MATLAB中數(shù)學物理建模與方程分類

1、1數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計第第3章章 數(shù)學物理建模與方程分類數(shù)學物理建模與方程分類數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計本章內(nèi)容本章內(nèi)容3.1 數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例 波動型問題的建模 熱傳導型問題的建模 穩(wěn)定型問題的建模3.3 數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理方程的定解條件3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計相關(guān)基本概念相關(guān)基本概念 什么是什么是數(shù)學物理？ 建立與研究物理現(xiàn)象的數(shù)學模型的理論 連接

2、物理學與數(shù)學的一門交叉學科 什么是什么是數(shù)學物理建模？ 尋求把物理問題和其他自然科學和技術(shù)科學轉(zhuǎn)換成數(shù)學模型的過程 什么是什么是數(shù)學物理方程(數(shù)理方程)？ 從物理學及其它各門自然科學自然科學、技術(shù)科學技術(shù)科學中所導出的函數(shù)函數(shù)方程方程，主要指偏微分方程偏微分方程和積分方程積分方程 凡是在建立和研究描述物理現(xiàn)象的數(shù)學模型時所用到的數(shù)學方法，都屬于數(shù)學物理方法的范疇3.1 數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理的發(fā)展歷史數(shù)學物理的發(fā)展歷史 17世紀末世紀末創(chuàng)建創(chuàng)建 Newton和Leibniz創(chuàng)立了微積分并用于表述力學基本定律與

3、萬有引力定律 18世紀世紀形成和發(fā)展形成和發(fā)展 分析學穩(wěn)步發(fā)展，并廣泛地應用于理論物理學 19世紀世紀長足進展長足進展 數(shù)學物理方法成功地應用于研究與各類物理場和波動過程有關(guān)的物理現(xiàn)象的數(shù)學模型 20世紀世紀現(xiàn)代數(shù)學物理現(xiàn)代數(shù)學物理 量子物理和相對論的理論研究，空氣動力學、粒子轉(zhuǎn)換現(xiàn)象和等離物理中新問題的出現(xiàn)，大大擴展了數(shù)學物理所使用的數(shù)學工具3.1 數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理的特點數(shù)學物理的特點 建立具有共性的數(shù)學模型建立具有共性的數(shù)學模型 建立具有歸納和演繹雙重功能的的數(shù)學模型建立具有歸納和演繹雙重功能的的數(shù)

4、學模型 結(jié)合已有的物理模型開發(fā)新的數(shù)學方法結(jié)合已有的物理模型開發(fā)新的數(shù)學方法 結(jié)合計算技術(shù)推動物理學的發(fā)展結(jié)合計算技術(shù)推動物理學的發(fā)展3.1 數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模數(shù)學物理建模 數(shù)學物理方法解決問題的立足點是某物理現(xiàn)象數(shù)學物理方法解決問題的立足點是某物理現(xiàn)象的內(nèi)在物理規(guī)律的內(nèi)在物理規(guī)律vgF=ma- -+ +U=Ed3.1 數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模數(shù)學物理建模 在獲得物理規(guī)律的情況下可以根據(jù)現(xiàn)象歸納其在獲得物理規(guī)律的情

5、況下可以根據(jù)現(xiàn)象歸納其具體的物理過程具體的物理過程 也可以根據(jù)具體的物理過程演繹將出現(xiàn)的現(xiàn)象也可以根據(jù)具體的物理過程演繹將出現(xiàn)的現(xiàn)象 求解定解問題就是通過建立數(shù)學物理模型、確定定解條件現(xiàn)象現(xiàn)象現(xiàn)象現(xiàn)象現(xiàn)象現(xiàn)象物理模型物理模型3.1 數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模的主要步驟數(shù)學物理建模的主要步驟 將物理問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題將物理問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題 對物理問題根據(jù)相關(guān)的物理定律建立相應的數(shù)學模型，也就是將物理問題歸結(jié)成數(shù)學上的定解問題 求解定解問題求解定解問題 用數(shù)學方法求出滿足方程和定解條件的解 驗證模型的正確性并理

