第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、欄目索引第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系北京版北京版 文數(shù)文數(shù)欄目索引1.四個(gè)公理四個(gè)公理公理1:如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi).公理2:過的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.公理2的三個(gè)推論:推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.推論2:兩條直線確定一個(gè)平面.推論3:兩條直線確定一個(gè)平面.教材研讀教材研讀兩點(diǎn)兩點(diǎn) 不在同一條直線上不在同一條直線上相交相交 平行平行欄目索引公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.公理4:平行于同一條直線的兩條直線.2.空間中兩直線的位置關(guān)系空間中兩直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的

2、分類:一個(gè)一個(gè)平行平行 ccc欄目索引(i)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(ii)范圍:.3.有關(guān)角的重要定理有關(guān)角的重要定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角.4.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有、三種情況.(2)平面與平面的位置關(guān)系有、兩種情況.0,2(2)異面直線所成的角銳角銳角(或直角或直角) 相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ) 相交相交平行平行直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi) 平行平行相交相交欄目索引1.下列命題:經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面;梯形

3、可以確定一個(gè)平面;兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面;若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案C對(duì)于,未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線,故錯(cuò)誤;易知正確;對(duì)于,未強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)不共線,若三點(diǎn)共線,則兩平面也可能相交,故錯(cuò)誤.故選C.c欄目索引A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線答案C假設(shè)cb,由公理4可知,ab,與a、b是異面直線矛盾,故選C.3.若直線l不平行于平面,且l ,則()A.內(nèi)的所有直線與l異面B.內(nèi)不存在與l平行的直線C.內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.內(nèi)的直線與l都相交答案B假設(shè)內(nèi)存在直線ml,l ,則l,

4、與題設(shè)矛盾,故選B.4.若三個(gè)平面兩兩相交,且三條交線互相平行,則這三個(gè)平面把空間分成部分.2.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b ()cc欄目索引答案7解析通過舉實(shí)例說明,如三棱柱三個(gè)側(cè)面所在平面滿足兩兩相交,且三條交線互相平行,這三個(gè)平面將空間分成7部分.5.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成的角的大小為.答案60解析連接B1D1,D1C,因B1D1EF,故D1B1C為所求角,又B1D1=B1C=D1C,D1B1C=60.c欄目索引 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用典例典例1(1)以下四個(gè)命題中

5、,正確命題的個(gè)數(shù)是()不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;若點(diǎn)A、B、C、D共面,點(diǎn)A、B、C、E共面,則A、B、C、D、E共面;若直線a、b共面,直線a、c共面,則直線b、c共面;依次首尾相接的四條線段必共面.A.0B.1C.2D.3考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破欄目索引(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證:E、C、D1、F四點(diǎn)共面;CE、D1F、DA三線共點(diǎn).答案(1)Bc欄目索引解析(1)正確,可以用反證法證明;不正確,從條件可以看出A、B、C是兩平面的公共點(diǎn),若A、B、C三點(diǎn)共線,則結(jié)論不正確;不正確,直線b、c也可能異面;不正確,空間四邊形的四

6、條邊不在同一個(gè)平面內(nèi).(2)如圖所示,連接CD1、EF、A1B,E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn),FEA1B且EF=A1B.A1D1BC,四邊形A1BCD1是平行四邊形,A1BD1C,FED1C,12欄目索引EF與CD1可確定一個(gè)平面,即E、C、D1、F四點(diǎn)共面.由知EFCD1,且EF=CD1,四邊形CD1FE是梯形,直線CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1,P平面ABCD且P平面A1ADD1.12又平面ABCD平面A1ADD1=AD,PAD,CE、D1F、DA三線共點(diǎn).欄目索引(1)納入平面法:先確定一個(gè)平面,再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi);(2)輔助平面

7、法:先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面,再證其余點(diǎn)、線確定平面,最后證明平面、重合.2.證明三線共點(diǎn)問題常用的方法:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證交點(diǎn)在第三條直線上(發(fā)現(xiàn)第三條直線是兩相應(yīng)平面的交線,從而利用公理3證明).1.點(diǎn)線共面問題的證明方法:欄目索引1-1如圖所示的是正方體和四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則各圖形中,P,Q,R,S四點(diǎn)共面的是(填序號(hào)).答案解析對(duì)于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQRS為梯形;對(duì)于,如圖所示,取A1A和BC的中點(diǎn)分別為M,N,順次連接P、M、Q、N、R、S,可證明六邊形PMQNRS為正六邊形;c欄目索引對(duì)于,順次連接P、Q、R、S,可證四邊形PQ

8、RS為平行四邊形;對(duì)于,可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行,因此,P,Q,R,S四點(diǎn)不共面.1-2如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD且BC=AD;BEFA且BE=FA,G、H分別為FA、FD的中點(diǎn).(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面?為什么?1212欄目索引解析(1)證明:由已知可知FG=GA,FH=HD,可得GHAD且GH=AD.又BCAD且BC=AD,GHBC,四邊形BCHG為平行四邊形.(2)C、D、F、E四點(diǎn)共面,證明如下:證法一:由BEFA且BE=FA,G為FA的中點(diǎn)知BEFG,四邊形BEFG為平行四邊形,EFBG,121212欄目索

9、引由(1)可知BGCH,EFCH,EF與CH共面.又DFH,C、D、F、E四點(diǎn)共面.證法二:如圖所示,延長(zhǎng)FE、DC分別與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、M,BEFA且BE=FA,12欄目索引B為MA的中點(diǎn).BCAD且BC=AD,B為AM的中點(diǎn).M與M重合.即EF與CD相交于點(diǎn)M(M),C、D、F、E四點(diǎn)共面. 空間兩直線的位置關(guān)系空間兩直線的位置關(guān)系命題角度一兩直線位置關(guān)系的判定命題角度一兩直線位置關(guān)系的判定典例典例2(1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是()12欄目索引A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A

10、1B1平行(2)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在原正四面體中,欄目索引GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60角;DE與MN垂直.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是.答案(1)D(2)c欄目索引解析(1)如圖,連接C1D,在C1DB中,MNBD,故C正確;CC1平面ABCD,CC1BD,MN與CC1垂直,故A正確;ACBD,MNBD,MN與AC垂直,故B正確;A1B1與BD異面,MNBD,欄目索引MN與A1B1不可能平行,故D錯(cuò)誤,選D.(2)把正四面體的平面展開圖還原,如圖所示,GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線.連接GM,

11、易知GHM為正三角形,則GH與MN成60角.易知MNAF,且AFDE,則DEMN.欄目索引典例典例3(1)如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則各圖形中直線GH與MN是異面直線的是.(填序號(hào))(2)如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互相異面的對(duì)數(shù)為.命題角度二異面直線的判定命題角度二異面直線的判定欄目索引答案(1)(2)3解析(1)中,直線GHMN;中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M 平面GHN,因此直線GH與MN異面;中,連接MG,易知GMHN,因此GH與MN共面;中,G,M,N三點(diǎn)共面,但H 平面GMN,因此直線GH與MN異面.(2)將展開圖還原為正方體,如圖所示,顯然,直線AB與CD,EF與