次方程( 1-k ) x2- 2x-1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求 k 的最大 整數(shù)值例 12：已知關(guān)于 x 的一元二次方程 kx2-4kx+k-5=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求 k 的值。例 13:關(guān)于 x 的方程 mX-3 ( m-1) x +2m-3=0 ,求證：m 取何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總是有實(shí)數(shù)根。第二講:課后習(xí)題一、選擇題1.2用公式法解方程 4x -1

17、2x=3，得到()一3 63八6A. x=2B .x=2 2 .33 2込C. x=2D.x=22.(16 年兀調(diào) 第 9 題)關(guān)于 x 的方程(m 2)x + 2x+ 1 0 有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值氾圍是()A.mi x+m+5=0那么以 a, b, c 為三邊的厶 ABC 是什么三角形？請(qǐng)說明理由.(10 分)13.已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 中,總+松 卅+m+1;(1 )若 a=4,求 b 的值；(2)若方程 ax2+ bx +1 = 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求方程的根14.已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2-3(m-1)x 2m-3 = 0(m為實(shí)數(shù))(1)

18、若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.(2) 求證：無論m為何值，方程總是有一個(gè)固定的根(3) 若m為整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為正整數(shù)，求m的值(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)沒有實(shí)數(shù)根11 某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于m22的萬(wàn)程(m+1)x+( m- 2)x 仁 0 提出了下列問題.(1)若使方程為一兀一次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程.(2)若使方程為一兀二次方程m 是否存在？若存在，請(qǐng)求出.你能解決這個(gè)問題嗎?12 .如果關(guān)于 x 的一元二次方程a (1+x2) +2bx c (1 x2) =0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,第三講:用因式分解法解一元二次

19、方程一、用因式分解法解一元二次方程（1） 依據(jù)：兩個(gè)因式的積等于 0,那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0。如（x1）（x-2） =0，那么x 0或x-2=0（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：1移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；2將方程的左邊分解為 兩個(gè)一次因式 的乘積；3令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；4解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解。例1:用因式分解法解方程：（1）2X2-3X，1=0（2）（x T）（x-81） 2（3-x）=8二、 一元二次方程的解法例2:配直接開平方解方程（1）5（x-1）2=125（2）3（x，2）6例3:用配方法解下列方程:23x -5x=2

20、.例4:用因式分解法解方程。2小x 2x2x +8x=92 2(x 1) -(2X -3) -0例5:用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠獭?1)x2一5、,2x 2 = 0(2)x2一6x 8 = 0、利用幾何構(gòu)建一元二次方程 利用面積構(gòu)建一元二次方程例6：如圖，在矩形 ABCD 中, AB=6 cm BC=12 cm 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 沿邊 AB 向點(diǎn) B 以1cm/s 的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 沿邊 BC 向點(diǎn) C 以 2cm/s 的速度移動(dòng)，問幾秒后 PBQ 的面積等于 8m2?例7:已知：如圖所示，在 ABC 中，/ C=900, BC=7cm, AC= 5 cm,.點(diǎn) P 從點(diǎn)

21、A 開始沿 AC 邊向點(diǎn) C 以 1cm/s 的速度移動(dòng)， 點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 開始沿 BC 邊向點(diǎn) C 以 2cm/s的速度移動(dòng).(1)如果 Q、P 分別從 C、A,同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PCQ 的面積等于 4* ?(2)如果 Q、P 分別從 C、A,同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ 的長(zhǎng)度等于 5cm?(3)在(1)中， PCQ 的面積能否等于 7 m2?說明理由(3)3x22x -7 =02(4)81PC例8:如圖 1,在等邊 ABC 中，P 是 BC 下方一動(dòng)點(diǎn)，且/BPC=120 , PB、PC 是關(guān)于方程(a _1)x2_9(a -1)x b二c的兩實(shí)根，求的 PA 長(zhǎng)度例 9 :如圖，在

22、四邊形 ABCD 中 ,AB | CD,/ A= 90 ,AB = 3,CD= 2,AD = 7,點(diǎn) P 為線段 AD 上一 點(diǎn),CP丄 BP,求 DP 的長(zhǎng)。c二次方程例10:在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，過原點(diǎn) 0 及點(diǎn) A( 0, 2)、C( 6, 0)作矩形 OABC, / AOC 的平分線交AB 于點(diǎn) D.點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線 OD 方向移 動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 x 軸正方向移動(dòng).設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng) t 為多少時(shí)，PQB 為直角三角形.第三講：課后習(xí)題一選擇題(1)方程(x 16)(x+ 8) = 0 的根是

