人教版高一數(shù)學必修一第一章知識點與習題講解

1、必修1第一章集合與函數(shù)基礎知識點整理姓名：沈金鵬院、系：數(shù)學學院專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學2015年10月2日必修1第一章集合與函數(shù)基礎知識點整理第1講§1.1.1集合的含義與表示。學習目標：通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系；能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；掌握集合的表示方法、常用數(shù)集及其記法、集合元素的三個特征.。知識要點：1 .把一些元素組成的總體叫作集合(set),其元素具有三個特征，即確定性、互異性、無序性2 .集合的表示方法有兩種：列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來，基本

2、形式為a1,a2,a3,an,適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征來表示，基本形式為xwA|P(x),既要關注代表元素x,也要把握其屬性P(x),適用于無限集.-一一*.3 .通常用大寫拉丁字母A,B,C,一表示集合.要記住一些常見數(shù)集的表示，如自然數(shù)集N,正整數(shù)集N或N+，整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實數(shù)集R.4 .元素與集合之間的關系是屬于(belongto)與不屬于(notbelongto),分別用符號w、皂表示，例如3WN,-2-N.。例題精講：【例1】試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2-2x-3)=0的所有實數(shù)根組成的集合；(2)大

3、于2且小于7的整數(shù).解：(1)用描述法表示為：xWR|x(x22x_3)=0；用列舉法表示為0,-1,3.(2)用描述法表示為：xWZ2<x<7；用列舉法表示為3,4,5,6.【例2】用適當?shù)姆柼羁眨阂阎狝=x|x=3k+2,kWZ,B=x|x=6m1,mwZ,則有：17A;-5A;17B.解：由3k+2=17,解得k=5WZ,所以17亡A;由3k+2=5,解得k=7eZ,所以一5正A；3由6m1=17,解得m=3WZ,所以17三B.【例3】試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?教材P6練習題2,P13A組題4)(1) 一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點組成的集合；2(2)

4、 一次函數(shù)y=x4的函數(shù)值組成的集合；2(3)反比例函數(shù)y=的自變量的值組成的集合.-y=x3解：(1)(x,y)|f。4=(1,4).y=-2x6(2)y|y=x2-4=y|y之T.2(3) x|y=x|x#0.x點評：以上代表元素，分別是點、函數(shù)值、自變量.在解題中不能把點的坐標混淆為1,4,也注意對比(2)與(3)中的兩個集合，自變量的范圍和函數(shù)值的范圍，有著本質上不同，分析時一定要細心*【例4】已知集合A=a|Ta=1有唯一實數(shù)解,試用列舉法表示集合A.x-2xa.2解：化萬程2一=1為：xx(a+2)=0.應分以下三種情況：x-2方程有等根且不是±U2：由=。，得a=2,此

5、時的解為x=',合.42方程有一解為衣，而另一解不是一衣：將x=72代入得a=r/2,此時另一解x=1_J2,合.方程有一解為22,而另一解不是J2：將x=£2代入得a=y/2,此時另一解為x=?+1,合.綜上可知，a=-1,_短,樞.4點評：運用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示.注意分式方程易造成增根的現(xiàn)象.第2講§1.1.2集合間的基本關系。學習目標：理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義；能利用Venn圖表達集合間的關系.。知識要點：1 .一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中的任意一個元素都是

6、集合B中的元素，則說兩個集合有包含關系，其中集合A是集合B的子集（subset），記作AJB（或BmA）,讀作“A含于B”（或B包含A"）.素是2 .如果集合A是集合B的子集（A3B）,且集合B是集合A的子集（B=A）,即集合A與集合B的元一樣的，因此集合A與集合B相等，記作A=B.3 .如果集合A£B,但存在元素xWB,且xA,則稱集合A是集合B的真子集（propersubset）,記作B（或BA）.4 .不含任何元素的集合叫作空集（emptyset）,記作空,并規(guī)定空集是任何集合的子集5 .性質：A3A；若AQB,BJC,則AJC；若A|1b=A,則AGB；若aUb=A