6、解模型的物理意義驗證模型的正確性并理解模型的物理意義 對所得的解通過輸血的論證和客觀實踐的檢驗鑒定其正確性，并將所得的解作適當?shù)奈锢硪饬x解釋，從而理解遵循同一類方程的普遍物理模型3.1 數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計本課程的數(shù)學物理建模的重點本課程的數(shù)學物理建模的重點 二階線性偏微分方程規(guī)律的物理問題的建模二階線性偏微分方程規(guī)律的物理問題的建模 靜電勢和引力勢滿足的Laplace方程或Poisson方程 波的傳播所滿足的波動方程 熱傳導問題和擴散問題中的熱傳導方程 連續(xù)介質(zhì)力學中的Navier-Stockes方程組合Eule

7、r方程組 描寫電磁場運動變化的MAxwell方程組 作為微觀物質(zhì)運動基本規(guī)律的Schrodinger方程和Dirac方程 彈性力學中的Saint-Venant方程3.1 數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計典型數(shù)學物理方程的大致分類典型數(shù)學物理方程的大致分類三類典型的數(shù)學物理方程三類典型的數(shù)學物理方程雙曲型方程雙曲型方程波動方程為代表波動方程為代表拋物型方程拋物型方程熱傳導方程為代表熱傳導方程為代表橢圓型方程橢圓型方程泊松方程為代表泊松方程為代表2,ttuauft r2,tuauft r uf r0Laplaceu 方程3.1 數(shù)

8、學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模的相關(guān)概念數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型弦的微小橫振動方程 問題：有一條完全柔軟的均勻弦，沿水平直線繃緊，而后用某種方式激發(fā)，使弦在同一個平面上作小振動，列出弦的微小橫振動方程3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型弦的微小橫振動方程根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律F=ma，微元橫向運動方程為，微元橫向運動方程為微元的縱向運動方程為微元的縱向運動方程為僅考慮微小的橫振動，可忽略高階小量，即僅考慮微小的橫振動，可忽略

9、高階小量，即2211sinsind( d )ttTTg ss u2211coscos0TT2112cos11, cos12! 311111222sintan, sintan3!222d(d )(d )1 () ddxsxuuxx3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型弦的微小橫振動方程注意到注意到因此有因此有這樣弦的橫向和縱向振動方程便化簡成這樣弦的橫向和縱向振動方程便化簡成tansinxuux1122dtansin,tansinxxxxxuu21d21dd0 xxttxxxT uT ug xu

10、xTT3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型弦的微小橫振動方程令令T=T1=T2，進而可以化簡成，進而可以化簡成由于由于dx很小，因此有很小，因此有因此可以得到運動方程因此可以得到運動方程dddxxttxxxT uug xuxddxxxxxxxuuux0ttxxuTug22ttxxua ugaT3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型弦的微小橫振動方程討論：討論：(1)若設(shè)弦的重量遠小于弦的張力

11、，則重力加速若設(shè)弦的重量遠小于弦的張力，則重力加速度項可以忽略，可得到齊次偏微分方程度項可以忽略，可得到齊次偏微分方程(弦的自由振動方程)(2)若在弦的單位長度上還有橫向外力若在弦的單位長度上還有橫向外力F(x, t)的作的作用，則可以得到弦的受迫振動方程用，則可以得到弦的受迫振動方程2ttxxua u2,ttxxF x tua uf x tf x t3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型薄膜的微小橫振動方程 問題：有一條完全柔軟的均勻薄膜，沿水平面上繃緊，薄膜的重量和張力相比可以忽略，而后用

12、某種方式激發(fā)，使弦在垂直于水平面方向上作小振動3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型薄膜的微小橫振動方程注意到二維情況與一維情況的相似之處，可得到注意到二維情況與一維情況的相似之處，可得到微元在微元在x和和x+dx兩邊受力為兩邊受力為微元在微元在y和和y+dy兩邊受力為兩邊受力為那么運動方程為那么運動方程為ddd dxxxxxxxT uT uyTux yddd dyyyyyyyT uT uxTux yd dd dd dxxxxttTux yTux yux y3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物