23、()A.xi= 16,X2= 8 B xi= 16,X2= 8C.xi= 16,X2= 8D.xi=16,X2=8二.填空題9. 方程t(t+ 3) = 28 的解為_.10. 方程(2x+ 1) + 3(2x+ 1) = 0 的解為 _ .11. 關(guān)于x的方程x2+ (nun)x+mn=0 的解為_12已知關(guān)于 x 的一元二次方程(m 2)X2+3X+ (m2 4) =0 有一個(gè)解是 0 則求 m 的值為13.方程x(xJ5) =J5x的解為_14.用因式分解法解下列方程：22(1)x+12x= 0;(2)4x 1 = 0;A. 1B . 2C . 4D . 4(7)已知三角形兩邊長(zhǎng)為4 和

24、 7,第三邊的長(zhǎng)是方程2x 16x+ 55= 0 的一個(gè)根，則第三邊長(zhǎng)是()A. 5B.5 或 11C.6D .11(8)方程x 3|x 1| =1 的不同解的個(gè)數(shù)是()A. 0B. 1C. 2D.3A.x=B .x= 2C2.x= 1D .x= 1方程 5x(x+ 3) = 3(x+ 3)解為()A3小r333小A. X1=,X2= 3 B .x=C.X1=,X2= 3D .X1=,X2= 35555方程(y 5)(y+ 2) = 1 的根為()A.y1= 5,y2= 2B .y= 5C. y= 2D .以上答案都不對(duì)22方程(x 1) 4(x+ 2) = 0 的根為()A.X1= 1 ,X

25、2= 5B .X1=-1,X2= 5C. X1= 1,X2= 5D .X1下列方程 4x2 3x 1= 0, 5x2 7x+ 2 = 0, 13x2 15x+ 2= 0 中，有一個(gè)公共解是()m x2 3x+ 2= 0 較小的根設(shè)為n,貝 Unun2(3)x= 7x;2(4)X 4x 21= 0;=1,X2= 5(6) 一元二次方程x2+ 5x= 0 的較大的一個(gè)根設(shè)為 的值為()22x 1) 4(x 1) 21 = 0.2 2x+ (21)x+m+m=0.15.用適當(dāng)方法解下列方程:22x 2) = 256;2(3)x 3x+ 1 = 0;2(4)x 2x 3 = 0; (5)(22t+ 3

26、) = 3(21+ 3);(6)(3、22小y) +y= 9；(1 +、2)x2-(1 . 2 )x= 0;(8) 8m=0；217.已知x2+ 3xy 4y2= 0(y 0)，試求的值.x + y18.已知(x2+y2)(x2 1 +y2) - 12= 0.求x2+y2的值.19.如圖所示，在ABC 中，/ B=90 AB=6cm, BC=3cm，點(diǎn) P 以 1cm/s 的速度從點(diǎn) A 開始 沿邊 AB 向點(diǎn) B 移動(dòng)，點(diǎn) Q 以 2cm/s 的速度從點(diǎn) B 開始沿邊 BC 向點(diǎn) C 移動(dòng)，如果點(diǎn) P、Q分別從點(diǎn) A、B 同時(shí)出發(fā)，多少秒后 P、Q 之間的距離等于 4、2cm .20.如圖

27、12-3, ABC 中，/ B=90。，點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)開始沿 AB 向點(diǎn) B 以 1cm/s 的速度移動(dòng),點(diǎn) Q 從 B 點(diǎn)開始沿 BC 邊向 C 點(diǎn)以 2cm/s 的速度移動(dòng)。(1)如果 P、Q 分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使 ABQ 的面積等于 8cm2?(2)如果 P、Q 分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，并且 P 到 B 后又繼續(xù)在 BC 邊上前進(jìn)，Q 以 C后又繼續(xù)在 AC 邊前進(jìn)，經(jīng)幾秒鐘，使 PCQ 的面積等于 12.6 cm2。圖12-3第四講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩根與方程中各系數(shù)有如下關(guān)系：_ bC+冀2_二工1工2 -

28、（也稱韋達(dá)定理）例1:下列一元二次方程兩實(shí)根和為-4的是（）2 2 2 2A.x 2x-4=0B.x -4x 4 =0C.x 4x 10=0D.x 4x-5=0例2:已知x-i，x2是一元二次方程x22ax b = 0的兩根，且xix 3，x必=1，則a,b的值分別是多少?x2 4x+ 2 = 0 的兩個(gè)根是 x1,x2，那么 x1+ x2等于（A. 4 B. 4 C. 2 D. 2例4:已知一元二次方程 x2+ 3x+1=0 的兩個(gè)根為 x1, x2那么(1 + x1)(1 + x2)的值等于_.例5:一元二次方程x -5x，6=0的兩根分別是x1, x2則x1x2等于2 2例6:關(guān)于 x