7、,則B=A.。例題精講：【例1】用適當?shù)姆柼羁?(1) 菱形(2)解：（1）五,二,平行四邊形;x R| x 2 = 0；卓；6 , 圣，U等腰三角形等邊三角形.0一 0；00 ； N0.【例 2 * *】設集合 A=x|x="n,nWZ, B =x|x =n+：,nw,則下列圖形能表示 A與B關系的是（）.abA.B.解：簡單列舉兩個集合的一些元素,C.31.A =，-二 一1,二,0,二222D.331/，二，,，B ='，一二22 21，1，), 2 21. 11 .1.右N三M，滿足一=2或一=一3 ,斛得a =或a =(ii)若 a =0 時，得 N =-點評：在

8、考察“ A3 B ”這一關系時，不要忘記“ 論.題中討論的主線是依據(jù)待定的元素進行.【例 4】已知集合 A= a,a+b,a+2b, B= a,ax,ax2.0" ，因為a=。時存在AC b.從而需要分情況討若A=B,求實數(shù)x的值.易知B星A,故答案選A.另解：由B=x|x=2n±1,nWZ，易知B屋A,故答案選A.2【例3】若集合M=x|xa+x6=0,N=x|ax1=0,且N=M,求實數(shù)a的值.解：由x2+x6=0=x=2或3,因此，M=2,3.(i)若a=0時，得N=0,此時，NEM；.mab=ax22解：右W2na+ax-2ax=0,所以a(x-1)=0,即a=0或

9、x=1.a2b=ax2當a=0時，集合B中的元素均為0,故舍去；當x=1時，集合B中的元素均相同，故舍去.1，一一2若a1ax=2ax2-ax-a=0.a2b=ax因為a*0,所以2x2xi=0,即(x-1)(2x+1)=0.又xw1,所以只有x=.2經(jīng)檢驗，此時A=B成立.綜上所述x=2點評：抓住集合相等的定義，分情況進行討論.融入方程組思想，結合元素的互異性確定集合第3講§1.1.3集合的基本運算(一)。學習目標：理解兩個集合的并集與交集的含義, 個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能使用 象概念的作用.會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中Venn圖表達集合的關系及

10、運算，體會直觀圖示對理解抽。知識要點：集合的基本運算有三種，即交、并、補，學習時先理解概念，并掌握符號等，再結合解題的訓練，而達到掌握的層次.下面以表格的形式歸納三種基本運算如下并集交集補集概念由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集(unionset)由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集(intersectionset)對于集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集(complementaryset)記號AUB(讀作“A并B”)ADB(讀作“A交B”)eUA(讀作“A的補集”)符號A|JB=x|xW

11、A,或xWBAP|B=x|xWA,且xWB3uA=x|xWU,且x正A圖形表小。例題精講：【例1】設集合U=R,A=x|"ExE5,B=x|3<x<9,求AHB,eU(AUB).C =乜4,5,6 ,求:-1359解：在數(shù)軸上表示出集合A、B,如右圖所示：ApB=x|3<x<5,Cu(AUB)=xx<1,或x之9,【例2】設A=xWZ|x|W6,B=1,2,3),(1) Apl(BnC)；(2)AneJBjC).解：A=-6,42,1,0,123,4,5,6卜(1)又TBP|C=也,.AKBpC)=七;(2)又VBUC=1,2,3,4,5,6,得Ca(B

12、UC)-6,-5,-4,-3,-2,-1,0j.aPICaIbUc)=1£-5,Y,-3,-2,-1,01.【例3】已知集合A=x|-2<x<4,B=x|xEm,且aDb=A,求實數(shù)m的取值范圍,B=1,3,5,8,求 Cu(aU B) , Cu(AB),解：由A)B=A,可得A三B.在數(shù)軸上表示集合A與集合B,如右圖所示：由圖形可知，m-4.點評：研究不等式所表示的集合問題，常常由集合之間的關系，得到各端點之間的關系，特別要注意是否含端點的問題【例4】已知全集U=x|x<10,且x=N,A=2,4,5,8(CuA)n(CuB),(CjA)U(CuB),并比較它們的

