均勻化理論和多尺度方法

1、高等復合材料力學Advanced Mechanics of Composite Materials陳玉麗陳玉麗 航空科學與工程學院航空科學與工程學院6.1 6.1 引言引言在考察實際復合材料微結構狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時，由于熱在考察實際復合材料微結構狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時，由于熱載荷和機械載荷都是施加在宏觀結構層面，所以研究采用的細觀力學模載荷和機械載荷都是施加在宏觀結構層面，所以研究采用的細觀力學模型必須能夠把細觀響應和宏觀行為聯(lián)系起來。型必須能夠把細觀響應和宏觀行為聯(lián)系起來。單胞模型通過在非均勻結構中提取出一個代表性體積單元單胞模型通過在非均勻結構中提取出一個代表性體積單元(RVE

2、)從而從而可以求得有效的材料響應和演化過程。這里假設微結構是周期性重復排可以求得有效的材料響應和演化過程。這里假設微結構是周期性重復排列的單胞，與復合材料的宏觀尺寸相比，它的不均勻性是很小的，此種列的單胞，與復合材料的宏觀尺寸相比，它的不均勻性是很小的，此種類型的材料被稱作具有周期性微觀結構的復合材料類型的材料被稱作具有周期性微觀結構的復合材料（第三章（第三章 ） 。但是，。但是，單胞法還是存在許多不足。周期性假設用于預測最優(yōu)材料性能非常有效，單胞法還是存在許多不足。周期性假設用于預測最優(yōu)材料性能非常有效，然而然而實際的非均勻材料很少具有完全的周期性微結構，宏觀結構上不同實際的非均勻材料很少具

3、有完全的周期性微結構，宏觀結構上不同的點可能具有不同的微結構形態(tài)。的點可能具有不同的微結構形態(tài)。這種假設在處理這種假設在處理復雜載荷條件復雜載荷條件下非線下非線性非均勻結構變形問題時也存在不足。為了解決上述問題，單胞模型應性非均勻結構變形問題時也存在不足。為了解決上述問題，單胞模型應該包含大的區(qū)域，采用大的模型。該包含大的區(qū)域，采用大的模型。26.1 6.1 引言引言20世紀世紀70年代，學者們在研究非均勻材料時引入了一種替代的數(shù)學年代，學者們在研究非均勻材料時引入了一種替代的數(shù)學方法，方法，Benssousan和和Sanchez-Palencia等稱之為等稱之為均勻化理論均勻化理論。這種方法

4、用。這種方法用于分析具有于分析具有兩個或者多個尺度兩個或者多個尺度的物質系統(tǒng)，它可以把含有第二相空間的的物質系統(tǒng)，它可以把含有第二相空間的細觀尺度和整體結構上的宏觀尺度聯(lián)系起來。細觀尺度和整體結構上的宏觀尺度聯(lián)系起來。通過對位移和應力場進行通過對位移和應力場進行漸進展開漸進展開以及適當?shù)淖兎衷?，均勻化方以及適當?shù)淖兎衷?，均勻化方法不僅可以求出等效的（均勻化）材料常數(shù)，而且可以得到兩個尺度上法不僅可以求出等效的（均勻化）材料常數(shù)，而且可以得到兩個尺度上的應力和應變分布。相對于單胞法，這種方法的優(yōu)點在于的應力和應變分布。相對于單胞法，這種方法的優(yōu)點在于不必作全局的不必作全局的周期性假設周期性假

5、設，在宏觀結構的不同點可以有不同的微結構。然而，這種分，在宏觀結構的不同點可以有不同的微結構。然而，這種分析通過引入空間重復排列單胞作了析通過引入空間重復排列單胞作了局部周期性假設局部周期性假設。Toledano和和Murakami，Guedes和和Kikuchi以及以及Devries等成功地把有限等成功地把有限元方法和均勻化方法結合起來用于分析復合材料的線彈性問題。在這些元方法和均勻化方法結合起來用于分析復合材料的線彈性問題。在這些研究當中，通過計算機模擬宏觀結構的平均應力和應變場得到了全局的研究當中，通過計算機模擬宏觀結構的平均應力和應變場得到了全局的響應，同時借助局部應力和應變場的描述得