13、理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型薄膜的微小橫振動方程經(jīng)過化簡可以得到二維模微小橫振動方程經(jīng)過化簡可以得到二維模微小橫振動方程用符號化的語言可以寫成用符號化的語言可以寫成如果單位面積上受橫向外力為如果單位面積上受橫向外力為F(x, y, t)，則模的，則模的受迫振動方程為受迫振動方程為0ttxxyyuT uu20ttuu2, ,ttuuf x y t3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型桿的縱向振動問題 問題：考慮一均勻細桿

14、，沿桿長方向作小振動，假設(shè)在垂直桿長方向上的任一橫截面上各點的振動情況完全相同3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型桿的縱向振動問題微元的運動方程為微元的運動方程為可以得到桿的縱向振動方程可以得到桿的縱向振動方程更一般地，在三維空間中的波動方程為更一般地，在三維空間中的波動方程為dddxxxttxxxuYSuYSuYSxS x ux0ttxxuYu220ttuau桿的縱振動和弦的橫振動機桿的縱振動和弦的橫振動機理并不完全相同，但滿足的理并不完全相同，但滿足的偏微分方程形式完全一樣，偏微分方程形

15、式完全一樣，這類方程統(tǒng)稱波動方程。這類方程統(tǒng)稱波動方程。3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型傳輸線方程(電報方程) 問題：兩條長的平行傳輸線在加上交流電壓的時候會出現(xiàn)電感、電阻、靜電容和漏電導等效應，建立傳輸線上的電壓和電流滿足的方程3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型傳輸線方程(電報方程)分析微元電路，應用基爾霍夫第二定律可得到分析微元電路，應用基爾霍夫第二定律可得到考慮到考慮到dx0，

16、則方程可以化簡成，則方程可以化簡成同理利用基爾霍夫第一定律可以得到同理利用基爾霍夫第一定律可以得到類似地可以化簡得到類似地可以化簡得到,dd ,0tRi x tLix txv xx tv x t0txRiLiv,dd ,0tCvx tGv x txi xx ti x t0txCvGvi3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型傳輸線方程(電報方程)注意到電流和電壓所服從的兩個微分方程形式相注意到電流和電壓所服從的兩個微分方程形式相似，對他們進行變量代換，即可得以下兩個方程似，對他們進行變量代換，即

17、可得以下兩個方程這兩個方程就是一般的傳輸線方程這兩個方程就是一般的傳輸線方程(電報方程電報方程)。xxtttvLCvRCGL vGRvxxtttiLCiRCGL iGRi3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型傳輸線方程(電報方程)討論：討論：(1) 無失真線：無失真線：RC=LG，信號無失真。方程化為，信號無失真。方程化為2212xxtttvvvv2212xxtttiiii221,RGLC3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算

18、機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型傳輸線方程(電報方程)(2) 無損耗線：無損耗線：RG 0，無損耗，如高頻條件下，無損耗，如高頻條件下有有LR，CG。方程化簡為。方程化簡為具有與振動方程類似的數(shù)學形式，盡管它們的物具有與振動方程類似的數(shù)學形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同理本質(zhì)根本不同xxttvLCvxxttiLCi3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型傳輸線方程(電報方程)(3) 無漏導，無電感線：無漏導，無電感線： RL0，如同軸電纜。，如同軸電纜。方程可以化簡為方程可以化簡為這與后面將講

19、到的一維熱傳導方程具有類似的數(shù)這與后面將講到的一維熱傳導方程具有類似的數(shù)學形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同學形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同xxtvRCvxxtiRCi3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型電磁波傳播方程 問題：設(shè)空間沒有電荷，且E和H分別表示電場強度和磁感應強度。建立空間電場強度和磁感應強度的數(shù)學物理模型3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型電磁波傳播方程由電磁理論，描述介質(zhì)

20、中電磁場運動的方程為麥由電磁理論，描述介質(zhì)中電磁場運動的方程為麥克斯韋方程組，其微分形式為克斯韋方程組，其微分形式為為了分析方便，考慮各向同性的均勻介質(zhì)，則介為了分析方便，考慮各向同性的均勻介質(zhì)，則介電常數(shù)、磁導率和電導率都是常數(shù)電常數(shù)、磁導率和電導率都是常數(shù)00tt EHHEEEH3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型電磁波傳播方程對方程進行化簡可以得到對方程進行化簡可以得到這兩個方程是矢量方程，將其在特定方向上這兩個方程是矢量方程，將其在特定方向上(如如三個正交坐標軸方向三個正交坐標軸方向