13、關系.解：由AJB4123,4,5,8,則CU(AUB)=6,7,9.由Ap|B=5,8，則Cu(AHB)=123,4,6,7,9由CuA=1,3,6,7,9,CuB=2,4,6,7,9,則(CuA)n(CuB)=6,7,9,(CuA)U(CuB)=123,4,6,7,9.由計算結果可以知道，(CuA)|J(CuB)=Cu(AdB)，(CuA)p(CuB)=Cu(AB).另解：作出Venn圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結果點評：可用Venn圖研究(CuA)U(CuB)=Cu(A。B)與(CuA)H(CuB)=Cu(AjB),在理解的基礎記住此結論，有助于今后迅速解決一些集合問題第4講&

14、#167;1.1.3集合的基本運算(二)。學習目標：掌握集合、交集、并集、補集的有關性質，運行性質解決一些簡單的問題；掌握集合運算中的一些數(shù)學思想方法.。知識要點：1 .含兩個集合的Venn圖有四個區(qū)域，分別對應著這兩個集合運算的結果.我們需通過Venn圖理解和掌握各區(qū)域的集合運算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運算.通過圖形，我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質：Cu(APlB)=(CuA)J(CuB),Cu(AljB)=(CuA)Q(CuB).2 .集合元素個數(shù)公式：n(AUB)=n(A)+n(B)n(ARB).3 .在研究集合問題時，常常用到分類討論思想、數(shù)形結合思想等.也常由新的定義考查創(chuàng)新思

15、維.。例題精講：【例1】設集合A=<2a1,a2,B=19,a5,1a,若AP|B=9,求實數(shù)a的值.解：由于A=",2a1,a2,B=9,a5,1a,且aP|B=9,則有：當2a-1=9時，解得a=5,此時A=-4,9,25,B=9,0,4,不合題意，故舍去；當a2=9時，解得a=3或-3.a=3時，A=-4,5,9,B=9,2,2,不合題意,故舍去;a=3,A=-4,7,9,B=9,-8,4,合題意.所以，a=-3.【例2】設集合A=x|(x3)(xa)=0,aWR,B=x|(x4)(x1)=0,求AUB,AB.(教材PB組題2)解：B=1,4.當a=3時，A=3,則AUB

16、=1,3,4,aCB=0；當a=1時，A=1,3,則A|jB=1,3,4,Ap|B=1;當a=4時，A=3,4,則AUB=1,3,4,A。B=4；當a¥3且a01且a#4時，A=3,a,則AUB=1,3,4,a,AB=0.點評：集合A含有參數(shù)a,需要對參數(shù)a進行分情況討論.羅列參數(shù)a的各種情況時，需依據(jù)集合的性質和影響運算結果的可能而進行分析，不多不少是分類的原則例3設集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2T=0,awR,若aP|B=B,求實數(shù)a的值.解：先化簡集合A=-4,0.由AdB=B,則BEA,可知集合B可為0,或為0,或4,或-4,0.若B=0,則A

17、=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1；2(ii)右0=B,代入得a-1=0=a=1或a=-1,當a=1時，B=A,符合題意；當a=-1時，B=0JA,也符合題意.一一2一(iii)若4=B,代入得a8a+7=0=a=7或a=1,當a=1時，已經(jīng)討論，符合題意；當a=7時，B=12,4,不符合題意.綜上可得，a=1或a<-1.點評：此題考查分類討論的思想，以及集合間的關系的應用.通過深刻理解集合表示法的轉換，及集合之間的關系，可以把相關問題化歸為解方程的問題，這是數(shù)學中的化歸思想，是重要數(shù)學思想方法.解該題時，特別容易出現(xiàn)的錯誤是遺漏了A=B和B=0的情形，從而造

18、成錯誤.這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題.【例4】對集合A與B,若定義A_B=x|xwA,且x正B,當集合A=x|x<8,xN,集合B=x|x（x-2）（x-5）（x-6）=0時，有A-B=.（由教材P12補集定義“集合A相對于全集U的補集為CuA=x|xW|J，且xA”而拓展）解：根據(jù)題意可知，A=1,2,3,4,5,6,7,8,B=0,2,5,6由定義A_B=x|xWA,且x是B,則A-B=1,3,4,7,8.點評：運用新定義解題是學習能力的發(fā)展，也是一種創(chuàng)新思維的訓練，關鍵是理解定義的實質性內涵，這里新定義的含義是從A中排除B的元素.如果再給定全集U,則A-B也相當于AQ

