第5講-矩陣的運(yùn)算

1、4 4、矩陣的轉(zhuǎn)置、矩陣的轉(zhuǎn)置5 5、方陣的行列式、方陣的行列式1 1、矩陣的加法、矩陣的加法, ,減法減法2 2、矩陣的數(shù)乘、矩陣的數(shù)乘三、三、 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算3 3、矩陣與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘6 6、方陣的伴隨矩陣、方陣的伴隨矩陣第五講第五講 矩陣的定義及運(yùn)算矩陣的定義及運(yùn)算一、矩陣的定義一、矩陣的定義7 7、方陣的逆矩陣、方陣的逆矩陣二、幾種特殊的矩陣二、幾種特殊的矩陣 (1) ABBA (3) AB=OA=O或B=O / (2) AC=BCA=B / 1 1、矩陣乘法性質(zhì)除下列幾條外，其余和實(shí)數(shù)的乘法矩陣乘法性質(zhì)除下列幾條外，其余和實(shí)數(shù)的乘法性質(zhì)相同性質(zhì)相同 (4) A2=O

2、A=O / 乘法一般不滿足交換律乘法一般不滿足交換律A左乘左乘B，右乘，右乘乘法一般不滿足消去律乘法一般不滿足消去律相同的運(yùn)算律P33CO 例:三、矩陣與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘10 0010 001E = 2 2、單位矩陣性質(zhì)、單位矩陣性質(zhì)ImAm n= =Am nAm nEn= =Am n 單位陣與任意矩陣相乘單位陣與任意矩陣相乘( (只要有意義只要有意義) )結(jié)果不變結(jié)果不變類(lèi)似于數(shù)類(lèi)似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用。在數(shù)的乘法中的作用。EA=AE=A注意E階數(shù)3、方陣的冪：、方陣的冪：對(duì)于對(duì)于方陣方陣A及自然數(shù)及自然數(shù)k 記記 Ak=A A A (k個(gè)個(gè)A相乘相乘)只有方陣只有方陣才能才能

3、自乘自乘規(guī)定規(guī)定0()n nnAE=性質(zhì)性質(zhì)：(1) ArAs= =Ar+ +s(2) (Ar)s= =Ars22222()()2 ()()kkkABA BABAABBABABAB= =+=+=+=+=思考：思考：下列等式在什么時(shí)候成立？下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立可交換時(shí)成立AB=BA4、方陣的多項(xiàng)式：、方陣的多項(xiàng)式：設(shè)為x的m次多項(xiàng)式，則稱(chēng)10( )mmf xa xa xa=+10( )mmf Aa Aa Aa E=+( )f A為方陣A的m次多項(xiàng)式。例：已知f(x)=x2x2，A= ，求f(A) 3 1 2 1 1 0 3 1 1 f(A)= =22AAE 解解： 3 1

4、2 1 1 0 3 1 1 2 3 1 2 1 1 0 3 1 1 0 2 0 0 0 2 2 0 0 14 2 5 0 0 1 13 3 5= = 3 1 2 1 1 0 3 1 1 0 2 0 0 0 2 2 0 0 11 -1 3 1 1 1 3 8 2 4= =已知f(x)=x2x2，A= ，求f(A) 3 1 2 1 1 0 3 1 1 f(A) = =22AAE = =例：已知f(A)=( )5AAE=+2AE(A) ( )( ) ( )?f Af AA=4、方陣的多項(xiàng)式：、方陣的多項(xiàng)式：性質(zhì)性質(zhì)：(2) (2) A的幾個(gè)多項(xiàng)式可像數(shù)x x的多項(xiàng)式一樣相乘或分解因式 (A) ( )