21、)進行投影，則可以得到普進行投影，則可以得到普通的標量方程通的標量方程這兩個方程就是電磁波傳播方程這兩個方程就是電磁波傳播方程ttt EEEttt HHH3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動物理模型波動物理模型電磁波傳播方程討論：討論：(1) 考慮電導率很小的情況，即考慮電導率很小的情況，即0，如真空中。，如真空中。方程化簡為方程化簡為(2) 考慮介質(zhì)具有很高的導電性的情況，即考慮介質(zhì)具有很高的導電性的情況，即 ，如金屬材料中，則方程可以寫成，如金屬材料中，則方程可以寫成21ttu = aua21tu = au

22、a3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳導物理模型熱傳導方程 問題：由于溫度不均勻，熱量將從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫熱傳導。試建立熱傳導方程3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳導物理模型熱傳導方程推導熱傳導方程的時候主要根據(jù)熱傳導的推導熱傳導方程的時候主要根據(jù)熱傳導的Foriour定律在在dt時間內(nèi)從時間內(nèi)從ABCD進入小體積元的熱量為進入小體積元的熱量為同理從同理從EFGH進入體積元

23、的熱量為進入體積元的熱量為3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例dd duQkS tndd d dd d dxxxuuQkt y zkt y znx ddddd d dd d dxxxxxxuuQkt y zkt y znx數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳導物理模型熱傳導方程那么通過這兩個垂直于那么通過這兩個垂直于x軸方向流入小體積元的軸方向流入小體積元的熱量為熱量為類似地有類似地有3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例ddd+dd d dd d d dxxxxxxxuuQQkkt y zxxukt x y

24、zxxdd+dd d d dyyyyuQQkt x y zyydd+dd d d dzzzzuQQkt x y zzz數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳導物理模型熱傳導方程那么經(jīng)過六個面進入小體積元的熱量為那么經(jīng)過六個面進入小體積元的熱量為根據(jù)物體吸熱和溫度變化的關(guān)系可以得到根據(jù)物體吸熱和溫度變化的關(guān)系可以得到3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例dd d d duuuQkkkt x y zxxyyzz0d d d dd d d duuukkkt x y zCu x y zxxyyzz0uuuukkkCxxyyzzt數(shù)學物理建模與計

25、算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳導物理模型熱傳導方程討論：討論：(1) 對各向同性的均勻物體，對各向同性的均勻物體，k為常數(shù)，方程變?yōu)闉槌?shù)，方程變?yōu)?2) 若物體內(nèi)有熱源，單位時間單位體積內(nèi)發(fā)出若物體內(nèi)有熱源，單位時間單位體積內(nèi)發(fā)出熱量為熱量為F(x, y, z, t)，則有非齊次熱傳導方程，則有非齊次熱傳導方程3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例0 xxyyzztk uuuC u2200tkuauaC 20, , ,tFuauf x y z tfC 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳導物理模型擴散方程

26、擴散方程 問題：設(shè)有一塊橫截面積為S的半導體材料，把所需的雜質(zhì)涂敷在材料的表面上，雜質(zhì)就會向材料里擴散。試建立雜質(zhì)的擴散方程。3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳導物理模型擴散方程擴散方程用用u(x, t)表示表示t時刻在時刻在x處的雜質(zhì)濃度。雜質(zhì)的擴處的雜質(zhì)濃度。雜質(zhì)的擴散服從的物理定律為擴散定律散服從的物理定律為擴散定律單位時間內(nèi)，從單位時間內(nèi)，從x+dx處橫截面流過的雜質(zhì)量是處橫截面流過的雜質(zhì)量是流入流入x到到x+dx一個薄層內(nèi)的雜質(zhì)將引起濃度增加一個薄層內(nèi)的雜質(zhì)將引起濃度增加,u x tm

