8年級數(shù)學人教版上冊同步練習13.3等腰三角形13.4課題學習最短路徑問題(含答案解析)

1、13.3 等腰三角形13.4 課題學習最短路徑問題專題一 等腰三角形的性質和判定的綜合應用1 如圖在 ABC 中，BF、CF 是角平分線，DE / BC ,分別交 AB、AC 于點 D、E, DE 經過點 F.結論：厶 BDF 和厶 CEF 都是等腰三角形； DE=BD+CE ; 厶 ADE 的周長=AB+AC :BF=CF .其中正確的是 _ .(填序號)2.如圖，在 ABC 中，AB=AC，點 D、E、F 分別在邊 AB、BC、AC 上，且 BE=CF ,AD+EC=AB(1) 求證：DEF 是等腰三角形；(2) 當/ A=40 時，求/ DEF 的度數(shù)；(3) DEF 可能是等腰直角三角

2、形嗎？為什么？(4) 請你猜想：當/ A 為多少度時，/ EDF+ / EFD=120，并請說明理由.3.如圖，已知ABC 是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BE 是/ ABC 的平分線，DE 丄 BC, 垂足為 D.(1) 請你寫出圖中所有的等腰三角形；(2) 請你判斷 AD 與 BE 垂直嗎？并說明理由.(3) 如果 BC=10,求 AB+AE 的長.專題二等邊三角形的性質和判定4.如圖，在等邊ABC 中，AC=9，點 0 在 AC 上，且 A0=3，點 P 是 AB 上一動點，連 接 0P，以 0 為圓心，0P 長為半徑畫弧交 BC 于點 D，連接 PD，如果 PO=PD，那么 A

3、P 的6.如圖，ABC 中，AB=BC=AC=12 cm,現(xiàn)有兩點 M、N 分別從點 A、點 B 同時出發(fā)， 沿三角形的邊運動，已知點M 的速度為 1 cm/s，點 N 的速度為 2 cm/s.當點 N 第一次到達B 點時，M、N 同時停止運動.(1 )點 M、N 運動幾秒后，M、N 兩點重合？(2) 點 M、N 運動幾秒后，可得到等邊三角形 AMN ?(3) 當點 M、N 在 BC 邊上運動時，能否得到以 MN 為底邊的等腰三角形 AMN ?如存在, 請求出此時 M、 N 運動的時間.5.如圖.在等邊 ABC 中，/ ABC 與/ ACB 的平分線相交于點(1) 試判定 0DE 的形狀，并說

4、明你的理由；(2) 線段 BD、DE、EC 三者有什么關系？寫出你的判斷過程.0，且 0D / AB , 0E / AC .3專題三 最短路徑問題7.如圖，A、B 兩點分別表示兩幢大樓所在的位置，直線 a 表示輸水總管道，直線 b 表示 輸煤氣總管道.現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設一個連接點， 安裝分管道將水和煤氣輸送到 A、B 兩幢大樓，要求使鋪設至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最短.圖中，點 A是點 A 關于直線 b 的對稱點，AB分別交 b、a 于點 C、D ;點 B是點 B 關于直線 a 的對稱 點，BA分別交 b、a 于點 E、F.則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點依次是（

5、 ）B . F 和 EC . D 和 C&如圖，現(xiàn)準備在一條公路旁修建一個倉儲基地，分別給 基地建在什么位置，能使它到兩個超市的距離之和最小狀元筆記【知識要點】1. 等腰三角形的性質性質 1 等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）；性質 2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）.2. 等腰三角形的判定方法如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.3. 等邊三角形的性質和判定方法性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60.A、B 兩個超市配貨，那么這個 ?（保留作圖痕跡及簡要說明）判定

6、方法 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形.判定方法 2:有一個角是 60的等腰三角形是等邊三角形.4.直角三角形的性質在直角三角形中，如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【溫馨提示】1“等邊對等角”和“等角對等邊”只限于在同一個三角形中，在兩個三角形中時，上述結 論不一定成立.2.在應用直角三角形的性質時應注意以下兩點：（1）必須是在直角三角形中；（2）必須有一個銳角等于 30.【方法技巧】1. 等腰三角形的性質是證明兩個角相等的重要方法，當要證明同一個三角形的兩個內角相 等時，可嘗試用“等邊對等角”.2. 等腰三角形的判定是證明線段相等的一個重要方法，當要證明位于同一個

