不可思議的幾何──非歐幾何

1、不可思議的幾何非歐幾何非歐幾何的來源非歐幾何學是一門大的數(shù)學分支，一般來講，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。歐幾里得的幾何原本提出了五條公設，長期以來，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見。有些數(shù)學家還注意到歐幾里得在幾何原本一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在幾何原本中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。因此，一些數(shù)學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為

2、定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論。由于證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設到底能不能證明？到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然后與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認為如果這個系統(tǒng)為基礎的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設。我們知道，這其實就是數(shù)學中的反證法。但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但

3、在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：第一，第五公設不能被證明。第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學的同時，匈牙利數(shù)學家鮑耶?雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。

4、他的父親數(shù)學家鮑耶？法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶?雅諾什堅持為發(fā)展新的幾何學而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結果。那個時代被譽為“數(shù)學王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。羅式幾何羅式幾何學的公理系統(tǒng)和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本

5、相同。由于平行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。我們知道，羅式幾何除了一個平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明：歐式幾何同一直線的垂線和斜線相交。垂直于同一直線的兩條直線或向平行存在相似的多邊形。過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。羅式幾何同一直線的垂線和斜線不一定相交。垂直于同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。不存在相似的多邊形。過不在

6、同一直線上的三點，不一定能做一個圓。從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學家們經(jīng)過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何是正確的。1868年，意大利數(shù)學家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。人們既然承認歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了。直到這時，長期

7、無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創(chuàng)性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽為“幾何學中的哥白尼”。黎曼幾何歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個問題。黎曼幾何是德國數(shù)學家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文論幾何學作為基礎的假設中明確的提出另一種幾何學的存在，開創(chuàng)了幾何學的

8、一片新的廣闊領域。黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當“改進”的球面。近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。此外，黎曼幾何在數(shù)學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數(shù)論等方面。三種幾何的關系歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體