27、 x tDSx d ,d ,u xx tm xx tDSx d ,dMum xx tm x tSxtt3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳導物理模型擴散方程擴散方程因此可以得到因此可以得到即即此即一維形式的擴散方程。類似有三維擴散方程此即一維形式的擴散方程。類似有三維擴散方程d ,du xx tu x tu x tDSSxxxt22txxua uaD22tuauaD3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導物理模型熱傳

28、導物理模型擴散方程擴散方程若外界有擴散源，擴散源的強度若外界有擴散源，擴散源的強度(單位時間、單單位時間、單位體積內(nèi)產(chǎn)生的雜質(zhì)粒子數(shù)位體積內(nèi)產(chǎn)生的雜質(zhì)粒子數(shù))為為f(x, y, z, t)，則擴，則擴散方程為散方程為我們注意到，熱傳導和擴散這兩種不同的物理現(xiàn)我們注意到，熱傳導和擴散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來描述。象，但可以用同一類方程來描述。2, , ,tuaufx y z t 3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計穩(wěn)定型物理模型穩(wěn)定型物理模型靜電場電勢方程靜電場電勢方程 問題：靜電場是有源無旋場，電

29、力線不閉合，始于正電荷，終于負電荷。反映靜電場的定理是高斯定理和電場強度的無旋性。試推導靜電場的方程。3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計穩(wěn)定型物理模型穩(wěn)定型物理模型靜電場電勢方程靜電場電勢方程微分形式的高斯定理為微分形式的高斯定理為靜電場中電場和電勢的關(guān)系為靜電場中電場和電勢的關(guān)系為因此可以得到因此可以得到泊松(Poisson)方程3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例0EU E0U 0U數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計穩(wěn)定型物理模型穩(wěn)定型物理模型穩(wěn)定溫度分布穩(wěn)定溫度

30、分布 問題：如果熱源分布和邊界條件都不隨事件發(fā)生變化，則過相當?shù)臅r間后物體內(nèi)部的溫度分布將達到穩(wěn)定狀態(tài)。求其溫度分布方程。 在這種情況下熱傳導方程中隨時間變化的項將消失，類似地可以得到泊松方程和拉普拉斯方程3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例21, ,uf x y za 0u 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計穩(wěn)定型物理模型穩(wěn)定型物理模型穩(wěn)定濃度分布穩(wěn)定濃度分布 問題：如果擴散源強度f(x, y, z)不隨時間和邊界條件都不隨事件發(fā)生變化，則擴散運動將持續(xù)下去，最終達到穩(wěn)定狀態(tài)，空間中各點濃度不變。求其濃度分布方程。 與溫度穩(wěn)定分布相似有泊松方程和

31、拉普拉斯方程3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例21, ,uf x y za 0u 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計穩(wěn)定型物理模型穩(wěn)定型物理模型單色波單色波 問題：若電磁波是單色的，即只有一個頻率，那么電磁波將會在空間形成穩(wěn)定的分布。根據(jù)要求電磁波場以單一頻率周期變化為根據(jù)要求電磁波場以單一頻率周期變化為那么復振幅將滿足那么復振幅將滿足亥姆霍茲(Helmhotz)方程其中其中k =/a為波數(shù)。為波數(shù)。, , , ,expiu x y z tv x y zt20vk v 3.2 物理模型的數(shù)學物理建模舉例物理模型的數(shù)學物理建模舉例數(shù)學物理建模與計算

32、機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計完整描述一個物理過程需兩個條件完整描述一個物理過程需兩個條件 描述過程變化的規(guī)律描述過程變化的規(guī)律數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程 描述過程的滿足條件描述過程的滿足條件定解條件定解條件 例：3.3數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計初始條件初始條件 初始條件是物理過程剛開始的時候，也就是初初始條件是物理過程剛開始的時候，也就是初始時刻的系統(tǒng)狀態(tài)始時刻的系統(tǒng)狀態(tài) 對時間的二階偏微分方程來說初始條件包括變對時間的二階偏微分方程來說初始條件包括變量對時間的零階和一階導數(shù)的初始時刻的值。量對時間的零階和一階導

