2018年全國(guó)高考卷數(shù)學(xué)理科試題及復(fù)習(xí)資料

1、1 / 92018 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)1 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2 作答時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 2i1 -1 2i絕密啟用前注意事項(xiàng):43.43.3 4.34A.iB.iC.iD.55555 5552已知集合A2 2x,y x yW3,x Z,yZ ，則A中兀素的個(gè)數(shù)為4A. 9B . 8C. 5D3 .函數(shù) f xxxe e-2的圖像大致為x1，貝 U a (

2、2a b)A. 4B .32 25 .雙曲線1( a0,b 0）的離心率為a bA. y、2xB .y3x,C56 .在AABC中，cos BC 1 AC25A. 4.2B .30C. 2D .03，則其漸近線方程為C應(yīng)C. yx2D. y3x25，貝 UABC.29D. 2 5ABC4.已知向量a, b 滿(mǎn)足|a| 1 , a b2 / 9f(1) f(2)f(3)f(50)1D.-4數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30 723.在不超過(guò) 30 的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于 30 的概率是1111A .BC .D . 一121415189.在長(zhǎng)方體 ABCDA B1GD1中，AB

3、BC1 ,AA. 3，則異面直線 AD1與 DB!所成角的余弦值為A .1B_5C .D565210 .若 f(x) cos xsin x 在 a, a是減函數(shù)， 則a的取大值疋nn3nA.4B.2C .4D.n8.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2 的偶11已知 f（x）是定義域?yàn)椋ǎ┑钠婧瘮?shù)，滿(mǎn)足 f（1 x）f (1 x).若 f(1) 2，則x 2y 50 ,14 .若x,y滿(mǎn)足約束條件 x 2y 30，貝yz xy 的最大值為x 50,1）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為13.曲線 y 2ln(x1 1 17 為計(jì)算 S 1 -234則

4、在空白框中應(yīng)填入A.i i 1B.i i 2C.i i 3D.i i 41991100，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖,A.50C. 2D . 502 212 .已知F1,F2是橢圓C:篤每1(abab0）的左，右焦點(diǎn)，A是 C 的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為一3的直線上,6 PF1F2為等腰三角形,F1F2P 120，貝yC 的離心率為二、填空題：本題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分。3 / 915 .已知 sin a cos31, cos a sin30，貝 V sin（ a3） _.16已知圓錐的頂點(diǎn)為 S，母線 SA, SB 所成角的余弦值為7, SA 與圓錐底面所成角為 45若SAB的8

5、面積為 5 15，則該圓錐的側(cè)面積為 _ .三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。17.（ 12 分）記 Sn為等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和，已知印7 , S315 .（）求%的通項(xiàng)公式；（2）求 2，并求Sn的最小值.18.（ 12 分）下圖是某地區(qū) 2000 年至 2016 年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖.為了預(yù)測(cè)該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量 t 的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù) 2000 年至 20162000

6、2001 2002 202O(U 2005 2006 200：2008 2009 2010 2011 2012 2013 20U 20152016年份泗4 / 9年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量 t 的值依次為 1,2，17）建立模型：? 30.4 13.5t ;根據(jù) 2010 年 至 2016 年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量 t 的值依次為 1,2,，7 ）建立模型：? 99 17.5t .（1） 分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.19.（ 12 分）設(shè)拋物線 C： y 4x 的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為 k（k 0）的直線 l 與

7、 C 交于A,B兩點(diǎn)，I AB| 8 .（1）求 I 的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)A，B且與 C 的準(zhǔn)線相切的圓的方程.5 / 920.（ 12 分）如圖，在三棱錐 P ABC中,AB BC 2 2 , PA PB PC AC(1) 證明：PO 平面 ABC ;(2) 若點(diǎn)M在棱 BC 上，且二面角 M PA C 為 30，求 PC 與平面(2)若 f(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.(二)選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做,22.選修 4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10 分)x 2cos0，在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為(0為參數(shù))y 4sin0

8、x 1 t cosa，-.(t 為參數(shù)).y 2 tsina(1)求 C 和 I 的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線 C 截直線 l 所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求 I 的斜率.23.選修 4 5 :不等式選講(10 分)設(shè)函數(shù) f (x)5 | x a | | x 2| .(1)當(dāng) a 1 時(shí)，求不等式 f(x) 0 的解集;(2)若 f(x) 1，求a的取值范圍.參考答案：一、選擇題21 .（ 12 分）4， O 為 AC 的中點(diǎn).PAM所成角的正弦值.已知函數(shù) f(x)2ax .（1）若 a 1 , 證明：當(dāng) x 0 時(shí)，f (x) 1 ;則按所做的第一題計(jì)分。，直線 l 的參數(shù)方程為C6