19、（CUB）.第5講§1.2.1函數(shù)的概念。學習目標：通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.。知識要點：1 .設A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f:AfB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function）,記作y=f（x）,xWA.其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域（domain）,與x的值對應的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）

20、|xA叫值域（range）.2 .設a、b是兩個實數(shù)，且a<b,則：x|a<x<b=a,b叫閉區(qū)間；x|a<x<b=(a,b)叫開區(qū)間；x|a<x<b=a,b),x|a<x<b=(a,b,都叫半開半閉區(qū)間.符號：“8”讀“無窮大”；“8”讀“負無窮大”；“+8”讀“正無窮大”.則x|xAa=(a,)，x|x之a(chǎn)=a,*),x|x<b=(-0o,b),x|xWb=(-°o,b,R=(-=o,y).3 .決定函數(shù)的三個要素是定義域、值域和對應法則.當且僅當函數(shù)定義域、對應法則分別相同時，函數(shù)才是同一函數(shù).。例題精講：【例1】求下

21、列函數(shù)的定義域：（1）y=1；（2）y-xj3x2-173x-1-2.解：（1）由x+21#0,解得x01且x#3,所以原函數(shù)定義域為（-二，4）U（4,-i）U（-i,.二）.x-3-0（2）由4，解得x>3且x#9,3x-1-2=0所以原函數(shù)定義域為3,9）U（9,二）.【例2】求下列函數(shù)的定義域與值域:3x22(1) y=;y=-x+x+2.57x55解：(1)要使函數(shù)有意乂，則54x#0,解得x#.所以原函數(shù)的定義域是x|x#.443x2112x813(4x-5)23323333、y=-父=-X=一一十#一一+0=一,所以值域為y|y#-5-4x45-4x45-4x45-4x44

22、4.一一 9R,值域是（-,.4f （x）的表達式2129(2) y=x2+x+2=-(x-)2+.所以原函數(shù)的定義域是241-x.【例3】已知函數(shù)f()=x.求：(1)f(2)的值；(2)1x解：(1)由上x=2,解得x=，所以f(2)=.1x33(2)設上x=t,解得x=H,所以f(t)=H，即f(x)=I.1，x1，t1，t1，x點評：此題解法中突出了換元法的思想.這類問題的函數(shù)式?jīng)]有直接給出，稱為抽象函數(shù)的研究，常常需要結合換元法、特值代入、方程思想等2x【例4】已知函數(shù)f(x)=2,xR.1x-一1.一111(1)求f(x)+f()的值；計算：f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+

23、f(3)+f(g)+f(7).11、x2xx211x2.斛：(1)由f(x)+f()=2+x-=2+2=2=1.x1x.11x1x1x1 2x(2)原式=f(1)+(f(2)十f(；)十(f(3)十f(1)+(f(4)+f(：)=1+3=7點評：對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能使我們實施巧算.正確探索出前一問的結論，是解答后一問的關鍵第6講§1.2.2函數(shù)的表示法。學習目標：在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用；了解映射的概念。知識要點：1 .函數(shù)有三種表示方法：解析法(用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系，

24、優(yōu)點：簡明，給自變量可求函數(shù)值)；圖象法(用圖象表示兩個變量的對應關系，優(yōu)點：直觀形象，反應變化趨勢)；列表法(列出表格表示兩個變量之間的對應關系，優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值)2 .分段函數(shù)的表示法與意義(一個函數(shù)，不同范圍的x,對應法則不同).3 .一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:AtB為從集合A到集合B的一個映射(mapping).記作“f:AtB判別一個對應是否映射的關鍵：A中任意，B中唯一；對應法則f.。例題精講：定義域為【例1】如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將