33、數(shù)的初始時刻的值。3.3數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計初始條件舉例初始條件舉例 例1：一根長度為l的弦，兩端固定于x = 0和x = l處，然后在距離坐標原點b的位置沿橫向拉開距離h，然后放手讓其振動，試寫出其初始條件。3.3數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理方程的定解條件,00tux0,0hxxbbu xhlxbxllb數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計邊界條件邊界條件 一個物理系統(tǒng)，除了描述其運動特征的數(shù)學物一個物理系統(tǒng)，除了描述其運動特征的數(shù)學物理方程和描述初始狀態(tài)的初始條件外，還需要理方程和描述初始

34、狀態(tài)的初始條件外，還需要考慮系統(tǒng)所處的考慮系統(tǒng)所處的特定的環(huán)境 周邊的環(huán)境對物理系統(tǒng)的影響通常由邊界上的周邊的環(huán)境對物理系統(tǒng)的影響通常由邊界上的物理狀況決定，也就是邊界條件物理狀況決定，也就是邊界條件3.3數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理方程的定解條件000,Hf xyzunut第二類邊界條件第二類邊界條件第一類邊界條件第一類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計波動方程的邊界條件波動方程的邊界條件 例例1： 例例2： 例例3：3.3數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理方程的定解條件 0,utf tu l tg t x lF tuxYS,0 x l

35、uku l txYS數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計熱傳導方程的邊界條件熱傳導方程的邊界條件 例例4：邊界：邊界上的溫度分布為上的溫度分布為f(, t) 例例5：單位時間內(nèi)從單位面積上流入的熱量為：單位時間內(nèi)從單位面積上流入的熱量為 例例6：物體表面通過輻射或?qū)α髋c外界交換熱：物體表面通過輻射或?qū)α髋c外界交換熱量的時候肯能夠與邊界上的溫度有關(guān)，有牛頓量的時候肯能夠與邊界上的溫度有關(guān)，有牛頓冷卻定律：冷卻定律：3.3數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理方程的定解條件, , ,u x y z tft1,utnk 11duQH uukuhun數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模

36、與計算機輔助設(shè)計穩(wěn)定場方程的邊界條件穩(wěn)定場方程的邊界條件 穩(wěn)定場不存在初始條件穩(wěn)定場不存在初始條件 對穩(wěn)定場一樣也存在三種邊界條件對穩(wěn)定場一樣也存在三種邊界條件 第一類邊界條件：狄利克雷問題，給出邊界上的變量值 第二類邊界條件：諾依曼問題，給出邊界上變量導數(shù)值 第三類邊界條件：洛平問題，給出邊界上的變量值和變量導數(shù)值的線性組合3.3數(shù)學物理方程的定解條件數(shù)學物理方程的定解條件,uutn數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的基本概念二階線性偏微分方程的基本概念 偏微分方程偏微分方程 方程的階：未知函數(shù)偏導數(shù)的最高階數(shù) 方程的次數(shù)：最高階偏導數(shù)的次數(shù) 線性方程

37、：所有階(組合)偏導數(shù)的次數(shù)都為1 準線性方程：僅最高階偏導數(shù)是線性的 自由項：不含未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項 齊次方程：沒有自由項的偏微分方程3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類2222, , ,0uuuuF x yuxyxy數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的基本概念二階線性偏微分方程的基本概念 方程的解：若某函數(shù)帶入偏微分方程后，使方程化簡成一個恒等式，則此函數(shù)為方程的解 通解：包含任意獨立函數(shù)的方程的解，且獨立函數(shù)的個數(shù)等于方程的階數(shù) 特解：從通解中選擇任意函數(shù)而得到的解3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類22sin cosx

38、xyyuuxy2220txxyyxyua ub uc u0 xxyyzzuuuyyuuxyz2yyyxxx uyuln0 xxxxyuuulnsinxxxxyuuuxy數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的基本概念二階線性偏微分方程的基本概念 通解與特解舉例：二階線性非齊次偏微分方程通解與特解舉例：二階線性非齊次偏微分方程 的通解為的通解為 其中其中F(x)和和G(y)為任意函數(shù)。若令為任意函數(shù)。若令 則可以得到方程的一個特解則可以得到方程的一個特解3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類2xyuyx 221,2u x yxyx yF xG y 4

