2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)綜合質(zhì)量評估(含解析)新人教A版選修1-1

1、綜合質(zhì)量評估(120 分鐘 150 分)、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的)1.命題“若B,則 A=B與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是2p:? x R,x +10,貝 y p 為()2R, +10)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x 的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程 所以雙曲線-y2=1 的半焦距 c=2,又虛半軸長 b=1 且 a0,A.0B.2C.3D.4【解析】 選 B.原命題為假，故其逆否命題為假；其逆命題為真*,故其否命題為真*；故共有 2 個真命題2.若在區(qū)間(a,b)內(nèi),f (x)0

2、,且 f(a) 0,則在(a,b)內(nèi)有A.f(x)0B.f(x)02B.? xoR, +1W0C.? Xo【解(f(x)f(a)2所以a= -1=所以雙曲線的漸近線方程是y= 0),因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y=-4,PA 所以-丄=-4,所以 p=8,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2=16y.5. 設(shè)點(diǎn) P(x,y),則“ x=2 且 y=-1 ”是“點(diǎn) P 在直線 l :x+y-1=0 上”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件A【解析】 選 A.x=2 且 y=-1 滿足方程 x+y-仁0,故x=2 且 y=-1 可推得“點(diǎn) P 在直線 I :x+y-

3、1=0 上”；但方程 x+y-仁0 有無數(shù)多個解，故點(diǎn) P 在直線 l :x+y-1=0 上”不能推得“x=2 且 y=-1 ” 故“ x=2 且y=-1 ”是“點(diǎn) P 在直線 I :x+y-仁0 上”的充分不必要條件.16. 設(shè)函數(shù) f(x)= -lnx(x0),貝 U y=f(x) ()A.y= x/?C.y= x【解析】選 D.因?yàn)锽.y= fxA/3D.y= x31)A.在區(qū)間，(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)內(nèi)均無零點(diǎn)4D.在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點(diǎn)x-3【解析】選 C.由題意得 f (x)= Y X ,令 f (x)0,得 x3;令 f (x)0,得 0 x3;f (x)=0 得

4、 x=3,故知函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3,+ g)上為增函數(shù)，在點(diǎn)12目丄x=3 處有極小值 1-1 n3O,f(e)= Y-10.故選 C.2X7.已知命題 p: “ ? x 1,2,x2-a 0” ,命題 q: “？xo R,+2axo+2-a=O ” .若命題“(p)Aq”是真命題,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()A.a -2 或 a=1B.a 2 或 K a1D.-2wa 0,解得 a 1 或 aw-2.( p)Aq 為真命題,即 p 真且 q 真，即 a1.2 28.設(shè)橢圓+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F2,焦距為一個交點(diǎn)為 M,若/ MFF2=2/

5、 MFR,則橢圓離心率為()A/5- 1品 _ A. B.2- C. 丄,13,13【解析】 選 D.如圖所示,直線 y=(x+c)的斜率 k=,所以傾斜角a=60因?yàn)? MFF2=2/ MHR,所以/ MFF1=30 ,所以/ F1MF=90C.在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)2c,直線 y= (x+c)與橢圓的5MF2| |MF2=m,=n,6所以橢圓的離心率為e=；=J.則有m + n = 2a,m2+nz|F迅|Um = /3n,C解得-1x2V2；T+ =1(ab0)的左、右焦點(diǎn),P 為直線 xa 上一點(diǎn),F2PF1是底角為30的等腰三角形,則橢圓的離心率 e 為()1234

6、A. 2B【解析】 選 C.因?yàn)?F2PF1是底角為 30 的等腰三角形，因?yàn)?P 為直線 x=a 上一點(diǎn),【補(bǔ)償訓(xùn)練】 設(shè) Fl,F2是橢圓所以 I71f(Xi)-f(x2)9.已知 f(x)=alnx+x2(a0),若對任意兩個不等的正實(shí)數(shù)xi,x2都有 2恒成立，則 a 的取值范圍是()A.(-1,+ 8)B.(2,+ 8)C.1,+ 8)D.(1,+ 8)1【解析】 選 C.因?yàn)?f(x)=alnx+ - x2(a0),) -f(x2)a對任意兩個不等的正實(shí)數(shù) xi,x2都有入 2 恒成立，所以 f (x)=人+x 2(x0)恒成立，所以 a 2x-x2恒成立,2 2令 g(x)=2x

