同濟版高等數(shù)學(xué) 11-1 課件

1、一、概念與性質(zhì)一、概念與性質(zhì)oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精確值精確值第一節(jié)第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分近似近似求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量對弧長的曲線積分的定義對弧長的曲線積分的定義,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘積作乘積點點個小段上任意取定的一個小段上任

2、意取定的一為第為第又又個小段的長度為個小段的長度為設(shè)第設(shè)第個小段個小段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè)oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在時時長度的最大值長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件

3、的質(zhì)量.),( LdsyxM 存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲曲線線積積分分記記為為上上對對弧弧長長的的在在閉閉曲曲線線函函數(shù)數(shù)對弧長的曲線積分的性質(zhì)對弧

4、長的曲線積分的性質(zhì) .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf.),(),(),()2(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL .,是常數(shù)是常數(shù) Lds.1. 1 計計算算曲曲線線積積分分例例 Lniisds10lim1.解解. l .),(),(),(),()3( LLdsyxgdsyxfyxgyxfL則則上上有有設(shè)設(shè)在在.| ),(|),( LLdsyxfdsyxf特特別別地地，有有二、對弧長曲線積分的計算二、對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttt

5、tytxLLyxfL則則上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè)注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限.,),(. 2而是相互有關(guān)的而是相互有關(guān)的不彼此獨立不彼此獨立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyx

6、fdcL )(dc 例例2).(,sin,cos:,象限象限第第圓圓 taytaxLxydsIL解解dttatatataI2220)cos()sin(sincos dttta 203cossin 23a 0 I ,sin,cos:,taytaxLxydsIL圓圓例例3.)1 , 1()0 , 0(,:,2一段一段到到從從其中其中求求BOxyLdsyIL 解解dxxxI21041 )155(121 例例4)20(.,sin,cos:,)(222 的一段的一段其中其中求求kzayaxdszyxI解解.)43(3222222kaka dkaka22222)( 20I例例5 . 0,22222zyxa

7、zyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量軸及軸及曲線弧對曲線弧對yx.,22 LyLxdsxIdsyI 曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)., LLLLdsdsyydsdsxx 設(shè)設(shè)螺螺旋旋形形彈彈簧簧一一圈圈的的方方程程為為taxcos , ,taysin , , ktz , ,其其中中 20t, ,它它的的線線密密度度 222),(zyxzyx , ,求求: :它它關(guān)關(guān)于于Z軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動ZI慣慣量量. . 例例7解

8、解 LzdszyxyxI)(22222 20222222)(dtkatkaa)43(32222222 kakaa 小結(jié)小結(jié)1 1、對弧長曲線積分的概念、對弧長曲線積分的概念2 2、對弧長曲線積分的計算、對弧長曲線積分的計算3 3、對弧長曲線積分的應(yīng)用、對弧長曲線積分的應(yīng)用習(xí)題習(xí)題11-1 1， 3（2）（）（4）（）（5）（）（7）, 5 一一、 填填空空題題: :1 1、 已已知知曲曲線線形形構(gòu)構(gòu)件件L的的線線密密度度為為),(yx , ,則則L的的質(zhì)質(zhì)量量M= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 Lds= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

9、 _ _ _ _ _；3 3、 對對_ _ _ _ _ _ _ _ _的的曲曲線線積積分分與與曲曲線線的的方方向向無無關(guān)關(guān)；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中中 要要求求 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 計算下列求弧長的曲線積分計算下列求弧長的曲線積分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L為圓周為圓周222ayx , ,直線直線xy 及及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界； 練習(xí)題練習(xí)題 Ldsyx),( 的弧長的弧長L弧長弧長 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L為折線為折線A

10、BCD, ,這里這里DCBA, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L為曲線為曲線 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計算、計算 Ldsy, ,其中其中L為雙紐線為雙紐線 )0()()(222222 ayxayx . .三、設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為三、設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的線密度它的線密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它關(guān)于、它關(guān)于Z軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動ZI慣慣量量； 2 2、它的重心、它的重心 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的弧長的弧長