7、三角形的兩條線段相等時，可嘗試用“等角對等邊”.3利用軸對稱可以解決幾何中的最值問題，本方法的實質是依據(jù)軸對稱的性質以及兩點之 間線段最短和三角形兩邊之和大于第三邊.參考答案：1 解析： DE / BC,./ DFB= / FBC,/ EFC= / FCB.vBF 是/ ABC 的平分 線，CF 是/ ACB 的平分線，/ FBC= / DBF , / FCE= / FCB . DBF= / DFB , / EFC= / ECF , DFB , FEC 都是 等腰三 角形. DF=DB , FE=EC ,即有 DE=DF+FE=DB+EC . ADE 的周長=AD+AE+DE=AD+AE+DB

8、+EC=AB+AC.綜上所述，命題正確.2.解：(1)證明：vAD+EC=AB , BD=CE ./ AB=AC，/ B= / C .vBE=CF,BDECEF. DE=EF，即 DEF 是等腰三角形.11(2)vZA=40 ,/B=/C= (180 -ZA)=(180 -40)=70 .22BDECEF,.ZBDE=ZCEF.ZDEF=180-ZBED-ZCEF=180-ZBED-ZBDE=ZB=70 .(3) 不能.vZDEF=ZB豐90,仏 DEF 不可能是等腰直角三角形.(4) 60。.理由：當ZA=60。時，ZB=ZC=60。，由(2)可得ZDEF=60 .ZEDF+ZEFD=120

9、 .3 .解：(1) ABC , ABD , ADE , EDC .(2) AD 與 BE 垂直.證明：vBE 為ZABC 的平分線，ZABE=ZDBE.又vZBAE=ZBDE=90,BE=BE, ABE 沿 BE 折疊，一定與DBE 重合. A、D 是對稱點. AD 丄 BE .(3)vBE 是ZABC 的平分線，DE 丄 BC , EA 丄 AB , AE=DE .在 Rt ABE 和 Rt DBE 中，AE = D,EBE = B,E Rt ABE 也 Rt DBE ( HL ). AB=BD .又厶 ABC 是等腰直角三角形，ZBAC=90 ,ZC=45.又vED 丄 BC, DCE

10、為等腰直角三角形. DE=DC .即 AB+AE=BD+DC=BC=10 .4 . 6 解析：連接 OD ,vPO=PD , OP=DP=OD . / DPO=60 . / ABC 是等邊三角 形，/A=ZB=60 , AC=AB=9.vZOPA=ZPDB=ZDPA60 OPAPDB. vAO=3, AO=PB=3 , AP=6.5.解：(1) ODE 是等邊三角形， 其理由是： ABC 是等邊三角形，/ABC=/ACB=60./ OD / AB , OE / AC ,/ODE= / ABC=60，/ OED= / ACB=60 . ODE 是等邊三角形.(2) BD=DE=EC .其理由是：

11、 OB 平分/ ABC，且/ ABC=60 ,/ABO=/OBD=30./ OD / AB ,/BOD=/ABO=30./DBO=/DOB. DB=DO .同理，EC=EO./DE=OD=OE, BD=DE=EC .6 .解：(1)設點 M、N 運動 x 秒后，M、N 兩點重合，x Xl+12=2x , 解得：x=12.(2)設點 M、N 運動 t 秒后，可得到等邊三角形 AMN，如圖,AM=tX1=t,AN=ABBN=122t,三角形 AMN 是等邊三角形， t=12 2t.解得 t=4.點 M、N 運動 4 秒后，可得到等邊三角形 AMN .圖圖(3)當點 M、N 在 BC 邊上運動時，可

12、以得到以MN 為底邊的等腰三角形,由(1)知 12 秒時 M、N 兩點重合，恰好在 C 處，如圖，假設 AMN 是等腰三角形， AN=AM ./AMN=/ANM./AMC=/ANB./ AB=BC=AC , ACB 是等邊三角形./ C=Z B .在 ACM 和厶 ABN 中，AC二AB,ZC二厶B,ZAMC =Z ANB, ACMABN . CM=BN .設當點 M、N 在 BC 邊上運動時，M、N 運動的時間 y 秒時，AMN 是等腰三角形， CM=y 12, NB=36 2y , CM=NB .y- 12=36 2y,解得：y=16 故假設成立.當點 M、N 在 BC 邊上運動時，能得到以 MN 為底邊的等腰三角形 AMN，此時