25、其四個角各截去一個邊長為方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是解：盒子的高為x,長、寬為a-2x,所以體積為V=x(a2x)2.又由a2x>0,解得x<a.22所以，體積V以x為自變量的函數(shù)式是V=x(a2x)，定義域為x|0<x<；.所以，函數(shù)y Tx _2|的圖象如右圖所示3x 3, x 1I(2) y Jx 1| +|2x+4|=<x+5, -2 <x<1,-3x -3, x 2所以，函數(shù)yx -1|+| 2x+4|的圖象如右圖所示.點評：含有絕對值的函數(shù)式，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)

26、定義域的分段情況，選擇相應的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】函數(shù)f (x) = x的函數(shù)值表示不超過 x的最大整數(shù)，例如巧.5 = -4 ,2.1 =2,當xW(-2.5,3時，寫出f(x)的解析式，并作出函數(shù)的圖象=3, -2.5 <x<-2-2, -2 Ex<-1, -1 <x <0 解：f(x) =40, 0 <x <11, 1 <x <22, 2 <x <3J3, x =3點評：解題關鍵是理解符號函數(shù)圖象如右:m 的概念，抓住分段函數(shù)的對應函數(shù)式第7講§1.3.1函數(shù)的單調性。學習目標：通過已學過的函數(shù)特別是二次函

27、數(shù)，理解函數(shù)的單調性及其幾何意義；學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質.理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念，掌握增(減)函數(shù)的證明和判別 。知識要點：1 .增函數(shù)：設函數(shù) y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2,當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(increasing function ).仿照增函數(shù)的定義可 定義減函數(shù).2 .如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫f(x)的單調區(qū)間.在單調區(qū)間上， 增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的(如右圖1

28、),減函數(shù)的圖象從左向右是下降的(如右圖 2).由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數(shù)的單調區(qū)間及單調性3 .判斷單調性的步驟：設 Xi、x2 6給定區(qū)間，且 x 1<x 2 ；計算 。例題精講：【例1】試用函數(shù)單調性的定義判斷函數(shù)f(x)=& 在區(qū)間(0,x Tf(x 1 ) f(X2 )-判斷符號下結論1)上的單調性.解：任取 X| ,X2 6 (0,1),且 Xi <X2 .則 f (Xi) -f (X2)=2xi2x2Xi -1X2 - 12(X2 - Xi)(x1 -1)(x2 -1)由于0<x1<x2<1,x11<0,x

29、2-1<0,x2x1A0,故f(為)一f(x2)>0,即f(x)Af(x2).所以，函數(shù)f(x)=-2x-在(0,1)上是減函數(shù).x-12【例2】求一次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a<0)的單調區(qū)間及單調性.解：設任意x,x2WR,且Xi<x?.則_2222f(x1)-f(加)=(ax1bxc)一(ax2bx2c)=a(x1x2)-b(x1-x2)=(4x2)a(x1x2)-b.bb右a<0,當Xi<X2E時，有xi-x2<0,Xi+x2，2aab即f(Xi)<f(X2),所以f(x)在(3,上單調遞增.同理可得2a【例3】求下列函數(shù)的單調區(qū)間

30、：即 a(xi+x2)+b>0,從而 f(xi)-f(x2)<0,bf (x)在,收)上單調遞減 2a(1)y=|x-i|+|2x+4|；(2)y=-x2+2|x|氣.解：(1)由圖可知,(2) y =3x 3, x 1y x 1|+|2x+4|=4x+5, -.2 <x <1 ,其圖象如右.-3x -3, x ：；： -2函數(shù)在二,+©上是增函數(shù)，在(_g,二上是減函數(shù).,22x 2x 3, x 二0：_x2 +2|x|43 =< 2，其圖象如右.x - 2x 3, x ： 0由圖可知，函數(shù)在 (-匕1、0,1上是增函數(shù)，在1,0、1,士©上

31、是減函數(shù).點評：函數(shù)式中含有絕對值，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù) 可以由偶函數(shù)的又t稱性，先作y軸右側的圖象，并把 y軸右側的圖象對折到左側，得到研究單調性，關鍵在于正確作出函數(shù)圖象f(|x|)的圖象.由圖象【例4】已知f(x) =3xn ,指出f(x)的單調區(qū)間.x 23(x 2) -5-5解：- f (x)-=3+，x 2x 2-5 把g(x)=的圖象沿x軸方向向左平移 2個單位，再沿y軸向上平移 x得到f(x)的圖象，如圖所示.由圖象得f(x)在(-co, -2)單調遞增，在(-2, F)上單調遞增.點評：變形后結合平移知識，由平移變換得到一類分式函數(shù)的圖象.需

