2020高考文數(shù)總復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)23正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例

1、1課后限時集訓(xùn)（二十三）（建議用時：60 分鐘）A 組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)、選擇題1 如圖所示，兩座燈塔 A 和 B 與海岸觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在觀察 站南偏西 40燈塔 B 在觀察站南偏東 60則燈塔 A 在燈塔 B 的（）A .北偏東 10B. 北偏西 10C. 南偏東 80D. 南偏西 80/ A=ZB= 40又/ BCD= 60所以/ CBD = 30所以/ DBA= 10因此燈塔 A 在燈塔 B 南偏西 802.如圖所示，已知兩座燈塔 A 和 B 與海洋觀察站 C 的距離都等于 a km, 燈塔A 在觀察站 C 的北偏東 20燈塔 B 在觀察站 C 的南偏東 40，則燈塔 A 與

2、燈塔 B 的距離為（）A. a kmB. . 3a kmC. 2a kmD. 2a kmB 在厶 ABC 中，AC= BC= a，/ ACB= 120二 AB2= a2+ a2 2a2C0S 120 =3a2, AB= 3a由條件及題圖可知,23.如圖，測量河對岸的塔高 AB 時可以選與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的兩個 測點C 與 D，測得/ BCD = 15 / BDC= 30 CD = 30 m，并在點 C 測得塔頂3A 的仰角為 60貝 U 塔高 AB 等于（）15 3 m15 6 m在厶BCD 中，/ CBD = 180 15 30 135.BC30由正弦定理得 sin 30 sin 1

3、35，解得 BC= 15 ,2（m）.在 RtAABC 中，AB= BCtanZ ACB = 15；,；2 x 3 = 15，J6（m）.4.（2019 重慶模擬）一艘海輪從 A 處出發(fā)，以每小時 40 海里的速度沿南偏 東40的方向直線航行，30 分鐘后到達(dá) B 處，在 C 處有一座燈塔，海輪在 A 處 觀察燈塔，其方向是南偏東 70，在 B 處觀察燈塔，其方向是北偏東 65，那么 B，C 兩點間的距離是（）A. 10 2 海里B . 10 3 海里C. 20.3 海里D . 20 2 海里A 如圖所示，易知，在 ABC 中，AB = 20 海里，/ CAB= 30 / ACB=解得 BC=

4、 10 2（海里）.C.AB.45.如圖所示，為了測量 A，B 處島嶼的距離，小明在 D 處觀測，A，B 分別5在 D 處的北偏西 15北偏東 45方向，再往正東方向行駛 40 海里至 C 處，觀A 在 C 處的北偏西 60方向，則 A，B 兩處島嶼間的距離為（A. 20 .6 海里C. 20(1 + .3)海里A 連接 AB,由題意可知 CD= 40，/ ADC= 105 / BDC= 45 / BCD=90 /ACD = 30 /CAD= 45 /ADB = 60 在厶 ACD 中，由正弦定理 BD= 2CD = 40 2.在厶 ABD 中，由余弦定理得 AB= -；800+ 3 200-

5、2X20.2X40. 2Xcos 60 =206.故選 A.二、填空題6.如圖所示，已知兩座燈塔 A 和 B 與海洋觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在觀察站 C 的北偏東 40的方向上，燈塔 B 在觀察站 C 的南偏東 60的方向上，則燈塔 A 在燈塔 B 的_的方向上.測 B 在 C 處的正北方向,B . 40 6 海里D. 40 海里得ADsin 30 sin45，八AD=20 2，在RtABCD 中，I/BDC=45 ZBCD=90 61北偏西 10 由題意知 / ABC = 2(180 - 80)= 50,則燈塔 A 在燈塔 B 的北偏西 10的方向上.7. （2019 衡水模擬）如

6、圖，為了測量河對岸電視塔 CD 的高度，小王在點 A 處測得塔頂 D 的仰角為 30,塔底 C 與 A 的連線同河岸成 15角， 小王向前走了 1 200 m到達(dá) M 處，測得塔底 C 與 M 的連線同河岸成 60角，則電視塔 CD 的高 度為m.600 2 在 ACM 中，/ MCA = 60 15= 45, / AMC = 180 60= 120中，DC 仝-tan/ DAC =人。人。=3， DC = 600 .633= 600 .2.8如圖所示，小明同學(xué)在山頂 A 處觀測到，一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在 A 處測得公路上 B，C 兩點的俯角分別為 30 45且由正弦

7、定理得，解得 AC= 600.6.在厶 ACD東東AM = AC sin/MCA =sin/AMC2 27/ BAC= 135若山高 AD = 100 m,汽車從 B 點到 C 點歷時 14 s,則這輛汽車的速度為_ m/s 精確到 0.1）.參考數(shù)據(jù)：迄1.414,2.236.822. 6 由題意可得 AB= 200, AC= 100.2,在厶ABC 中，由余弦定理可得BC2 3= AB4+ AC2 2AB AC osZBAC= 105,貝 U BC= 100.70 141.4X2.236,又2 2 2在厶 DBC 中，DC = DB + BC 2DB BCcos 60=(80 2)2+(4