7、-x=-(x-1)+1,則 ag(x)max,因?yàn)?g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1 為開口方向向下，對稱軸為 x=1 的拋物線，所以當(dāng) x=1 時(shí),g(x)=2x-x2取得最大值 g(1)=1,所以 a 1.即 a 的取值范圍是 1,+8).X2V210.設(shè) 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1,F2 ”JV=1(a0,b0)的焦點(diǎn),若在雙曲線上存在點(diǎn)F1PH=60 ,|0P|= 1 a,則該雙曲線的漸近線方程為()尺BA x y=0【解析】 選 D.如圖所示，因?yàn)?0 是 F1F2的中點(diǎn)，P,滿足/0 C.x -y=0/oDA_x y=08x y=0.11.（2015 全國卷I）設(shè)函數(shù) f（x）=

8、ex（2x-1）-ax+a,其中 a1,若存在唯一的整數(shù)xo,使得f（x0）g(0)_-1,且 g(-1)_-3e1-a-a,解得 a0.2._2Emin=2A.有最小值-eC.有最大值 e1011b=-1,又 g(x)=e lx2+2,所以 g (x)=ex-2x,g ” (x)=ex-2,當(dāng) x 1,2時(shí),g “(x) g(1)=e-20,所以 g (x)在1,2上單調(diào)遞增，所以 g (x) e-20,所以 g(x)在1,2上單調(diào)遞增，根據(jù)不等式恒成立的S(x)min = + 1#-2 g(x)max= g(2) = e2- 2fm2- 2 m2以14.(2017 廣安高二檢測)橢圓+門=

9、1(ab0)的一個焦點(diǎn)為 F,該橢圓上有OAF 是等邊三角形(0 為坐標(biāo)原點(diǎn))，則橢圓的離心率為r/嚴(yán)丄/ . 22【解析】橢圓八山=1(ab0)焦點(diǎn)在x 軸上,c2v2bA. 4a2- c2將 xP 代入橢圓方程得=1,解得 y=意義可得1TIm2所以mic -e 或 e mfC e+1,所以 m 的最大值為 e+1,無最小值.二、填空題(本大題共 4 個小題，每小題 5 分，共 20 分.把答案填在題中的橫線上13.若 f(x)在(a,b)內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，貝“f (x)0 ”是“f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減”的條件.【解析】對于導(dǎo)則 f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減，反過來，函數(shù) f(x)

10、(x)0,如 f(x)=-x3在 R 上是單調(diào)遞減的，但 f (x)c0.在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減，不定恒有 f 答案：充分不必要點(diǎn) A,滿足1213因?yàn)?OAF 為等邊三角形，則 tan / AOF=,bj4a2- c2c所以 右 =x,化為:e4-8e2+4=0,0e1,所以 e2=4-2 ，由 0e1,解得 e=l -1.3答案八、- -115. 用邊長為 48cm 的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的 邊長為_ .【解析】設(shè)截去的小正方形的邊長為xcm,鐵盒的容積為 Ven3,由題

11、意，得 V=x(48-2x)2(0X24).V =12(24-x)(8-x), 令 V =0,則在(0,24)內(nèi)有 x=8,故當(dāng) x=8 時(shí),V 有最大值.答案：816. 下列語句：1“ x2=1 ”是“ x=1 ”的充分不必要條件；22“ x=2 時(shí),x -3x+2=0 ”的否命題為真命題；+Xo+1O” 的否定是：“？x R,均有 x2+x+10”命題“若 x=y,則 sinx=siny ”的逆否命題為真命題.其中說法錯誤的是_【解析】因?yàn)楫?dāng) x=1 成立時(shí)有 x2=1 成立；當(dāng) x2=1 時(shí),不一定有 x=1,命題“？xo R,使得14所以“ x2=1 ”是“ x=1 ”的必要不充分條件