32、知f(x+a)+b平移變規(guī)律.第8講§1.3.1函數(shù)最大。學習目標：通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的最大(小) 圖像理解和研究函數(shù)的性質.能利用單調性求函數(shù)的最大(小)值 .(小)值值及其幾何意義；學會運用函數(shù)。知識要點：1 .定義最大值：設函數(shù) y = f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù) M滿足：對于任意的xCI,都有f(x)<M； 存在X06 I ,使得f (x0) = M.那么，稱M是函數(shù)y = f (x)的最大值(Maximum Value ).仿照最大值定義，可 以給出最小值(Minimum Value )的定義.22 一 b 2 4ac - b2 .配萬法

33、：研究二次函數(shù) y=ax +bx+c (a #0)的最大(小)值，先配萬成y=a(x+) +后,2a 4a22當a>0時，函數(shù)取最小值為 4acb ；當a<0時，函數(shù)取最大值 4ac b4a4a3 .單調法：一些函數(shù)的單調性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調性，再利用函數(shù)的單 調性求函數(shù)的最大值或最小值 .4 .圖象法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值。例題精講：【例1】求函數(shù)解：配方為y =一(x,1233-由(x +-) +->-, 2 . 324 446得 0 :二8 ./1、2 3(x )一24所以函數(shù)的最大值為 8.【例2】某商人

34、如果將進貨單價為8元的商品按每件出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提價 為多少元時，才能使每天所賺得的利潤最大？并求出最大利潤 解：設他將售出價定為 x元，則提高了 (x 10)元，10元售出時，每天可售出100件.現(xiàn)在他采用提高售1元，其銷售量就要減少 10件，問他將售出價定減少了 10J(x10)件，所賺得的利潤為y=(x-8)100-10_(x-10).即y=-10x2+280x1600=T0(x14)2+360.當x=14時，ymax=360.所以，他將售出價定為 14元時，才能使每天所賺得的利潤最大，最大利潤為360【例3】求函數(shù)y =2x +Jx _1的最小值.解：此

35、函數(shù)的定義域為依)，且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，所以當x=1時，ymin =2+了7 =2,函數(shù)的最小值為 2.點評：形如y =ax +b ± Jcx +d的函數(shù)最大值或最小值,可以用單調性法研究， 也可以用換元法研究.元.在t豈0時是增函數(shù)，當=t ,則 t 20 , x=t2 +1 ,所以 y =2t2 +t +2=2(t +-)24t=0時，ymin =2,故函數(shù)的最小值為 2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值：25 3(1) y =32x -x , x ,-；2 2解：(1)二次函數(shù) y =3-2x -x2的對稱軸為畫出函數(shù)的圖象，由圖可知,x = 1 時,y =| x -

36、1| -| x -2 |.x =,即2ax - -1.ymax=4 ； 當9ymin = 一4所以函數(shù)y=3_2x_x2,5 3x可一，的最大值為2(x2)94,最小值為一4 y =|x+1| -| x-2 |= 一1 (-1 <x <2).(x<-1)作出函數(shù)的圖象，由圖可知，yw與,3.所以函數(shù)的最大值為 3,最小彳t為-3.點評：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值，常根據(jù)閉區(qū)間與對稱軸的關系，結合圖象進行分析.分段函數(shù)的圖象注意分段作出對值的函數(shù)，常分零點討論去絕對值，轉化為分段函數(shù)進行研究第9講§1.3.2函數(shù)的奇偶性。學習目標：結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含