39、25,2sinF xxG yy2241,252sin2u x yxyx yxy 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類 在利用在利用MATLAB的一些特別的命令和工具求解的一些特別的命令和工具求解二階偏微分方程的時候需要把方程進行歸類和二階偏微分方程的時候需要把方程進行歸類和標準化標準化 前面已經(jīng)初步給出了波動型方程、熱傳導型方前面已經(jīng)初步給出了波動型方程、熱傳導型方程和穩(wěn)定場型方程，代表三種不同類別的物理程和穩(wěn)定場型方程，代表三種不同類別的物理過程過程 二階偏微分方程的分類標準：類似于二次曲線二階偏微分方程的分類標準：類似于二

40、次曲線的分類標準的分類標準3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類 兩個自變量的二階偏微分方程的一般形式為：兩個自變量的二階偏微分方程的一般形式為：3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類,xxxyyyxyA x y uB x y uC x y uD x y uE x y uF x y uG x y220axbxycydxeyf數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類 考慮到考慮到A、B和和C不同時全為不同時全為

41、0。作變換。作變換 同時保證變換的雅可比行列式必須滿足同時保證變換的雅可比行列式必須滿足 利用多元函數(shù)求導法則進行化簡可以得到利用多元函數(shù)求導法則進行化簡可以得到3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類,x yx y,0,xyxyJx yx y aubucudueufug數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類 其中的系數(shù)為其中的系數(shù)為3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類222222xxyyxxxyyxyyxxyyxxxyyyxyxxxyyyxyaABCbABCcABCdABCDEeABCDEfFgG 數(shù)學物理

42、建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類 注意到關(guān)系注意到關(guān)系 注意到：注意到： (1) 在作滿足雅可比行列式不為零的變換的時候仍然有兩個相互獨立的變量，并且變化過程中的“判別式”的符號不變。 (2) 可以通過合適的變換，使得a、b和c的一個或幾個為零，達到化簡方程的目的3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類222,44,bacBACx y 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類為了實現(xiàn)化簡，我們首先看下面方程如何求解：為了實現(xiàn)化簡，我們首先看下面方程如何求解：為

43、了求解此方程，引入定理：為了求解此方程，引入定理：定理定理：如果：如果 是方程是方程的一般積分，則的一般積分，則 是方程是方程的一個特解。的一個特解。3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類220 xxyyaABC 0, x yC22dd dd0AyB x yCx, x y220 xxyyABC 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類此定理說明：可以通過求解常微分方程此定理說明：可以通過求解常微分方程得到兩個變換。一般情況下這兩個解是無關(guān)的，得到兩個變換。一般情況下這兩個解是無關(guān)的，稱為偏微分方程的特征線方程，構(gòu)成的曲線

44、為特稱為偏微分方程的特征線方程，構(gòu)成的曲線為特征曲線。征曲線。在求解此方程的時候，需要判斷其判別式在求解此方程的時候，需要判斷其判別式3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類2dd0ddyyABCxx24BAC 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類討論二階線性偏微分方程的分類討論(1) = B2 - 4AC 0。方程可以得到兩個實數(shù)解：。方程可以得到兩個實數(shù)解：令令則可以得到則可以得到a=c=0，則偏微分方程可以化簡為，則偏微分方程可以化簡為再作進一步變換再作進一步變換偏微分方程可以化簡成雙曲型方程偏微分方程可以化簡成雙曲型方程3.4 二階偏

45、微分方程的分類二階偏微分方程的分類12,x yCx yC,x yx y, , ,0uu u u ,1, , ,0uuu uu 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類討論二階線性偏微分方程的分類討論(2) = B2 - 4AC = 0。方程可以得到兩個重根，因。方程可以得到兩個重根，因而只能得到一個解而只能得到一個解 。此時作變換。此時作變換 即可使得即可使得a=0，進一步有，進一步有b=0。只要任取變換。只要任取變換 使得雅可比行列式不為零，即可保證兩個變換相使得雅可比行列式不為零，即可保證兩個變換相互獨立。若取互獨立。若取c=1，即可得到，即可得到拋