12、，故錯誤；15x=2 時(shí),x2-3X+2=0”的否命題為“x豐2 時(shí),有X2-3X+2豐0”，而 x=1 時(shí),x2-3x+2=0,故錯誤；命題“？xo R,使得+XQ+1 0” ,故錯誤；命題若 x=y,則 sinx=siny ”的逆否命題為 “若 sinx豐siny,則XMy”是真命題,故正確.答案:【誤區(qū)警示】“否命題”與“命題的否定”如果原命題是“若 p 則 q”，那么這個命題的否命題是“若非 p,則非 q”，而這個命題的否定 是“若p 則非 q” .可見,否命題既否定條件又否定結(jié)論，而命題的否定只否定結(jié)論.一個命題與它的否定形式是完全對立的.兩者之間有且只有一個成立.“都是”的否定是“

13、不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一個”的否定是“一個都沒有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某個”，“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，“至多有n 個”的否定是“至少有 n+1 個”，“任意兩個”的否定是“某兩個”.“p 且 q”的形式，其否定應(yīng)該為“非 p 或非 q”，“ p 或 q”的形式，其否定應(yīng)該為“非 p 且非 q” .三、解答題(本大題共 6 個小題，共 70 分,解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步A .驟)2 2XV_:_j17.(10 分)命題 p:方程門+ + J=i,(k R)表示雙曲線，命題 q:函數(shù) y=log2(kx2+kx+1

14、) 的定義域?yàn)镽,若命題 pVq 為真命題,pAq 為假命題，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍.【解題指南】首先分別求出命題 p,q 為真命題時(shí)，實(shí)數(shù) k 的取值范圍，然后由真值表并結(jié)合已 知條件命題 p,q 的關(guān)系可得，命題 p,q 為一真一假，最后根據(jù)補(bǔ)集的思想可得出實(shí)數(shù)k 的取值范圍./PO【解析】命題 p:由(k-3)(k+3)0,得-3k0 對 x R 恒成立.(1)當(dāng) k=0 時(shí),10,所以 k=0 符合題意.r ko,0 k 4yK*所以 q:0wk0f解得16又因?yàn)?pVq 為真命題,pAq 為假命題，J3 k3, fk3.所以（k4或（0k4,所以-3k0 或 3Wk4.18.(12

15、分)如圖，已知中心在原點(diǎn) 0,焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 C 的離心率為 丄，點(diǎn) A,B 分別是橢6/5圓 C 的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn) 0 到直線 AB 的距離為門.(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程已知點(diǎn) E(3,0),設(shè)點(diǎn) P,Q 是橢圓 C 上的兩個動點(diǎn)滿足 EP 丄 EQ,求 卩的取值范圍【解析】由離心率 e=；=,b1得=2,所以 a=2b.因?yàn)樵c(diǎn) 0 到直線 AB 的距離為 R直線 AB 的方程為 bx-ay-ab=0,嚴(yán)6岳所以J.將代入，得 b2=9,所以 a2=36.22X V則橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為、+ 9 =1.因?yàn)?EP 丄 EQ,所以 I Q=0,17所以riLQ)=i-：p

16、-2 X設(shè) P(x,y),則 y2=9- J ,r T T所以 IT 加=lP=(X-3)2+y2=x2-6x+9+9- “= l(x-4)2+6.因?yàn)?6wxw6,所以 6w.x-4)2+6W81.T T故 1卩卩的取值范圍為6,81.19.(12 分)已知函數(shù) f(x)=2lnx-x2+ax(a R).(1)當(dāng) a=2 時(shí),求 f(x)的圖象在 x=1 處的切線方程.孑若函數(shù) g(x)=f(x)-ax+m 在上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.【解析】 當(dāng) a=2 時(shí),f(x)=2lnx-x以2 /丿f (x)= -2x+2,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),切線的斜率 k=f (1)=2,2小+2

17、x,則切線方程為 y-1=2(x-1),即 y=2x-1.2(2)g(x)=2l nx-x+m,2- 2(x + l)(x - 1)則 g (x)= -2x=18所以當(dāng) g (x)=0 時(shí),x=1.1當(dāng)x0;當(dāng) 1xe 時(shí),g (x)0.故 g(x)在 x=1 處取得極大值 g(1)=m-1.(3 -又 g =m-2_L,fi12E丿27g(e)=m+2-e ,g(e)-g=4-e + 0,fl則 g(e)g-ee所以 g(x)在.上的最小值是 g(e).-eeg(x)在 J 上有兩個零點(diǎn)的條件是15 2+C，卜+占 所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍是J.20.(12分)(2017 廣州高二檢測)某食