8、0 2)22X80 2X40 2X9 600. DC = 40 6，航模的速度 v =406= 2 6 米/秒.歷時 14 s,所以速度為BC1422.6 m/s.A9三、解答題9.某航模興趣小組的同學(xué)，為了測定在湖面上航模航行的速度，采用如下 辦法：在岸邊設(shè)置兩個觀察點 A, B,且 AB 長為 80 米，當(dāng)航模在 C 處時，測得 / ABC= 105和/BAC= 30經(jīng)過 20 秒后，航模直線航行到 D 處，測得/ BAD =90和/ABD = 45.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度.(答案可保留根號)解 在厶 ABD 中，vZBAD = 90 / ABD = 45/ ADB= 45 二 A

9、D = AB = 80,二 BD = 80.2.1 80X2=40 2.在厶ABCBC ABsin 30 sin 45，ABsi n 30BC =sin 4521012 海里，漁船乙以 10 海里/小時的速度從島嶼 A 出發(fā)沿正北方向航行，若漁船 甲同時從 B 處出發(fā)沿北偏東a的方向追趕漁船乙，剛好用 2 小時追上.（1）求漁船甲的速度;求 sina的值.解依題意知，/ BAC= 120 AB= 12, AC= 10X2= 20, / BCA=a在厶 ABC 中，由余弦定理，得2 2 2BC = AB + AC 2AB AC cos/ BAC=122+ 202 2X12X20Xcos 120

10、= 784,解得 BC= 28.所以漁船甲的速度為 BC= 14 海里/小時.(2)在厶 ABC 中，因為 AB= 12，/ BAC= 120 BC = 28，/ BCA=a，由正V3即 sinABsin 120 12X23p3a=BC = 28 = 14 .B 組能力提升1. （2019 六安模擬）一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A 測得水柱頂端的仰角為45沿點 A 向北偏東 30前進(jìn) 100 m 到達(dá)點 B,在 B 點測得水柱頂端的仰角為30則水柱的高度是（）A. 50 m B. 100 mC. 120 m D. 150 m弦定

11、理，得AB=BC sina=sin 120，11A 設(shè)水柱高度是 h m，水柱底端為 C,則在 ABC 中，A= 60 AC= h，AB = 100 , BC = _ 3h ,根據(jù)余弦定理得，(，3h)2= h2+ 1002 2 h 100 cos60 即 h2+ 50h 5 000= 0,即(h 50)(h+ 100)= 0, 即卩 h = 50,故水柱的高度是 50 m.2如圖，為了測量兩座山峰上 P, Q 兩點之間的距離，選擇山坡上一段長 度為330 3 m且和P， Q兩點在同一平面內(nèi)的路段 AB的兩個端點作為觀測點， 現(xiàn)測得/ FAB=90 / FAQ=ZPBA=ZPBQ= 60貝 U

12、 P，Q 兩點間的距離為m.990 由已知，得/ QAB=ZPABZPAQ = 30.又/PBA=ZPBQ=60 /AQB=30二 AB= BQ.又 PB 為公共邊， PABPQB， PQ= PA.在 RtAPAB 中，AP = AB tan 60 =990，故 PQ= 990，AP，Q 兩點間的距離為 990 m.3 .如圖所示，在一個坡度一定的山坡 AC 的頂上有一高度為 25 m 的建筑物 CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角 9,在山坡的 A 處測得ZDAC = 15 從 A 處沿山坡前進(jìn) 50 m 到達(dá) B 處，又測得ZDBC = 45根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得 cos9=.55 1 由Z

13、DAC = 15ZDBC= 45可得ZBDA = 30ZDBA = 13512/ BDC= 90 (15 +0) 30= 45 9,由內(nèi)角和定理可得 / DCB = 180 (452S36，得到 cos9=31.6 船的航行速度是每小時多少千米？0 45 = 90+9,根據(jù)正弦定理可得Sir50 = SiDB5，。即DB = 100sin 15=100Xsin(4530) =25 返(雨1),又 25=右迄&-1 2 *)即 25乂 前45=sin(90+ 9)，即 sin454如圖，一條巡邏船由南向北行駛,在 A 處測得山頂 P 在北偏東 15(/ BAC13=15)方向上，勻速向北航行 20 分鐘到達(dá) B 處，測得山頂 P 位于北偏東 60方向上，此時測得山頂 P 的仰角 60,若山高為 2 寸 3 千米.sin/ CDB=，所以，山頂位于 D 處南偏東 4510.如圖，漁船甲位于島嶼 A 的南偏西 60方向的 B 處，且與島嶼 A 相距(2)若該船繼續(xù)航行 10 分鐘到達(dá) D 處