6、到了微結構的行為。響應，同時借助局部應力和應變場的描述得到了微結構的行為。36.2 6.2 多尺度模型多尺度模型4一具有周期性結構的復合材料彈性體一具有周期性結構的復合材料彈性體 ，受體力，受體力f，邊界，邊界 t 上受表面力上受表面力t，邊界，邊界 u 上給定位移邊界條件。上給定位移邊界條件。宏觀某點宏觀某點 x 處的細處的細觀結構可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復堆積而成。觀結構可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復堆積而成。單胞的單胞的尺度尺度 y 相對于宏觀幾何尺度為小量。相對于宏觀幾何尺度為小量。xftu y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型50432104321xy=x/01

7、宏觀尺度：宏觀尺度： 微觀尺度：微觀尺度： 例如：例如：宏觀尺度為宏觀尺度為 m，微觀尺度為微觀尺度為 nm， = 10-9實際為實際為 1m 的尺寸，即的尺寸，即 x=1 (m)， 在微觀尺度下在微觀尺度下 y=x/= 109 (nm)實際為實際為1nm的尺寸，即的尺寸，即 y=1 (nm)，在宏觀尺度下，在宏觀尺度下 x=y= 10-9 (m)y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型6對于非均勻的復合材料，當宏觀結構受外部作用時，位移對于非均勻的復合材料，當宏觀結構受外部作用時，位移和應力等結構場變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時由于細和應力等結構場變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時由于細觀

8、結構的高度非均勻性，使得這些結構場變量在宏觀位置觀結構的高度非均勻性，使得這些結構場變量在宏觀位置 x 非非常小的鄰域常小的鄰域 內(nèi)也會有很大變化。因此所有變量都假設依賴于內(nèi)也會有很大變化。因此所有變量都假設依賴于宏觀與細觀兩種尺度，即：宏觀與細觀兩種尺度，即： , xx yy = x上標上標 表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。, x yx y+YY-周期性：微觀單胞的周期為周期性：微觀單胞的周期為Y6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型7在在 中，彈性張量中，彈性張量 和柔度張量和柔度張量 分別為分別為 假設應力場和位移場都滿足平衡方程、幾何方程和本構方程，有假設應力場和

9、位移場都滿足平衡方程、幾何方程和本構方程，有 其中其中 是細觀坐標系是細觀坐標系 y 中的具有中的具有 Y-周期的位移場。周期的位移場。同時，在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足同時，在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足 ijklEijklS( )( , )inijklijklEExx y( )( , )inijklijklSSxx y,inij jif 1in2klkllkuuexxinijijklklE e( , )uu x yonijjitntoniiuuu均勻化方法均勻化方法83 3）以傅里葉變換為基礎的多尺度方法）以傅里葉變換為基礎的多尺度方法2 2）泰勒）泰勒級數(shù)近似法（級數(shù)近似法（T

10、aylor Series Approximation）1 1）漸進展開漸進展開法法（Asymptotic expansion）6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法9在均勻化理論中，在均勻化理論中， Y-周期位移場可以近似為宏觀坐標周期位移場可以近似為宏觀坐標 x 的展開式，的展開式，漸進展開漸進展開是其中比較常用的一種展開方法中，其展開形式為：是其中比較常用的一種展開方法中，其展開形式為： 0122( , )( , )( , ),xuxux yu x yux yy1,iiixxy xx y注意到任意一個依賴于兩個尺度的函數(shù)注意到任意一個依賴于兩個尺度的函數(shù) 對宏觀坐標對宏觀坐標 x 的偏微分為

