定積分的定義

1、1.5.3 定積分的概念1.1.定積分的概念定積分的概念（1 1）定積分的定義式）定積分的定義式(2)(2)積分下限積分下限_，積分上限，積分上限_，積分區(qū)間，積分區(qū)間_，被積函，被積函數(shù)數(shù)_,_,積分變量積分變量x,x,被積式被積式_._.bafxdx_.（ ）nini 1balimfn（ ）a ab ba,ba,bf(x)f(x)f(x)dxf(x)dx積分上限積分上限積分號積分號積分下限積分下限被積函數(shù)被積函數(shù)2.2.定積分的幾何意義定積分的幾何意義如果在區(qū)間如果在區(qū)間a,ba,b上函數(shù)上函數(shù)f(x)f(x)連續(xù)且恒有連續(xù)且恒有_，那么定，那么定積分積分 表示由直線表示由直線_和曲線和曲

2、線_所圍所圍成的曲邊梯形的面積成的曲邊梯形的面積. .f(x)0f(x)0 baf x dxx=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0y=f(x)y=f(x)3.3.定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（1 1） （k k為常數(shù)為常數(shù)).).（2 2）（3 3） bakf x dx_ bakf x dx b12afxfxdx_. bb12aafx dxfx dx baf x dx_. cbacf x dxf x dxacb其中二、定積分的運算性質(zhì)二、定積分的運算性質(zhì)正確理解定積分的性質(zhì)，思考下列問題：正確理解定積分的性質(zhì)，思考下列問題：探究探究1:1:定積分的性質(zhì)（定積分的性質(zhì)（2 2）能推廣到多個函

3、數(shù)和或差的定積分）能推廣到多個函數(shù)和或差的定積分運算嗎？運算嗎？提示提示: :能能. .推廣公式為推廣公式為b12mabbb12maaaf xf xfxdxf xdxf xdxfxdx.（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）探究探究2:2:定積分的性質(zhì)（定積分的性質(zhì)（3 3）能推廣到有限個區(qū)間上的積分和）能推廣到有限個區(qū)間上的積分和嗎？嗎？提示提示: :能能. .推廣公式為推廣公式為121kbccbaacc12kfxdxfxdxfxdxfxdxacccb .（ ）（ ）（ ）（ ）（）【探究提升】【探究提升】定積分的運算性質(zhì)的關(guān)注點定積分的運算性質(zhì)的關(guān)注點（1 1）線性運算：定積分的性質(zhì)（）線

4、性運算：定積分的性質(zhì)（1 1）（）（2 2）稱為定積分的線性）稱為定積分的線性運算，等式兩邊積分區(qū)間保持不變運算，等式兩邊積分區(qū)間保持不變. .(2)(2)區(qū)間可加性：定積分的性質(zhì)（區(qū)間可加性：定積分的性質(zhì)（3 3），稱為定積分對積分區(qū)），稱為定積分對積分區(qū)間的可加性，等式右邊任意兩個積分區(qū)間的交集都是空集，間的可加性，等式右邊任意兩個積分區(qū)間的交集都是空集，各個積分區(qū)間的并集等于左邊的積分區(qū)間各個積分區(qū)間的并集等于左邊的積分區(qū)間. .類型類型 一一 利用定義求定積分利用定義求定積分1.1.利用定積分的定義求利用定積分的定義求 的值的值. .120 x2 dx【技法點撥】【技法點撥】用定義法求

5、積分的步驟用定義法求積分的步驟（1 1）分割：將積分區(qū)間）分割：將積分區(qū)間a,ba,bn n等分等分. .（2 2）近似代替：取點）近似代替：取點i ix xi-1i-1,x,xi i，可取，可取i i=x=xi-1i-1或者或者i i=x=xi i. .（3 3）求和：）求和：（4 4）求極限：）求極限：nii 1baf.n（ ）nbiani 1bafxdxlimf.n（ ）（ ）【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】利用定積分的定義計算利用定積分的定義計算 的值的值. .【解析】【解析】把區(qū)間把區(qū)間1,21,2分成分成n n等份等份, ,每個小區(qū)間的長度為每個小區(qū)間的長度為在在 上取上取所以所以作積求和