29、的方程x 2m-3x，m，6=0的兩實(shí)根之積是兩實(shí)根之和的2 倍，求 m的值。例7:若方程2x2（k+1）x+k+3=0的兩根之差為 1，則k的值是 _例3:如果一元二次方程元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用)(x- X) (x X2) - 4XiX22(x1k)(x2k)二x1x2k(x1X2) kX X2|=J(XiX2)2=J(XI+X2)24XIX2（1）驗(yàn)根。不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根。例8:一兀二次方程X2-2X=0的根是（）A.x1= 0, x_-2B.X!= 1,X2= 2C.x1= 1,x_-2D.x1= 0, x= 2（2）已知方程的一個(gè)

30、根，求方程的另一根及未知系數(shù)2例9:已知關(guān)于 X 的一元二次方程x-（kFx的一個(gè)根是 2,求方程的另一根 和 k 的值.2 2例10:已知關(guān)于 x 的一元 二次方程（k 4）X3x k&-4=0的一個(gè)根為 0,求 k 的值.例11:已知x =1是方程X2bx -2 =0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及b 的值。例12:.若方程 x2+3x+m=0 的一根是另一根的一半，則 m=_,兩個(gè)根是 _（3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于兩根的對(duì)稱式的值和判別一元二次方程兩 根的符號(hào)。2 2XiX22(xX2)2XX2X-!X2XiX2X2XiXX2xX2222XX2(XiX2) - 2X

31、1X2X X2例13:不解方程，判別方程2x23x-7=0兩根的符號(hào).例14:若XI、X2是二次方程2x2-5x一1=0的兩根，求下列代數(shù)式的值.（1）x12x2x22x1（2）x12x23x1x2（3）昱蘭1（4）|xx21X-Ix2八22x13例15:已知X1,X2是關(guān)于 x 的方程4x（3m-5x6m =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 x22求 m 的值。例16:已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0.（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2） 若X1,X2是原方程的兩根，且 為-X2=2J2，求m的值和此時(shí)方程的兩根。2 2例17:設(shè)X1,X2是關(guān)于 x 的方程

32、x亠2口7 X，m-的兩實(shí)根，當(dāng) m 取什么值時(shí),X1-X2 2=15?11例18:如果方程2 x2- mx - 4 = 0的兩根為x1,x2，且2，求實(shí)數(shù) m 的值。x,X2（4）已知方程的兩根，求一個(gè)一元二次方程。例19:已知一元二次方程的兩根為2、.2和2一2，則該一元二次方程為例20:以 1,-3 為根的一元二次方程是 _ .例21:如果關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的兩根分別為 xi=2，X2=1，那么 p， q 的值分 別是（5）已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍例22:關(guān)于x的一元二次方程x2（2k 1）x k20有兩個(gè)不等實(shí)根xx

33、2（1）求 k 實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）若方程的兩實(shí)根x1, x2滿足|x11+|x2| =論乂2,求 k 的值.2例23:已知關(guān)于 x 的一元二次方程 2x +kx-1=0（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）若方程的一個(gè)根是-1，求另一個(gè)根及 k 值.例24:若關(guān)于x的一元二次方程（m2）2x2（2m，1）xT=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是229例25:已知關(guān)于x的一元二次方程2x -mx-2m，1=0的兩實(shí)根的平方和是 ，求m的4取值范圍例26:已知方程x2-2mx m24 = 0，不解方程,求證：（1）它有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng) m2 時(shí)，它的兩個(gè)根都是正數(shù)例 27 :已

34、知：關(guān)于 x 的方程x2_2（m +1 X+m2_3 = 0（1）當(dāng) m 取何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？2（2） 設(shè)方程的兩實(shí)根分別為X1,x2，當(dāng)XiX2- XiX2-1 0時(shí)，求 m 的值.第四講:課后習(xí)題、選擇題元二次方程（1-k）x2-2x-1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）21 1若x1fX2是方程2x -6x3 =0的兩個(gè)根，則的值為（）N X2x2（2m-1）x m20的根，貝U m等于（ ）1.A. k 2B . k：2,且 k=1 C .k： ：D. k 2,且 k=12.3.1C. 一2已知菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 5,兩條對(duì)角線交于 O 點(diǎn)，且A.