11、的偏微分為0000111122223321011 1221,klklklklkllklklklkklklklkllklklklkklkluuuuuuuuexxyyxxyyuuuuuuuuxxyyxxyyeex yx122,klkleeyx yx y應變張量應變張量Asymptotic expansion6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法10代入本構方程，可得應力場的漸進展開式：代入本構方程，可得應力場的漸進展開式：其中其中101221,klklklklkleeeee x yx yx yx y將應力的漸進展開式代入平衡方程，有將應力的漸進展開式代入平衡方程，有101221,klklklklkl

12、 x yx yx yx y,1,0,1,2nnijijklklE en x y110011222,111,110jjjjjjjjijijijijijijijijixyxyfxyxyx yx yx yx yx yx yx yx y6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法11令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：121010101211,:0,:0,:0,:0,:0,1,2,3jjjjjjjjjijijijijijiijijnnijijnOyOxyOfxyOxyOnxyx yx yx yx yx yx yx yx yx y（1 1）（2

13、2）（3 3）6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法12根據(jù)根據(jù)Y-周期性，可以證明（周期性，可以證明（Devries et al. 1989）00kijkljluEyy可以得到可以得到00( )uux10ij（2）式00ijjy010kkijkljlluuEyxy（1）式 00klkijijluxy ( )0klijjyy ( )klpklklijijpmpmmETyy其中其中01( )klkiiluuxy1()2klijikjliljkT 細觀平衡方程細觀本構方程110010(1)0(2)0(3)jjjjjijijijijijiyxyfxy6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法13在在Y 內(nèi)積

14、分，有內(nèi)積分，有 00klkijijluxy00kijijklluExH 1klklijklijijYEdYYHy均勻化彈性常數(shù)（3）式00inijijfx110010(1)0(2)0(3)jjjjjijijijijijiyxyfxy均勻化的宏觀平衡方程00in,on,onijkiijijkljlijjitiiuufExxntuu H0令令宏觀彈性問題的解6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法14xy=x/宏觀宏觀 微觀微觀尺尺 度度z=x/2對位移漸進展開對位移漸進展開0122uuuu代入平衡方程代入平衡方程,0ij jif得到控制方程得到控制方程不同階系數(shù)為零得到均勻化方程得到均勻化方程利用

15、周期邊條化簡控制方程動態(tài)問題怎么辦？動態(tài)問題怎么辦？6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1）15彈性動力學問題彈性動力學問題:,0iij ju012 2, , , , ,iiiituuuttutx yx yx yx y1( , , )( , , )niiix y tx y t 0( , , )( , , )niiiu x y tu x y t參考文獻：Fish, J. and Chen, W. (2001). Higher-Order Homogenization of Initial/ Boundary-Value Problem. J. Eng. Mech., 127(

16、12), 12231230. 1;,xxyuuu;xeuEexy=x/6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1）16令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程： 20,10,0,1,1,1,2,:0:0:00,1,2,3,yyyxyyxyiii xiyixiyxyOEuOEuEuEuOuE uuE uuin10,1,0,1,2,3,yii xiyEuE uuin不同階的應力為不同階的應力為：6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1）1720,:0yyOEu00,uUx tdy0,0yyEu0u200,

17、0,0d0yyuEuE uy00,0,0,dd0yyyyuEuyuEuy00,0yu6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1）1820,:0yyOEu00,uUx t10,0,1,:0yxyyxyOEuEuEu 110,xuUx tL y U00,1xyUEL0,1,0 xyyE Uu 110, ,xux y tUx tL y U 線性問題通解：線性問題通解： 代入原式得：代入原式得：,10yyEL00,1xyUEL110000yyyyuu110000yyyyuu 11( , , )( , )( )0u x y tU x tL y如何求解如何求解 L(y) ？提示：提示：1.