9、 / 91.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、 填空題13.y 2x14.915. -16.40、2n2三、 解答題17. （12 分）解：（1）設(shè)an的公差為 d,由題意得3a13d 15.由a17得 d=2.所以an的通項(xiàng)公式為an2n 9.2 2（2）由（1）得Snn 8n （n 4）16.所以當(dāng) n=4 時(shí)，Sn取得最小值，最小值為-16.18. （12 分）解：（1）利用模型，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為?30.4 13.5 19226.1（億元）.利用模型，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為? 99

10、17.5 9256.5（億元）.（2）利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線y 30.4 13.5t上下.這說(shuō)明利用 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010 年相對(duì) 2009 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010 年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用 2010 年至2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y 99 17.5t可以較好地描述 2010 年以后的環(huán)境基礎(chǔ)

11、設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于 2016 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220 億元，由模型得到的預(yù)測(cè)值 226.1 億元7 / 9的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理.說(shuō)明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.以上給出了 2 種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分19. （12 分）8 / 9解：(1)由題意得F(1,0), l 的方程為y k(x 1)(k0).設(shè)A(xi, yi), B(X2, y2),由2k(x得k2x2y24x(2k24)xk20.216k2160，故捲X22k2所以| AB | | AF |BF |(Xi

12、1) (X21)4k24由題設(shè)知k28，解得k1(舍去)，1.因此 I 的方程為y(2)由(1)得 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 2)，所以 AB 的垂直平分線方程為y 2 (x3)，即y x 5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(滄，y0)，則yx 5,2(x01)2(y0 x01解得16. y。3,或2x 11,y。6.因此所求圓的方程為(x3)2(y 2)216或(x 11)2(y 6)2144.20.(12 分)解:( 1)因?yàn)锳PCPAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P連結(jié)OB.因?yàn)锳BBC2AC， 所以ABC為等腰直角三角形2且OBAC，OB1AC :2.2由OP22OB PB2知POOB.由OPOB

13、,OPAC知PO平面ABC.(2)如圖，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn),AC，且OPOB的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O2.3.xy z.9 / 9由已知得0(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0),C(0,2,0), P(0,0,2 .3), AP (0,2,2,取平面PAC的法 向量OB設(shè)平面PAM的法向量為n (x,y,z).(12 分)(2,0,0).設(shè)M(a,2a,0)(0 a 2)，則(a,4 a,0).由AP n 0,AM n 0得2y 2 3z 0，可取ax (4 a)y 0n(二(a 4),、.3a, a),所以cos：.2T3(a 4)2&a 4)23a

14、2a2.由已知得| cos0B,n,|所以2 . 3 |a 4|所以所以_ 二晅解得a2,3(a 4)23a2a228.3 4.34、p,).乂33(0,2,(舍去)，2.3)，所以cos：. PC,PC與平面PAM所成角的正弦值為-4【解析】1時(shí)，f(x) 1等價(jià)于(x21)ex1設(shè)函數(shù)g(x)x21)ex1，則g(x)(x22x 1)ex(x 1)2e當(dāng)x 1時(shí),g(x)0，所以g(x)在(0,)單調(diào)遞減.而g(0)0,故當(dāng)x0時(shí)，f(x) 1.10 / 9故h(x)在(2,4 a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在(0,綜上，f(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),22.選修 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

15、(10 分)2【解析】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x y1.4 16當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為ytan x 2 tan當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將|的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程22(1 3cos )t 4(2cos sin )t 80.因?yàn)榍€C截直線I所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為(2)設(shè)函數(shù)h(x) 1 ax2ex.f(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)a 0時(shí)，h(x) 0,h(x)沒(méi)有零點(diǎn);(ii)當(dāng)a 0時(shí)，h(x) ax(x 2)ex.當(dāng)x (0,2)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x (2,)時(shí)，h(x)0.所以h(x)在(0, 2)單調(diào)遞減，在(2,)單調(diào)遞增.故h(2)14a歲是h(x)在0,e)的最小值.若h(2)e2-,h(x)在(0,4)沒(méi)有零點(diǎn);若h(2)2-,h(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn);若h(2)2-，由于h(0)4，所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn),由(1 )知，當(dāng)x0時(shí)，exx2，所以h(4a)16a316a31孑1h16a3)有兩個(gè)零點(diǎn).1