5、( ) ( )f Af AA=（1)1)22AAE(A 2E)(A E)=+(A 3E)(A 2E)+=26AAE若A A為n n階方陣，則也為n n階方陣( )f A 設(shè)為x的m次多項(xiàng)式，則稱(chēng)10( )mmf xa xa xa=+10( )mmf Aa Aa Aa E=+為方陣A的m次多項(xiàng)式。四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置P36P36定義：定義：把矩陣把矩陣 A A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做叫做 A A 的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作，記作 A AT T . .例例: :122,458A= = 186 ,B = =1425 ;28TA= =18.6TB=

6、 =第第1 1行變?yōu)榈谛凶優(yōu)榈? 1列，第列，第2 2行變行變?yōu)榈跒榈? 2列列, ,第第n n行變?yōu)榈谛凶優(yōu)榈趎 n列列(4) (AB)T = = BTAT (A1A2A3.An)T =(An)T(An-1)T.(A2)T(A1)T1 1、轉(zhuǎn)置的運(yùn)算律、轉(zhuǎn)置的運(yùn)算律P36P36(1) (AT)T= = A (2) (A+ +B)T= = AT+ +BT (3) (kA)T= = kAT 注意矩陣的次序例例 已知已知 171201,423, .132201TABAB =求求解法解法1 11712014231322010143 ,171310AB = = = =017()1413 .3 10TA

7、B = = 解法解法2 2()TTTABB A= =14221017720031413 .13112310=例例 已知已知 171201,423, .132201TABAB = = = 求求2 2、A A是對(duì)稱(chēng)陣是對(duì)稱(chēng)陣.A為對(duì)稱(chēng)陣為對(duì)稱(chēng)陣?yán)缋?= =6010861612說(shuō)明：說(shuō)明：AT = = A對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等 例例 設(shè)設(shè)A,BA,B為對(duì)稱(chēng)陣，判斷下列矩陣是否為對(duì)稱(chēng)陣？為對(duì)稱(chēng)陣，判斷下列矩陣是否為對(duì)稱(chēng)陣？ A+B，A-B ，AB, kA例例2 2 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21= =, 1= =XXT.,2,E

8、HHHXXEHnETT= = = =且且陣陣是對(duì)稱(chēng)矩是對(duì)稱(chēng)矩證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為證明證明 TTTXXEH2 = =2TTTEXX=2()TTTEXX=.是對(duì)稱(chēng)矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣HTHH2(E 2XX )TTEXX=2TEXX=.E= =2TTEXX=2TEXXH=(E 2XX )TE=2(E 2XX )TTXX2TXX4TTXX XX+4TEXX=4TXX+4 ()TTX X X X4TXX=五、方陣的行列式五、方陣的行列式定義：定義：由由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣方陣 A 的行列式的行列式，記作，記作| |A| |或或detA. .運(yùn)算

9、律運(yùn)算律P38(1) ;TAA= =(2);ABAB=例例1 1 A=1 23 4 |A|=detA=1 23 4= -2n為方陣的階數(shù)（3） | l lA|= =l ln |A|determinant 1、|AB| = =|A|B|k個(gè)個(gè)A= |A| kABCDABCD=kAAAA= 注：注： |AB| |BA| |AB| =|A|B| |BA| =|B|A|=方陣積的行列式=行列式的積 盡管盡管AB BA，但但= AAAk個(gè)個(gè)A,B求行列式有意義(5次作業(yè)T3)運(yùn)算律運(yùn)算律P382、 | l lA|= =l ln |A|n為方陣的階數(shù)例例1 1=333231232221131211aaaa

10、aaaaaA則=333231232221131211aaaaaaaaaAllllllllll| l lA|=333231232221131211aaaaaaaaa=l=l3333231232221131211aaaaaaaaalllllllll= =l l3 |A|例例2 2設(shè)矩陣設(shè)矩陣A A為八階矩陣為八階矩陣l8 |A|lA| =例例3 3 設(shè)A=(aij)為三階矩陣，若已知|A|=2,則解解：|A|A|=(2)3|A|=(2)3(2)=16|2A|2()TA=()A=()A A = =例例4 4 設(shè)設(shè) A=3 25 4 7 -4 -5 32 13 4B=C=求求 (1) |ATB2C|