6、作積求和所以所以21x1 dx1x,n i1ii 1ix,x 1,1nnii1i 1x1i1,2,n ,n ii1i1f1 12.nn nnii 1i 1i 1 15n 1fx(2)nn2n ，21n5n 15x1 dxlim.2n2類型類型 二二 定積分幾何意義的應(yīng)用定積分幾何意義的應(yīng)用 根據(jù)定積分的幾何意義結(jié)合函數(shù)圖象求解定積分的值，根據(jù)定積分的幾何意義結(jié)合函數(shù)圖象求解定積分的值，并總結(jié)用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟并總結(jié)用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟. .1.1.利用定積分的幾何意義填空利用定積分的幾何意義填空. .(1)(1)(2)(2)2.2.定積分定積分 的

7、幾何意義是什么？的幾何意義是什么？102dx_.21xdx_.3239x dx【解題指南】【解題指南】1.1.根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義, ,通過求相應(yīng)圖形的面通過求相應(yīng)圖形的面積求定積分的值積求定積分的值. .2.2.弄清被積函數(shù)的圖象，結(jié)合定積分的幾何意義作答弄清被積函數(shù)的圖象，結(jié)合定積分的幾何意義作答. .【解析】【解析】1.1.（1 1） 表示的是圖（表示的是圖（1 1）中陰影所示長方形的）中陰影所示長方形的面積，由于這個長方形的面積為面積，由于這個長方形的面積為2 2，所以，所以答案答案: :2 2102dx102dx2.(2) (2) 表示的是圖（表示的是圖（2 2）

8、中陰影所示梯形的面積，由于這個）中陰影所示梯形的面積，由于這個梯形的面積為梯形的面積為 所以所以答案答案: :21xdx3,2213xdx.2322.2.被積函數(shù)被積函數(shù) 的圖象是以原點為圓心，半徑的圖象是以原點為圓心，半徑r=3r=3的圓的圓位于位于x x軸上方的部分（包括與軸上方的部分（包括與x x軸的交點）軸的交點）. . 由積分的幾何意由積分的幾何意義可知，定積分義可知，定積分 表示此半圓的面積表示此半圓的面積. .2y9x3239x dx【互動探究】【互動探究】本題本題2 2若改為若改為“求定積分求定積分 的值的值”，結(jié)果怎樣？結(jié)果怎樣？【解題指南】【解題指南】根據(jù)定積分的幾何意義，

9、通過求規(guī)則圖形的面根據(jù)定積分的幾何意義，通過求規(guī)則圖形的面積求定積分的值積求定積分的值. .3239x dx【解析】【解析】被積函數(shù)被積函數(shù) 的圖象是以原點為圓心，半徑的圖象是以原點為圓心，半徑r=3r=3的圓位于的圓位于x x軸下方的部分（包括與軸下方的部分（包括與x x軸的交點）軸的交點）. . 由積分的由積分的幾何意義可知，定積分幾何意義可知，定積分 表示此半圓的面積表示此半圓的面積S=S= 的相反數(shù)，故的相反數(shù)，故2y9x 3239x dx219322 32399x dx.2 【技法點撥】【技法點撥】用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟驟（

10、1 1）準(zhǔn)確畫出各曲線圍成的平面區(qū)域）準(zhǔn)確畫出各曲線圍成的平面區(qū)域. .（2 2）把平面區(qū)域分割成容易表示的幾部分，同時注意）把平面區(qū)域分割成容易表示的幾部分，同時注意x x軸下軸下方有沒有區(qū)域方有沒有區(qū)域. .（3 3）解曲線組成的方程組確定積分的上、下限）解曲線組成的方程組確定積分的上、下限. .（4 4）根據(jù)積分的性質(zhì)寫出結(jié)果）根據(jù)積分的性質(zhì)寫出結(jié)果. .類型類型 三三 定積分性質(zhì)的應(yīng)用定積分性質(zhì)的應(yīng)用 熟練根據(jù)定積分的性質(zhì)進行相關(guān)的運算，并總結(jié)利用定熟練根據(jù)定積分的性質(zhì)進行相關(guān)的運算，并總結(jié)利用定積分的性質(zhì)求定積分的策略積分的性質(zhì)求定積分的策略. .1.1.已知已知 則則 ( )( )

11、2.2.已知已知 2x1,0 x1,f x2x ,1x2, 20f x dx 222001212220101A.x1 dxB.2x dx C.x1 dx2x dxD.2x dxx1 dx 2200f x dx8,f x2xdx_.則 【解題指南】【解題指南】1.1.根據(jù)定積分的運算性質(zhì)把所求定積分轉(zhuǎn)化成根據(jù)定積分的運算性質(zhì)把所求定積分轉(zhuǎn)化成兩個定積分的和兩個定積分的和. .2.2.直接利用定積分的運算性質(zhì)把所求定積分轉(zhuǎn)化成兩個定積直接利用定積分的運算性質(zhì)把所求定積分轉(zhuǎn)化成兩個定積分的差分的差, ,然后再根據(jù)定積分的幾何意義求解然后再根據(jù)定積分的幾何意義求解. .【解析】【解析】1.1.選選C.