46、物線方程拋物線方程3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類, , ,0uu u u 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類(3) = B2 - 4AC 0。方程可以得到兩個互為共軛。方程可以得到兩個互為共軛復數(shù)的根。此時偏微分方程的兩條特征線是一對復數(shù)的根。此時偏微分方程的兩條特征線是一對共軛復函數(shù)族?？梢缘玫絻蓚€互為共軛復數(shù)的變共軛復函數(shù)族?？梢缘玫絻蓚€互為共軛復數(shù)的變換換進一步地作變換進一步地作變換因此可以得到因此可以得到橢圓方程橢圓方程3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類,x yx y,i2, , ,0

47、uuu uu 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類討論二階線性偏微分方程的分類討論綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類型，只需討論判別式類型，只需討論判別式= B2 - 4AC 的符號即可。的符號即可。在作變換的時候，需要弄清的幾點是：在作變換的時候，需要弄清的幾點是：(1) 判別式的符號，直接決定偏微分方程的類型(2) 如何通過常微分方程求的偏微分方程的特征線方程，進而得到所需的變換(3) 對拋物線型的偏微分方程，如何尋求另一個變換下面將通過幾個例子來加以說明。下面將通過幾個例子來加以說明。3.4

48、二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類舉例二階線性偏微分方程的分類舉例例例1：討論方程：討論方程 的類型，并將其的類型，并將其化成標準型?；蓸藴市?。解：解：偏微分方程的特征方程為偏微分方程的特征方程為求解可以得到求解可以得到3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類220 xxyyy ux u22222,0,0440AyBCxx yBACx y 222d0dyyxx222212,2222yxyxcc數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類舉例二階線性偏微分方程的分類

49、舉例因此特征曲線為因此特征曲線為作變換作變換則偏微分方程化為則偏微分方程化為3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類222212,2222yxyxcc2222,2222yxyx222222uuu 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類舉例二階線性偏微分方程的分類舉例再作變換再作變換則偏微分方程可以進一步化為則偏微分方程可以進一步化為3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類,1122uuuu 數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類舉例二階線性偏微分方程的分類舉例例例2：將偏微分方程：將偏微分方程

50、化為標準型，并求其通解?；癁闃藴市停⑶笃渫ń?。解：解：上述偏微分方程對應的特征方程為上述偏微分方程對應的特征方程為可以解得可以解得3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類22200 xxxyyyx uxyuy uy222,2,040AxBxyCyyBAC 222dd20ddyyxxyyxx11d0dyyxyyc xcxx數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類舉例二階線性偏微分方程的分類舉例令令則原方程可以化為則原方程可以化為注意，這兒的注意，這兒的 的取法不是唯一的，只要的取法不是唯一的，只要滿足雅可比行列式不為零即可滿足雅可比行列式不為零即

51、可3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類,yyx200uy數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類舉例二階線性偏微分方程的分類舉例例例3：判斷偏微分方程：判斷偏微分方程 的類的類型，并化為標準型。型，并化為標準型。解：解：方程是橢圓型的，特征方程為方程是橢圓型的，特征方程為求解可以得到求解可以得到3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類0 xxxyyyuuu21,1,1430ABCBAC 2dd10ddyyxx 1233i,i2222xxyxcyxc數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計二階線性偏微分方程的分類舉例二階

52、線性偏微分方程的分類舉例令令則方程可以化簡成則方程可以化簡成需注意的是，這里的變量代換也不是唯一的，如需注意的是，這里的變量代換也不是唯一的，如3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類3,22xyx 22 333uuuu322 3,2233xyxuuuu數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計數(shù)學物理建模與計算機輔助設(shè)計PDE工具箱的方程分類工具箱的方程分類 橢圓型方程：橢圓型方程：Elliptic 拋物型方程：拋物型方程：Parabolic 雙曲型方程：雙曲型方程：hyperbolic 本征型方程：本征型方程：Eigenmodes3.4 二階偏微分方程的分類二階偏微分方程的分類 div*grad*cua uf * div*grad*d ucua uf * div*grad*d ucua uf div*grad*cua ula