18、 周期性（周期性（Periodicity）：）：2. 連續(xù)性（連續(xù)性（Continuity）：）：3. 正交性（正交性（Normalization）：）：請求出請求出L(y)（分段表達），進而求出（分段表達），進而求出,1yEL6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1）1920,:0yyOEu00,uUx t10,0,1,:0yxyyxyOEuEuEu 110,xuUx tL y U00,1xyUEL12,1211HyE EEELEE00,1,1,2,:0ixyxyxyOuE uuE uu121H 00,0HHxxUE U均勻化后的材料性質與靜態(tài)問題是一致的。因此，均勻化后的

19、材料性質與靜態(tài)問題是一致的。因此，0階問題是無色散階問題是無色散的。為了反映波的色散效應（的。為了反映波的色散效應（dispersion effect），必須考慮更高階的項。），必須考慮更高階的項。請證明請證明6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1）20:O2:O222112222121121HdHEEEEEE11,0HHxxUE U 其中，其中，Ed 表征了非均勻對宏觀行為的影響。表征了非均勻對宏觀行為的影響。 Ed具有如下特性：具有如下特性： 1）正比于單元尺寸的平方；）正比于單元尺寸的平方； 2）均勻材料（）均勻材料（=0 或或 =1） Ed =0。 右端力項正比于宏

20、觀應變梯度，梯度越小，右端項越小。右端力項正比于宏觀應變梯度，梯度越小，右端項越小。22,0,HHxxdxxxxUE UE U6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1）213:O4:O2241122121244121,3601HgHEEEEf E EEE 其中，其中，Eg表征了微觀結構對宏觀行為的影響。表征了微觀結構對宏觀行為的影響。 Eg具有如下特性：具有如下特性： 1）強依賴于單元尺寸；）強依賴于單元尺寸； 2）均勻材料（）均勻材料（=0 或或 =1） Eg =0。 如果材料的非均勻尺度很小，則色散效應可以忽略。如果材料的非均勻尺度很小，則色散效應可以忽略。 若若 ，界面

21、沒有反射，則波不發(fā)生色散。，界面沒有反射，則波不發(fā)生色散。（物理角度）（物理角度）44,2,0,HHxxdxxxxgxxxxxxUE UE UE U33,1,HHxxdxxxxUE UE U1122EE6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（2 2）2201空間尺度 0432104321xy=x/宏觀尺度：宏觀尺度： 微觀尺度：微觀尺度： 時間尺度 0432104321=2t = t慢尺度：慢尺度： 快尺度：快尺度： 彈性動力學問題彈性動力學問題:,0iij ju6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（2 2）23彈性動力學問題彈性動力學問題:,0iij ju012 2

22、, , , , , , , , ,iiiiuuuu x yx yx yx y1( , , , )( , , , )niiix yx y 0( , , , )( , , , )niiiu x yu x y 參考文獻：Fish, J. et. al. (2002). Non-local dispersive model for wave propagation in heterogeneous media: one-dimensional case. Int. J. Numer. Meth. Engng, 54, 331346. 1;,2;,xxytuuuuuu;xeuEexy=x/6.4 6.4

23、 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（2 2）24令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：20,10,1,00,0,1,1,2,11,1,2,2,3,22,0,2,3,3,4,:0:0:0:0:20yyxyyxyxyxyxyxyxyxyxyxyOEuOE uuOuE uuE uuOuE uuE uuOuuE uuE uu6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（2 2）2520,:0yyOEu10,1,:0 xyyOE uu12,1211HyE EEELEE00,0,1,1,2,:0 xyxyxyOuE uuE uu121

24、H 0,0,0HHxxUE U1:O2:O1,1,0HHxxUE U2,2,0,0,212HHxxdxxxxHUE UE Uu222112222121121HdHEEEEEE高等復合材料力學Advanced Mechanics of Composite Materials高等復合材料力學Advanced Mechanics of Composite Materials第一章第一章 緒論緒論+張量基礎張量基礎 復合材料力學的三個重要特征、各向異性本構 張量的基本概念、愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉換 張量的分量轉換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分、高斯公式（散度定理）高等復合材料力學Advanced Mechanics of Composite Materials第二章第二章 復合材料的有效性質和均質化方法復合材料的有效性質和均質化方法 尺度和代表單元(RV