35、2B.- 22OA OB 的長(zhǎng)分別是關(guān)于X的方程A.-2，則x .y-xx的值為三角形的斜邊長(zhǎng)是_.2213.設(shè)x1,x2是方程x px 0的兩實(shí)根，x，1x1是關(guān)于x的方程x qx 0的兩實(shí)根，貝U p=_,q =_.1 1X2-七 1 x3-1 =0的兩根為為、x則x122215.設(shè) 冷他是一元二次方程x - 3x-2 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，貝 U3)x2x?的值16.如果方程(b-c)x (c-a)x (a-b) =0的兩根相等，則a,b,c之間的關(guān)系是三、解答題12.已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程22x -8x，7=0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角14.已知一元二次方程X217.(16

36、 年元調(diào) 第 17 題)已知 3 是一元二次方程 x2 2x+ a= 0 的一個(gè)根，求 a 的值和方程的另一根？_218 .關(guān)于x的一元二次方程x - mx 2 m-1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是心x2,且x； x2 = 7，求(Xi-X2)2的值19.已知關(guān)于x的一元二次方程x2(4m 1)x 2m0.(1)求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；1ii(2)若方程的兩根為xi,x2，且滿足，求m的值.x)x2220.若xi,x是關(guān)于x的方程x-(2k 1)x k2仁0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 xK 都大于 1.x 1(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若1，求k的值.他221.已知 x 和 X

37、2為一元二次方程2x2-2x+3m-仁 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且 xi和 X2滿足不等式x1x2x1x2-4- 1 ,試求 m 的取值范圍.(1)求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式;(2)求 S 的取值范圍2 222.已知關(guān)于 x 的二次方程mx 2(3-m)x，1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根 的倒數(shù)和為 S.223. 已知方程x -1 x-2二k, k 為實(shí)數(shù)，且 k 工 0,不解方程證明:(1) 這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 一個(gè)根大于 1,另一個(gè)根小于 1。24. 已知關(guān)于x的一元二次方程x22kx 1 k22 = 0.2(1)求證：不論k為何值，方程總有兩不相等實(shí)數(shù)根.

38、(2)設(shè)x1, x2是方程的根,且為2-2kx1 2XM=5,求k的值.第五講：一元二次方程與實(shí)際問題一、實(shí)際問題與一元二次方程1. 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟(1 )審(2)設(shè)(3)列(4)解(5)檢驗(yàn)(6)答2. 一元二次方程應(yīng)用的模型(1)互贈(zèng)賀卡模型：x(x -1)，x為互贈(zèng)賀卡的人數(shù)，x(x-1)為共贈(zèng)賀卡數(shù)量或次數(shù)。例 1：某小組同學(xué)元旦互贈(zèng)賀年卡一張，全組共贈(zèng)賀年卡90 張，這個(gè)小組的同學(xué)數(shù)為多少人？(2)踢足球或握手模型：x(x T)，x為踢足球或握手的隊(duì)數(shù)或人數(shù)，x(xT)為踢足球2 2的總場(chǎng)數(shù)或握手的總次數(shù)。例 2：每?jī)蓚€(gè)人握一次 ，一共握 45 次手，問一共有多少人

39、握手？(3)病毒傳染模型：1 x x(1 x)(1 - x)2，x為每一次傳染的數(shù)量，第一輪傳染后有1 x個(gè)，第二輪傳染后有1 x x(1 x)。例 3:某種電腦病毒傳染很快如果一臺(tái)電腦被感染 經(jīng)過兩輪被感染后就有81 臺(tái)電腦被傳染每輪平均一臺(tái)感染幾臺(tái)？(4) 增長(zhǎng)模型：a(1_x)2二b，其中a是初始量，b是連續(xù)增長(zhǎng)兩次或連續(xù)降低兩次后的量，x為平均增長(zhǎng)(降低)率。例 4:( 17 年元調(diào) 第 13 題) 兩年前生產(chǎn) 1t 藥品的成本是 6 000 元，現(xiàn)在生產(chǎn) 1t 藥品的 成本是 4 860元?jiǎng)t藥品成本的年平均下降率是 _.2變型增長(zhǎng)模型：a - a(V x) a(V x)二b，其中a是

40、初始量，b是連續(xù)增長(zhǎng)兩次或連續(xù)降低兩次后的總量，x為平均增長(zhǎng)(降低)率。例 5：某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件 50 萬(wàn)個(gè),第三季度生產(chǎn)零件 196 萬(wàn)個(gè).設(shè)該廠八，九月份平均 每月的增長(zhǎng)率為x,那么x滿足的方程是()A.50(1 x)2= 196B.50 50(150(1 x)2=1962C.50 50(1 x) 50(1 - x)2=196D.5050(1 x) - 50(12x)二196(6)樹枝叉或發(fā)微博模型：1 x x2,x為樹枝的數(shù)量或每次轉(zhuǎn)發(fā)微博的數(shù)量，1x2為樹干、樹枝、樹叉的總數(shù)或兩次轉(zhuǎn)發(fā)微博的總數(shù)量。例 6：某種植物的主干長(zhǎng)出若干樹木的枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支