37、義；學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質.理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義，能熟練判別函數(shù)的奇偶性。知識要點：1 .定義：一般地，對于函數(shù)f(x)定義域內的彳J意一個x,都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫偶函數(shù)(evenfunction).如果對于函數(shù)定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)叫奇函數(shù)(oddfunction).2 .具有奇偶性的函數(shù)其定義域關于原點對稱，奇函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，偶函數(shù)圖象關于y軸軸對稱.3 .判別方法：先考察定義域是否關于原點對稱，再用比較法、計算和差、比商法等判別f(-x)與f(x)的關系.。例題精講：【例1】判別下列函數(shù)的

38、奇偶性：3123(1)f(x)=x；(2)f(x)3x-1|+|x+1|;(3)f(x)=x-x.x解：(1)原函數(shù)定義域為x|x¥0,對于定義域的每一個x,都有f(r)=(-x)3-，=-(x3-1)=-f(x),所以為奇函數(shù).-xx(2)原函數(shù)定義域為R,對于定義域的每一個x,都有f(一x)=|-x-1|x,1|x|-1|x|財妍以為偶函數(shù).(3)由于f(x)=x2+x3#±f(x),所以原函數(shù)為非奇非偶函數(shù).1【例2】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)g(x)=，求f(x)、g(x).x1解：:f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，f(x)=f(x),g

39、(-x)=g(x).f (x) -g(x)=-則x 1，、，、1f ( -X)- g ( -X)=-x 1f (x) _g(x)=-，即x 11_f (x) -g(x)x 1兩式相減，解得f(x)=2;兩式相加，解得g(x)=21.x-1x-1【例3】已知f(x)是偶函數(shù)，x±0時，f(x)=2x2+4x,求x<0時f(x)的解析式.22解：作出函數(shù)y=-2x+4x=2(x1)+2,x之0的圖象，其頂點為f(x)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱.作出x<0時的圖象，其頂點為(,2),且與右側形狀一致，x<0時，f(x)=-2(x+1)2+2=-2x24x.2點評：此題中

40、的函數(shù)實質就是y=-2x+4|x|.注意兩拋物線形狀一致，類問題，我們也可以直接由函數(shù)奇偶性的定義來求，過程如下【另解】當x<0時，x>0,又由于f(x)是偶函數(shù)，則f(x)=f(x),所以，當x<0時，f(x)=f(x)=2(x)2+4(x)=-2x24x.【例4】設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(g,0)上是減函數(shù)，實數(shù)a滿足不等式22f(3a+a-3)<f(3a-2a),求實數(shù)a的取值范圍.解：:f(x)在區(qū)間(g,0)上是減函數(shù)，f(x)的圖象在y軸左側遞減.又f(x)是奇函數(shù)，f(x)的圖象關于原點中心對稱，則在y軸右側同樣遞減.又f(-0)=_f

41、(0),解得f(0)=0,所以f(x)的圖象在R上遞減.一一2一一一2一f(3a+a3)<f(3a2a),223a+a-3>3a-2a,解得a>1.點評：定義在R上的奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點.由圖象對稱性可以得到，奇函數(shù)在關于原點對稱區(qū)間上單調性一致，偶函數(shù)在關于原點又t稱區(qū)間上的單調性相反集合與函數(shù)基礎測試、選擇題(共12小題，每題5分，四個選項中只有一個符合要求上是()B.遞增函數(shù)D.選遞增再遞減.函數(shù)y=x26x+10在區(qū)間(2,4)A.遞減函數(shù)C.先遞減再遞增2.方程組x y =2xy=0的解構成的集合是A. (1,1)B. 1,1C. (1, 1)3.已知集合A=a

42、, b, c,下列可以作為集合 A的子集的是A. aB. a, cC. a, eA. - =0B. 一 0C.：二=06、設集合A=x|x參加自由泳的運動員()D. 1()D. a, b, c, d( )( )D. - 0, B= x|x參加蛙泳的運動員,對于“既參加自由泳又參加蛙泳的運動員”用集合運算表示為A.A ABB.A = BC.A U B()D.A B7.集合 A=x X=2k,kWZ ,B=x=2k+1,kwZ ,C= xx = 4k + 1,kw Z 又a w A,b w B,則有()A.(a+b)wAB.(a+b)ebC.(a+b)wCD.(a+b)wA、B、C任一個8,函數(shù)f(x)=x2+2(a1)x+2在(一8,4)上是增函數(shù)