12、C.由定積分的性質(zhì)可知由定積分的性質(zhì)可知, ,2.2.因為因為 表示表示x=0,x=2,y=0,y=2xx=0,x=2,y=0,y=2x圍成的圖形的面積，圍成的圖形的面積，所以所以所以所以=8=84=4.4=4.答案答案: :4 4 2122001f x dxx1 dx2x dx. 222000f x2xdxf x dx2xdx202xdx202xdx4. 222000f x2xdxf x dx2xdx【技法點撥】【技法點撥】利用定積分的性質(zhì)求定積分的策略利用定積分的性質(zhì)求定積分的策略（1 1）利用性質(zhì)可把定積分分成幾個簡單的積分的組合）利用性質(zhì)可把定積分分成幾個簡單的積分的組合, ,對于對于

13、每一個積分都可以利用定積分的幾何意義求出每一個積分都可以利用定積分的幾何意義求出, , 從而得到所從而得到所求定積分的值求定積分的值. .（2 2）求分段函數(shù)的定積分，可先把每一段的定積分求出后再）求分段函數(shù)的定積分，可先把每一段的定積分求出后再相加相加. .提醒：提醒：要注意合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性求解要注意合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性求解. .【拓展延伸】【拓展延伸】奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分（1 1）若）若f f（x x）為偶函數(shù)，且在）為偶函數(shù)，且在-a,a-a,a上圖象連續(xù)不斷，上圖象連續(xù)不斷，則則（2 2）若）若f f（x x）為奇函數(shù)，且

14、在）為奇函數(shù)，且在-a,a-a,a上圖象連續(xù)不斷，上圖象連續(xù)不斷，則則aaa0fxdx2fxdx.（ ）（ ）aafxdx0.（ ）【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù). .證明證明【證明】【證明】由定積分的性質(zhì)可知由定積分的性質(zhì)可知由定積分的幾何意義及偶函數(shù)的圖象特征可知由定積分的幾何意義及偶函數(shù)的圖象特征可知所以所以 2220f x dx2f x dx. 202220f x dxf x dxf x dx， 0220f x dxf x dx， 202220f x dxf x dxf x dx 202f x dx.1.1.若在區(qū)間若在區(qū)間1,21,2上上,f

15、(x)0,f(x)0恒成立恒成立, ,則則 的符號的符號( )( )A.A.一定為正一定為正 B.B.一定為負一定為負C.C.可能為正可能為正, ,也可能為負也可能為負 D.D.不能判斷不能判斷【解析】【解析】選選A.A.由定積分的概念可知由定積分的概念可知, , 的值為曲邊梯形的值為曲邊梯形的面積的面積. .而該曲邊梯形始終在而該曲邊梯形始終在x x軸的上方軸的上方, ,故其值為正故其值為正. . 21f x dx 21f x dx2.2.求曲線求曲線y=ey=ex x, ,直線直線x=2,y=1x=2,y=1圍成的圖形的面積時圍成的圖形的面積時, ,若選擇若選擇x x為為積分變量積分變量,

16、 ,則積分區(qū)間為則積分區(qū)間為( )( )A.A.0,e0,e2 2 B.B.0,20,2 C.C.1,21,2 D.D.0,10,1【解析】【解析】選選B.B.因為因為y=1y=1時，由時，由1=e1=ex x，所以，所以x=0 x=0，所以根據(jù)圍成，所以根據(jù)圍成圖形的形狀及積分變量可知圖形的形狀及積分變量可知, ,積分區(qū)間為積分區(qū)間為0,20,2. .3.3.已知已知 則則( )( )【解析】【解析】選選D.D.由定積分的性質(zhì)可知由定積分的性質(zhì)可知 20f x dx10, 1201112001A.f x dx5B.f x dx5C.f x dx10D.f x dxf x dx10 212001f x dxf x dxf x dx10.4.4.計算計算【解析】【解析】答案答案: :4 4 203x1 dx_.2220003x 1 dx3xdx1dx12 6 2 14.2 5.5.由由 所圍成的圖形的面積寫成定積所圍成的圖形的面積寫成定積分的形式為分的形式為_._.【解析】【解析】由定積分的定義和幾何意義可知由定積分的定義和幾何意義可知答案答案: :ysin x