41、 桿和小分支的總數(shù)是 91,每個(gè)支桿長(zhǎng)出多少小分支？(7)連續(xù)奇偶數(shù)之積模型：x(x 2),x為第一個(gè)奇數(shù)或偶數(shù)。例 7：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是 323，求這兩個(gè)數(shù)。(8)數(shù)字問題 兩位數(shù)的表示方法：當(dāng)十位上的數(shù)字為a,個(gè)位上的數(shù)字為b時(shí)，這個(gè)兩位數(shù)就表示為10a b；三位數(shù)的表示方法：當(dāng)百位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，個(gè)位上的數(shù)字為c時(shí)，這個(gè)三位數(shù)就表示為100a10b c。例&一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3,求這個(gè)兩位數(shù)(9)面積問題：一般是從面積(體積)等方面找相等關(guān)系。1V圓底面積高V圓錐 V底面積高二二 R2例9:如圖：要設(shè)計(jì)一幅寬20cm,長(zhǎng) 3

42、0cm 的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為 2: 3,如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？分析：由橫、豎彩條的寬度比為 2： 3,可設(shè)每個(gè)橫彩條的寬為將橫、豎彩條分別集中，原問題轉(zhuǎn)化為如圖的情況，得到矩形ABCDAD=_cm.1y 20cmJOcmbCABt 20cm-”常用公式：體積公式有：V長(zhǎng)方體=:長(zhǎng)寬高V正方體=邊長(zhǎng)3面積公式有：S長(zhǎng)方形二長(zhǎng)寬S正方形二邊長(zhǎng)2s三角形2x，則每個(gè)豎彩條的寬為3x,結(jié)合以上分析完成填空：如圖：用含x 的代數(shù)式表示：AB=_ cm；圖圖(8)數(shù)字問題 兩位數(shù)的表示方法：當(dāng)十位上的數(shù)字為a,矩形

43、ABCD 勺面積為 _ cm2;列出方程并完成本題解答。例 10:一塊矩形耕地大小尺寸如圖，如果修筑同樣寬的兩條“之”字形的道路，如圖1 所示，余下的部分作為耕地.要使耕地的面積為的寬應(yīng)是多少？例 11:山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2 元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240 元，請(qǐng)回答：(1)每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？(2 )在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？例 12：小明將 1000 元錢存入銀行

44、，定期一年后取出500 元捐給災(zāi)區(qū)，剩下 500 元和應(yīng)得的利息又按一年定期存入。若存款的年利率不變， 到后期能夠取出 660 元，求年利率是多少？(11)動(dòng)點(diǎn)問題例 13:如圖， ABC 中，/ B=90, AB=6 BC=8 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始沿邊 AB 向點(diǎn) B 以 1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q 從點(diǎn) B 開始沿邊 BC 向點(diǎn) C 以 2cm/s 的速度移動(dòng).如果 P、Q分別從 A、B 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)：(1) 經(jīng)過幾秒， PBQ 的面積等于 8cmf;(2) PBQ 的面積會(huì)等于 10cni嗎？會(huì)請(qǐng)求出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，若不會(huì)請(qǐng)說明理由.25

45、40m2，道路(10)銷售利潤(rùn)與存款利息問題：常用公式：銷售問題( 注：沒有特殊說明 成本=進(jìn)價(jià))總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)銷售量5銷售額=售價(jià)銷售量利息=本金利率第五講:課后習(xí)題一、選擇題1三角形一邊的長(zhǎng)是該邊上高的2 倍，且面積是 32,則該邊的長(zhǎng)是()A . 8 B . 4 C . 4.2D . 822. 九年級(jí)(3)班文學(xué)小組在舉行的圖書共享儀式上互贈(zèng)圖書，每個(gè)同學(xué)都把自己的圖書向本組其他成員贈(zèng)送一本，全組共互贈(zèng)了 240 本圖書，如果設(shè)全組共有x 名同學(xué)，依題意，可列出的方程是()1A . x (x+1) =240 B . x (x-1 ) =240 C . 2x (x+1) =240 D . x ( x+1) =24023. ( 16 年元調(diào) 第 8 題)某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)