11、解解(1) | ATB2C|=| AT | . | B2 |. | C | =| A | . | B | 2 . | C | =3 25 4 7 -4 -5 32 13 42=212 5=10=|3 BBT | 2= (32| BBT |)2= (32 | B |.|BT |)2=81(2) | (3BBT)2|(2) | (3BBT)2|111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa= =置，所得矩陣稱(chēng)為置，所得矩陣稱(chēng)為A A的的伴隨矩陣伴隨矩陣， 將將A A中所有元素中所有元素 ija都改為它的代數(shù)余子式都改為它的代數(shù)余子式 ijA后，再轉(zhuǎn)后，再轉(zhuǎn)記做記做*A，即即*TA =

12、= 11A12A.1nA21A22A.2nA.1nA2nA.nnA = = 11121.nAAA21222.nAAA.12.nnnnAAA*A定理：定理：設(shè)設(shè)abAcd= =，則，則A的伴隨矩陣為的伴隨矩陣為*A = =11122122TAAAAT = = dc b adbca = = 伴隨矩陣的伴隨矩陣的基本性質(zhì)：基本性質(zhì)：*AAA AA E= = =例：例：設(shè)設(shè)1243A= =二階伴隨：二階伴隨：主交換，副變號(hào)主交換，副變號(hào)*A = =3241 可交換P39練習(xí)練習(xí)，證明，證明 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A的伴隨矩陣為的伴隨矩陣為*A*1|A | |A|n = =七、七、n階階方陣的逆：方陣的逆：

13、1A1 1、逆矩陣的定義、逆矩陣的定義2 2、矩陣可逆的充要條件、矩陣可逆的充要條件4 4、逆矩陣的運(yùn)算律、逆矩陣的運(yùn)算律5 5、解矩陣方程、解矩陣方程3 3、若矩陣、若矩陣A A可逆，求逆可逆，求逆1 1、逆矩陣的定義、逆矩陣的定義 對(duì)于對(duì)于n階階方陣方陣A，若，若ABBAE=對(duì)于對(duì)于數(shù)數(shù)a,a,若若1=abba稱(chēng)稱(chēng) 互為倒數(shù)互為倒數(shù), a b稱(chēng)稱(chēng)A,B互為逆矩陣互為逆矩陣P39 P39 定義定義7 7 =B1A 1=abABBAE=A A 可逆可逆, ,且且1=AB注：注： （1）A, ,B互為逆矩陣，同階方陣 例例1,E1,E,21212121,1111 = = = =BA,EBAAB=

14、 = =.的一個(gè)逆矩陣的一個(gè)逆矩陣是是AB若 則C也是A的一個(gè)逆矩陣，B與C?,ACCAE=例例2 21 1、逆矩陣的定義、逆矩陣的定義 （3 3）若）若A可逆，即：可逆，即： 存在，則存在，則1A11AAA AE=（4 4） 不一定存在，即：不一定存在，即：A可能不可逆可能不可逆1A（2 2）若）若A可逆，逆矩陣必可逆，逆矩陣必唯一唯一，記作，記作 1AABBAE=A A 可逆可逆, ,且且1=AB注：注： （1）A, ,B互為逆矩陣，同階方陣可交換 不能不能記作1A2 2、矩陣可逆的充要條件、矩陣可逆的充要條件 P39P39定理定理1 1、2 2P40推論A 可逆可逆0AA 非奇異非奇異A 不可逆不可逆0A=A 奇異奇異3 3、若矩陣、若矩陣A A可逆，求可逆，求1A,11 = =AAA（2 2）若）若 存在，則存在，則 1A（3 3）若）若 存在，初等變換方法存在，初等變換方法1A 是數(shù)，是數(shù)