18、品廠進(jìn)行蘑菇的深加工，每千克蘑菇的成本 20 元,并 且每千克蘑菇的加工費(fèi)為 t 元(t 為常數(shù)，且 2 t 5),設(shè)該食品廠每千克蘑菇的出廠價(jià)為x元(25 x 0,“解得19銷售量為 100 千克.(每日利潤=日銷售量X(每千克出廠價(jià)-成本價(jià)-加工費(fèi)).求該工廠的每日利潤y 元與每千克蘑菇的出廠價(jià)x 元的函數(shù)關(guān)系式【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+ g ),f (x)=x-人=(2)若 t=5,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)x 為多少元時(shí)，該工廠的每日利潤y 最大,并求最大值【解(1)設(shè)日銷售量x30,則匕=100,lOOe30所以 k=100e30,所以日銷售量 q= -100e3Cx-20-

19、t)所以 y=當(dāng) t=5 時(shí),y=IOOe3(26-x)由 y0 得 xw26,由 yw0 得 x 26,z3*聲所以 y 在25,26上單調(diào)遞增，在26,40上單調(diào)遞減，所以當(dāng) x=26 時(shí),ymax=100e4.當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為26 元時(shí)，該工廠的利潤最大，最大值為 100e4元.21.(12 分)(2015 北京高考)設(shè)函數(shù)(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.證明若 f(x)有零點(diǎn)，則 f(x)在區(qū)間(1, )上僅有一個零點(diǎn)eey =r(25wxw40,2wtw5).IOOe3(x -25)20因?yàn)?k0,所以令 f (x)=0 得 xJ,列表如下：21k - kink當(dāng) x= J

20、 時(shí),取得極小值f( A)=當(dāng) Jy i,即 oke 時(shí),f(x)在(1, )上單調(diào)遞減,f(1)=彳e - krr0,f( )=0.所以 f(x)在區(qū)間(l,)上僅有一個零點(diǎn)I-綜上，若 f(x)有零點(diǎn)，則 f(x)在區(qū)間(i,i r 上僅有一個零點(diǎn)22.(12 分)(2017 銀川高二檢測)已知橢圓的一個頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為T(1)求橢圓的方程x(o, k)(；k,+ m )f(X)-0+f(x)極小值/減區(qū)間為(0,小，增區(qū)間為(f(i)=f(C)=2_= -:r當(dāng) 1g c,即 1k0,f( U)=此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)o,f(0,所以 f(x)在區(qū)間(1,上沒有

21、零點(diǎn)在(1,小上遞減,在 2,上遞增,k - kink k(l - Ink)小=)2o,22的關(guān)系，求解即可(2)設(shè)橢圓與直線y=kx+m(k豐0)相交于不同的兩點(diǎn)時(shí),求 m 的取值范【解題指南】(1)首先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(ab0),然后由已知可得a,b,c 之間23首先聯(lián)立直線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并消去 y 可得一元二次方程(1+3k2)x2+6kmx+3m-3=0,然后由直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)可得其判別式 0,再設(shè) M(xi,yi),N(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可得【解析】(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在 x 軸上,2.2故設(shè)橢圓的方程為：+ =1(ab0),所以 b=1,e=；=,

22、即 b=1,c= a,2人.又 a2=b2+c2,所以 a2=lJa2,所以 a2=3,2/Vk所以橢圓的方程為：+y2=l.-/ 2X2丐+y=匕N(y = kx十m,2 22聯(lián)立消 y 得(1+3k )x +6kmx+3nn-3=0,因?yàn)橹本€與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè) M(X1,y1),N(x2,y2),所以 =(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)0,22得:3k -m +10,xi+x2,x1X2的值，即可得出 MN 的中點(diǎn) P的坐標(biāo)，并結(jié)合已知條件可得等式3k?=2m-1,最后得出m 的取值范圍即可又橢圓的一個頂點(diǎn)為A(0,-1),離心率為24所以 y1+y2=kx1+m+kx+m6 km3m2-3所以 X1+X2=-1 +3k225,則 APIM